Расчет параметров треугольника

Свойства

• Центр вписанной в треугольник окружности
  находится на пересечении биссектрис.
• В треугольник, вписанный в окружность,
  можно вписать окружность, причем только одну.
• Для треугольника, вписанного в окружность,
  справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
  и Теорема Пифагора.
• Центр описанной около треугольника окружности
  находится на пересечении серединных перпендикуляров.
• Все вершины треугольника, вписанного
  в окружность, лежат на окружности.
• Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
• Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
  треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
  формуле Герона.

Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и угол при основании

Пусть известны основание a и прилежащий к ней угол β равнобедренного треугольника (Рис.2). Выведем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

Из центра вписанной окружности проведем перпендикуляры OH и OE к сторонам a=BC и b=AC, соответственно (r=OH=OE). Соединим точки C и O. Полученные прямоугольные треугольники OCE и OCH равны по гипотенузе и катету (см. статью Прямоугольный треугольник. Тогда \( \small \angle OCE=\angle OCH=\frac{\large \beta}{\large 2}. \) Для прямоугольного треугольника OCH можно записать:

Откуда получим формулу радиуса вписанной в треугольник окружности:

Учитывая формулы половинного угла тригонометрических функций, формулу (8) можно записать так:

Пример 2. Известны основание \( \small a=15 \) и \( \small \beta=30° \) равнобедренного треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанный в треугольник воспользуемся формулой (8) (или (9)). Подставим значения \( \small a=15, \; \beta=30° \) в (8):

Ответ:

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известна площадь и все стороны:

   [ r = frac{S}{(a+b+c)/2} ]

2. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известны площадь и периметр:
3. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

1. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:
2. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известны все стороны и площадь:
3. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:
2. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен полупериметр:
3. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен высота и основание:
4. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известна сторона и два прилежащих к ней угла:
5. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и синус угла между ними:

Периметр треугольника

1.  Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известны все стороны:
2. Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известна площадь и радиус вписанной окружности
3. Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и косинус угла между ними:
2. Сторона треугольника вписанного в
   окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

1. Средняя линия треугольника вписанного
   в окружность, если известно основание:
2. Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны, ни одна из них не является
   основанием, и косинус угла между ними

Высота треугольника

1. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известна площадь и основание:
2. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известен сторона и синус угла прилежащего
   к этой стороне, и находящегося напротив высоты:
3. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известен радиус описанной окружности идве стороны, ни одна из которых не является основанием:

– SVG&колония; Масштабируемая векторная графика

Элемент SVG представляет собой базовую форму SVG, используемую для рисования кругов на основе центральной точки и радиуса.

 html,
тело,
свг {
  высота: 100%;
}
 

Координата центра окружности по оси X. Тип значения : | ; Значение по умолчанию : ; Анимация : да

Координата центра окружности по оси Y. Тип значения : | ; Значение по умолчанию : ; Анимация : да

Радиус круга. Значение ниже или равное нулю отключает визуализацию круга. Тип значения : | ; Значение по умолчанию : ; Анимация : да

Общая длина окружности круга в пользовательских единицах.

Тип значения : ; Значение по умолчанию : нет ; Анимация : да

Примечание. Начиная с SVG2, , и являются Свойствами геометрии , что означает, что эти атрибуты также могут использоваться в качестве свойств CSS для этого элемента.

Глобальные атрибуты

Основные атрибуты

В частности: ,

Атрибуты стиля

, стиль

Атрибуты условной обработки

В частности: ,

Атрибуты событий

Глобальные атрибуты событий, Графические атрибуты событий

Атрибуты презентации

В частности: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

Атрибуты ARIA

, , , , , , , ,

Категории	Основной элемент формы, графический элемент, элемент формы
Предполагаемый контент	. Любое количество следующих элементов, в любом порядке: Animation Elements Elements Elements .
Спецификация
Масштабируемая векторная графика (SVG) 2 # CircleElement

Таблицы BCD загружаются только в браузере

Другие базовые формы SVG: , , , if(rtbW>=960){var rtbBlockID=»R-A-992553-3″;}
else{var rtbBlockID=»R-A-992553-5″;}
window.yaContextCb.push(()=>{Ya.Context.AdvManager.render({renderTo:»yandex_rtb_2″,blockId:rtbBlockID,pageNumber:2,onError:(data)=>{var g=document.createElement(«ins»);g.className=»adsbygoogle»;g.style.display=»inline»;if(rtbW>=960){g.style.width=»580px»;g.style.height=»400px»;g.setAttribute(«data-ad-slot»,»7683656859″);}else{g.style.width=»300px»;g.style.height=»600px»;g.setAttribute(«data-ad-slot»,»7683656859″);}
g.setAttribute(«data-ad-client»,»ca-pub-5948177564140711″);g.setAttribute(«data-alternate-ad-url»,stroke2);document.getElementById(«yandex_rtb_2»).appendChild(g);(adsbygoogle=window.adsbygoogle||[]).push({});}})});window.addEventListener(«load»,()=>{var ins=document.getElementById(«yandex_rtb_2″);if(ins.clientHeight ==»0»){ins.innerHTML=stroke3;}},true); ,

Последнее изменение:

Вписанная окружность — в какую фигуру нельзя вписать

Для решения геометрических задач можно использовать различные формулы и приемы, которые помогут облегчить поиск искомых показателей. Один из способов найти различные неизвестные в многогранной фигуре – сделать это через вписанную окружность.

Вписанная окружность — окружность, которая лежит внутри угла и касается его сторон. Касание происходит в одной точке с каждой стороны. 

Вписанная в фигуру окружность, например, в треугольник или многоугольник, будет касаться всех его сторон. Это главное свойство окружности, которая будет называться вписанной. Сама фигура в таком случае называется описанной вокруг окружности.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут

Следствие 

Из этого следует, что вписанная окружность не будет таковой, если не будет касаться всех сторон фигуры.

Окружность точно можно вписать в следующие геометрические фигуры:

• треугольник;
• выпуклый правильный многоугольник;
• квадрат;
• равнобедренная трапеция;
• ромб.

При этом окружность в данные фигуры может быть вписана лишь единожды.

Четырехугольник является неоднозначной фигурой при процессе вписывания в нее окружности. Для того, чтобы окружность была вписанной в четырехугольник, суммы длин его противоположных сторон должны быть равны.

Окружность точно нельзя вписать в следующие геометрические фигуры:

• прямоугольник;
• параллелограмм (если он не является ромбом).

Ни один из видов данных фигур не сможет иметь вписанную окружность, так как она не сможет соприкасаться со всеми их сторонами, что является главным признаком вписанной окружности.

Формулы площади

Чему равна площадь равностороннего треугольника можно определить с использованием нескольких формул. Для этого привлекаются в том числе понятия вписанной и описанной окружности.

Через величины a или h

Площадь абсолютно любого треугольника может быть определена как произведение его высоты на длину основания, которое следует поделить пополам. Если записать это выражение для равноугольного треугольника, можно получить следующие формулы:

• S = ½*a*h;
• S = 30,5 /4*a 2 ;
• S = 30,5 /3*h 2 .

Для получения этих выражений была использована формула связи между длинами высоты h и основания a. Уравнения справедливы для любого треугольника с равными сторонами. Для прямоугольного или равнобедренного эти выражения уже не подходят.

Через радиусы r или R

Чтобы определить площадь, достаточно узнать любой линейный параметр. Это необязательно может быть сторона или высота, но также радиусы вписанной и описанной окружностей.

Вписанной называется окружность, которая лежит внутри фигуры и касается всех ее сторон. В случае равностороннего треугольника ее центр находится в точке пересечения медиан (высот, биссектрис), то есть в точке Q. Ее радиус r равен отрезку QP и составляет:

r = 30,5 /6*a.

Выразив из этого равенства сторону a и подставив ее в формулу для площади S через a, можно получить следующее выражение:

S = 3*30,5 *r 2 .

Центр вписанной окружности является для равностороннего треугольника центром описанной вокруг него. Ею принято называть в геометрии фигуру, которая проходит через все вершины многоугольника. Поскольку ее центр лежит в точке Q, радиус R будет равен длине отрезка QB. Формула для него уже известна:

R = 30,5 /3*a.

Аналогичным образом, выражая из этого равенства величину a, и подставляя ее в формулу для S, можно получить следующее выражение:

S = 3*30,5/4*R 2 .

Это равенство можно было также получить, если вспомнить, что радиус описанной окружности R в 2 раза больше радиуса r.

Вписанная окружность коротко о главном

Вписанная в треугольник окружность — окружность, которая касается всех (трёх) сторон треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность, причём единственным образом.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Радиусы вписанной окружности, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам треугольника: \( \displaystyle OL\bot AB\), \( \displaystyle OM\bot BC\), \( \displaystyle OK\bot AC\).

Отрезки от вершин треугольника до точек касания выражаются по формулам:

\( \displaystyle z=\frac{a+b-c}{2}\).

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности: 

\( \displaystyle S=p\cdot r\), где \( \displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}\) — полупериметр треугольника, а \( \displaystyle r\) — радиус вписанной окружности.

Вневписанная окружность – окружность, которая касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон.

Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы внутреннего угла треугольника (\( \displaystyle \angle A\)) и биссектрис двух внешних углов (\( \displaystyle \angle B\) и \( \displaystyle \angle C\)).

Площадь треугольника через радиус вневписанной окружности:

\( \displaystyle {{S}_{\Delta ABC}}=(p-a)\cdot r\), где \( \displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}=AK=AM\) — полупериметр треугольника, а \( \displaystyle r\) — радиус вневписанной окружности.