Основные классы чисел[]
Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; множество натуральных чисел обозначается N{\displaystyle \mathbb {N} }. То есть N={1,2,3,…}{\displaystyle \mathbb {N} =\left\{1,2,3,…\right\}} (иногда к множеству натуральных чисел также относят ноль, то есть N={,1,2,3,…}{\displaystyle \mathbb {N} =\left\{0,1,2,3,…\right\}}). Натуральные числа замкнуты относительно сложения и умножения (но не вычитания или деления). Сложение и умножение натуральных чисел коммутативны и ассоциативны, а умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения и вычитания.
Важным подмножеством натуральных чисел являются простые числа P.{\displaystyle \mathbb {P} .} Простое число — это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Все остальные натуральные числа, кроме единицы, называются составными. Ряд простых чисел начинается так: 2,3,5,7,11,13,17,…{\displaystyle 2,3,5,7,11,13,17,…} Любое натуральное число, большее единицы, представимо в виде произведения степеней простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей. Например, 121968=24·32·7·112.
Целые числа, получаемые объединением натуральных чисел с множеством отрицательных чисел и нулём, обозначаются Z={…−2,−1,,1,2,…}{\displaystyle \mathbb {Z} =\left\{…-2,-1,0,1,2,…\right\}}. Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления).
Рациональные числа — числа, представленные в виде дроби m/n (n≠0), где m — целое число, а n — натуральное число. Рациональные числа замкнуты уже относительно всех четырёх арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль). Для обозначения рациональных чисел используется знак Q{\displaystyle \mathbb {Q} } (от лат. quotient).
Действительные (вещественные) числа представляют собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для математического анализа) операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначается R{\displaystyle \mathbb {R} }. Его можно рассматривать как пополнение поля рациональных чисел Q{\displaystyle \mathbb {Q} } при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной. Кроме рациональных чисел, R{\displaystyle \mathbb {R} } включает множество иррациональных чисел I{\displaystyle \mathbb {I} }, не представимых в виде отношения целых.
Комплексные числа C{\displaystyle \mathbb {C} }, являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут быть записаны в виде z=x+iy{\displaystyle z=x+iy}, где i — т. н. мнимая единица, для которой выполняется равенство i2=−1{\displaystyle i^{2}=-1}. Комплексные числа используются при решении задач электротехники, гидродинамики, картографии, квантовой механики, теории колебаний, теории хаоса, теории упругости и многих других. Комплексные числа подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое действительное трансцендентное является иррациональным, а каждое рациональное число — действительным алгебраическим. Более общими (но всё ещё счётными) классами чисел, чем алгебраические, являются периоды, вычислимые и арифметические числа (где каждый последующий класс шире, чем предыдущий).
Для перечисленных множеств чисел справедливо следующее выражение: P⊂N⊂Z⊂Q⊂R⊂C.{\displaystyle \mathbb {P} \subset \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} .}
|
||||||||||||||||||||
| 1,e1,e2,…,e15,7e2+25e7−13e15,…{\displaystyle 1,\;e_{1},\;e_{2},\;\dots ,\;e_{15},\;7e_{2}+{\frac {2}{5}}e_{7}-{\frac {1}{3}}e_{15},\;\dots } | Седенионы |
Как решать уравнения? Алгоритм действий.
Подведем итог разобранной теме уравнений, рассмотрим общие правила решения уравнений:
- Перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую сторону уравнения относительно равно.
- Преобразовать и посчитать подобные в уравнении, то есть переменные с переменными, а числа с числами.
- Избавиться от коэффициента при переменной если нужно.
- В итоге всех действий получаем корень уравнение. Выполняем проверку.
Эти правила действуют на любой вид уравнения (линейный, квадратный, логарифмический, тригонометрический, рациональные, иррациональные, показательные и другие виды)
Поэтому важно понять эти простые правила и научиться ими пользоваться
Прочие важные свойства числовых равенств
Основные свойства числовых равенств, рассмотренные выше, являются базисом для ряда дополнительных свойств, довольно ценных в разрезе практики. Перечислим их:
Определение 5
Прибавив к (или убавив от) обеим частям числового равенства, являющегося верным, одно и то же число, получим верное числовое равенство. Запишем буквенно: если a = b
, где a
и b
– некоторые числа, то a + c = b + c
при любом c
.
Доказательство 4
В качестве обоснования запишем разность (a + c) − (b + c)
.
Это выражение легко преобразуется в вид (a − b) + (c − c)
.
Из a = b
по условию следует, что a − b = 0
и c − c = 0
, тогда (a − b) + (c − c) = 0 + 0 = 0
. Это доказывает, что (a + c) − (b + c) = 0
, следовательно, a + c = b + c
;
Определение 6
Если обе части верного числового равенства перемножить с любым числом или разделить на число, не равное нулю, тогда получим верное числовое равенство.
Запишем буквенно: когда a = b
, то a · c = b · c
при любом числе c .
Если c ≠ 0 , тогда и a: c = b: c
.
Доказательство 5
Равенство верно: a · c − b · c = (a − b) · c = 0 · c = 0
, и из него следует равенство произведений a · c
и b · c
. А деление на отличное от нуля число c возможно записать как умножение на обратное число 1 c ;
Определение 7
При a
и b ,
отличных от нуля и равных между собой, обратные им числа также равны.
Запишем: когда a ≠ 0 , b ≠ 0 и a = b
, то 1 a = 1 b
. Крайнее равенство нетрудно доказать: с этой целью разделим обе части равенства a = b
на число, равное произведению a · b
и не равное нулю.
Укажем еще на пару свойств, которые позволяют осуществлять сложение и умножение соответствующих частей верных числовых равенств:
Определение 8
При почленном сложении верных числовых равенств получается верное равенство. Запись этого свойства такова: если a = b
и c = d
, то a + c = b + d
для любых чисел a , b , c и d
.
Доказательство 6
Обосновать это полезное свойство возможно, опираясь на указанные ранее свойства. Мы знаем, что к обеим частям верного равенства возможно прибавить любое число.
К равенству a = b
прибавим число c
, а к равенству c = d
— число b
, итогом станут верные числовые равенства: a + c = b + c
и c + b = d + b
. Крайнее запишем в виде: b + c = b + d
. Из равенств a + c = b + c
и b + c = b + d
согласно свойству транзитивности следует равенство a + c = b + d .
Что и нужно было доказать.
Необходимо уточнить, что почленно можно сложить не только два верных числовых равенства, но и три, и более;
Определение 7
Наконец, опишем такое свойство: почленное перемножение двух верных числовых равенств дает верное равенство. Запишем при помощи букв: если a = b
и c = d
, то a · c = b · d
.
Доказательство 7
Доказательство этого свойства подобно доказательству предыдущего. Умножим обе части равенства на любое число, умножим a = b
на c
, а c = d
на b
, получим верные числовые равенства a · c = b · c
и c · b = d · b
. Крайнее запишем как b · c = b · d
. Свойство транзитивности дает возможность из равенства a · c = b · c
и b · c = b · d
вывести равенство a · c = b · d
, которое нам необходимо было доказать.
И вновь уточним, что данное свойство применимо для двух, трех и более числовых равенств.
Так, можно записать: если a = b
, то a n = b n
для любых чисел a
и b
, и любого натурального числа n
.
Завершим данную статью, собрав для наглядности все рассмотренные свойства:
Если a = b , то b = a .
Если a = b и b = c , то a = c .
Если a = b , то a + c = b + c .
Если a = b , то a · c = b · c .
Если a = b и с ≠ 0 , то a: c = b: c .
Если a = b , a = b , a ≠ 0 и b ≠ 0 , то 1 a = 1 b .
Если a = b и c = d , то a · c = b · d.
Если a = b , то a n = b n .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Раздел 4: Решение уравнений
В математике уравнения являются важным инструментом для нахождения неизвестных значений. Решение уравнений позволяет найти значения переменных, при которых равенство выполняется.
Примеры уравнений могут быть различными и зависят от задачи. Например, рассмотрим уравнение вида 2x + 5 = 13. Для его решения необходимо найти значение переменной x, при котором левая часть уравнения будет равна правой. В данном случае решением будет x = 4, так как 2*4 + 5 = 13.
Неравенства также играют важную роль в математике. Они позволяют сравнивать значения и устанавливать отношения между ними. Например, рассмотрим неравенство 3x + 2
Решение уравнений и неравенств включает в себя ряд методов и приемов. Одним из основных методов является алгебраическое преобразование, при котором уравнение приводится к виду, при котором значение переменной можно найти. Кроме того, для решения уравнений и неравенств также могут применяться графические методы и интерпретация геометрических объектов.
В заключение, решение уравнений и неравенств составляет основу алгебраического анализа и имеет широкое применение в математике, физике, экономике и других науках. Умение решать уравнения и неравенства позволяет осуществлять точные вычисления и находить оптимальные решения в различных задачах и ситуациях.
Подраздел 4.1: Решение уравнений с равенством
Решение уравнений с равенством является одной из основных задач математики. В равенстве уравнение состоит из двух выражений, разделенных знаком «=». Одной из целей решения таких уравнений является определение значения или значений переменной, при которых оба выражения равны.
Примеры задач, связанных с решением уравнений с равенством, включают такие вопросы, как «Найдите все значения x, при которых уравнение 2x + 3 = 7 верно» или «Решите уравнение 4x^2 — 6x + 2 = 0». В обоих случаях мы ищем значения переменной x, при которых левая часть уравнения равна правой, учитывая заданные ограничения или условия.
Для решения уравнений с равенством мы используем различные методы, включая алгебраические преобразования, факторизацию, замену переменной и метод подстановки. Эти методы позволяют нам преобразовывать уравнение и упрощать его до тех пор, пока мы не сможем найти все значения переменной, удовлетворяющие условиям задачи.
Разряды и разрядность
Обратимся к табл. 4.6 и выпишем ряд десятичных чисел, которые равны “круглым” двоичным числам. В этот ряд входят следующие десятичные числа: “2”, “4”, “8”, “16”, “32”, “64”, “128”, “256”, “512” и, наконец, сакраментальное “1024”. Все эти числа представляют ряд последовательных степеней числа “2”. Каждое из названных чисел чрезвычайно активно используется в компьютерных технологиях. Читатель, видимо, убеждался в этом не один раз.
Мы оперируем каким-либо двоичным числом, а любое двоичное число – это совокупность битов, т. е. “1” и “0”. Отсюда получается, что каждый бит – это один разряд или одна позиция в двоичном числе.
ЗамечаниеНадеемся, что вы еще не забыли о позиционном принципе записи чисел в любых математических системах счисления (значение цифр, количество которых ограничено, зависит от положения в числе, от ее позиции).
В данный момент мы делаем шаг в сторону абстрагирования от конкретных значений цифр и начинаем считать только количество знакомест (позиций), которое в математике принято называть “разрядом”, а совокупность разрядов (знакомест) – “разрядностью”.
Определение
Разряд в арифметике – это место, занимаемое цифрой при записи числа. Например, в десятичной системе счисления цифры первого разряда – это единицы, второго разряда – десятки и т. д.
Но арифметические законы, которые кажутся привычными в десятичной системе счисления, все без исключения действительны и для двоичной системы счисления. Двоичные числа также можно складывать, вычитать, перемножать и делить с использованием тех же приемов школьного курса арифметики. Отличие заключается только в том, что используются всего две цифры.
Кроме того, как мы уже выяснили, в двоичной системе счисления каждый разряд – это бит и его значение зависит от позиции и равно соответствующей степени числа “2”.
Определение
Разрядность двоичного числа – это количество знакомест (разрядов) или количество битов, заранее отведенных для записи числа.
Пример
Десятичное число “2” может быть записано различными способами в зависимости от разрядности двоичного числа: как “10”, если разрядность равна двум; как “0010”, если разрядность равна четырем; как “00000010”, если разрядность равна восьми
Обратите внимание, что последний вариант соответствует записи десятичного числа “2” в пределах одного байта информации
Разрядность двоичного числа интересует нас в связи с тем, что это количество разрядов (позиций или знакомест) обеспечивает определенный набор возможных двоичных чисел, которые, как мы уже договорились, могут служить кодами, с помощью которых происходит кодирование любых видов информации: собственно чисел, текстов, графических и цветных изображений, звуков, анимации и видео.
Осталось только выяснить, каким образом разрядность влияет на количество информации (двоичных кодов), которую можно получить с помощью определенного количества разрядов. Однако прежде следует учесть одну особенность двоичных чисел, нашедшую применение в компьютерных технологиях, – это фиксированные значения разрядности двоичных чисел.
Двойные, тройные равенства и т.д.
Наряду с обычными записями равенств, примеры которых мы привели в предыдущих пунктах, используются так называемые двойные равенства
, тройные равенства
и так далее, представляющие собой как бы цепочки равенств. Например, запись 1+1+1=2+1=3
является двойным равенством, а |AB|=|BC|=|CD|=|DE|=|EF|
— пример четверного равенства.
С помощью двойных, тройных и т.д. равенств удобно записывать равенство трех, четырех и т.д. объектов соответственно. Эти записи по своей сути обозначают равенство любых двух объектов, составляющих исходную цепочку равенств. К примеру, указанное выше двойное равенство 1+1+1=2+1=3
по сути означает равенство 1+1+1=2+1
, и 2+1=3
, и 1+1+1=3
, а в силу свойства симметричности равенств и 2+1=1+1+1
, и 3=2+1
, и 3=1+1+1
.
В виде таких цепочек равенств удобно оформлять пошаговое решение примеров и задач, при этом решение выглядит кратко и видны промежуточные этапы преобразования исходного выражения.
Список литературы.
-
Моро М. И.
. Математика. Учеб. для 1 кл. нач. шк. В 2 ч. Ч. 1. (Первое полугодие) / М. И. Моро, С. И. Волкова, С. В. Степанова.- 6-е изд. — М.: Просвещение, 2006. — 112 с.: ил.+Прил. (2 отд. л. ил.). — ISBN 5-09-014951-8. -
Математика
: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 21-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2007. — 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
На данном уроке вы вместе с лягушкой познакомитесь с математическими понятиями: «равенство» и «неравенство», а также со знаками сравнения. На веселых и интересных примерах научитесь сравнивать группы фигур с помощью составления пар и сравнивать числа с помощью числового луча.
Тема:
Знакомство с основными понятиями в математике
Урок: Равенство и неравенство
Логарифм числа b по основанию a
Логарифмом числа b по основанию а (logab) называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.
logab=n, если an=b. Примеры: 1) log28=3, т. к. 23=8;
2) log5(1/25)=-2, т. к. 5-2=1/52=1/25; 3) log71=, т. к. 7=1.
Под знаком логарифма могут быть только положительные числа, причем, основание логарифма — число а≠1. Значением логарифма может быть любое число.
Основное логарифмическое тождество
Это тождество следует из определения логарифма: так как логарифм – это показатель степени (n), то, возводя в эту степень число а, получим число b.
Примеры.
Десятичный логарифм
Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом и при написании опускают основание 10 и букву «о» в написании слова «log».
lg7=log107, lg7 – десятичный логарифм числа 7.
Натуральный логарифм
Логарифм по основанию е (Неперово число е≈2,7) называют натуральным логарифмом.
ln7=loge7, ln7 – натуральный логарифм числа 7.
Свойства логарифмов справедливы для логарифмов по любому основанию.
loga(x∙y)=logax+logay
Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.
Логарифм частного
loga(xy)=logax— logay
Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.
Основание логарифма и число под знаком логарифма можно поменять местами по формуле:
logab=1logba Логарифм числа b по основанию а равен единице, деленной на логарифм числа а по основанию b.
Общая формула перехода к логарифму по другому основанию
logab=logcb/logca
Логарифм числа b по основанию а равен логарифму числа b по новому основанию с, деленному на логарифм старого основания а по новому основанию с.
logabk=k∙logab Логарифм степени (bk) равен произведению показателя степени (k) на логарифм основания (b) этой степени.
Логарифм числа br по основанию ar.
logarbr=logab или logab=logarbr
Значение логарифма не изменится, если основание логарифма и число под знаком логарифма возвести в одну и ту же степень.
9 класс
| № урока | Тема |
|---|---|
| 1 | Повторение материала 8 класса 11 минут 54секунд |
| 2 | Повторение материала 8 класса. Решение систем уравнений 13 минут 57секунд |
| 3 | Квадратичная функция.y = ax2 12 минут 11секунд |
| 4 | Квадратичная функция y = ax2 + bx + c 14 минут 13секунд |
| 5 | Графиком квадратичной функции y = ax2 + bx + c. 14 минут 10секунд |
| 6 | Область определения функции 14 минут 11секунд |
| 7 | Промежутки возрастания и убывания функции 13 минут 51секунд |
| 8 | Чётность и нечётность функции 9 минут 51секунд |
| 9 | Неравенства и уравнения содержащие степень 14 минут 43секунд |
| 10 | Решение задач 12 минут 56секунд |
| 11 | Решение задач 11 минут 36секунд |
| 12 | Решение систем уравнений второго порядка. 14 минут 21секунд |
| 13 | Решение простейших систем, содержащих вторую степень 11 минут 37секунд |
| 14 | Решение простейших систем, содержащих вторую степень. 11 минут 37секунд |
| 15 | Различные способы решения систем уравнений. 11 минут 11секунд |
| 16 | Решение задач (1). 13 минут 5секунд |
| 17 | Решение задач.Закрепление (1). 11 минут 36секунд |
| 18 | Решение неравенств и систем неравенств второй степени с одной переменной. 9 минут 35секунд |
| 19 | Решение примеров. 17 минут 35секунд |
| 20 | Решение практических задач. 19 минут 35секунд |
| 21 | Решение квадратных неравенств методом интервалов 17 минут 5секунд |
| 22 | Решение примеров 15 минут 11секунд |
| 23 | Доказательство простых неравенств 14 минут 4секунд |
| 24 | Решение примеров 12 минут 17секунд |
| 25 | Решение примеров 11 минут 49секунд |
| 26 | Решение практических задач. 8 минут 11секунд |
| 27 | Решение практических задач. 9 минут 24секунд |
| 28 | Радианная мера угла 10 минут 32секунд |
| 29 | Поворот точки вокруг начала координат 14 минут 42секунд |
| 30 | Определение синуса. Косинуса. Тангенса и Котангенса угла 14 минут 6секунд |
| 31 | Решение примеров 13 минут 15секунд |
| 32 | Решение примеров 12 минут 38секунд |
| 33 | Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же аргумента 9 минут 39секунд |
| 34 | Решение примеров 12 минут 13секунд |
| 35 | Тригонометрические тождества 15 минут 18секунд |
| 36 | Радианная мера угла 10 минут 36секунд |
| 37 | Синус, косинус, тангенс и котангенс углов а И -а 12 минут 54секунд |
| 38 | Формулы сложения 11 минут 22секунд |
| 39 | Решение примеров 16 минут 16секунд |
| 40 | Синус и косинус двойного угла 16 минут 24секунд |
| 41 | Формулы приведения 10 минут 12секунд |
| 42 | Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов 17 минут 20секунд |
| 43 | Синус, косинус, тангенс и котангенс углов а и -а 12 минут 44секунд |
| 44 | Числовые последовательности 17 минут 0секунд |
| 45 | Арифметические прогрессия 11 минут 4секунд |
| 46 | Сумма n первых членов арифметической прогрессии 11 минут 53секунд |
| 47 | Геометрическая прогрессия 10 минут 45секунд |
| 48 | Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 19 минут 29секунд |
| 49 | Решение задач 19 минут 29секунд |
| 50 | Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 10 минут 17секунд |
| 51 | Решение задач 9 минут 35секунд |
| 52 | Практические и мепредметные задачи (2 часть) 8 минут 26секунд |
| 53 | Решение задач (1 часть) 10 минут 1секунд |
| 54 | Решение задач (2 часть) 10 минут 1секунд |
| 55 | События 16 минут 3секунд |
| 56 | Решение задач 6 минут 30секунд |
| 57 | Вероятность события 9 минут 9секунд |
| 58 | Решение задач 8 минут 56секунд |
| 59 | Относительная частота случайного события 11 минут 40секунд |
| 60 | Случайные величины (1) 8 минут 5секунд |
| 61 | Случайные величины (2 часть) 8 минут 5секунд |
| 62 | Числовые характеристики случайных величин 10 минут 39секунд |
| 63 | Решение задач 9 минут 4секунд |
| 64 | Повторение 9 минут 58секунд |
Раздел 3: Свойства равенства и неравенства
Равенство и неравенство являются основными концепциями математики. Равенство означает, что два числа или выражения имеют одинаковое значение, тогда как неравенство указывает на различие в значениях.
Примеры равенства:
- 2 + 3 = 5
- x^2 + 5x — 6 = 0
- a + b = b + a
Примеры неравенства:
- 4 > 3
- 5x + 2
- a — b ≠ b — a
Свойства равенства:
- Рефлексивность: a = a
- Симметричность: Если a = b, то b = a
- Транзитивность: Если a = b и b = c, то a = c
- Заменяемость: Если a = b, то a можно заменить на b и наоборот
Свойства неравенства:
- Антисимметричность: Если a ≥ b и b ≥ a, то a = b
- Транзитивность: Если a ≥ b и b ≥ c, то a ≥ c
- Заменяемость: Если a ≥ b, то a можно заменить на b в любом выражении
- Сравнимость: Любые два числа можно сравнить по значению
Подраздел 3.1: Свойства равенства
Равенство и неравенство – одни из основных понятий в математике. Равенство обозначается знаком «=». Оно означает, что два математических выражения или числа имеют одинаковое значение. Например, 2 + 2 = 4, что означает, что сумма двух чисел 2 и 2 равна числу 4.
Свойства равенства позволяют проводить различные операции с равенствами, сохраняя их истинность. Одно из таких свойств – симметричность. Она заключается в том, что если два выражения или числа равны, то их можно менять местами без нарушения равенства. Например, если А = В, то В = А.
Другое свойство равенства – транзитивность. Если А = В и В = С, то А = С. Это свойство позволяет распространять равенство на другие выражения или числа, которые связаны друг с другом равенствами. Например, если А = В и В = С, то и А = С.
Неравенство обозначается знаками «» (больше), «=» (больше или равно). Оно указывает, что одно выражение или число меньше или больше другого. Например, 5 > 3, что означает, что число 5 больше числа 3.
При работе с неравенствами также действуют свойства, одно из которых – факт, что если А > B и B > C, то и А > C. Это основное свойство неравенства, которое позволяет распространять неравенство на другие выражения или числа.
Подраздел 3.2: Свойства неравенства
В математике неравенство является одним из фундаментальных понятий. Оно позволяет сравнивать числа и определять их отношения друг к другу. Неравенство обозначается символом «
Неравенство имеет несколько важных свойств, которые позволяют работать с ним в математических выражениях. Одно из основных свойств неравенства — транзитивность. Это означает, что если одно число больше другого, а второе больше третьего, то первое число также будет больше третьего. Например, если a > b и b > c, то можно сделать вывод, что a > c.
Еще одно важное свойство неравенства — сложение и вычитание. Если к обеим частям неравенства прибавить или вычесть одно и то же число, то неравенство останется верным
Например, если a > b, то a + c > b + c и a — c > b — c.
Также неравенство обладает свойством умножения и деления. Если умножить или разделить обе части неравенства на положительное число, то неравенство сохранится. Однако, если умножить или разделить на отрицательное число, то направление неравенства меняется. Например, если a > b и c > 0, то a * c > b * c, но если c
Свойства неравенства позволяют проводить многочисленные преобразования в математических выражениях. Они являются основой для решения неравенств и нахождения интервалов, в которых может находиться значение неизвестной переменной. Правильное использование свойств неравенства позволяет получить точные и корректные результаты.
Арифметическая прогрессия
Определение арифметической прогрессии
Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом d, называют арифметической прогрессией. Число d называют разностью арифметической прогрессии. В арифметической прогрессии {an}, т. е. в арифметической прогрессии с членами: a1, a2, a3, a4, a5, …, an-1, an, … по определению: a2=a1+d; a3=a2+d; a4=a3+d; a5=a4+d; …; an=an-1+d; …
Свойства арифметической прогрессии
Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов:
an=(an-1+an+1):2;
Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому равноотстоящих от него членов:
an=(an-k+an+k):2.
References[edit]
- Kleene, Stephen Cole (2002) . Mathematical Logic. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42533-7.
- Lévy, Azriel (2002) . Basic set theory. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42079-0.
- Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999) . Algebra (Third ed.). Providence, Rhode Island: American Mathematical Society.
- Mazur, Barry (12 June 2007), When is one thing equal to some other thing? (PDF)
- Mendelson, Elliott (1964). Introduction to Mathematical Logic. New York: Van Nostrand Reinhold.
- Rosser, John Barkley (2008) . Logic for mathematicians. Mineola, New York: Dover Publication. ISBN 978-0-486-46898-3.
- Shoenfield, Joseph Robert (2001) . Mathematical Logic (2nd ed.). A K Peters. ISBN 978-1-56881-135-2.
Свойства равенства
Равенство в математике обладает несколькими важными свойствами. Рассмотрим основные из них:
- Симметричность: Если a равно b, то b равно a. Это означает, что порядок элементов в равенстве не имеет значения. Например, если 2 + 3 = 5, то и 5 = 2 + 3.
- Транзитивность: Если a равно b и b равно c, то a равно c. Это свойство позволяет совершать преобразования с равенствами, например, если a = b и b = c, то мы можем утверждать, что a = c.
- Рефлексивность: Любой элемент a равен самому себе. Иными словами, a = a всегда верно для любого элемента a. Например, 5 = 5.
- Идемпотентность: Если a равно b, то a + a равно b + b. Это свойство позволяет заменять одинаковые выражения на равные. Например, если a = b, то a + a = b + b.
- Сочетательность: Если a равно b, то a + c равно b + c и c + a равно c + b. Это означает, что при сложении или умножении на одну и ту же величину, оба равенства сохраняются.
- Обратимость: Если a равно b, то a — c равно b — c и a/c равно b/c. Это свойство позволяет отменять или противопоставлять операции, выполняемые с обоими сторонами равенства.