Прямоугольная и равнобедренная трапеция
Существует два частных вида трапеции, обладающих особыми свойствами. Первый из них – это прямоугольная трапеция. Она отличается тем, что один из ее углов равен 90°.
Здесь∠А = 90°. Легко догадаться, что на самом деле если у трапеции хоть один угол составляет 90°, то найдется и ещё один угол, также равный 90°. В данном случае это ∠В. Сумма ∠A и ∠D должна составлять 180°, ведь они односторонние. Именно поэтому из условия
Задание. Основания прямоугольной трапеции имеют длину 10 и 15 см, а один из углов составляет 45°. Вычислите длину ее наименьшей боковой стороны?
Решение:
Пусть основания заданной трапеции – это отрезки АD и ВС, ∠А = 45°, ∠D = ∠C = 90°. Опустим из точки В перпендикуляр ВН на АD:
Очевидно, что ВН||CD, ведь эти отрезки перпендикулярны одной прямой АD. Получается, что в четырехуг-ке НВСD противоположные стороны попарно параллельны, то есть он является параллелограммом. Отсюда вытекает равенство его сторон:
Нашли СD, но является ли этот отрезок именно меньшей боковой стороной трапеции? Для ответа на этот вопрос вернемся к ∆АВН. В нем АВ – это гипотенуза, а потому она заведомо больше катета ВН, то есть больше 5 см. Значит, именно CD – это меньшая боковая сторона.
Ответ: 5 см.
Ещё один особый вид трапеции – равнобедренная трапеция. Она отличается тем, что у неё длины боковых сторон одинаковы.
Равнобедренная трапеция обладает рядом интересных свойств. Начнем с того, что углы при каждом из ее оснований равны.
В итоге мы получили четырехуг-к АВСН, в котором АВ||CН, ВС||АН. Это значит, что он является параллелограммом, и тогда
Отсюда сразу же вытекает и второе свойство равнобедренной трапеции – у неё равные диагонали.
Доказывается этот факт с помощью :
Действительно, треуг-ки ∆АВD и ∆АСD равны, ведь
Оказывается, есть признаки, которые позволяют определить, является ли трапеция равнобедренной. Сформулируем первый из них:
Для доказательства снова построим в трапеции АВСD такую прямую СН, что СН||АВ:
Тогда
Несколько сложнее доказать другую теорему:
Пусть в трапеции АВCD одинаковы диагонали ВD и АС. Для определенности будем считать, что большее основание – это АD. Опустим из точек В и С перпендикуляры ВЕ и СF на АD:
Ясно, что эти перпендикуляры параллельны друг другу, ведь они перпендикулярны третьей прямой. Тогда в ВСFЕ противоположные стороны параллельны, то есть эта фигура – параллелограмм. Отсюда вытекает, что
BE = CF
Далее рассмотрим ∆ВЕD и ∆АСF. Они оба являются прямоугольными, у них одинаковы гипотенузы (АС = ВD), а также и катеты ВЕ и СF. Значит, эти треуг-ки равны, следовательно,
Задание. Один из углов равнобедренной трапеции составляет 55°. Найдите все остальные углы этой трапеции.
Решение. Проще всего найти ∠D, ведь углы при основании равнобедренной трапеции одинаковы:
Заметим одно важное обстоятельство. Если достроить равнобедренную трапецию до треугольника, продолжив ее боковые стороны, то получится равнобедренный треуг-к:
Действительно, если АВСD – равнобедренная трапеция, то
∠А = ∠D
Пусть продолжения боковых сторон пересеклись в некоторой точке Е. Тогда в ∆АЕD два угла, ∠А и ∠D, окажутся равными, следовательно, ∆АЕD– равнобедренный.
Что такое равнобедренная трапеция
Равнобедренная трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны и равны между собой. Другие две стороны называются боковыми сторонами, а углы, образованные боковыми сторонами и основаниями трапеции, называются боковыми углами. В равнобедренной трапеции боковые углы также равны между собой.
Основания равнобедренной трапеции — это параллельные стороны, которые не равны друг другу. Длина более короткого основания называется меньшим основанием, а более длинного основания — большим основанием. Высота равнобедренной трапеции — это отрезок, проведенный перпендикулярно основаниям, как правило, от середины большего основания до противоположнему углу.
Свойства равнобедренной трапеции:
- Две стороны параллельны и равны между собой.
- Боковые углы равны, а сумма всех углов равна 360 градусов.
- Боковые стороны равны между собой.
- Сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований.
- Высота проведена из середины большего основания, а также перпендикулярно основаниям.
Пример равнобедренной трапеции:
В приведенном примере равнобедренной трапеции, сторона AB параллельна и равна стороне CD, в то время как стороны BC и AD — боковые стороны, равные между собой. Боковые углы напротив боковых сторон тоже равны.
| A | ||
| D | C | |
| B |
Свойства диагоналей трапеции
- Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
- Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения — подобны
- Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции — равновеликие (имеют одинаковую площадь)
- Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
- Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
- Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b — основания трапеции
Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции
Соединим середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего у нас появится отрезок LM.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии трапеции.
Данный отрезок параллелен основаниям трапеции.
Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.
LM = (AD — BC)/2
или
LM = (a-b)/2
Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции
Треугольники, которые образованы основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции — являются подобными.
Треугольники BOC и AOD являются подобными. Поскольку углы BOC и AOD являются вертикальными — они равны.
Углы OCB и OAD являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей прямой AC, следовательно, они равны.
Углы OBC и ODA равны по той же самой причине (внутренние накрест лежащие).
Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.
Что из этого следует?
Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же значением.
Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции
Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции AB и CD. Это — треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон у данных треугольников могут быть совершенно различны, но площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны, то есть треугольники являются равновеликими.
Свойства трапеции, достроенной до треугольника
Если продлить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, которая проходит через середины оснований.
Таким образом, любая трапеция может быть достроена до треугольника. При этом:
- Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
- Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника
Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции
Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то соотношенее составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения диагоналей ( KO/ON ) будет равно соотношению оснований трапеции ( BC/AD ).
KO / ON = BC / AD
Данное свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).
Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции
Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:
- Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
- Длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна KM = 2ab/(a + b)
Трапеция.
Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие — боковыми сторонами.
Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны.
Трапеция называется прямоугольной, если у нее два угла прямые.
Основные свойства трапеции:
- Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°.
- Средняя линия трапеция параллельна её основаниям и равна их полусумме.
- В любой трапеции следующие точки лежат на одной прямой: точка пересечения продолжений боковых сторон, середины оснований и точка пересечения диагоналей.
- Треугольники, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.
- Треугольники, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.
- Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.
- Если сумма углов, при любом основании трапеции, равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
- Биссектриса любого угла трапеции отсекает от нее равнобедренный треугольник.
- Биссектрисы углов, при боковой стороне трапеции, перпендикулярны.
- Если в трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
- Отрезок, заключенный между боковых сторон трапеции, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения ее диагоналей — среднее гармоническое оснований трапеции.
Свойства равнобедренной трапеции:
- Диагонали равны.
- Углы при основании равны.
- Сумма противоположных углов равна 180°.
- Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
- Высота, опущенная из вершины тупого угла равнобедренной трапеции, делит большее основание трапеции на два отрезка, больший из которых равен полусумме оснований, а меньший — полуразности оснований.
Описанная трапеция:
- Если вокруг трапеции можно описать окружность, то трапеция равнобедренная.
- Радиус вписанной окружности равен среднему геометрическому длин отрезков, на которые радиус вписанной окружности делит боковую сторону, точкой касания.
- Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции.
Вписанная трапеция:
- Трапецию можно вписать в окружность,если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.
Площадь трапеции:
- Формула площади трапеции через основания и высоту: S=0,5·(a+b)·h.
- Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними: S=0,5·d1·d2·sinφ.
Свойства равнобедренной трапеции:
Равнобедренная трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны равны.
Основные свойства равнобедренной трапеции:
- Углы с основаниями равны. В равнобедренной трапеции углы напротив оснований равны друг другу.
- Диагонали равны. Диагонали равнобедренной трапеции равны между собой.
- Основания параллельны. Две основания равнобедренной трапеции параллельны друг другу.
- Медиана и высота перпендикулярны. Медиана и высота равнобедренной трапеции перпендикулярны друг другу.
Эти свойства позволяют проводить ряд различных геометрических заключений и доказательств в отношении равнобедренных трапеций.
Примеры равнобедренных трапеций:
- Трапеция с боковыми сторонами длиной 5 и основаниями 7 и 7.
- Трапеция с боковыми сторонами длиной 3 и основаниями 4 и 4.
- Трапеция с боковыми сторонами длиной 9 и основаниями 10 и 10.
Изучение свойств равнобедренной трапеции является важным элементом геометрии и позволяет решать различные задачи, связанные с этим классом фигур.
Основные понятия
Рисунок 1. Классическая форма трапеции.
![Math-public:trapeciya [президентский фмл №239]](https://rwvt.ru/wp-content/uploads/a/6/7/a67f6dcb12502cb7035e98a50b9bef1e.jpeg)
Трапеция по своей сути является четырехугольником, состоящим из двух отрезков которые параллельны, и двух других, которые не параллельны. Говоря об этой фигуре всегда необходимо помнить о таких понятиях как: основания, высота и средняя линия. Два отрезка четырехугольника которые параллельны друг другу называются основаниями (отрезки AD и BC). Высотой называют отрезок перпендикулярный каждому из оснований (EH), т.е. пересекаются под углом 90° (как это показано на рис.1).
Если сложить все градусные меры внутренних углов, то сумма углов трапеции будет равна 2π (360°), как и у любого четырехугольника. Отрезок, концы которого являются серединами боковин (IF) именуют средней линей. Длина этого отрезка составляет сумму оснований BC и AD деленную на 2.
Существует три вида геометрической фигуры: прямая, обычная и равнобокая. Если хоть один угол при вершинах основания будет прямой (например, если ABD=90°), то такой четырехугольник называют прямой трапецией. Если боковые отрезки равны (AB и CD), то она называется равнобедренной (соответственно углы при основаниях равны).
Определение высоты, и способы как её найти
Как уже отмечалось ранее, высота представляет собой отрезок, который пересекает основания под углом 2Пи/4 и является кратчайшим расстоянием между ними. Перед тем как найти высоту трапеции, следует определиться какие даны входные значения. Для лучшего понимания рассмотрим задачу. Найти высоту трапеции при условии, что основания равны 8 и 28 см, боковые стороны 12 и 16 см соответственно.
Рисунок 5. Решение задачи на поиск высоты трапеции
Решение:
Проведем отрезки DF и CH под прямыми углами к основанию AD.Согласно определению, каждый из них будет являться высотой заданной трапеции (рис.5). В таком случае, зная длину каждой боковины, при помощи теоремы Пифагора, найдем чему равна высота в треугольниках AFD и BHC.
Сумма отрезков AF и HB равна разности оснований, т.е.:
Пускай длина AF будет равняться x cм, тогда длина отрезка HB= (20 – x)см. Как было установлено, DF=CH , отсюда .
Тогда получим следующее уравнение:
Получается, что отрезок AF в треугольнике AFD равен 7,2 см, отсюда вычислим по той же теореме Пифагора высоту трапеции DF:
Т.е. высота трапеции ADCB будет равна 9,6 см. Как можно убедиться, что вычисление высоты процесс больше механический, и основывается на вычислениях сторон и углов треугольников. Но, в ряде задач по геометрии, могут быть известны только градусы углов, в таком случае вычисления будут производиться через соотношение сторон внутренних треугольников.
Важно! В сущности трапецию часто рассматривают как два треугольника, или как комбинацию прямоугольника и треугольника. Для решения 90% всех задач, встречаемых в школьных учебниках, свойства и признаки этих фигур
Большинство формул, для этого ГМТ, выведены полагаясь на «механизмы» для указанных двух типов фигур.
Шаги
1
По известным боковым сторонам и основаниям
- 1
Запишите формулу для вычисления периметра трапеции.
Формула: P = T + B + L + R - 2
В формулу подставьте известные длины сторон.
Не используйте этот метод, если не даны значения всех четырех сторон.- Например, верхнее основание трапеции равно 2 см, нижнее основание равно 3 см, а каждая боковая сторона равна 1 см. В этом случае формула примет следующий вид: P = 2 + 3 + 1 + 1
3
Сложите длины сторон.
Так вы найдете периметр трапеции.- В нашем примере: P = 2 + 3 + 1 + 1
2
По известным высоте, боковым сторонам и верхнему основанию- 2
Обозначьте каждую высоту.
- 3
Эта часть равна верхнему основанию (то есть верхней стороне прямоугольника), так как противоположные стороны прямоугольника равны. Не используйте этот метод, если не дано значение верхнего основания. - 4
Формула: a 2 + b 2 = c 2 - 5
Боковую сторону трапеции подставьте вместо c
6
Возведите в квадрат известные значения.
Затем при помощи вычитания обособьте переменную b
7
Извлеките квадратный корень, чтобы найти b .) Вы найдете основание первого прямоугольного треугольника. Напишите найденное значение под основанием соответствующего треугольника.
-
В нашем примере: b 2 = 45
8
Найдите неизвестную сторону второго прямоугольного треугольника.
Для этого запишите теорему Пифагора для второго треугольника и действуйте так, как описано выше. Если дана равнобедренная трапеция, у которой боковые стороны равны, то два прямоугольных треугольника являются равными, то есть любая сторона одного треугольника равна соответствующей стороне другого.
-
Например, если вторая боковая сторона трапеции равна 7 см, то формула запишется так: a 2 + b 2 = c 2
9
Периметр любого многоугольника равен сумме всех его сторон: P = T + B + L + R
3
По известным высоте, основаниям и нижним углам -
1
Разбейте трапецию на прямоугольник и два прямоугольных треугольника.
Если одна сторона трапеции перпендикулярна основаниям, вы не сможете получить два прямоугольных треугольника. В этом случае боковая сторона, перпендикулярная основаниям, равна высоте, а трапеция разбивается на прямоугольник и один прямоугольный треугольник.
- 2
- В нашем примере: P = 2 + 3 + 1 + 1
- Например, верхнее основание трапеции равно 2 см, нижнее основание равно 3 см, а каждая боковая сторона равна 1 см. В этом случае формула примет следующий вид: P = 2 + 3 + 1 + 1
Для этого из каждой вершины трапеции проведите высоту.
2
Обозначьте каждую высоту.
Например, высота трапеции равна 6 см. Из вершин трапеции проведите две высоты (к нижнему основанию). Возле каждой высоты напишите «6 см» (без кавычек).
Так как высоты являются противоположными сторонами прямоугольника, они равны.
3
Обозначьте среднюю часть нижнего основания (она является нижней стороной прямоугольника).
Например, если верхнее основание трапеции равно 6 см, то средняя часть нижнего основания также равна 6 см.
Эта часть равна верхнему основанию (то есть верхней стороне прямоугольника), так как противоположные стороны прямоугольника равны.
4
Напишите функцию (формулу) синуса угла первого прямоугольного треугольника.
Функция: sin θ = B H
5
В формулу синуса подставьте известные величины.
Вместо противоположной стороны подставьте высоту треугольника. Вы найдете гипотенузу, то есть боковую сторону трапеции.
- Например, если нижний угол трапеции равен 35 градусов, а высота треугольника равна 6 см, то формула запишется так: sin (35) = 6 H
6
Найдите синус угла.
Это делается при помощи научного калькулятора, а именно клавиши SIN. Найденное значение подставьте в формулу.- При помощи калькулятора вы найдете, что синус угла в 35 градусов приблизительно равен 0,5738. Таким образом, формула примет следующий вид: 0 , 5738 = 6 H
7
Найдите переменную H.
Для этого каждую сторону уравнения (формулы) умножьте на Н, а затем каждую сторону уравнения разделите на синус угла. Или просто разделите высоту треугольника на синус угла.- В нашем примере: 0 , 5738 = 6 H
8
Найдите гипотенузу второго прямоугольного треугольника.
Напишите функцию (формулу) синуса угла второго прямоугольного треугольника: sin θ = B H
9
Запишите теорему Пифагора для первого прямоугольного треугольника.
Формула: a 2 + b 2 = c 2
10
В формулу подставьте известные величины первого треугольника.
Боковую сторону трапеции подставьте вместо c
11
Найдите b
12
Найдите основание второго прямоугольного треугольника.
Для этого воспользуйтесь теоремой Пифагора (a 2 + b 2 = c 2
13
Сложите значения всех сторон трапеции.
Периметр любого многоугольника равен сумме всех его сторон: P = T + B + L + R или треугольник 90-45-45) существуют формулы, при помощи которых можно найти неизвестные стороны без использования функции синуса или теоремы Пифагора.
- Чтобы найти синус угла, воспользуйтесь научным калькулятором – введите угол, а затем нажмите клавишу SIN. Или используйте тригонометрические таблицы.
- Калькулятор
- Карандаш
- Бумага
- В нашем примере: 0 , 5738 = 6 H
- При помощи калькулятора вы найдете, что синус угла в 35 градусов приблизительно равен 0,5738. Таким образом, формула примет следующий вид: 0 , 5738 = 6 H
Равнобедренная трапеция: определение, свойства и примеры
Равнобедренная трапеция — это четырехугольник, у которого две пары сторон параллельны, и две боковые стороны имеют одинаковую длину. В равнобедренной трапеции основания образуют углы, являющиеся прямыми, а вершины расположены на противоположных сторонах.
Основные свойства равнобедренной трапеции:
- Две стороны трапеции, называемые боковыми сторонами, имеют одинаковую длину.
- Два угла, образованные основаниями и боковыми сторонами, имеют одинаковую меру. Они называются основными углами.
- Сумма углов в равнобедренной трапеции равна 360 градусов.
- Высота трапеции, проведенная из середины одного основания к противоположной стороне, является медианой и равна полусумме оснований.
- Площадь равнобедренной трапеции можно найти по формуле: S = ((a + b) * h) / 2, где a и b — основания, h — высота.
Примеры равнобедренной трапеции:
-
Пример 1: В равнобедренной трапеции стороны длиной 5 см и основания длиной 8 см. Найдем площадь трапеции. Подставляем значения в формулу S = ((a + b) * h) / 2: S = ((8 +
* 5) / 2 = 40 см^2. - Пример 2: В равнобедренной трапеции угол между боковыми сторонами равен 60 градусов. Известна длина основания равная 10 см. Найдем длину боковой стороны трапеции. Используем теорему косинусов: a^2 = b^2 + c^2 — 2bc * cos(A), где a — основание, b и c — боковые стороны, A — угол между ними. Подставляем значения и находим: b^2 = a^2 + c^2 — 2ac * cos(60), b^2 = 10^2 + c^2 — 10c, упрощаем и решаем квадратное уравнение: b^2 — 10c + 100 = 0. Находим корни: b = 10 см и c = 10 см. Таким образом, боковые стороны трапеции равны 10 см.
* 5) / 2 = 40 см^2.Таким образом, равнобедренная трапеция — это четырехугольник с двумя параллельными сторонами, двумя равными боковыми сторонами и углами, образованными основаниями и боковыми сторонами. Она имеет свои особенности и может быть использована в различных математических задачах.
Площадь параллелограмма и трапеции
Правило. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
- Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
- Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения — подобны
- Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции — равновеликие (имеют одинаковую площадь)
- Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
- Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
- Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b — основания трапеции
Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции
Соединим середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего у нас появится отрезок LM.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии трапеции.
Данный отрезок параллелен основаниям трапеции.
Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.
LM = (AD — BC)/2
илиLM = (a-b)/2
Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции
Треугольники, которые образованы основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции — являются подобными.
Треугольники BOC и AOD являются подобными. Поскольку углы BOC и AOD являются вертикальными — они равны.
Углы OCB и OAD являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей прямой AC, следовательно, они равны.
Углы OBC и ODA равны по той же самой причине (внутренние накрест лежащие).
Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.
Что из этого следует?
Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же значением.
Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции
Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции AB и CD. Это — треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон у данных треугольников могут быть совершенно различны, но площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны, то есть треугольники являются равновеликими.
Если продлить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, которая проходит через середины оснований.
Таким образом, любая трапеция может быть достроена до треугольника. При этом:
- Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
- Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника
Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции
Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то соотношенее составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения диагоналей (KO/ON) будет равно соотношению оснований трапеции (BC/AD).
KO / ON = BC / AD
Данное свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).
Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции
Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:
- Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
- Длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна KM = 2ab/(a + b)