Великая и малая теоремы ферма, формула и примеры

Приложения

Псевдопростые числа Ферма и тестирование на простоту

Малая теорема Ферма может быть использована для тестирования числа на простоту: если ( a p − a ) {displaystyle (a^{p}-a)} не делится на p {displaystyle p} , то p — составное число. Однако обращение малой теоремы Ферма в общем случае неверно: если a {displaystyle a} и p {displaystyle p} — взаимно простые числа и a p − 1 − 1 {displaystyle a^{p-1}-1} делится на p, то число p {displaystyle p} может быть как простым, так и составным. В случае, когда p {displaystyle p} является составным, оно называется псевдопростым Ферма по основанию a.

К примеру, китайская гипотеза утверждает, что p {displaystyle p} является простым числом тогда и только тогда, когда 2 p ≡ 2 ( mod p ) {displaystyle 2^{p}equiv 2{pmod {p}}} . Здесь прямое утверждение о том, что если p {displaystyle p} простое, то 2 p ≡ 2 ( mod p ) {displaystyle 2^{p}equiv 2{pmod {p}}} , является частным случаем малой теоремы Ферма. Обратное же утверждение о том, что если 2 p ≡ 2 ( mod p ) {displaystyle 2^{p}equiv 2{pmod {p}}} , то p {displaystyle p} простое, есть частный случай обращения малой теоремы Ферма. Это обращение ложно: Саррус в 1820 году нашёл, что число N = 2 341 − 1 − 1 {displaystyle N=2^{341-1}-1} делится на 341 {displaystyle 341} , так как N {displaystyle N} делится на 2 10 − 1 = 3 ⋅ 341 {displaystyle 2^{10}-1=3cdot 341} . Однако 341 {displaystyle 341} — составное число: 341 = 11 ⋅ 31 {displaystyle 341=11cdot 31} . Таким образом, 341 — псевдопростое число по основанию 2.

В общем случае обращение малой теоремы Ферма также не выполняется. Контрпримером в общем случае являются числа Кармайкла: это числа p, являющиеся псевдопростыми по основанию a для всех a, взаимно простых с p. Наименьшим из чисел Кармайкла является 561.

Ввиду того, что обращение малой теоремы Ферма неверно, выполнение её условия не гарантирует что p — простое число. Тем не менее малая теорема Ферма лежит в основе теста Ферма на простоту. Тест Ферма является вероятностным тестом на простоту: если теорема не выполняется, то число точно составное, а если выполняется — то число простое с некоторой вероятностью. Среди других вероятностных методов можно отметить: тест Соловея — Штрассена и тест Миллера — Рабина, последний в некоторой степени опирается на малую теорему Ферма. Также существует и детерминированный алгоритм: Тест Агравала — Каяла — Саксены.

Кроме того, справедливы следующие два утверждения. Если пара (2, n) удовлетворяют сравнению a n − 1 ≡ 1 ( mod n ) {displaystyle a^{n-1}equiv 1{pmod {n}}} , то и пара чисел ( 2 , 2 n − 1 ) {displaystyle (2,2^{n}-1)} также ему удовлетворяют. Для любого простого числа n и любого a > 2 такого, что ( a 2 − 1 , n ) = 1 {displaystyle (a^{2}-1,n)=1} , значение a 2 n − 1 a 2 − 1 {displaystyle {frac {a^{2n}-1}{a^{2}-1}}} является псевдопростым числом Ферма по основанию a.

Смерть гипотезы Ферма. Рождение теоремы

Прошло еще 8 лет. Одному прогрессивному английскому профессору математики из Принстонского университета
(Нью-Джерси, США) Эндрю Уайлсу показалось, что он нашел доказательство гипотезы Таниямы.
Если гений не лысый, то, как правило, взъерошенный. Уайлс — взъерошенный, следовательно, похож на гения.
Войти в Историю, конечно, заманчиво и очень хотелось, но Уайлс, как настоящий ученый, не обольщался,
понимая, что тысячам ферматистов до него тоже мерещились призрачные доказательства.
Поэтому прежде, чем предоставить свое доказательство миру, он тщательно проверял его сам,
но осознавая, что может иметь субъективную предвзятость, привлекал к проверкам также и других, например,
под видом обычных математических заданий он иногда подкидывал смышленым аспирантам различные фрагменты своего доказательства.
Позже Уайлс признался, что никто, кроме его жены не знал, что он работает над доказательством Великой теоремы.

И вот после долгих проверок и тягостных раздумий, Уайлс наконец-то набрался храбрости,
а может, как ему самому казалось, наглости и 23 июня 1993 года
на математической конференции по теории чисел в Кембридже объявил о своем великом достижении.
Это, конечно, была настоящая сенсация. Никто не ожидал такой смелости от почти неизвестного математика.
Тут же появилась пресса. Всех терзал жгучий интерес.
Стройные формулы, как штрихи прекрасной картины, предстали перед любопытными взорами собравшихся.
Настоящие математики, они ведь такие — смотрят на всякие уравнения и видят в них не цифры, константы и переменные,
а все равно, что стихи или музыку слышат, точно так же, как мы, читая книгу, смотрим на буквы,
но вроде бы как их и не замечаем, а сразу воспринимаем смысл текста.

Презентация доказательства, казалось, прошла успешно — ошибок в нем не нашли — никто не услышал ни одной фальшивой ноты.
Все решили, что произошло-таки масштабное событие: доказана гипотеза Таниямы, а следовательно и Великая теорема Ферма.
Но примерно через два месяца, за несколько дней до того, как рукопись доказательства Уайлса должна была пойти в тираж,
в ней было обнаружено несоответствие (Кац, коллега Уайлса, заметил, что один фрагмент рассуждений
опирался на «систему Эйлера«, но то, что соорудил Уайлс, такой системой не являлось),
хотя в целом приемы Уайлса были признаны интересными, изящными и новаторскими.

Уайлс проанализировал ситуацию и решил, что проиграл.
Можно себе представить, как он всем своим существом прочувствовал, что значит «от великого до смешного один шаг».
«Хотел войти в Историю, а вместо этого вошел в состав команды клоунов и комедиантов —
самонадеянных ферматистов» — примерно такие мысли изматывали его в тот тягостный период жизни.
Для него, серьезного ученого-математика, это была трагедия, и он забросил свое доказательство в долгий ящик.

Но вот через год с небольшим, в сентябре 1994 года, во время размышления над тем узким местом доказательства
вместе со своим коллегой Тейлором из Оксфорда, последнего неожиданно осенила мысль,
что «систему Эйлера» можно заменить на теорию Ивасава (раздел теории чисел).
Тогда они попробовали воспользоваться теорией Ивасава, обойдясь без «системы Эйлера», и у них все сошлось.
Исправленный вариант доказательства был отдан на проверку и через год было объявлено,
что в нем все абсолютно четко, без единой ошибки.
Летом 1995 года в одном из первенствующих математических журналов — «Анналы математики» —
было опубликовано полное доказательство гипотезы Таниямы (следовательно, Великой (Большой) теоремы Ферма),
которое заняло весь номер — свыше ста листов.

Таким образом, в конце ХХ века весь мир признал, что на 360 году своей жизни Великая теорема Ферма,
которая на самом деле все это время являлась гипотезой, стала-таки доказанной теоремой.
Эндрю Уайлс доказал Великую (Большую) теорему Ферма и вошел в Историю.

Демонстрации

Карл Фридрих Гаусс предпринял несколько демонстраций этой «замечательной теоремы как из-за ее элегантности, так и из-за ее огромной полезности» в своих арифметических исследованиях 1801 года.

По теореме Лагранжа

Второе доказательство Эйлером первого утверждения, взятое Гауссом, переформулированное в современных терминах, состоит в том, чтобы показать, что порядок t элемента a в является делителем порядка p — 1 этого утверждения. группа (это поэтому доказывает теорему Лагранжа в частном случае подгруппы генерируемой по ). Он немедленно выводит маленькую теорему Ферма, возводя два члена уравнения a t ≡ 1 (mod p ) в степень: целое число ( p — 1) / t . Результат и его доказательство справедливы для любой конечной группы (здесь мультипликативная группа (ℤ / p ℤ) * порядка p — 1).

Демонстрация Эйлера и Лейбница

Доказательство Эйлера и Лейбница второго утверждения использует биномиальную формулу Ньютона и рассуждения по индукции по целому числу a , которое считается положительным без потери общности . Их рассуждения (переформулированные здесь на языке сравнений, введенных позже Гауссом) таковы:

• Предложение a p ≡ a mod p верно при a = 1.
• Любое целое k удовлетворяет: ( k + 1) p ≡ k p + 1 mod p .

Для этого достаточно развернуть выражение ( k + 1) p и заметить, что все биномиальные коэффициенты, кроме первого и последнего, кратны p, поскольку p простое число. Доказательство приведено в .

Наконец, если утверждение верно для a = k, то оно верно и для a = k + 1. Фактически, благодаря предыдущему пункту, есть свидетельство того, что ( k + 1) p ≡ k p + 1 mod p . Если дополнительно k p ≡ k mod p , то ( k + 1) p ≡ ( k + 1) mod p .

Эквивалентность двух утверждений

Если первое утверждение верно, то и второе: a p — a равно произведению a ( a p –1 — 1), следовательно, всегда делится на p , потому что если первый множитель, a , не является, то второй является.

И наоборот, первое утверждение выводится из второго с помощью леммы Евклида  : если a ( a p –1 — 1) делится на p, а если a нет, то a p –1 — 1 делится .

Элементарное арифметическое доказательство

Другое доказательство первого утверждения аналогично (в более простых терминах) доказательству леммы Гаусса  : уловка здесь состоит в том, чтобы вычислить по модулю p двумя способами произведение

НЕТзнак равнов⋅2в⋅3в…(п-1)в{\ Displaystyle N = а \ CDOT 2A \ CDOT 3A \ точки \ влево (р-1 \ вправо) а}.

Доказательство выполняется очень быстро, выполняя вычисления в кольце ℤ / p ℤ , но мы также можем детализировать его, используя только евклидово деление , лемму Евклида и .

Демонстрация

Предположим, что a не делится на p, и обозначим

N произведение a .2 a .3 a .…. ( P — 1) a

r _k остаток от евклидова деления ka на p для любого целого k от 1 до p — 1. Тогда

• Переупорядочив факторы, мы получим N = 1,2. …. ( P- 1). a p –1 = ( p — 1)! а п –1 .
• Кроме того, N ≡ r ₁ . г ₂ . …. r _{p –1} mod p . В самом деле, если в произведении множитель заменяется целым числом, которое сравнимо по модулю p, то новое произведение сравнимо по модулю p со старым. Заменяя в N одну за другой каждую ka на r _k , результат, следовательно, сравним с N по модулю p .
• Или r ₁ . г ₂ . …. r _{p –1} = ( p — 1)! потому что ( r ₁ , r ₂ ,…, r _{p –1} ) является перестановкой (1, 2,…, p — 1). Действительно, 0 ≤ r _k ≤ p — 1 и

no r _k равно нулю, потому что (согласно лемме Евклида) no ka не делится на p  ;

т _к различны по два, потому что если г _я = г _J тогда ( я — J ) делится на р , так что (опять — таки с помощью леммы Евклида) я — J и, таким образом (как — р < я — J < п ) я = j .

Из трех предыдущих пунктов мы делаем вывод: ( p — 1)! a p –1 ≡ ( p — 1)! mod p , другими словами ( p — 1)! ( a p –1 — 1) делится на p . При повторном применении леммы Евклида, мы получаем вывод: а р -1 — 1 делится на р .

Демонстрация двойным счетом

Малую теорему Ферма можно продемонстрировать, подсчитав двумя разными способами количество слов с p- символами в алфавите с a- символами, по крайней мере, с двумя разными символами.

Следствия и обобщения

• Если p {displaystyle p} — простое число, то в поле Z p {displaystyle mathbb {Z} _{p}} выполняется равенство a − 1 = a p − 2 {displaystyle a^{-1}=a^{p-2}} .
• Если p {displaystyle p} — простое число, отличное от 2 и 5, то число 10 p − 1 − 1 {displaystyle 10^{p-1}-1} , в десятичной записи которого присутствуют только цифры 9 {displaystyle 9} , делится на p {displaystyle p} . Отсюда следует, что для любого целого числа N {displaystyle N} , которое не делится ни на 2, ни на 5, можно подобрать число, состоящее только из девяток, которое делится на N {displaystyle N} . Этот факт используется в теории признаков делимости и периодических дробей.
• Малая теорема Ферма позволяет находить простые делители чисел вида a 4 + a 3 + a 2 + a + 1 {displaystyle a^{4}+a^{3}+a^{2}+a+1} и a 2 n + 1 {displaystyle a^{2^{n}}+1} .
• Обобщением малой теоремы Ферма на алгебраические числа является теорема, сформулированная Шёнеманом в 1839 году: пусть a 1 , … , a d {displaystyle a_{1},dots ,a_{d}} — корни нормированного многочлена f ∈ Z {displaystyle fin mathbb {Z} } степени d, а p — простое число. Тогда a 1 p + a 2 p + ⋯ + a d p ≡ a 1 + ⋯ + a d ( mod p ) {displaystyle a_{1}^{p}+a_{2}^{p}+dots +a_{d}^{p}equiv a_{1}+dots +a_{d}{pmod {p}}} .
• Из малой теоремы Ферма следует теорема Вильсона: Натуральное число p > 1 {displaystyle p>1} является простым тогда и только тогда, когда ( p − 1 ) ! + 1 {displaystyle (p-1)!+1} делится на p.

Теорема Лагранжа в теории чисел утверждает, что если многочлен степени n {displaystyle n} делится на простое число p {displaystyle p} при более чем n {displaystyle n} несравнимых по модулю p {displaystyle p} (т. е. имеющих разные остатки при делении на p {displaystyle p} ) значениях переменной x {displaystyle x} , то он делится на p {displaystyle p} при любом значении x {displaystyle x} .

Рассмотрим многочлен

Тогда мы находим:

В силу малой теоремы Ферма все эти числа делятся на простое число p {displaystyle p} , поэтому сравнение G ( x ) ≡ 0 ( mod p ) {displaystyle G(x)equiv 0{pmod {p}}} имеет p − 1 {displaystyle p-1} неконгруэнтных решений. С другой стороны, степень многочлена равна всего лишь p − 2 ; {displaystyle p-2;} отсюда следует, что многочлен G ( x ) {displaystyle G(x)} делится на p {displaystyle p} при всех значениях x , {displaystyle x,} и в частности при x = 0. {displaystyle x=0.}

Значит G ( 0 ) = ≡ 0 ( mod p ) . {displaystyle G(0)=equiv 0{pmod {p}}.}

А если в дополнение к этому доказать, что для всех непростых натуральных n {displaystyle n} , кроме n = 4 {displaystyle n=4} , ( n − 1 ) ! ≡ 0 ( mod n ) {displaystyle (n-1)!equiv 0{pmod {n}}} , то получим доказательство теоремы.

Вклад Пьера Ферма в развитие науки

История математики просто немыслима без вклада ученого-самоучки Пьера Ферма. Но из-за уединенного образа жизни и узкого круга общения его идеи ученые смогли оценить лишь после его смерти и благодаря его сыну Сэмюелю, который в 1870 году начал публиковать наброски и размышления отца.

Ферма и его идеи во многом стали основополагающими для развития новых математических теорий. Его сильной стороной был творческий подход и неограниченность рамками одной дисциплины: Ферма применял алгебраические методы в геометрических задачах, что заложило основания аналитической геометрии. Поэтому справедливо считать, что Ферма, наравне с Декартом, повлиял на формирование аналитической геометрии, а также то, что в своей переписке с Паскалем он заложил основы теории вероятности.

Идеи и подходы Пьера Ферма были настолько неординарными, что его рассуждения и толкования решения задач повлияли на Ньютона и даже Галилея, а другой французский математик Марен Мерсенн в своей книге «Универсальная гармония» вообще назвал Ферма математическим гением.

Кстати, если вам интересно, как развить мышление, лучше понимать абстракции и удерживать в голове длинные формулы, замечать закономерности и создавать новые идеи, предлагаем вам попробовать наши программы «Мнемотехники» и «ТРИЗ на практике». И пусть напрямую с математикой они не связаны, зато представленная в них информация, упражнения и задания прекрасно подходят для повышения уровня интеллекта, а его, как вы знаете, можно использовать в любой области.

Желаем удачи и до встречи на уроках наших курсов!

Доказательство по индукции[]

Сначала докажем теорему для любого простого p{\displaystyle p} и натурального a{\displaystyle a} (напомним, что теорема верна для всех целых a{\displaystyle a}). Доказываем индукцией по a{\displaystyle a} при помощи бинома Ньютона.

База. Если a=1{\displaystyle a=1}, то ap−a={\displaystyle a^{p}-a=0} и делится на p{\displaystyle p}.

Переход. Пусть утверждение верно для a=k{\displaystyle a=k}. Докажем его для a=k+1{\displaystyle a=k+1}.

ap−a=(k+1)p−(k+1)=kp+1+∑l=1p−1(pl)kp−l−k−1=kp−k+∑l=1p−1(pl)kp−l{\displaystyle a^{p}-a=(k+1)^{p}-(k+1)=k^{p}+1+\sum _{l=1}^{p-1}{p \choose l}k^{p-l}-k-1=k^{p}-k+\sum _{l=1}^{p-1}{p \choose l}k^{p-l}}

Заметим, что kp−k{\displaystyle k^{p}-k} делится на p{\displaystyle p} по предположению индукции. Что же касается остальных слагаемых, то (pl)=p!l!(p−l)!{\displaystyle {p \choose l}={p! \over l!(p-l)!}}. Для 1≤l≤p−1{\displaystyle 1\leq l\leq p-1}, числитель этой дроби делится на p{\displaystyle p}, а знаменатель — не делится, следовательно, (pl){\displaystyle {p \choose l}} делится на p{\displaystyle p}. Таким образом, вся сумма kp−k+∑l=1p−1(pl)kp−l{\displaystyle k^{p}-k+\sum _{l=1}^{p-1}{p \choose l}k^{p-l}} делится на p{\displaystyle p}.

Теорема доказана для всех натуральных a{\displaystyle a}. В случае a={\displaystyle a=0} утверждение теоремы очевидно. Для отрицательных же a{\displaystyle a} и нечетных p{\displaystyle p} теорему легко доказать подстановкой натурального b=−a{\displaystyle b=-a}. Для отрицательных a{\displaystyle a} и p=2{\displaystyle p=2} истинность теоремы следует из a2−a=a(a−1){\displaystyle a^{2}-a=a(a-1)}, как было показано при разборе частных случаев.

Великая теорема Ферма

Вы, наверное, помните со школьных времен теорему Пифагора: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Возможно, вы помните и классический прямоугольный треугольник со сторонами, длины которых соотносятся как 3 : 4 : 5. Для него теорема Пифагора выглядит так:

32 + 42 = 52

Это пример решения обобщенного уравнения Пифагора в ненулевых целых числах при n = 2. Великая теорема Ферма (ее также называют «Большой теоремой Ферма» и «Последней теоремой Ферма») состоит в утверждении, что при значениях n > 2 уравнения вида xn + yn = zn не имеют ненулевых решений в натуральных числах.

История Великой теоремы Ферма весьма занимательна и поучительна, и не только для математиков. Пьер де Ферма внес вклад в развитие самых различных областей математики, однако основная часть его научного наследия была опубликована лишь посмертно. Дело в том, что математика для Ферма была чем-то вроде хобби, а не профессиональным занятием.

Он переписывался с ведущими математиками своего времени, однако публиковать свои работы не стремился. Научные труды Ферма в основном обнаружены в форме частной переписки и обрывочных записей, часто сделанных на полях различных книг. Именно на полях (второго тома древнегреческой «Арифметики» Диофанта. — Прим.

переводчика) вскоре после смерти математика потомки и обнаружили формулировку знаменитой теоремы и приписку:

«Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля эти для него слишком узки».

Увы, судя по всему, Ферма так и не удосужился записать найденное им «чудесное доказательство», и потомки безуспешно искали его три с лишним века. Из всего разрозненного научного наследия Ферма, содержащего немало удивительных утверждений, именно Великая теорема упорно не поддавалась решению.

Кто только не брался за доказательство Великой теоремы Ферма — всё тщетно! Другой великий французский математик, Рене Декарт (René Descartes, 1596–1650), называл Ферма «хвастуном», а английский математик Джон Уоллис (John Wallis, 1616–1703) — и вовсе «чертовым французом». Сам Ферма, правда, все-таки оставил после себя доказательство своей теоремы для случая n = 4.

В XIX веке новые методы теории чисел позволили доказать утверждение для многих целых чисел в пределах 200, однако, опять же, не для всех.

В 1908 году была учреждена премия в размере 100 000 немецких марок за решение этой задачи. Призовой фонд был завещан германским промышленником Паулем Вольфскелем (Paul Wolfskehl), который, согласно преданию, собирался покончить жизнь самоубийством, но так увлекся Великой теоремой Ферма, что передумал умирать.

С появлением арифмометров, а затем и компьютеров планка значений n стала подниматься всё выше — до 617 к началу Второй мировой войны, до 4001 в 1954 году, до 125 000 в 1976 году.

В конце XX столетия мощнейшие компьютеры военных лабораторий в Лос-Аламосе (Нью-Мексико, США) были запрограммированы на решение задачи Ферма в фоновом режиме (по аналогии с режимом экранной заставки персонального компьютера).

Таким образом удалось показать, что теорема верна для невероятно больших значений x, y, z и n, но строгим доказательством это послужить не могло, поскольку любые следующие значения n или тройки натуральных чисел могли опровергнуть теорему в целом.

Наконец в 1994 году английский математик Эндрю Джон Уайлс (Andrew John Wiles, р. 1953), работая в Принстоне, опубликовал доказательство Великой теоремы Ферма, которое, после некоторых доработок, было признано исчерпывающим.

Доказательство заняло более ста журнальных страниц и основывалось на использовании современного аппарата высшей математики, который в эпоху Ферма разработан не был.

Впрочем, не исключено, что все-таки имеется какое-то короткое и изящное доказательство Великой теоремы Ферма, которое никто до сих пор не нашел. С уверенностью можно утверждать лишь одно: сегодня мы точно знаем, что теорема верна. Большинство математиков, я думаю, безоговорочно согласятся с Эндрю Уайлсом, который заметил по поводу своего доказательства: «Теперь наконец мой ум спокоен».

Удивительная связь двух гипотез

Прошло еще примерно 15 лет. В 1985 году произошло одно ключевое событие в жизни математики,
которое объединило экстравагантную японскую гипотезу с Великой теоремой Ферма.
Немец Герхард Фрей выдвинул любопытное утверждение, похожее на теорему:
«Если будет доказана гипотеза Таниямы, то, следовательно, будет доказана и Великая теорема Ферма».
Другими словами, теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы.
Фрей методом хитроумных математических преобразований свел уравнение Ферма к виду уравнения эллиптической кривой
(той самой, которая фигурирует и в гипотезе Таниямы), более-менее обосновал свое предположение, но доказать его не смог.
И вот буквально через полтора года (1986) профессор калифорнийского университета Кеннет Рибет четко доказал теорему Фрея.

Что же теперь получилось? Теперь оказалось, что, так как теорема Ферма уже точно является следствием гипотезы Таниямы,
нужно всего-навсего доказать последнюю, чтобы сорвать лавры покорителя легендарной теоремы Ферма.
Но гипотеза оказалась непростой. К тому же у математиков за столетия появилась аллергия на теорему Ферма,
и многие из них решили, что справиться с гипотезой Таниямы также будет практически невозможно.

References[edit]

• Albert, A. Adrian (2015) , Modern higher algebra, Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-54462-8
• Burton, David M. (2011), The History of Mathematics / An Introduction (7th ed.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-338315-6
• Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77171950
• Mahoney, Michael Sean (1994), The Mathematical Career of Pierre de Fermat, 1601–1665 (2nd ed.), Princeton University Press, ISBN 978-0-691-03666-3
• Ore, Oystein (1988) , Number Theory and Its History, Dover, ISBN 978-0-486-65620-5
• Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 71081766

История

Первое известное появление формулировки этой теоремы приходит из письма Ферма в Frénicle де Бесси датированнойОктябрь 1640, который был опубликован его сыном Самуилом в 1679 году в опере Вариа . Мы можем прочесть следующее: «Любое простое число безошибочно измеряет одну из степеней — 1 любой прогрессии, а показатель этой степени кратен данному простому числу — 1; и после того, как мы нашли первую степень, которая удовлетворяет вопрос, все те, чьи показатели кратны показателю первой степени, по-прежнему удовлетворяют вопросу. » , То есть в современных условиях, для любого простого числа р и любого числа в (простого с р ), существует целое число т такое , что р делит т — 1, а, т является наименьшее целое число , удовлетворяющее этому, т делит р — 1 и все кратные п о т проверить , что р делит с п — 1.

Мы немедленно выводим утверждение, данное во введении, и, наоборот, легко выводим из него более точное утверждение, данное Ферма. Как обычно в своей переписке, Ферма не дает никаких доказательств этого результата, и даже, как он иногда делает, указаний на него, но уточняет: «И это утверждение обычно верно во всех прогрессиях и во всех числах. из которых я пришлю вам демонстрацию, если я не побоюсь, что это займет слишком много времени. »

Доказательства теорем в это время было принято не публиковать. Таким образом, Лейбниц написал демонстрацию около 1683 года, но не опубликовал ее. В 1741, 1750 и 1761 годах Эйлер опубликовал два, в которых используется метод повторения и развитие бинома , и один, в котором изучается распределение остатков по модулю рассматриваемого простого числа. Находят его в 1801 году в Disquisitiones Arithmeticae из Гаусс . Он также резюмирует там первую демонстрацию Эйлера и дает его более быструю версию, используя развитие полинома .

Гаусс упоминает в 1801 году, что «эту замечательную теорему, как по своей элегантности, так и по огромной полезности, обычно называют теоремой Ферма по имени изобретателя». Мы находим название маленькой теоремы Ферма ( kleine Fermatsche Satz ) в работе Курта Хензеля 1913 года.

Молодой американский студент , цит среди других Диксоном, утверждали , что теорема уже была известна в Китае 2000 лет до Ферма, в частном случае , а = 2, сопровождающееся взаимным — тривиально ложно. Эта «  китайская гипотеза  (не)  » — всего лишь городская легенда из-за ошибки перевода, которая усиливалась и искажалась по цитатам .