Теорема чевы в синусной форме

Примечания и ссылки

↑ см. Ссылки на статью Giovanni Ceva (см. Giovanni Ceva, De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio )
↑ (in) Январь Хогендийк , «Аль-Мутаман ибн Худ, 11 век, король Сарагосы и блестящий математик», в Historia Mathematica , Vol. 22, 1995, с. 1–18
↑ (in) JP Hogendijk , «Открытие геометрической компиляции XI века: Истикмаль Мутамана ибн Юсуфа аль-Худа, короля Сарагосы», в Historia Mathematica , Vol. 13, 1986, с. 43-52
↑ Это определение не универсально, в некоторых произведениях это сегмент, а в других Cévienne встречается в более общем плане с линией, проходящей с противоположной стороны, см., Например, Coxeter and Greitzer, первую главу и глоссарий.
↑ относительно площади данного треугольника, мы используем определитель , см., Например, (en) HSM Coxeter , Introduction to Geometry , глава по аффинной геометрии.

Как пользоваться порталом «1С:Урок»

Ресурсы портала поддерживают проведение занятий при разной технической оснащенности: компьютер с проектором на рабочем месте учителя,
компьютер на группу учащихся,
компьютер или планшет у каждого учащегося,
онлайн-обучение.
Ресурсы портала воспроизводятся на всех основных носителях: компьютеры и ноутбуки под управлением Windows, Linux, MacOS,
планшеты под управлением iOS и Android,
интерактивные доски.

Выбирайте ресурсы для своих занятий в нашей библиотеке.
Демонстрируйте отобранные ресурсы из раздела Мои материалы.
Создавайте свои интерактивные ресурсы при помощи конструкторов и делитесь ими с коллегами и учениками.
Изучайте методические материалы с примерами занятий, чтобы сделать ваши уроки ещё лучше.
Следите за новостями на сайте и в соцсетях, чтобы быть в курсе обновлений и мероприятий.
Изучите подробные инструкции по работе с порталом.

Применения теоремы Чевы

В разделе нашего справочника «Медиана треугольника» доказана теорема о том, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Приведём другое доказательство этой теоремы, основанное на теореме Чевы. С этой целью рассмотрим медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC (рис.9).

то выполнено равенство

откуда вытекает, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

В разделе нашего справочника «Окружность, вписанная в треугольник» доказана теорема о том, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Приведём другое доказательство этой теоремы, основанное на теореме Чевы. С этой целью рассмотрим биссектрисы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC (рис.10).

В соответствии со свойством биссектрисы справедливы равенства

Если перемножить эти три равенства, то мы получим равенство

из которого вытекает, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

В разделе нашего справочника «Высота треугольника» доказана теорема о том, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Приведём другое доказательство этой теоремы, основанное на теореме Чевы. С этой целью рассмотрим сначала высоты AA₁, BB₁ и CC₁остроугольного треугольника ABC (рис.11).

то, перемножив эти три равенства, мы получим равенство

из которого вытекает, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Теорема о пересечении высот остроугольного треугольника доказана.

Теперь рассмотрим случай тупоугольного треугольника (рис. 12).

то, перемножив эти три равенства, мы получим равенство

из которого вытекает, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Теорема о пересечении высот тупоугольного треугольника доказана.

Доказывать теорему о том, что в случае прямоугольного треугольника все высоты пересекаются в одной точке не нужно, поскольку все высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине прямого угла.

Теорема о пересечении высот треугольника доказана полностью.

Теперь с помощью теоремы Чевы докажем следующую теорему.

Из этих равенств получаем:

Отсюда с помощью теоремы Чевы заключаем, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

1 Формулировка теоремы Менелая

Пусть прямая пересекает треугольник $ABC$, причем $C’$ – это точка ее пересечения со стороной $AB$ , $B’$ – точка ее пересечения со стороной $AC$ и $A’$ – точка ее пересечения с продолжением стороны $BC$ (рис. 1). Тогда имеет место соотношение:

$$ bigg (frac {AC’} {C’B} bigg ) cdot bigg ( frac {BA’} {A’C} bigg ) cdot bigg ( frac {CB’} {B’A} bigg ) = 1$$

Доказательство теоремы Менелая очень простое. Например, один из распростаненных способов доказательства требует всего одного дополнительного построения. Через вершину $C$ проведите прямую, параллельную $AB$, и воспользуйтесь двумя парами подобных треугольников, которые при этом получаются. Недавно я записал видео с доказательством:

Справедлива также обратная теорема Менелая.

Формулировка теоремы Менелая

Менелай Александрийский — древнегреческий математик и астроном, живший в I в. Большой вклад внес в развитие сферической тригонометрии, где для получения формул использовал именно эту теорему, которую теперь изучают все школьники.

Прежде чем приступить к проработке, сделаем соответствующий рисунок.

Что мы имеем? Треугольник ABC и прямую, которая пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны.

Особенность теоремы заключается и в том, что приведённый рисунок чаще всего встречается в заданиях формата ЕГЭ. Это – весьма распространённая геометрическая конструкция, когда какая-то прямая таким образом пересекает треугольник.

Если мы видим приведённый выше рисунок, можно записать формулу:

Запомнить отношение просто: действуем по принципу «вершина – точка, точка – вершина». То есть, если на стороне AB нам дана некоторая точка C1, их отношенное записывается следующим образом:

Доказательство теоремы

Для доказательства теоремы Менелая проведём через точку C прямую, параллельную AB, таким образом:

Обозначим точку пересечения данной прямой с B1C1 через точку D.

В таком случае мы получим несколько пар подобных треугольников.

Сторона CD параллельна AB. Тогда первой парой подобных треугольников будут треугольники B1CD и B1AC1. Они подобны по второму признаку подобия треугольников, то есть по двум пропорциональным сторонам и углу B1 между ними.

Углы B1CD и B1AC1 равны как соответственные при параллельных прямых CD, AB и секущей AC.

Анализируя данную пару подобных треугольников, можно записать условие пропорциональности сходственных сторон, а именно:

Так как сторона CD не является составляющей исходного равенства, для дальнейшего доказательства её нужно выразить.

Используя описанное равенства, применив свойства пропорции, запишем:

Запишем следующую пару подобных треугольников: треугольники CDA1 и BC1A1 подобны, так как углы CA1D и BA1C1 равны как вертикальные. Кроме этого, угол CDA1 равен углу BC1A1, как накрест лежащие при параллельных прямых CD, AB и секущей C1D.

Покажем это на рисунке:

Из данного подобия можно записать некоторую пропорциональность сходственных сторон:

Так же выразим CD:

Осталось лишь приравнять. Дроби, с помощью которых мы выразили CD – равны.

Таким образом получаем:

Умножив обе дроби на часть, обратную левой дроби, мы получили исходное равенство:

Что и требовалось доказать.

Примеры применения

Теорема Чевы позволяет доказать многие свойства совпадающих прямых.

Мы можем применить это к простому случаю, например, к точке пересечения медиан . В этом случае D является средней точкой [ BC ] и, следовательно, BD = DC . То же самое и с остальными пунктами. Все отношения, используемые в теореме, равны 1, а значит, и их произведение, что доказывает, что медианы треугольника совпадают.
Изогональное объединены и isotomiques два примера применения теоремы Чевы.
Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками контакта вписанной окружности, совпадают с точкой Жергонна этого треугольника.
Линии, соединяющие каждую вершину треугольника с точкой контакта окружности, вписанной со стороной, противоположной этой вершине, совпадают в точке Нагеля этого треугольника.

Пример задачи

Дан треугольник ABC с точками A’, B’ и C’ на сторонах BC, AC и AB соответственно. Вершины треугольника соединяются с заданными точками, а образующиеся отрезки проходят через одну точку. Точки А’ и В’ взяты на серединах соответствующих противоположных сторон. Выясните, в каком отношении точка С’ делит сторону АВ.

Решение
Нарисуем рисунок по условиям задачи. Для простоты используем следующие обозначения:

АВ’ = В’С = а
ВА’ = А’С = б

Остается только составить связь между отрезками по теореме Чевы и подставить в нее принятые обозначения:

После сокращения дробей получим:

Следовательно, AC’ = C’B, т е точка C’ делит сторону AB пополам.

Следовательно, отрезки АА’, ВВ’ и СС’ являются медианами нашего треугольника. После решения задачи мы доказали, что они пересекаются в одной точке (справедливо для всех треугольников).

Примечание: с помощью теоремы Чевы можно доказать, что в треугольнике в одной точке также пересекаются биссектрисы или высоты.

Задача 1

Дан треугольник ABC (см рисунок ниже) с удлиненной стороной CA. Также были взяты медианы BM и AN. Обозначим их точку пересечения через О.

Возьмем точку K на стороне AB так, что AK относится к AB как 1/3.

АС=4 см, АМ=2 см.

Проведем прямую ОК до пересечения со стороной АС. Обозначим их точку пересечения как P.

Сторона AP будет обозначаться y.

Найти: что такое сегмент AP.

Решение:

Так как отношение сторон АВ и АК равно 1/3, то АК = х и КБ = 3х.

Рассмотрим треугольник АВМ. Для этого мы берем это прямо OP.

Таким образом, мы нашли искомые точки P, A, M, O, K и B.

Запишем теорему Менелая для этой фигуры.

Подставим известные данные в это соотношение:

В результате получаем, что у = 4.

Ответ: отрезок АР = 4 см.

Задача 2

Проблема, связанная со свойствами теоремы Чевы.

Рассмотрим рисунок:

Данный:

сумма АВ и ВС равна 13;
АС = 8 см.

Найти: соотношение между БО и ОБ1.

Итак, напишем отношение:

Мы заменяем:

Конечным результатом является дробь 13/8.

Отвечать:

Применения теоремы Чевы

В разделе «Медианы треугольника» нашего справочника доказана теорема о том, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Приведем другое доказательство этой теоремы, основанное на теореме Чевы. Для этого рассмотрим медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC (рис. 9).

Рис.9

Потому что

тогда равенство

откуда следует, что отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

В разделе нашего справочника «Окружность, вписанная в треугольник» доказана теорема о том, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Приведем другое доказательство этой теоремы, основанное на теореме Чевы. Для этого рассмотрим биссектрисы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC (рис. 10).

Рис.10

В соответствии со свойством биссектрисы истинны подобия

Если мы умножим эти три равенства, то получим равенство,

откуда следует, что отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

В разделе нашего справочника «Высота треугольника» доказана теорема о том, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Приведем другое доказательство этой теоремы, основанное на теореме Чевы. Для этого сначала рассмотрим высоты AA1, BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC (рис. 11).

Рис. 11

Потому что

значит, умножая эти три равенства, получаем равенство,

откуда следует, что отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Доказана теорема о пересечении высот остроугольного треугольника.

Теперь рассмотрим случай тупоугольного треугольника (рис. 12).

Рис. 12

На рис. 12 изображен треугольник ABC с тупым углом B, высотами которого являются отрезки AA1, BB1 и CC1.

Потому что

значит, умножая эти три равенства, получаем равенство,

откуда следует, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Доказана теорема о пересечении высот тупоугольного треугольника.

Нет необходимости доказывать теорему о том, что в случае прямоугольного треугольника все высоты пересекаются в одной точке, так как все высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине прямого угла.

Теорема о пересечении высот треугольника полностью доказана.

Теперь, используя теорему Чевы, докажем следующую теорему.

Теорема. Рассмотрим ABC как окружность, вписанную в произвольный треугольник. Пусть точки A1, B1 и C1 касаются этой окружности со сторонами BC, AC и AB соответственно. Тогда отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке (рис. 13).

Рис. 13

Доказательство. Используя свойство равенства касательных, проведенных к окружности из одной точки, запишем следующие равенства:

AC1 = B1A, BA1 = C1B, CB1 = A1C.

Из этих сходств получаем:

Отсюда, используя теорему Чевы, заключаем, что отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Комментарий. Точка пересечения отрезков AA1, BB1 и CC1, упомянутая в только что доказанной теореме, называется точкой Жергонна в честь французского математика Жозефа Жергонна (1771 — 1859 гг.).

Как пользоваться порталом «1С:Урок»

Новости

Вебинар для учителей математики
Примите участие в обучающем вебинаре и получите сертификат.

…

Вебинар для учителей обществознания
Примите участие в обучающем вебинаре и получите сертификат.

…

Список ЭОР для рабочей программы учителя математики по обновленному ФГОС
Сохраните подборку цифровых ресурсов по математике и применяйте их на уроках, чтобы сделать занятия современными и интересными для учащихся!

…

Организация исследовательской деятельности на уроках в начальной школе с использованием ЦОР образовательной платформы «1С:Урок»
Опыт создания на уроках проблемных ситуаций и организации исследовательской деятельности, используя «1С:Урок».

…

Работа с иллюстрациями на уроках химии
Узнайте как использовать иллюстративные материала портала «1С:Урок» на уроках химии.

…

Достижение результатов ФГОС третьего поколения
Как цифровые ресурсы «1С:Урок» помогут в достижении результатов ФГОС третьего поколения: мнение практикующего педагога

…

Вебинар для учителей математики
Узнайте о возможностях портала «1С:Урок» для учителей, репетиторов, учеников и родителей.

…

Работа с интерактивными заданиями по химии портала «1С:Урок»: как использовать редактор химических формул
Рассмотрим возможности редактора химических формул и способы его использования на уроке.

…

Применение теорем Чевы и Менелая при решении задач ЕГЭ

Теорема Менелая (как и обратная) применима и в первой части экзаменационного бланка, и в 16-м задании. Рассмотрим пару таких задач.

Задача 1

Дан треугольник ABC (см. рисунок ниже) с продолжением стороны CA. Также проведены медианы BM и AN. Точку их пересечения обозначим за O.

Возьмём точку K на стороне AB, такую, что AK относится к AB, как 1/3.

AC = 4 см, AM = 2 см.

Проведём прямую OK до пересечения со стороной AC. Точку их пересечения обозначим за P.

Сторону AP обозначим за y.

Найти: чему равен отрезок AP.

Решение:

Так как отношение сторон AB и AK равно 1/3, следовательно, AK = x, а KB = 3x.

Рассмотрим треугольник ABM. Для него берём прямую OP.

Таким образом мы нашли искомые точки P, A, M, O, K и B.

Запишем теорему Менелая к данному рисунку.

Подставляем в это соотношение известные данные:

В итоге мы получаем, что y = 4.

Ответ: отрезок AP = 4 см.

Задача 2

Задача, связанная со свойствами теоремы Чевы.

Рассмотрим рисунок:

Дано:

сумма AB и BC равна 13;
AC = 8 см.

Найти: отношение BO и OB1.

Итак, запишем отношение:

Подставляем:

Конечным результатом является дробь 13/8.

Ответ:

https://youtube.com/watch?v=6-icW_4gatM

Доказательство теоремы

Чтобы доказать теорему Менелая, проведем через точку C прямую, параллельную AB, вот так:

Введите пересечение этой линии с B1C1
через точку Д.

В этом случае мы получим несколько пар подобных треугольников.

Сторона CD параллельна стороне АВ. Тогда первой парой подобных треугольников будут треугольники B1CD и B1AC1. Они равны по второму признаку равенства треугольников, то есть по двум пропорциональным сторонам и углу В1 между ними.

Углы B1CD и B1AC1 равны для параллельных прямых CD, AB и секущей AC.

Анализируя эту пару подобных треугольников, мы можем записать условие пропорциональности подобных сторон, а именно:

Поскольку сторона CD не входит в исходное равенство, для дальнейшего доказательства ее необходимо выразить.

Используя описанное равенство, используя свойства пропорции, запишем:

Запишем следующую пару конгруэнтных треугольников: треугольники CDA1 и BC1A1 конгруэнтны, так как углы CA1D и BA1C1 конгруэнтны вертикалям. Кроме того, угол CDA1 равен углу BC1A1, так как он лежит между параллельными прямыми CD, AB и секущей C1D.

Покажем это на картинке:

Из этого подобия можно написать некоторую пропорциональность подобных сторон:

Таким же образом выразим CD:

Остается только сравнить. Дроби, которыми мы выражали CD, те же самые.

Таким образом мы получаем:

Умножив обе дроби на обратную левой дроби, мы получили исходное равенство:

КЭД

Формулировка теоремы Чевы

Джованни Чева — итальянский математик, инженер. Годы жизни 1648 — 1734 гг. Основные труды ученого в области геометрии и механики.

Рассматриваемая теорема была доказана ученым в 1678 г.

Рассмотрим приведённый ниже рисунок:

Теорема звучит так: любые произвольные отрезки, выходящие из вершин треугольника, (но с одним условием: они должны пересекаться в одной точке) делят противолежащие этим вершинам стороны таким образом, что истинно равенство:

В честь ученого, доказавшего эту теорему, данные отрезки называют «чевианами».

Доказательство теоремы

Рассмотрим рисунок:

Итак, мы имеем треугольник ABC и произвольные чевианы AA1 и BB1.

Третья чевиана CC1 обязательно должна проходить через точку пересечения первых двух. При этом получается, что:

Обозначим за O точку пересечения данных прямых.

Продлим медиану BB1.

Проведём перпендикуляры из вершин A и С таким образом:

Запишем соотношение:

Треугольники AKB1 и CNB1 подобны по острому углу.

Аналогично получаем:

Теперь перемножим равенства:

что и требовалось доказать.

Формулировка теоремы Менелая

Менелай Александрийский — древнегреческий математик и астроном, живший в I веке до нашей эры. Он внес большой вклад в развитие сферической тригонометрии, где использовал эту самую теорему, которую теперь изучают все школьники, для получения формул.

Прежде чем приступить к изучению, сделаем подходящий чертеж.

Что у нас есть? Треугольник ABC и прямая, пересекающая две его стороны и продолжение третьей стороны.

Особенность теоремы заключается в том, что цифра выше чаще всего встречается в заданиях формата ЕГЭ. Это очень распространенная геометрическая конструкция, когда прямая таким образом пересекает треугольник.

Если мы видим рисунок выше, мы можем написать формулу:

запомнить взаимосвязь просто: действуем по принципу «пик — точка, точка — пик». То есть, если мы получим точку C1 на стороне AB, их отношение запишется следующим образом:

Историческая справка

Менелай Александрийский — древнегреческий астроном и математик. Время его жизни и деятельности определяется двумя астрономическими наблюдениями, приведенными в «Альмагесте» Птолемея, которые Менелай сделал в Риме в первый год правления Траяна, то есть в 98 г. Он является автором работ по сферической тригонометрии: 6 книги по расчету хорд и 3 книги «Сферы».

Джованни Чева — итальянский математик и инженер. Он окончил иезуитский колледж в Милане, после чего стал студентом Пизанского университета, где позже стал профессором математики. С 1686 года Чева работал в Мантуанском университете и оставался на этой должности до конца жизни. Большую часть своей жизни Чева изучал геометрию, пытаясь возродить греческую геометрию; кроме того, сегодня его помнят за его исследования в области механики.

В 1678 г. Чева опубликовал свою знаменитую теорему «О взаимно пересекающихся прямых» по синтетической геометрии треугольника; эта теорема позже получила свое название — теорема Чевы. Эта теорема сегодня является классической теоремой геометрии треугольника. Проще говоря, Чева изобрел некий общий метод, позволяющий с помощью положения точек на сторонах треугольника определять, пересекаются ли соответствующие тройки прямых в одной точке или нет.

В проективной геометрии

В проективной плоскости все прямые секущие. Мы можем построить проективную плоскость, добавив прямую линию, называемую прямой на бесконечности, к аффинной плоскости. Прямые аффинной плоскости одного направления пересекаются в одной и той же точке (иногда называемой несобственной точкой) на этой прямой на бесконечности. В формулировке теоремы отпадает необходимость различать два случая. С другой стороны, отношения алгебраических мер не являются проективными понятиями. Мы можем говорить о поперечном отношении : при построении проективной плоскости, завершенной аффинной плоскостью, поперечное отношение [ A , B , C , D ] равно отношению алгебраической меры [ CA ] к [ CB ], когда D находится на бесконечности. Мы также можем дать версию теоремы в однородных координатах, которые являются продолжением барицентрических координат на проективную плоскость.

Формулировка теоремы Менелая

Прежде чем приступить к проработке, сделаем соответствующий рисунок.

Что мы имеем? Треугольник ABC и прямую, которая пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны.

Если мы видим приведённый выше рисунок, можно записать формулу:

Запомнить отношение просто: действуем по принципу «вершина — точка, точка — вершина». То есть, если на стороне AB нам дана некоторая точка C1, их отношенное записывается следующим образом:

Доказательство теоремы

Для доказательства теоремы Менелая проведём через точку C прямую, параллельную AB, таким образом:

Обозначим точку пересечения данной прямой с B₁C₁
через точку D.

В таком случае мы получим несколько пар подобных треугольников.

Сторона CD параллельна AB. Тогда первой парой подобных треугольников будут треугольники B₁CD и B₁AC₁. Они подобны по второму признаку подобия треугольников, то есть по двум пропорциональным сторонам и углу B₁ между ними.

Углы B₁CD и B₁AC₁ равны как соответственные при параллельных прямых CD, AB и секущей AC.

Используя описанное равенства, применив свойства пропорции, запишем:

Запишем следующую пару подобных треугольников: треугольники CDA₁ и BC₁A₁ подобны, так как углы CA₁D и BA₁C₁ равны как вертикальные. Кроме этого, угол CDA₁ равен углу BC₁A₁, как накрест лежащие при параллельных прямых CD, AB и секущей C₁D.

Покажем это на рисунке:

Из данного подобия можно записать некоторую пропорциональность сходственных сторон:

Так же выразим CD:

Осталось лишь приравнять. Дроби, с помощью которых мы выразили CD – равны.

Таким образом получаем:

Умножив обе дроби на часть, обратную левой дроби, мы получили исходное равенство:

Что и требовалось доказать.

Теорема Чевы и Менелая — формулировка, применение и примеры решения

Теоремы Чевы и Менелая – одни из базовых основ планиметрии и геометрии, которым репетиторы и школьные учителя уделяют особое внимание, а ученикам задают писать научные доклады и рефераты на эту тему в качестве домашнего задания. Их изучение рекомендуется не только в том случае, если вы – математик, но и в помощь ученикам старшего уровня (по уровню сложности может подойти и любой средний класс) и студентам профильных специальностей, которые всерьёз интересуются данной наукой

Их изучение рекомендуется не только в том случае, если вы – математик, но и в помощь ученикам старшего уровня (по уровню сложности может подойти и любой средний класс) и студентам профильных специальностей, которые всерьёз интересуются данной наукой.

Именно для этого мы подготовили данный материал. В нем вы узнаете, чем интересны данные основы, принципы их доказательств и рассмотрите решения некоторых задач из ЕГЭ.

Новости

Вебинар для учителей математики
Примите участие в обучающем вебинаре и получите сертификат.

…

Вебинар для учителей обществознания
Примите участие в обучающем вебинаре и получите сертификат.

…

Слайд 14Заключение Теоремы Чевы и Менелая не изучаются в основном

курсе геометрии 7–9 классов, а лишь в 11 классе. Но

трудности, связанные с освоением этих теорем, оправданы их применением при решении задач. Решение задач с помощью теорем Чевы и Менелая более рационально, чем их решение другими способами, требующими дополнительных действий и построений, которые не всегда оказываются очевидными.Используемая литератураМатематика. ЕГЭ-2014. Типовые тестовые задания. 30 вариантов. Под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. 2014г.Пособие по геометрии. Часть І. Планиметрия, векторы. В помощь учащимся 10-11-х кл.О.В.Нагорнов, А.В.Баскаков и др.М.:НИЯУ МИФИ,2009.Математика. Подготовка к ЕГЭ. Тематические тесты: геометрия, текстовые задачи. Под ред.Ф.Ф.Лысенко. 2013г.http://hijos.ru/2011/03/16/teorema-chevy/http://www.resolventa.ru/demo/inform/demoinform.htm

Примечания и ссылки

Как пользоваться порталом «1С:Урок»

Применения теоремы Чевы

1 Формулировка теоремы Менелая

Формулировка теоремы Менелая

Доказательство теоремы

Примеры применения

Пример задачи

Задача 1

Задача 2

Применения теоремы Чевы

Как пользоваться порталом «1С:Урок»

Новости

Применение теорем Чевы и Менелая при решении задач ЕГЭ

Задача 1

Задача 2

Доказательство теоремы

Формулировка теоремы Чевы

Доказательство теоремы

Формулировка теоремы Менелая

Историческая справка

В проективной геометрии

Формулировка теоремы Менелая

Доказательство теоремы

Теорема Чевы и Менелая — формулировка, применение и примеры решения

Новости

Слайд 14Заключение Теоремы Чевы и Менелая не изучаются в основном

курсе геометрии 7–9 классов, а лишь в 11 классе. Но

Похожие записи:

Похожие записи: