Основные определения (разбираемся со «сложными» словами)
Одночлены
Одночленами могут быть числа, переменные, произведения чисел и переменных, а так же переменные в степени (если забыл, что такое степень, посмотри тему «Степень и ее свойства»)
Например:
- \( 4\)
- \( x\)
- \( 4x\)
- \( 4{{x}^{2}}\)
- \( 4{{x}^{2}}y\)
Все это – одночлены. Видишь у них нет знаков «+» или «-«, как бы нет других членов.
Многочлены
Многочлен – это выражение, состоящее из суммы (или разности) нескольких одночленов различного вида:
- \( 4{{x}^{2}}+9x\)
- \( 2{{x}^{3}}-16{{x}^{2}}+4x\)
- \( 8x\cdot 4{{y}^{2}}-12+4{{x}^{2}}y-3{{y}^{2}}\cdot {{x}^{4}}+6-5{{y}^{2}}{{x}^{4}}\)
Множители
Так, ну давай по порядку. Как нетрудно догадаться, слово «множитель» происходит от слова «умножать».
Возьмем, например, число \( 12\), разложить его на множители означает расписать его в виде «умножения» или, как принято говорить в математике «произведения» множителей.
Так \( 12\) мы можем получить, умножив \( 2\) на \( 6\).
А \( 6\), в свою очередь, можно представить как произведение \( 2\) и \( 3\).
Чтоб было более наглядно, обратимся к картинке:
На картинке мы видим пошаговое разложение на множители, те которые подчеркнуты – это множители, которые дальше разложить уже нельзя.
То есть их нельзя уже представить в виде произведения (можно конечно представить каждое из них как единица, умноженная на само число, но это нам ничего не дает).
Я обещал, что картинка все разъяснит, ну разве из нее не понятно, что, \( 12=2\cdot 6\), а \( 6=2\cdot 3\)?
Вот и я говорю, что элементарно!
Иными словами, \( 2\cdot 2\cdot 3=12\).
Тут \( 2\), еще раз \( 2\) и \( 3\) – это и есть множители, на которые мы раскладываем.
Зачем нужно раскладывать многочлен на множители?
Это самый главный вопрос. Я уже говорил – чтобы облегчить тебе жизнь.
Раскладывая многочлен на множители, ты упрощаешь выражение! Ты как бы делишь одну большую и сложную проблему, на несколько маленьких и простых и потом разбираешься с каждой маленькой проблемой по отдельности.
А теперь «официальное» определение.
Для чего нужно знать все пять способов?
Потому что нет универсального способа, подходящего для всех многочленов.
Примеры применения ФСУ
Цель использования формул сокращенного умножения — быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, разложении многочленов на множители. Приведем примеры.
Пример 1. ФСУ
Упростим выражение 9 y — (1 + 3 y) 2 .
Применим формулу суммы квадратов и получим:
9 y — (1 + 3 y) 2 = 9 y — (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y — 1 — 6 y — 9 y 2 = 3 y — 1 — 9 y 2
Пример 2. ФСУ
Сократим дробь 8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 .
Замечаем, что выражение в числителе — разность кубов, а в знаменателе — разность квадратов.
8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = 2 x — z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x — z 2 x + z .
Сокращаем и получаем:
8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
Также ФСУ помогают вычислять значения выражений. Главное — уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.
Возведем в квадрат число 79 . Вместо громоздких вычислений, запишем:
79 = 80 — 1 ; 79 2 = 80 — 1 2 = 6400 — 160 + 1 = 6241 .
Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.
Еще один важный момент — выделение квадрата двучлена. Выражение 4 x 2 + 4 x — 3 можно преобразовать в вид 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 — 4 = 2 x + 1 2 — 4 . Такие преобразования широко используются в интегрировании.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Формулы или правила сокращенного умножения используются в арифметике, а точнее — в алгебре, для более быстрого процесса вычисления больших алгебраических выражений. Сами же формулы получены из существующих в алгебре правил для умножения нескольких многочленов.
Использование данных формул обеспечивает достаточно оперативное решение различных математических задач, а также помогает осуществлять упрощение выражений. Правила алгебраических преобразований позволяют выполнять некоторые манипуляции с выражениями, следуя которым можно получить в левой части равенства выражение, стоящее в правой части, или преобразовать правую часть равенства (чтобы получить выражение, стоящее в левой части после знака равенства).
Удобно знать формулы, применяемые для сокращенного умножения, на память, так как они нередко используются при решении задач и уравнений. Ниже перечислены основные формулы, входящие в данный список, и их наименование.
Квадрат суммы
Чтобы вычислить квадрат суммы, необходимо найти сумму, состоящую из квадрата первого слагаемого, удвоенного произведения первого слагаемого на второе и квадрата второго. В виде выражения данное правило записывается следующим образом: (а + с)² = a² + 2ас + с².
Квадрат разности
Чтобы вычислить квадрат разности, необходимо вычислить сумму, состоящую из квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе (взятое с противоположным знаком) и квадрата второго числа. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а — с)² = а² — 2ас + с².
Разность квадратов
Формула разности двух чисел, возведенных в квадрат, равна произведению суммы этих чисел на их разность. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: a² — с² = (a + с)·(a — с).
Куб суммы
Чтобы вычислить куб суммы двух слагаемых, необходимо вычислить сумму, состоящую из куба первого слагаемого, утроенного произведения квадрата первого слагаемого и второго, утроенного произведения первого слагаемого и второго в квадрате, а также куба второго слагаемого. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а + с)³ = а³ + 3а²с + 3ас² + с³.
Чему равен куб разности: формула, доказательство, пример
В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения для разложения на множители куба разности. Также подробно разберем пример решения задачи для закрепления материала.
Формула куба разности
Куб разности a и b равняется кубу a минус утроенное произведение квадрата a на b плюс утроенное произведение квадрата b на a минус куб b.
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Формула работает в обратную сторону:
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3
Доказательство формулы
Представим куб разности в виде произведения:(a – b)3 = (a – b)(a – b)(a – b).
Теперь поочередно выполняем перемножение скобок с учетом арифметических правил:(a – b)(a – b)(a – b) = (a – b)(a – b)2 = (a – b)(a
2 – 2ab + b2) = a3 – 2a2b + ab2 – a2b + 2ab2 – b3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.
Примечание: при раскрытии скобок использовалась формула квадрата разности:(a – b)2 = a2 – 2ab + b2.
Пример
Разложите выражение (4x – 6y)3 на множители.
Решение:Воспользуемся общей формулой, подставив в нее наши значения:(4x – 6y)3 = (4x)3 – 3 ⋅ (4x)2 ⋅ 6y + 3 ⋅ 4x ⋅ (6y)2 – (6y)3 = 64×3 – 288x2y + 432xy2 + 216y
3
Проверка:Давайте перемножим три одинаковые скобки:(4x – 6y)3 = (4x – 6y)(4x – 6y)(4x – 6y) = (4x – 6y)(4x – 6y)2 = (4x – 6y)(16×2 – 48xy + 36y2) = 64×3 – 192x2y + 144xy2 – 96x2y + 288xy2 + 216y3 = 64×3 – 288x2y + 432xy2 + 216y3
Разница двух кубиков
Существует особый случай при умножении многочленов, который дает следующее: a 3 — b 3
Полином выглядит так:
| Пример полинома |
Разница двух кубиков
Разница двух кубов — это частный случай умножения многочленов:
(a − b) (a 2 + ab + b 2 ) = a 3 — b 3
Это иногда возникает при решении задач, поэтому о нем стоит помнить.
А потому и получается так просто (нажмите play):
Пример из геометрии:
Возьмите два куба длины x и y:
Больший куб «x» можно разделить на четыре меньших прямоугольника (кубоидов), причем прямоугольник A представляет собой куб размером «y» :
Объемы этих ящиков:
- A = y 3
- B = x 2 (x — y)
- C = ху (х — у)
- D = y 2 (x — y)
Но вместе A, B, C и D составляют больший куб, имеющий объем x 3 :
| x 3 | = | y 3 + x 2 (x — y) + xy (x — y) + y 2 (x — y) |
| x 3 — y 3 | = | x 2 (x — y) + xy (x — y) + y 2 (x — y) |
| x 3 — y 3 | = | (x — y) (x 2 + xy + y 2 ) |
Привет! В итоге мы получили ту же формулу! Слава Богу.
Сумма двух кубиков
Есть еще «Сумма двух кубов»
Меняя знак b, в каждом случае получаем:
(a + b) (a 2 −ab + b 2 ) = a 3 + b 3
(также обратите внимание на минус перед «ab»)
ГДЗ 5 класс. Математика. Никольский, Потапов. Учебник. Упражнение 272
Ответы к упражнению 272
Другие решебники 5 класс:
Запишите и вычислите:а) сумму чисел: 1) 49 и 51; 2) 56 и 721) 49 + 51 = 1002) 56 и 72 = 128
б) разность чисел: 1) 59 и 34; 2) 66 и 421) 59 – 34 = 252) 66 – 42 = 24
в) сумму квадратов чисел: 1) 7 и 2; 2) 9 и 71) 72 + 22 = 49 + 4 = 532) 92 и 72 = 81 + 49 = 130
г) квадрат суммы чисел: 1) 9 и 11; 2) 6 и 71) (9 + 11)2 = 202 = 4002) (6 + 7)2 = 132 = 169
д) разность квадратов чисел: 1) 5 и 4; 2) 6 и 21) 52 – 42 = 25 — 16 = 92) 62 – 22 = 36 — 4 = 32
е) квадрат разности чисел: 1) 5 и 3; 2) 6 и 41) (5 – 3)2 = 22 = 42) (6 – 4)2 = 22 = 4
ж) сумму кубов чисел: 1) 4 и 3; 2) 5 и 21) 43 + 33 = 64 + 27 = 912) 53 + 23 = 125 + 8 = 133
з) куб суммы чисел: 1) 13 и 7; 2) 5 и 61) (13 + 7)3 = 203 = 80002) (5 + 6)3 = 113 = 1331
и) разность кубов чисел: 1) 4 и 3; 2) 5 и 11) 43 – 33 = 64 — 27 = 372) 53 – 13 = 125 — 1 = 124
к) куб разности чисел: 1) 49 и 46; 2) 56 и 521) (49 – 46)3 = 33 = 272) (56 – 52)3 = 43 = 64
Урок 31. куб суммы. куб разности — Алгебра — 7 класс
Алгебра
7 класс
Урок № 31
Куб суммы. Куб разности
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- Формулы сокращённого умножения.
- Куб суммы. Куб разности.
- Разложение многочлена на множители.
- Тождественные преобразования.
- Вычисление значения числовых выражений.
Тезаурус:
Формулы сокращённого умножения.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b)(a – b) = a2 – b2
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b)(a
2 + ab + b2)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Применение:
- упрощение умножения многочленов;
- разложение многочлена на множители;
- вычисление значения числового выражения;
- тождественные преобразования.
Основная литература:
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
Дополнительная литература:
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Куб суммы.
Рассмотрим произведение:
(a + b)3 = (a + b)2(a + b) = (a2 + 2ab + b2)(a + b).
Применив правило умножения многочленов, и приведя подобные члены, получим:
a3 + 2a2b + b2a + a2b + 2ab2 + b 3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Итак, доказано равенство, которое называют «куб суммы»: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Читается так: «куб суммы двух чисел равен кубу первого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа и квадрата второго, плюс куб второго числа».
Куб разности.
Аналогично докажем формулу «куб разности».
Рассмотрим произведение:
(a – b)3 = (a – b)2(a – b) =(a2 – 2ab + b2)(a – b)
Применив правило умножения многочленов, получим:
a3 – 2a2b + b2a – a2b + 2ab2 – b3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Доказано равенство, которое называют «куб разности»:
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Читается так: «куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа и квадрата второго, минус куб второго числа».
Формулы суммы и разности кубов часто используют для упрощения выражений.
Разбор решения заданий тренировочного модуля.
Задача 1.
Найдите куб двучлена:
(a + 3)3 = a3 + 3a2 · 3 + 3a · 32 + 33 = a3 + 9a2 + 27a + 27.
(10 – a)3 =103 – 3 · 102 a + 3 · 10 · a2 – a3 = 1000 – 300a + 30a2 – a3.
Задача 2.
Упростите: x3 + 3x(x + 4) – (x + 2)3
x3 + 3×2 + 12x – (x3 + 6×2 + 12x + 
=
x3 + 3x
2 + 12x – x3 – 6×2 – 12x – 8 =
= -3×2 – 8.
Ответ: -3×2 – 8.
Задача 3.
Решите уравнение:
x3 + 9×2 – (x + 3)3 = 0
x3 + 9×2 – (x3 + 9×2 + 27x + 27) = 0
x3 + 9×2 – x3 – 9×2 – 27x – 27 = 0
-27x = 27
Ответ: х = -1.
В чем разница между кубом и кубиком?
Кубический куба
Этимология 1 От ( этил ). ( ru имя существительное ) (геометрия) Правильный многогранник с шестью одинаковыми квадратными гранями.
(математика) Третья степень числа, значения, члена или выражения.
(вычисление) Структура данных, состоящая из трехмерного массива; куб данных * правильный шестигранник ( редкий ) Глагол( куб. ) (арифметика) Возвести в третью степень; для определения результата умножения на себя дважды.
Придать форму куба.
(Великобритания) для использования кубика Рубика.
* ( нарезать кубиками ) кубики
* |
Английский * cubick () (–) (геометрия) Используется в названиях единиц объема, образованных двойным умножением единицы длины на себя.2 + к.х + д
* ( кристаллография ) изометрия, монометрия * кубическая кривая |
