§ 2. медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Характеристики равносторонних треугольников

Равные стороны

Равносторонние треугольники представляют собой плоские и замкнутые фигуры, состоящие из трех отрезков прямых линий. Треугольники классифицируются по их характеристикам по отношению к их сторонам и углам; равносторонний был классифицирован с использованием меры его сторон в качестве параметра, так как они абсолютно одинаковы, то есть они конгруэнтны.

Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника, потому что две его стороны являются конгруэнтными. Вот почему все равносторонние треугольники также равнобедренные, но не все равнобедренные треугольники будут равносторонними.

Таким образом, равносторонние треугольники имеют одинаковые свойства равнобедренного треугольника..

Равносторонние треугольники также могут быть классифицированы по амплитуде их внутренних углов как равносторонний угловой треугольник, который имеет три стороны и три внутренних угла с одинаковой мерой. Углы будут резкими, то есть они будут меньше 90или.

компоненты

Треугольники в общем имеют несколько линий и точек, которые составляют его. Они используются для расчета площади, сторон, углов, медианы, биссектрисы, перпендикуляра и высоты.

• Медиана: линия, которая выходит из средней точки одной стороны и достигает противоположной вершины. Три медианы совпадают в точке, называемой центроид или центроид.
• Биссектриса: это луч, который делит угол вершин на два угла одинакового размера, поэтому он известен как ось симметрии. Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии.

В равностороннем треугольнике биссектриса оттянута от вершины угла к его противоположной стороне, разрезая это в его средней точке. Они совпадают в точке, называемой Incentro.

• Посредник: отрезок, перпендикулярный стороне треугольника, который начинается в середине этого. В треугольнике три медиатека, и они совпадают в точке, которая называется circuncentro..
• Высота: линия, идущая от вершины к противоположной стороне, а также эта линия перпендикулярна этой стороне. Все треугольники имеют три высоты, которые совпадают в точке, называемой ортоцентром.

Основное свойство равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны между собой. Из этого основного свойства следует ряд других свойств, которые могут помочь доказать, что треугольник равносторонний.

В частности, равносторонний треугольник является равноугольным. То есть, у него все три угла равны между собой и каждый угол равен 60 градусам. Это свойство можно использовать, чтобы доказать, что треугольник равносторонний, если известны его углы.

Также равносторонний треугольник обладает симметрией относительно осей, и его основания углов находятся на равном расстоянии от центра описанной окружности. Эти свойства можно использовать для доказательства равностороннего треугольника через описанную окружность.

Кроме того, для равностороннего треугольника справедлива формула Пифагора, которая можно использовать для вычисления длины его высоты и медианы. Знание этих свойств также поможет доказать равносторонность треугольника.

• Итак, основное свойство равностороннего треугольника: все его стороны равны между собой. От этого свойства следуют другие свойства, которые можно использовать для доказательства равносторонности треугольника.
• Равносторонний треугольник является равноугольным, его углы равны между собой и равны 60 градусов.
• Он обладает симметрией относительно осей и основания углов находятся на равном расстоянии от центра описанной окружности.
• Для равностороннего треугольника справедлива формула Пифагора, которая помогает вычислить длину его высоты и медианы.

Пример задания

В треугольнике ABC: BR биссектриса, причем AB = 6 см, BC = 4 см, а RC = 2 см. Вычесть длину третей стороны.

Рис. 3. Биссектриса в треугольнике

Решение:

Биссектриса делит сторону треугольника в определенной пропорции. Воспользуемся этой пропорцией и выразим AR. После найдем длину третьей стороны как сумму отрезков, на которые эту сторону поделила биссектриса.

• ${AB\over{BC}} = {AR\over{RC}}$
• $RC={6\over{4}}*2=3 см$

Тогда весь отрезок AC = RC+ AR

AC = 3+2=5 см.

Всего получено оценок: 107.

Среди многочисленных предметов среднеобразовательной школы есть такой, как «геометрия». Традиционно считается, что родоначальниками этой систематической науки являются греки. На сегодняшний день греческую геометрию называют элементарной, так как именно она начала изучение простейших форм: плоскостей, прямых, и треугольников

На последних мы и остановим свое внимание, а точнее на биссектрисе этой фигуры. Для тех, кто уже подзабыл, биссектриса треугольника представляет собой отрезок биссектрисы одного из углов треугольника, который делит его пополам и соединяет вершину с точкой, размещенной на противолежащей стороне

Биссектриса треугольника имеет ряд свойств, которые необходимо знать при решении тех или иных задач:

• Биссектриса угла представляет собой геометрическое место точек, удаленных на равных расстояниях от прилегающих к углу сторон.
• Биссектриса в треугольнике делит противоположную от угла сторону на отрезки, которые пропорциональны прилежащим сторонам. Например, дан треугольник MKB, где из угла K выходит биссектриса, соединяющая вершину этого угла с точкой A на противолежащей стороне MB. Проанализировав данное свойство и наш треугольник, имеем MA/AB=MK/KB.
• Точка, в которой пересекаются биссектрисы всех трех углов треугольника, является центром окружности, которая вписана в этот же треугольник.
• Основание биссектрис одного внешнего и двух внутренних углов находятся на одной прямой, при условии, что биссектриса внешнего угла не является параллельной противоположной стороне треугольника.
• Если две биссектрисы одного то этот

Необходимо отметить, что если заданы три биссектрисы, то построение треугольника по ним, даже с помощью циркуля, невозможно.

Очень часто при решении задач биссектриса треугольника неизвестна, а необходимо определить ее длину. Для решения такой задачи необходимо знать угол, который делится биссектрисой пополам, и прилегающие к этому углу стороны. В этом случае искомая длина определяется как отношение удвоенного произведения прилегающих к углу сторон и косинуса угла деленного пополам к сумме прилегающих к углу сторон. Например, дан все тот же треугольник MKB. Биссектриса выходит из угла K и пересекает противоположную сторону МВ в точке А. Угол, из которого выходит биссектриса, обозначим y. Теперь запишем все то, что сказано словами в виде формулы: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Если величина угла, из которого выходит биссектриса треугольника, неизвестна, но известны все его стороны, то для вычисления длины биссектрисы мы воспользуемся дополнительной переменной, которую назовем полупериметр и обозначим буквой P: P=1/2*(MK+KB+MB). После этого внесем некоторые изменения в предыдущую формулу, по которой определялась длина биссектрисы, а именно, в числитель дроби ставим удвоенный из произведения длин сторон, прилегающих к углу, на полупериметр и частное, где из полупериметра вычитается длина третьей стороны. Знаменатель оставим без изменения. В виде формулы это будет выглядеть так: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Биссектриса равнобедренного треугольника вместе с общими свойствами имеет и несколько своих. Вспомним, что это за треугольник. У такого треугольника две стороны равны, и равны прилегающие к основанию углы. Отсюда следует, что биссектрисы, которые опускаются на боковые стороны равнобедренного треугольника, равны между собой. Кроме того, биссектриса, опущенная на основание, одновременно является и высотой, и медианой.

Геометрия — одна из самых сложных и запутанных наук. В ней то, что кажется на первый взгляд очевидным, очень редко оказывается правильным. Биссектрисы, высоты, медианы, проекции, касательные — огромное количество действительно непростых терминов, запутаться в которых очень легко.

На самом деле при должном желании можно разобраться в теории любой сложности. Когда дело заходит о биссектрисе, медиане и высоте, нужно понимать, что они свойственны не только треугольникам. На первый взгляд это простые линии, но у каждой из них есть свои свойства и функции, знание которых существенно упрощает решение геометрических задач. Итак, что же такое биссектриса треугольника?

Характеристики

Треугольник ABC со сторонами a, b, c, полупериметр s, площадь T, ra, r b, r c (касательная к a, b, c соответственно), и где R и r — радиусы и вписанный в круг соответственно, является равносторонним тогда и только тогда, когда истинно любое из утверждений в следующих девяти категориях. Таким образом, эти свойства уникальны для равносторонних треугольников, и знание того, что любое из них истинно, прямо подразумевает, что у нас есть равносторонний треугольник.

Стороны

• a = b = c {\ displaystyle \ displaystyle a = b = c}
• 1 a + 1 b + 1 c = 25 R r — 2 r 2 4 R r {\ displaystyle \ displaystyle {\ frac {1} {a}} + {\ frac {1} {b}} + {\ frac {1} {c}} = {\ frac {\ sqrt {25Rr-2r ^ {2} }} {4Rr}}}

Полупериметр

• s = 2 R + (3 3 — 4) r (Blundon) {\ displaystyle \ displaystyle s = 2R + (3 {\ sqrt {3}} — 4) r \ quad {\ text {(Blundon)}}}
• s 2 = 3 r 2 + 12 R r {\ displaystyle \ displaystyle s ^ {2} = 3r ^ {2} + 12Rr}
• s 2 = 3 3 T {\ displaystyle \ displaystyle s ^ {2} = 3 {\ sqrt {3}} T}
• s = 3 3 r {\ displaystyle \ displaystyle s = 3 {\ sqrt {3}} r}
• s = 3 3 2 R {\ displaystyle \ displaystyle s = {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} R}

Углы

• A = B = C = 60 ∘ { \ displaystyle \ displaystyle A = B = C = 60 ^ {\ circ}}
• cos ⁡ A + cos ⁡ B + cos ⁡ C = 3 2 {\ displaystyle \ displaystyle \ cos {A} + \ cos {B} + \ соз {C} = {\ frac {3} {2}}}
• грех ⁡ A 2 грех ⁡ B 2 грех ⁡ C 2 = 1 8 {\ displaystyle \ displaystyle \ sin {\ frac {A} { 2}} \ sin {\ frac {B} {2}} \ sin {\ frac {C} {2}} = {\ frac {1} {8}}}

Площадь

• T = a 2 + б 2 + с 2 4 3 {\ displaystyle \ displaystyle T = {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}} {4 {\ sqrt {3}}}} \ quad}(Вайтценбёк )
• T = 3 4 (abc) 2 3 {\ displaystyle \ displaystyle T = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} (abc) ^ {^ {\ frac {2} {3}} }}

Окружной радиус, внутренний и внешний радиус

• R = 2 r (Chapple-Euler) {\ displaystyle \ displaystyle R = 2r \ quad {\ text {(Chapple-Euler)}}}
• 9 R 2 знак равно a 2 + b 2 + c 2 {\ displaystyle \ displaystyle 9R ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}
• r = ra + rb + rc 9 {\ displaystyle \ displaystyle r = {\ frac {r_ {a} + r_ {b} + r_ {c}} {9}}}
• ra = rb = rc {\ displaystyle \ displaystyle r_ {a} = r_ {b} = r_ {c}}

Равные чевианы

Три вида чевианов совпадают и равны для (и только для) равносторонних треугольников:

• Три вида высоты имеют равную длину.
• Три медианы имеют равную длину.
• Три биссектрисы имеют равную длину.

Совпадающие центры треугольников

Каждый центр равностороннего треугольника совпадает с wi th его центроид, что подразумевает, что равносторонний треугольник является единственным треугольником без линии Эйлера, соединяющей некоторые из центров. Для некоторых пар центров треугольников их совпадения достаточно, чтобы треугольник был равносторонним. В частности:

• Треугольник является равносторонним, если любые два из центра описанной окружности, центра, центроида или ортоцентра совпадают.
• Это также является равносторонним, если его центр описанной окружности совпадает с точкой Нагеля или если его центр совпадает с его .

Шесть треугольников, образованных разделением медианами

Для В любом треугольнике три медианы делят треугольник на шесть меньших треугольников.

• Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда любые три из меньших треугольников имеют одинаковый периметр или одинаковый радиус.
• Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда центры окружности любых трех меньших треугольников имеют одинаковое расстояние от центроида.

Точки на плоскости

Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда для каждой точки P на плоскости имеются расстояния p, q и r до сторон треугольника и расстояния x, y и z в его вершины,

4 (p 2 + q 2 + r 2) ≥ x 2 + y 2 + z 2. {\ displaystyle 4 (p ^ {2} + q ^ {2} + r ^ {2}) \ geq x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}.}

Основные линии треугольника

Медиана

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника
с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Свойства медиан треугольника

1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую
   из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром
   тяжести треугольника.
3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих
   треугольников.

Биссектриса

Биссектриса
угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его
сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольника называется
отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на
противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрис треугольника

1. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от
   сторон этого угла.
2. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону
   на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам: .
3. Точка пересечения биссектрис треугольника является

Высота

Высотой
треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника
к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.

Свойства высот треугольника

1. В высота, проведенная
   из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника,
   исходному.
2. В две его
   высоты отсекают от него треугольники.

Срединный перпендикуляр

Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют
серединным перпендикуляром к отрезку.

Свойства серединных перпендикуляров треугольника

1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов
   этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная
   от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам
   треугольника, является центром .

Средняя линия

Средней
линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его
сторон.

Использование формул для расчета сторон

Для доказательства того, что треугольник является равносторонним, можно использовать формулы для расчета сторон.

В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой. Если известна длина одной стороны, то можно использовать формулу для расчета длины остальных сторон.

Для примера, пусть дан треугольник ABC, в котором сторона AC известна и равна 8 см. Для расчета длины остальных сторон, можно использовать формулу:

• a = b = c — в равностороннем треугольнике все стороны равны;
• a2 = b2 = c2 — квадрат любой стороны равен сумме квадратов двух других сторон.

Сторона	Формула для расчета	Значение в примере
a	a = b = c	?
b	a = b = c	?
c	a = b = c	?
a2	a2 = b2 = c2	?
b2	a2 = b2 = c2	?
c2	a2 = b2 = c2	?

Подставляя в формулу значение известной стороны, можно рассчитать остальные стороны:

a = b = c = √(a2 / 3)

В нашем примере:

a = b = c = √(82 / 3) ≈ 4.62 см

Таким образом, если расчетные стороны оказываются равны, то можно сделать вывод о том, что треугольник является равносторонним.

Равнобедренный треугольник: задача для самостоятельного решения

Попробуйте решить задачу самостоятельно. В случае сложностей мы поможем: готовое решение скрыто ниже.

В равнобедренном треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ с основанием $AB$ проведена медиана $CD$. Найдите длину медианы $CD$, если периметр треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ равен $32~см$, а периметр треугольника $\bigtriangleup{ADC}$ равен $24~см$.

Показать решение

Скрыть решение

Дано:$\bigtriangleup{ABC}$$P_{\bigtriangleup{ABC}}=32~см$$P_{\bigtriangleup{ADC}}=24~см$

Найти: $CD~—~?$

РешениеДля удобства отметим боковые стороны $\bigtriangleup{ABC}$ как $a$, медиану $CD$ как $x$, основание как $b$. По определению медианы $AD=DB=0,5b$. Тогда мы можем записать два следующих уравнения: $$2a+b=32\\a+0,5b+x=24.$$ Умножим второе уравнение на $2$ и получим: $$2a+b+2x=48.$$ Подставим значение $2a+b$ во второе уравнение и найдем $x$: $$2x+32=48.$$ Откуда получаем $x=8.$

Ответ: $CD=8~см.$

Определение правильного треугольника

Треугольник называется правильным, если все его стороны равны: AB + AC + BC. Правильный треугольник еще называется равносторонним.

Общие сведения

Любое пространство можно описать размерностью. В трёхмерном измерении плоская геометрическая фигура, состоящая из трёх отрезков и такого же количества точек, в которых они соединяются, называется треугольником. Отрезки называют сторонами или боковыми гранями, площадь, ограниченная ими — внутренней, а точки — вершинами. Фигура имеет 3 угла и является невырожденной.

Строгого требования к обозначениям элементов многоугольника нет. Но традиционно вершины подписывают заглавными буквами латинского алфавита A, B, C, а противолежащие им стороны — аналогичными строчными знаками. В качестве обозначений для углов используют греческие символы: α, β, γ. Например, если имеется треугольник ABC, у него будут углы A, B, C и стороны a, b, c. Боковые грани могут подписываться и как отрезки, тогда в их имени учитываются ограничивающие точки. Например, AB, BC, CA.

В зависимости от соотношения размеров сторон, все треугольники разделяют на 3 вида. Они бывают:

• Равнобедренными — многоугольники, у которых одна сторона не равна двум другим. Эта грань называется основанием. Углы при этой стороне равны.
• Разносторонние (неправильные) — длины всех граней разные.
• Равносторонние — треугольники, имеющие одинаковые стороны. Часто эти фигуры называют правильными. По сути, они являются частным случаем равнобедренного многоугольника.

Существуют правила, позволяющие утверждать о равенстве или подобии двух и более треугольников. Они считаются идентичными, то есть их параметры полностью совпадают, если 2 стороны и угол равны или все грани имеют одинаковую длину. А также фигуры будут одинаковыми, когда у них совпадают 2 стороны и угол, располагающийся напротив большего отрезка.

Особые линии и точки

Медиана, высота и биссектриса — 3 замечательные линии любого треугольника. Представляют они собой внутренние отрезки, построенные из углов на противоположные стороны. Линия, соединяющая вершину с серединой противоположной грани, называется медианой. Луч, разделяющий угол на 2 равные части — это биссектриса, а перпендикуляр, построенный к стороне — высота.

В любом правильном треугольнике можно начертить 3 отрезка. Если отложить медиану, а потом биссектрису и высоту, можно заметить, что эти линии совпадут. Эта особенность и есть замечательным свойством равностороннего многоугольника, то есть если в любой другой трёхугольной фигуре можно построить 12 особых линий, то в рассматриваемом только 3.

Доказать это утверждение можно следующим образом: пусть имеется треугольник АВС, в котором проведена высота ВH. Далее, рассуждения нужно построить так:

• Отрезок BH перпендикулярен прямой AC по построению.
• Точка H разделяет отрезок AC на AD и CD. Если это утверждение будет верным, это означает, что построенная высота BH будет медианой треугольника.
• Отрезок BH создаёт в многоугольнике 2 угла — ∠ABH и ∠CBH. При верности этого утверждения можно утверждать, что отрезок BH является биссектрисой.

Если создать зеркальное отражение треугольнику и совместить его с оригинальным, все углы попарно совместятся. Совпадут и стороны. Так как ВH — высота, она перпендикуляр. Значит, в точке H отрезок образует прямой угол с боковой гранью AC. Отсюда следует, что образованные треугольники AHB и CBH прямоугольные.

Они являются равными по общей гипотенузе и острому углу. Это следует из того, что правильный многоугольник — частный случай равнобедренного. Так как треугольники совпадают, у них одинаковые углы ABH и CBH. Причём они смежные, поэтому BH — биссектриса. В то же время точка H делит AC на 2 равных отрезка, значит, BH — медиана.

Площадь равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника можно вычислить с помощью формулы:

S = (a^2 * √3) / 4

Где S — площадь треугольника, а — длина стороны.

Существуют также другие способы вычисления площади равностороннего треугольника:

1. Вычисление площади как произведение длины стороны на высоту к этой стороне, деленное на 2: S = (a * h) / 2.
2. Вычисление площади, зная радиус вписанной окружности: S = (3 * r^2 * √3) / 2, где r — радиус вписанной окружности.
3. Вычисление площади, зная радиус описанной окружности: S = (3 * R^2 * √3) / 4, где R — радиус описанной окружности.

Помните, что равносторонний треугольник имеет все стороны одинаковой длины, а каждый его угол равен 60 градусам. Поэтому вычисление площади равностороннего треугольника является относительно простой задачей.

Примеры решения задач

Выведенные формулы можно с легкостью применять для решения разнообразных задач по геометрии. Для понимания, как их следует использовать, следует рассмотреть несколько примеров.

Чтобы уметь решать различные задания, связанные с треугольником, нужно помнить всего несколько формул. Но понадобится знать, что углы в фигуре равны друг другу и составляют 60 градусов. Часто придётся применять и теорему Пифагора. Вот некоторые из типовых заданий, используемые при обучении школьников в седьмом классе:

• Какой будет радиус вписанной в правильный треугольник окружности, если его высота равняется 9 см. Зная свойство фигуры, решить задачу можно за пару секунд. Так как радиус равен 1/3 высоты, ответом на задачу будет: r = h / 3 = 9 / 3 = 3 см.
• Сторона равностороннего треугольника равняется корню из трёх. Определить диаметр описанной окружности. Известно, что отношение синуса к противолежащему углу составляет 2R. Следовательно: R = a / 2 * sin (a) = √‎3 * 2 / 2 * √‎3 = 1.
• Вокруг треугольной фигуры со стороной 8 √‎3 описан круг. Узнать его радиус. Эта задача в 2 действия. Используя формулу для нахождения вписанного радиуса и определение r = R / 2 можно записать: R = 2 * a * √‎3 / 6 = 2 * 8 * √‎3 * √‎3 / 6 = 2 * 4 = 8.
• Пусть имеется квадрат, вокруг которого описана окружность. В ней так же располагается правильный треугольник. Периметр треугольной фигуры равен 9 √‎ 6. Нужно вычислить сумму всех сторон квадрата. На первом шаге необходимо определить длину боковой грани треугольника. Найти её можно по формуле: a = 3 √‎6. Теперь возможно рассчитать радиус описанной окружности: a = R * √‎3. Выполнив подстановку, найти ответ несложно: R = 3 √‎6 / √‎3 = 3 * √‎2. На третьем шаге можно выяснить, чему равняется сторона четырёхугольника. В этом поможет равенство: 3 √‎2 = (n √‎2) / 2. Отсюда n = 6. Значит, периметр квадрата равняется: P = 4 * 6 = 24.

Следует отметить, что выучить наизусть все формулы сложно, поэтому обычно используют логическое мышление и теоремы синусов-косинусов. Учитывая, что любой угол в равностороннем треугольнике равен 60 градусов практически любую формулу вывести можно самостоятельно.

Описанная и вписанная окружности

Дан некоторый равноугольный треугольник. Известно, что разница между радиусами описанной и вписанной окружностей составляет 3 см. Следует найти площадь фигуры.

На первый взгляд может показаться, что нахождение решения этой задачи требует проведения некоторых промежуточных вычислений, но это не так. Если вспомнить, что радиус описанной окружности R ровно в 2 раза больше величины r, то их разница является не чем иным, как самим радиусом вписанной окружности r. Для получения ответа на задачу следует всего-навсего воспользоваться известной формулой и вычислить S:

S = 3*30,5 *r 2 = 46,765 см 2 .

Тетраэдр и его поверхность

Тетраэдр является объемной фигурой, которая ограничена четырьмя гранями, являющимися равноугольными треугольниками. Необходимо определить площадь поверхности этой геометрической фигуры, если известно, что ее объем составляет 100 см 3 .

Чтобы посчитать необходимую площадь, следует найти эту величину всего лишь для одного равностороннего треугольника, а затем полученное число умножить на 4. Из курса стереометрии известно, что объем тетраэдра рассчитывается по следующей формуле:

V = 20,5 /12*a 3 .

Отсюда можно получить длину стороны a:

a = (12*V/20,5)^(1/3).

Теперь можно применить формулу для расчета площади S через a:

S = 30,5/4*a 2 = 38,81 см 2 .

Получилась площадь одной грани тетраэдра. Поскольку объемная фигура состоит из четырех одинаковых треугольников, то площадь его поверхности St составит:

St = 4*S = 155,24 см 2 .

Таким образом, высокая симметрия равностороннего треугольника позволяет рассчитывать его площадь, зная всего один линейный параметр фигуры. Чаще всего таковым является высота, сторона основания или радиусы вписанной и описанной окружностей.

Треугольники

Треугольник — фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Треугольник, все три стороны которого равны, называется правильным (равносторонним) треугольником.

Пусть a, h, S, R, r — соответственно длина стороны, высота, площадь, радиус описанной и радиус вписанной окружности правильного треугольника. Тогда имеют место следующие соотношения:

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, проведенные к его основанию, совпадают. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Высоты (медианы, биссектрисы), проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника равны.

Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. В прямоугольном треугольнике сторона, лежащая против прямого угла называется гипотенузой, а две другие стороны называются катетами этого треугольника.

Обозначим через c гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC, через a_c и b_c — проекции катетов a и b на гипотенузу AB, а через h_c — высоту, проведенную из вершины прямого угла C этого треугольника. Тогда имеют место следующие соотношения:

Тригонометрические функции дополнительных углов

Тригонометрические функции дополнительных углов являются сходственными:

Основное тригонометрическое тождество и следствия из него

Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы противоположны:

Средняя линия треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией треугольника. Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон треугольника и равна ее половине. Три средние линии треугольника делят его на 4 равных треугольника.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, и точка пересечения делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (центре вписанной окружности). Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника, на прямую, содержащую противоположную сторону, называется высотой треугольника. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке (центре описанной окружности).

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, уменьшенной на удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними :

обучение

Первое упражнение

Стороны равностороннего треугольника ABC размером 20 см каждая. Рассчитать высоту и площадь этого многоугольника.

решение

Чтобы определить площадь этого равностороннего треугольника, необходимо рассчитать высоту, зная, что при его рисовании он делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника..

Таким образом, теорема Пифагора может быть использована для ее нахождения:

в2 + б2= с2

где:

а = 20/2 = 10 см.

б = высота.

с = 20 см.

Данные в теореме заменяются:

102 + б2 = 202

100 см + б2 = 400 см

б2 = (400 — 100) см

б2 = 300 см

б = √300 см

b = 17,32 см.

То есть высота треугольника равна 17,32см. Теперь можно рассчитать площадь данного треугольника, подставив в формулу:

Площадь = (б _* ч) ÷ 2

Площадь = (20 см _* 17,32 см) ÷ 2

Площадь = 346,40 см2 ÷ 2

Площадь = 173,20 см2.

Другим более простым способом решения упражнения является подстановка данных в прямую формулу области, где значение высоты также неявно:

Второе упражнение

На земле, которая имеет форму равностороннего треугольника, будут посажены цветы. Если периметр этой земли равен 450 м, рассчитайте количество квадратных метров, занимаемых цветами.

решение

Зная, что периметр треугольника соответствует сумме трех его сторон, и поскольку местность имеет форму равностороннего треугольника, три стороны этого треугольника будут иметь одинаковую меру или длину:

P = сторона + сторона + сторона = 3 _* L

3 _* L = 450 м.

л = 450 м ÷ 3

л = 150 м.

Теперь нужно только вычислить высоту этого треугольника..

Высота делит треугольник на два конгруэнтных прямоугольных треугольника, где одна из ножек представляет высоту, а другая половина основания. По теореме Пифагора высота может быть определена:

в2 + б2= с2

где:

в = 150 м ÷ 2 = 75 м.

с = 150 м.

б = высота

Данные в теореме заменяются:

(75 м)2+ б2 = (150 м)2

5625 м + б2 = 22 500 м

б2 = 22 500 м — 5 625 м

б2 = 16 875 м

б = √16,875 м

б = 129,90 м.

Таким образом, область, которая будет занимать цветы, будет:

Площадь = b * ч ÷ 2

Площадь = (150 м _* 129,9 м) ÷ 2

Площадь = (19 485 м2) ÷ 2

Площадь = 9 742,5 м2

Третье упражнение

Равносторонний треугольник ABC разделен отрезком, который идет от его вершины C к средней точке D, расположенной на противоположной стороне (AB). Этот сегмент измеряет 62 метра. Рассчитать площадь и периметр этого равностороннего треугольника.

решение

Зная, что равносторонний треугольник разделен отрезком, соответствующим высоте, образуя два равных прямоугольных треугольника, это, в свою очередь, также делит угол вершины C на два угла с одинаковой мерой 30.или каждый.

Высота образует угол 90или по отношению к отрезку AB, а угол вершины A будет измерять 60или.

Затем, используя в качестве ориентира угол 30или, высота CD устанавливается как нога, прилегающая к углу, а BC — как гипотенуза.

Из этих данных можно определить значение одной из сторон треугольника, используя тригонометрические соотношения:

Поскольку в равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую меру или длину, это означает, что каждая сторона равностороннего треугольника ABC равна 71,6 метра. Зная это, можно определить вашу область:

Площадь = b * ч ÷ 2

Площадь = (71,6 м _* 62 м) ÷ 2

Площадь = 4 438,6 м2 ÷ 2

Площадь = 2219,3 м2

Периметр задается суммой трех его сторон:

P = сторона + сторона + сторона = 3 _* L

P = 3_*L

P = 3 _* 71,6 м

P = 214,8 м.