Формулы сокращенного умножения

4.1. Треугольник Паскаля

    Блез Паскаль (1623— 1662).

     Исаак Ньютон (1643—1727).

Из дополнительной литературы я 
узнал, что многие ФСУ являются частным 
случаем Бинома Ньютона.

Мы  знаем формулы «квадрата 
суммы» (а+b)2 и
«куба суммы» (а+b)3,
но при увеличении показателя степени
с определением коэффициентов при членах многочлена
начинаются трудности. Чтобы не совершить
ошибку и применяется формула бинома Ньютона: 
 

Запомнить такую 
формулу непросто.

Видимо, для того чтобы облегчить 
запоминание этой формулы, великий 
французский математик и физик Блез
Паскаль триста пятьдесят лет назад придумал специальный инструмент для определения
этих самых коэффициентов — «треугольник Паскаля». 
 
Строится он следующим образом. В вершине
треугольника пишем 1. Единица соответствует
выражению (a+b), поскольку
любое число, возведённое в нулевую степень,
даёт единицу. Достраивая треугольник,
ниже пишем ещё по единице. Это коэффициенты
разложения того же двучлена, возведённого
в первую степень: (a+b)1=a+b.
Идём дальше. Стороны треугольника образуют
единицы, а между ними — сумма двух единичек,
находящихся сверху, то есть 2. Это и есть
коэффициенты трёхчлена «квадрат суммы»: 
                                 a2+2ab+b2. 
Следующий ряд, как и предыдущий, начинается
и заканчивается единицами, а между ними
— суммы цифр, находящихся сверху: 1, 3,
3, 1. Мы получили коэффициенты разложения
« куба суммы ». Ряд коэффициентов двучлена
четвёртой степени составят 1, 4, 6, 4, 1 и
так далее.

Построим треугольник Паскаля
для (a+b)n
: 

n=0                                                   
1

n=1                                                 
1    1

n=2                                              
1   2    1

n=3                                           
1    3   3    1

n=4                                        
1  4   6    4   1

n=5                                     
1   5  10  10   5   1

n=6                                 
1   6    15   20    15  
6  1

n=7                            
1  7    21   35   35  
21   7   1

n=8                        
1    8  28   56  70  
56   28   8   1

n=9                   
1    9   36   84    126    126   
84    36    9    1

n=10          1   
10    45    120    210   
252    210    120    45   
10    1

                        
.      .      .      .    
.     .      .     
.       .     
.      .

Некоторые историки науки приписывают 
Блезу Паскалю авторство не только
треугольника, позволяющего находить
биномиальные коэффициенты, но и самой 
формулы бинома. Они считают, что 
Паскаль вывел её несколько раньше
Ньютона, а тот лишь обобщил формулу для
разных показателей степеней.

Группа формул: сумма степеней

Группа формул «Сумма степеней» составляет Таблицу 2. Эти формулы можно получить, выполняя вычисления в следующем порядке:

(x + y) 2 = (x + y)(x + y) , (x + y) 3 = (x + y) 2 (x + y) , (x + y) 4 = (x + y) 3 (x + y)

Группу формул «сумма степеней» можно получить также с помощью треугольника Паскаля и с помощью бинома Ньютона, которым посвящены специальные разделы нашего справочника.

Таблица 2. – Сумма степеней

Название формулы	Формула
Квадрат (вторая степень) суммы	(x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2
Куб (третья степень) суммы	(x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3
Четвертая степень суммы	(x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4
Пятая степень суммы	(x + y) 5 = x 5 + 5x 4 y + 10x 3 y 2 + 10x 2 y 3 + 5xy 4 + y 5
Шестая степень суммы	(x + y) 6 = x 6 + 6x 5 y + 15x 4 y 2 + 20x 3 y 3 + 15x 2 y 4 + 6xy 5 + y 6

Общая формула для вычисления суммы

с произвольным натуральным значением n рассматривается в разделе «Бином Ньютона» нашего справочника.

Историческая справка

Некоторые правила сокращённого умножения 
были известны ещё около 4 тыс. лет 
тому назад. Их знали вавилоняне и 
другие народы древности. Тогда они 
формулировались словесно или геометрически.

У древних греков величины обозначались
не числами или буквами, а отрезками 
прямых. Они говорили не «a2», а
«квадрат на отрезке а», не «ab», а «прямоугольник,
содержащийся между отрезками a и b».

Например, тождество (a+b)2=a2+2ab+b2

Во второй книге «Начал» Евклида
(III век до н.э.) формулировалось так:

Если прямая линия (имеется  в виду отрезок) как-либо рассечена, то
квадрат на всей прямой равен квадратам
на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником,
заключённым между отрезками».

Доказательство опиралось на геометрические
соображения:

Некоторые термины такого геометрического 
изложения алгебры сохранились 
до сих пор. Так, мы называем вторую степень числа квадратом,
а третью степень — кубом числа.

Разность квадратов

Пусть есть два числа, одно из которых равно a, а другое – b. Их сумма будет равна a + b, а разность составляет a– b. Оба эти выражения являются многочленами.

Теперь перемножим сумму и разность, пользуясь правилами перемножения многочленов (см. урок 6) :

(a + b)(a — b) = a2 — ab + ba — b2

Слагаемые – a b и b a являются подобными, их сумма равна нулю:

-ab + ab = -1ab + 1ab = ab(-1 + 1) = ab * 0 = 0

Поэтому в выражении их можно сократить:

(a + b)(a — b) = a2 — ab + ba — b2 = a2 — b2

Получается, что произведение суммы двух чисел на их разность равно разности их квадратов. Естественно, как и любое другое математическое равенство, это можно переписать в обратном порядке:

a2 — b2  = (a + b)(a — b)

Данное тождество называют формулой разности квадратов.

Вместо a и b в это тождество можно подставлять любые числа, выражения, одночлены, многочлены. Убедимся в ее справедливости на нескольких примерах. Вычислим значение выражения

72 — 52

сначала напрямую, а потом с помощью формулы разности квадратов:

72 — 52 = 7*7 — 5*5 = 49 — 25 = 24

72 — 52 = (7 — 5)(7 + 5) = 2*12 = 24

Видно, что ответ не зависит от способа вычисления. Однако в ряде один из них представляется более удобным.

Пример. Вычислите разность двух квадратов: 25162 и 15162.

Решение. Возводить во вторую степень четырехзначные числа без калькулятора тяжело, поэтому используем сокращенное умножение:

25162 — 15162 = (2516 + 1516)(2516 + 1516) = 4032 * 1000 = 4032000

Ответ: 4032000

Пример. Вычислите 499•501.

Решение. Используем две простые замены:

499 = 500 — 1

501 = 500 + 1

С их помощью вычисления существенно упрощаются, так как произведение можно представить как разность квадратов двух чисел:

499 * 501 = (500 — 1)(500 + 1) = 5002 — 12 = 250000 — 1 = 249999

Ответ: 249999.

Пример. Докажите, что число 7658732 – 7658642 делится на 9.

Решение. Разность квадратов равна:

7658732 – 7658642 = (765873 — 765864)(765873 + 765864) = 9*(765873 + 765864)

Даже не складывая слагаемые во второй скобке, мы можем сказать, что исходное число делится на 9, так как на 9 делится один из множителей, на которые мы разложили разность квадратов.

Теперь рассмотрим случаи, когда в формулу подставляются переменные. Пусть необходимо найти произведение полиномов 8u + 5v и 8u– 5v. С помощью формулы сокращенного умножения получаем:

(8u + 5v)(8u — 5v) = (8u)2 — (5v)2 = 64u2 — 25v2

Конечно, мы могли бы выполнить эту операцию и без использования сокращенного умножения, просто раскрыв скобки методом «фонтанчика». Но тогда мы потратили бы больше времени, усилий и бумаги:

(8u + 5v)(8u — 5v) = (8u)2 — 8u*5v + 5v*8u — (5v)2 = 64u2 — 25v2

Пример. Перемножьте полиномы x2z +2y3 и x2z– 2y3.

Решение.

(x2z +2y3)(x2z +2y3) = (x2z)2 — (2y3)2 = x4z2 — 4y6

Пример. Упростите выражение

-3.5m2 — (1.5n — 2m)(1.5n + 2m)

Решение:

-3.5m2 — (1.5n — 2m)(1.5n + 2m) = -3.5m2 — ((1.5n)2 — (2m)2) = -3.5m2 — 2.25n2 + 4m2 = 0.5m2 — 2.25n2

Иногда с помощью сокращенного умножения можно разложить полином на множители. Например, двучлен x2– 25 можно представить как

x2 — 25 = x2 — 52 = (x — 5)(x + 5)

С помощью разложения разности квадратов на множители можно доказать, что разность вторых степеней двух последовательных натуральных чисел всегда является нечетным числом. Обозначим за n произвольное натуральное число. Тогда следующим за ним будет число n+1. Разность их квадратов равна

(n + 1)2 = n2

Раскроем скобки:

(n + 1)2 — n2 = (n + 1 — n)(n + 1 + n) = 1*(2n + 1) = 2n + 1 = 1*(2n + 1) = 2n + 1

Число 2n +1 при делении на 2 дает остаток 1, то есть является нечетным.

Стоит отметить, что для суммы квадратов a2 + b2 аналогичной формулы разложения на множители не существует.

ФСУ: таблица, примеры использования

Определение

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) используются для возведения в степень и умножения чисел, выражений. ФСУ помогают производить вычисления быстрее и делают их более компактными.

В нашей статье будут перечислены все необходимые формулы сокращенного умножения, а также, для удобства запоминания, формулы структурируем в таблицу, разберём примеры применения ФСУ, рассмотрим, как сократить формулы сокращенного умножения, наибольшее внимание уделим способам доказательства ФСУ

Формулы сокращенного умножения (ФСУ): таблица

Тема «Формулы сокращенного умножения» занимает центральное место в школьном курсе алгебры. Математика без формулы сокращенного умножения была бы скучна и сложна. Школьники начинают знакомство с этими формулами в 7 классе курса алгебры. Ниже приведены основные ФСУ формулы сокращенного умножения.

Чтобы с лёгкостью использовать формулы, их нужно заучить наизусть. Сгруппируем их в таблицу и представим ниже, заключив в рамку.

Треугольник Паскаля – это арифметический треугольник. Он назван в честь Блеза Паскаля. Он состоит из коэффициентов одночленов, входящих в состав формулы степени суммы двух чисел. Если схематично очертить этот треугольник Паскаля, то получим равнобедренный треугольник, у которого по бокам стоят единицы. Каждое нижнее число получается путем сложения двух чисел, стоящих выше него.

Можно заметить, что формулы сокращенного умножения квадрат(куб) суммы (разности) – это частный случай формулы бинома Ньютона, когда n=2 и n=3.

Если слагаемых больше, чем два, как выполнить возведение в степень? Полезно вывести формулу квадрата суммы слагаемых, больших, чем два.

Помимо, запоминания формулы, её нужно научиться правильно читать. Данная выше формула, читается так: «Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых».

Еще одной нужной формулой в вычислениях является формула разности n-ых степеней 2-х слагаемых.

Практическое применение формул сокращенно умножения, особенности преподавания в школе

В современной системе образования преобладает системно-деятельностный подход. Это означает, что инициатива к поглощению знаний должна исходить от ученика, а учителю следует только направлять его в нужном направлении. У многих учащихся отсутствует интерес к учёбе, они ссылаются на то, что эти знания нигде не пригодятся в жизни. Как быть учителю в данной ситуации? Какие способы мотивации изучения формул сокращенного умножения найти? Эти замечательные формулы еще как пригодятся в житейских ситуациях. В частности, при подборе строительного материала для дома. Например, вы пришли в супермаркет, и продавец по размеру пола (106 м) навязывает 13 000 м2 паркетной доски. Зная ФСУ, вы с лёгкостью в уме сможете проверить, не обманывает ли вас работник магазина.

(106 м)2=(100+6) 2=10 000+2*100*6+36= 11236 м2

Оказывается, вам достаточно будет 11236 м2.

И так можно вывести абсолютно любую формулу. Главное, уметь упрощать выражения, умножать, приводить подобные слагаемые. Кроме аналитического доказательства формул сокращенного умножения, имеет место быть еще и геометрический. О нём нельзя не упомянуть на уроках алгебры. Полезно будет дать это задание в качестве домашнего в рамках исследовательской деятельности учащихся.

Формулы для квадратовПравить

• – квадрат суммы (разности) двух чисел (многочленов)
• (квадрат суммы трех чисел (многочленов))

Математическое доказательство закона простое. Применив распределительный закон к правой части формулы, получим:

Из-за коммутативности умножения средние члены уничтожаются:

Полученная идентичность — одна из наиболее часто используемых в математике. Среди множества применений она дает простое доказательство неравенства о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом для двух переменных.

Доказательство справедливо в любом коммутативном кольце.

Наоборот, если это тождество выполняется в кольце R для всех пар элементов a и b, то R коммутативно. Чтобы убедиться в этом, применим закон распределения к правой части уравнения и получим:

Чтобы это было равно  , мы должны иметь

для всех пар a, b, поэтому R коммутативно.

Треугольник Паскаля

До этого мы нашли формулы сокращенного умножения, которые позволяют возводить бином (a + b) во вторую и третью степень. Интересно, что есть быстрый способ составить подобное тождество для возведения выражения (a + b) в любую натуральную степень. Для этого используется так называемый треугольник Паскаля. Справедливости ради сразу отметим, что Блез Паскаль описал его лишь в 1653 году, в то время как упоминание о таком треугольнике содержится в трудах китайца Чжу Шицзе (1303 г.), перса Омара Хайяма (1100 г.) и индийца Халаюдхи (Xвек).

Выглядит треугольник Паскаля так:

На вершине (его условно считают нулевым, а не первым уровнем) стоит число 1. На следующем (первом) уровне стоит уже две единицы. Изучим уровень ниже. Здесь уже три числа. По краям снова единицы, а в центре двойка

Обратите внимание, что двойка равна сумме тех 2 цифр, которые расположены над ней (1 и 1)

На следующем уровне уже 4 числа. Снова по краям единицы, а в других ячейках стоят такие числа, что они равны сумме двух чисел над собой (2 + 1 = 3).

По такому же принципу построен весь треугольник. Количество уровней в нем не ограничено, хотя на рисунке последним показан 10-ый уровень.

Итак, при построении треугольника Паскаля используются следующие правила:

• на вершине стоит одна единица
• на каждом следующем уровне находится на одно число больше, чем на предыдущем;
• по бокам на каждом уровне стоят единицы;
• на всех остальных позициях стоят числа, которые равны сумме двух расположенных над ними чисел.

Какое же отношение треугольник Паскаля имеет к формулам сокращенного умножения? Запишем тождества для возведения в различные степени бинома a + b, а рядом – числа из соответствующего уровня треугольника (их называют биноминальными коэффициентами):

• (a + b)1 = 1a + 1b, биноминальные коэффициенты 1 и 1;
• (a + b)2 = 1a2+ 2ab+ 1b2, биноминальные коэффициенты 1, 2, 1;
• (a + b)3 = 1a3 + 3a2b +3ab2 + 1b3, коэффициенты равны 1, 3, 3, 1;

Можно заметить, что числа в треугольнике совпадают с теми коэффициентами, которые есть в формуле сокращенного умножения:

И такое соответствие будет верно для любой формулы вида (a + b)n, где n– натуральное число, хотя доказательство этого факта выходит за рамки 7 класса. Так, формула для возведения в 6-ую степень будет выглядеть так:

(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6

Первым слагаемым идет a6, а далее слагаемое с буквенной частью a5b. У каждого следующего слагаемого числовой множитель берется из треугольника Паскаля, а в буквенной части у переменной a степень уменьшается, в то время как у b – увеличивается:

a6

6a5b

15a4b2

20a3b3

15a2b4

6ab5

b2

При этом степень каждого одночлена равна 6.

У треугольника Паскаля есть много других важных свойств, из-за которых он используется в иных разделах математики, в частности, в комбинаторике (она изучает количество способов, которыми можно расставить в определенном порядке предметы)и теории вероятностей. Например, можно заметить, что сумма всех чисел в строке n равна 2n:

1 + 2 + 1 = 4 = 22

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23

1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24

Более подробно использование треугольника Паскаля будет рассмотрено в старших классах.

Сферы применения формул сокращенного умножения (фсу) и примеры

Основное предназначение формул сокращенного умножения (фсу) объясняется их названием, то есть, оно состоит в кратком умножении выражений. Однако сфера применения ФСУ намного шире, и не ограничивается кратким умножением. Перечислим основные направления.

Несомненно, центральное приложение формулы сокращенного умножения нашли в выполнении тождественных преобразований выражений. Наиболее часто эти формулы используются в процессе упрощения выражений.

Пример.

Упростите выражение 9·y−(1+3·y)2.

Решение.

В данном выражении возведение в квадрат можно выполнить сокращенно, имеем 9·y−(1+3·y)2=9·y−(12+2·1·3·y+(3·y)2). Остается лишь раскрыть скобки и привести подобные члены: 9·y−(12+2·1·3·y+(3·y)2)=9·y−1−6·y−9·y2=3·y−1−9·y2.

Ответ:

9·y−(1+3·y)2=3·y−1−9·y2.

И если в 7 классе речь идет о преобразовании целых выражений с помощью формул сокращенного умножения, то в старших классах можно будет видеть применение ФСУ к преобразованию выражений всех других видов – дробных, иррациональных, логарифмических, тригонометрических и других. К примеру, тождества сокращенного умножения с переставленными частями позволяют представлять выражения в виде степеней или произведений, в частности, выполнять разложение многочленов на множители. Это очень полезно, к примеру, при сокращении алгебраических дробей.

Пример.

Сократите дробь .

Решение.

В числителе выражение представляет собой разность кубов двух выражений 2·x и z2, а в знаменателе – разность квадратов этих выражений. После применения соответствующих формул исходная дробь примет вид . Теперь можно сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе: .

Оформим все решение кратко:

Ответ:

.

Формулы сокращенного умножения иногда позволяют рационально вычислять значения выражений. В качестве примера покажем, как можно возвести число 79 в квадрат с помощью формулы квадрата разности: 792=(80−1)2=802−2·80·1+12=6 400−160+1=6 241. Такой подход позволяет выполнять подобные вычисления даже устно.

В заключение скажем еще про одно важное преобразование – выделение квадрата двучлена, в основе которого лежит формула сокращенного умножения квадрат суммы. Например, выражение 4·x2+4·x−3 может быть преобразовано к виду (2·x)2+2·2·x·1+12−4, и первые три слагаемых заменяются с использованием формулы квадратом суммы

Так что выражение принимает вид (2·x+1)2−4. Подобные преобразования широко используются, например, при интегрировании.

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / ; под ред. С. А. Теляковского. — 17-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 240 с. : ил. — ISBN 978-5-09-019315-3.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 13-е изд., испр. — М.: Мнемозина, 2009. — 160 с.: ил. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Применение ФСУ для решения уравнений

К примеру, нужно решить уравнение, содержащее многочлен 3 степени:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

В школьной программе не рассматриваются универсальные приёмы для решения кубических уравнений, и подобные задания чаще всего решаются более простыми методами (например, разложением на множители). Если заметить, что левая часть тождества напоминает куб суммы, то уравнение можно записать в более простом виде:

(x + 1)³ = 0.

Корень такого уравнения вычисляется устно: x = -1.

Аналогичным способом решаются неравенства. Для примера можно решить неравенство x³ 6x² + 9x &gt, 0.

В первую очередь необходимо разложить выражение на множители. Вначале нужно вынести за скобку x

После этого следует обратить внимание, что выражение в скобках можно преобразовать в квадрат разности

Затем необходимо найти точки, в которых выражение принимает нулевые значения, и отметить их на числовой прямой. В конкретном случае это будут 0 и 3. Затем методом интервалов определить, в каких промежутках x будет соответствовать условию неравенства.

ФСУ могут оказаться полезными при выполнении некоторых расчётов без помощи калькулятора:

703² 203² = (703 + 203)(703 — 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

Примеры задач для 7−8 класса

В заключение разберём и решим два задания на применение формул сокращённого умножения по алгебре. Если вы новичек, то лучше всего начать играть без настоящих ставок. Однако если уже вы решились, то найти интернет казино вулкан с выводом на реальные деньги можно с помощью рейтингов или же обратившись за советом к более опытным гемблерам. В принципе можно попробовать метод проб и ошибок, но это будет сложнее и дольше.

Задача 1. Упростить выражение:

(m + 3)² + (3m + 1)(3m — 1) — 2m (5m + 3).

Решение. В условии задания требуется упростить выражение, т. е. раскрыть скобки, выполнить действия умножения и возведения в степень, а также привести все подобные слагаемые. Условно разделим выражение на три части (по числу слагаемых) и поочерёдно раскроем скобки, применяя ФСУ там, где это возможно.

• (m + 3)² = m² + 6m + 9 (квадрат суммы),
• (3m + 1)(3m — 1) = 9m² 1 (разность квадратов),
• В последнем слагаемом необходимо выполнить перемножение: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

Подставим полученные результаты в исходное выражение:

(m² + 6m + 9) + (9m² 1) — (10m² + 6m).

С учётом знаков раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 — 10m² 6m = 8.

Задача 2. Решить уравнение, содержащее неизвестное k в 5 степени:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ 4k² 4k = k³.

Решение. В этом случае необходимо воспользоваться ФСУ и методом группировки. Нужно перенести последнее и предпоследнее слагаемое в правую часть тождества.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Из правой и из левой части выносится общий множитель (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

Всё переносится в левую часть уравнения, чтобы в правой остался 0:

k³(k² + 4k + 4) — k (k² + 4k + 4) = 0.

Снова необходимо вынести общий множитель:

(k³ k)(k² + 4k + 4) = 0.

Из первого полученного сомножителя можно вынести k. По формуле краткого умножения второй множитель будет тождественно равен (k + 2)²:

k (k² 1)(k + 2)² = 0.

Использование формулы разности квадратов:

k (k — 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

Поскольку произведение равно 0, если хотя бы один из его множителей нулевой, найти все корни уравнения не составит труда:

1. k = 0,
2. k — 1 = 0, k = 1,
3. k + 1 = 0, k = -1,
4. (k + 2)² = 0, k = -2.

На основании наглядных примеров можно понять, как запомнить формулы, их отличия, а также решить несколько практических задач с применением ФСУ. Задачи простые, и при их выполнении не должно возникнуть никаких сложностей.

Практическое применение формул сокращенно умножения, особенности преподавания в школе

В современной системе образования преобладает системно-деятельностный подход. Это означает, что инициатива к поглощению знаний должна исходить от ученика, а учителю следует только направлять его в нужном направлении. У многих учащихся отсутствует интерес к учёбе, они ссылаются на то, что эти знания нигде не пригодятся в жизни. Как быть учителю в данной ситуации? Какие способы мотивации изучения формул сокращенного умножения найти? Эти замечательные формулы еще как пригодятся в житейских ситуациях. В частности, при подборе строительного материала для дома. Например, вы пришли в супермаркет, и продавец по размеру пола (106 м) навязывает 13 000 м2 паркетной доски. Зная ФСУ, вы с лёгкостью в уме сможете проверить, не обманывает ли вас работник магазина.

(106 м)2=(100+6) 2=10 000+2*100*6+36= 11236 м2

Оказывается, вам достаточно будет 11236 м2.

Многие учащиеся ссылаются еще и на то, что сложно выучить и запомнить все эти семь формул. Если, вы умеете перемножать выражения, то ничего заучивать и не придётся. Известно, что а3=а*а*а. то есть, нужно умножить число или выражение само на себя столько раз, сколько написано в показателе степени.

Рассмотрим выведение формулы куб суммы:

\

И так можно вывести абсолютно любую формулу. Главное, уметь упрощать выражения, умножать, приводить подобные слагаемые. Кроме аналитического доказательства формул сокращенного умножения, имеет место быть еще и геометрический. О нём нельзя не упомянуть на уроках алгебры. Полезно будет дать это задание в качестве домашнего в рамках исследовательской деятельности учащихся.

Выделение полного квадрата

Часто в многочлене второй степени содержится квадрат суммы или разности, но
содержится в скрытом виде. Чтобы получить полный квадрат в явном виде, нужно преобразовать
многочлен. Для этого, как правило, одно из слагаемых многочлена представляется в виде удвоенного
произведения, а затем к многочлену прибавляется и из него вычитается одно и то же число.

Пример 7. Рассмотрим многочлен второй степени

.

Решение. Этот многочлен можно преобразовать следующим образом:

Здесь мы представили
в виде удвоенного произведения на ,
прибавили к многочлену и вычли из него одно и то же число
, далее применили
формулу квадрата суммы для двучлена .

Итак, мы доказали равенство

,

показывающее, что многочлен второй степени

равен полному квадрату
плюс число .

Пример 8. Рассмотрим многочлен второй степени

.

Решение. Проведём над ним следующие преобразования:

.

Здесь мы представили
в виде удвоенного произведения на ,
прибавили к многочлену и вычли из него одно и то же число
, применили
формулу квадрата разности для двучлена .

Итак, мы доказали равенство

,

показывающее, что многочлен второй степени

равен полному квадрату
плюс число .

Применение формул сокращенного умножения

Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.

• a2 + 2a + 1 = (a + 1)2
• (aс − 4b)(ac + 4b) = a2c2 − 16b2

В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители:

вынесение общего множителя за скобки и

способ группировки.

В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения.

Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку.

Вспомним, как выглядит формула разности кубов.

Формула разности кубов не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.

Важно понимать, что любая формула сокращённого умножения действует и в. (a − b)(a2 ab + b2) = a3 − b3

(a − b)(a2 ab + b2) = a3 − b3

Как разложить на множители разность кубов

Рассмотрим пример. Необходимо разложить на множители разность кубов.

Обратим внимание, что «» — это «», значит, для формулы разности кубов вместо «» мы используем «». Используем формулу разности кубов

На месте «» у нас стоит «», а на месте «», как и в формуле, стоит «»

Используем формулу разности кубов. На месте «» у нас стоит «», а на месте «», как и в формуле, стоит «».

Применение разности кубов в обратную сторону

Рассмотрим другой пример. Требуется преобразовать произведение многочленов в разность кубов, используя формулу сокращенного умножения.

Обратите внимание, что произведение многочленов «(x − 1)(x2 + x + 1)» напоминает правую часть формулы разности кубов

«a3 − b3 = (a − b)(a2 ab + b2)», только вместо «» стоит «», а на месте «» стоит «».

Используем для «(x − 1)(x2 + x + 1)» формулу разности кубов в обратную сторону.

Рассмотрим пример сложнее. Требуется упростить произведение многочленов.

Если сравнить «(y2 − 1)(y4 + y2 + 1)» с правой частью формулы разности кубов «a3 − b3 = (a − b)(a2 ab + b2)», то можно понять, что на месте «» из первой скобки стоит «, а на месте «» стоит «».

Одночлены, которые стоят на месте «» или «» могут стоять в степени.

Например, в рассматриваемом примере на месте «» стоит «». Это означает, что именно «» мы рассматриваем как «».

Представим скобку «(y4 + y2 + 1)» таким образом, чтобы она соответствовала правой части формулы разности кубов.

Используем формулу разности кубов и решим пример до конца.

Вспомним, как выглядит формула суммы кубов.

a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2)

Формула суммы кубов не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.

(a + b)(a2 ab + b2) = a3 + b3

Как разложить на множители сумму кубов

Рассмотрим пример. Необходимо разложить на множители сумму кубов.

Обратим внимание, что «» — это «», значит, для формулы суммы кубов вместо «» мы используем «». Используем формулу суммы кубов

Только вместо «» у нас будет «», а вместо «» будет «»

Используем формулу суммы кубов. Только вместо «» у нас будет «», а вместо «» будет «».

Применение суммы кубов в обратную сторону

Рассмотрим другой пример. Требуется преобразовать произведение многочленов в сумму кубов, используя формулу сокращенного умножения.

Обратите внимание, что произведение многочленов «(p + 1)(p2 − p + 1)» напоминает правую часть формулы суммы кубов

«a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2)», только вместо «» стоит «», а на месте «» стоит «».

Используем для произведения многочленов «(p + 1)(p2 − p + 1)» формулу сумму кубов в обратную сторону.

В этом произведении многочленов не так очевидно, что будет являться в формуле «», а что «».

Если сравнить «(2a + 3)(4a2 − 6a + 9)» с формулы суммы кубов «a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2), то можно понять, что в первой скобке «(2a + 3)» на месте «» стоит «», а на месте «» стоит «».

Теперь представим скобку «(4a2 − 6a + 9)» таким образом, чтобы она соответствовала правой части формулы суммы кубов.

Используем формулу суммы кубов и решим пример до конца.

В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения, а именно, разложение разности кубов на множители. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного материала.

Фсу – формулы сокращённого умножения по алгебре за 7 класс с примерами

Основная задача формул сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения (ФСУ) нужны для того, чтобы умножать и возводить в степень числа, выражения, в том числе многочлены. То есть, при помощи формул можно работать с числами значительно быстрее и проще. Таким образом можно из сложного уравнения сделать обычное, что упростит задачу.

Таблица с формулами сокращённого умножения

Квадрат суммы		Квадрат первого выражения плюс удвоенного произведение первого и второго выражения, плюс квадрат второго выражения.
Квадрат разности		Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого выражения на второе, плюс квадрат второго выражения.
Куб суммы		Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение первого выражения в квадрате на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на второе в квадрате, плюс второе выражение в кубе.
Куб разности		Куб разности двух величин равен первое выражение в кубе минус утроенное произведение первого выражения в квадрате на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на второе в квадрате, минус второе выражение в кубе.
Разность квадратов		Разность квадратов первого и второго выражений равен произведению разности двух выражений и их суммы.
Сумма кубов		Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.
Разность кубов		Произведение разности двух выражений на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.

Формулы сокращенного умножения (скачать таблицу для печати)

Обратите внимание на первые четыре формулы. Благодаря им можно возводить в квадрат или куб суммы (разности) двух выражений

Что касается пятой формулы, её нужно применять, чтобы вкратце умножить разность или сумму двух выражений.

Две последние формулы (6 и 7) применяются, чтобы умножать суммы обоих выражений на их неполный квадрат разности или суммы.

Вышеперечисленные формулы довольно-таки часто нужны на практике. Именно поэтому их желательно знать наизусть.

Если вам попался пример, разложить многочлен на множители, тогда во многих случаях нужно левую и правую часть переставить местами.

Такую же процедуру можно проделывать и с остальными формулами.

Доказательство ФСУ

Шаг первый.

Возведём a + b во вторую степень. Для этого степень трогать не будем, а выполним банальное умножение:  = x .

Шаг второй. Теперь и выносим за скобки: x + x .

Шаг третий. Раскрываем скобки: x + x + x + x .

Шаг четвёртый. Умножаем, не забывая о знаках: x + x + .

Шаг пятый. Упрощаем выражение: .

Точно так же можно доказать абсолютно любую формулу сокращённого умножения.

Примеры и решения с помощью ФСУ

Как правило, эти семь формул применяются тогда, когда нужно упростить выражение, чтобы решить какое-либо уравнение и даже обычный пример.

Пример 1

• Задание
• Упростите выражение:
• Как видно, к этому примеру подходит первая формула сокращённого умножения – Квадрат суммы.
• Решение

Исходя из первой формулы надо пример разложить на множители. Для этого смотрим на формулу и вместо букв подставляем цифры. В нашем случае «а» – это 3x, а «b» – это 5:

1. x x +
2. Считаем правую часть и записываем результат. У нас получается:
3. + x x +
4. В примере надо умножить всё то, что умножается и сразу получаем ответ:

Конечно же, есть примеры и с дробями. Но, если научитесь решать простые примеры, тогда другие виды вам будут не страшны.

Пример 2

• Задание
• Упростите выражение
• Решение
• = – x x + =

Пример 3

1. Задание
2. Представьте в виде квадрата двучлена трёхчлен
3. Решение
4. Здесь квадраты выражений – и
5. Выражения, которые возводились в квадрат – и
6. Удвоенное произведение этих выражений – , который совпадает с со вторым членом трёхчлена (со знаком «плюс), значит,

Итак, как видно, ничего сложно в примерах нет. Главное, знать формулы, где их можно применять, а где можно обойтись и без них.

Полезные источники

1. Арефьева И. Г., Пирютко О. Н. Алгебра: учебник пособие для 7 класса учреждений общего среднего образования: Минск “Народная Асвета”, 2017 – 304 с.
2. Никольский С. М., Потапов М. К. Алгебра 7 класс: М: 2015 – 287 с.
3. Рубин А. Г., Чулков П. В. Алгебра. 7 класс. М: 2015 – 224 с.

Разность и сумма кубов

Рассмотрим последнюю пару формул разность и сумму кубов.

Как мы помним, в разности квадратов у нас идет перемножение разности и суммы данных чисел одно на другое. В разности кубов и в сумме кубов также имеется две скобки:

\( {{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)\);

\( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)\).

1 скобка – разность (или сумма) чисел в первой степени (в зависимости от того, разность или сумму кубов мы раскрываем);

2 скобка – неполный квадрат (присмотрись: если бы мы вычитали (или прибавляли) удвоенное произведение чисел, был бы квадрат), знак при перемножении чисел противоположный знаку изначального выражения.