Все формулы сокращенного умножения, объяснения, примеры

Куб суммы и куб разности

\( \displaystyle {{(a+b)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\)

Формулы куба суммы и куба разности выводятся аналогичным образом, как квадрат суммы и квадрат разности: раскрытием скобок при перемножении членов друг на друга.

Если квадрат суммы и квадрат разности запомнить весьма легко, то возникает вопрос «как запомнить кубы?»

Посмотри внимательно на две описываемые формулы в сравнении с возведением аналогичных членов в квадрат:

\( {{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\)	\( {{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\)
\( {{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\)	\( {{\left( a-b \right)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}\)

Какую ты видишь закономерность?

• При возведении в квадрат у нас есть квадрат первого числа и квадрат второго. При возведении в куб – есть куб одного числа и куб другого числа.
• При возведении в квадрат, у нас есть удвоенное произведение чисел (числа в 1 степени, что на одну степень меньше чем та, в которую возводим выражение). При возведении в куб – утроенное произведение, при котором одно из чисел возводится в квадрат (что так же на 1 степень меньше, чем степень, в которую возводим выражение).
• При возведении в квадрат знак в скобках в раскрытом выражении отражается при прибавлении (или вычитании) удвоенного произведения – если в скобках сложение, то прибавляем, если вычитание – отнимаем. При возведении в куб правило такое: если у нас куб суммы, то все знаки «+», а если куб разности, то знаки чередуются: «\( +\)» — «\( —\)» — «\( +\)» — «\( —\)».

Всё перечисленное, кроме зависимости степеней при умножении членов, изображено на рисунке.

Решение сложной задачи на упрощение и преобразование рациональных выражений

\

Сначала рассмотрим и раскроем первую скобку: в ней мы видим три отдельных дроби с разными знаменателями поэтому первое, что нам необходимо сделать — это привести все три дроби к общему знаменателю, а для этого каждый из них следует разложить на множители:

\

\

Перепишем всю нашу конструкцию следующим образом:

\

\

\

\

Это результат вычислений из первой скобки.

Разбираемся со второй скобкой:

\

Перепишем вторую скобку с учетом изменений:

\

Теперь запишем всю исходную конструкцию:

\

Ответ: $\frac{1}{x+2}$.

Нюансы решения

Как видите, ответ получился вполне вменяемый

Однако обратите внимание: очень часто при таких масштабных вычислениях, когда единственная переменная оказывается лишь в знаменателе, ученики забывают, что это знаменатель и он должен стоял внизу дроби и пишут это выражение в числитель — это грубейшая ошибка

Кроме того, хотел бы обратить ваше отдельное внимание на то, как оформляются такие задачи. В любых сложных вычислениях все шаги выполняются по действиям: сначала отдельно считаем первую скобку, потом отдельно вторую и лишь в конце мы объединяем все части и считаем результат

Таким образом мы страхуем себя от глупых ошибок, аккуратно записываем все выкладки и при этом нисколько не тратим лишнего времени, как это может показаться на первый взгляд.

До новых встреч!

1. Как выполнять сокращение рациональных дробей без ошибок? Простой алгоритм на примере пяти различных задач.
2. Дробно-рациональные выражения
3. Тест к уроку «Десятичные дроби» (2 вариант)
4. Периодические десятичные дроби
5. Быстрое возведение чисел в квадрат без калькулятора
6. ЕГЭ 2022, задание 6. Касательная и уравнение с параметром

Выведение и доказательство формулы квадрата суммы

Итак, мы вы­ве­ли фор­му­лу квад­ра­та суммы:

.

Сло­вес­но эта фор­му­ла вы­ра­жа­ет­ся так: квад­рат суммы равен квад­ра­ту пер­во­го числа плюс удво­ен­ное про­из­ве­де­ние пер­во­го числа на вто­рое плюс квад­рат вто­ро­го числа.

Дан­ную фор­му­лу легко пред­ста­вить гео­мет­ри­че­ски.

Рас­смот­рим квад­рат со сто­ро­ной :

 – пло­щадь квад­ра­та.

С дру­гой сто­ро­ны, этот же квад­рат можно пред­ста­вить иначе, раз­бив сто­ро­ну на а и b (рис. 1).

Рис. 1. Квад­рат

Тогда пло­щадь квад­ра­та можно пред­ста­вить в виде суммы пло­ща­дей:

.

По­сколь­ку квад­ра­ты были оди­на­ко­вы, то их пло­ща­ди равны, зна­чит:

 .

Итак, мы до­ка­за­ли гео­мет­ри­че­ски фор­му­лу квад­ра­та суммы.

Как использовать разность кубов

В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки.

В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения.

Прежде чем перейти к этому уроку обязательно выучите наизусть все формулы сокращенного умножения.

Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку.

Вспомним, как выглядит формула разности кубов.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )

Формула разности кубов не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.

Важно понимать, что любая формула сокращённого умножения действует и в обратную сторону. (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b 3

(a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b 3

Как разложить на множители разность кубов

Рассмотрим пример. Необходимо разложить на множители разность кубов.

Обратим внимание, что « 27а 3 » — это « (3а) 3 », значит, для формулы разности кубов вместо « a » мы используем « 3a ». Используем формулу разности кубов

На месте « a 3 » у нас стоит « 27a 3 », а на месте « b 3 », как и в формуле, стоит « b 3 »

Используем формулу разности кубов. На месте « a 3 » у нас стоит « 27a 3 », а на месте « b 3 », как и в формуле, стоит « b 3 ».

Применение разности кубов в обратную сторону

Рассмотрим другой пример. Требуется преобразовать произведение многочленов в разность кубов, используя формулу сокращенного умножения.

Обратите внимание, что произведение многочленов « (x − 1)(x 2 + x + 1) » напоминает правую часть формулы разности кубов « a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) », только вместо « a » стоит « x », а на месте « b » стоит « 1 ». Используем для « (x − 1)(x 2 + x + 1) » формулу разности кубов в обратную сторону

Используем для « (x − 1)(x 2 + x + 1) » формулу разности кубов в обратную сторону.

Рассмотрим пример сложнее. Требуется упростить произведение многочленов.

Если сравнить « (y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1) » с правой частью формулы разности кубов « a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) », то можно понять, что на месте « a » из первой скобки стоит « y 2 , а на месте « b » стоит « 1 ».

Одночлены, которые стоят на месте « a » или « b » могут стоять в степени.

Например, в рассматриваемом примере на месте « a » стоит « y 2 ». Это означает, что именно « y 2 » мы рассматриваем как « a ».

Представим скобку « (y 4 + y 2 + 1) » таким образом, чтобы она соответствовала правой части формулы разности кубов.

Как читать формулы сокращенного умножения

Учимся проговаривать формулы сокращенного выражения:

1. Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и их суммы.
2. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.
3. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.
4. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго на неполный квадрат их разности.
5. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго на неполный квадрат их суммы.
6. Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.
7. Куб разности двух выражений равен кубу первого минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго.

Формула суммы кубов

Сумма кубов чисел/выражений равна произведению их суммы на неполный квадрат их разности.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 )

Полный квадрат разности выглядит так: (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 . В нашем случае во второй скобке вместо удвоенного произведения стоит одинарное, поэтому выражение называется неполным.

Формула справедлива и справа-налево:

(a + b)(a 2 – ab + b 2 ) = a 3 + b 3

Примечание: a 3 + b 3 ≠ (a + b) 3

Формула суммы кубов

В алгебре существуют специальные формулы, с помощью которых удается значительно сократить последовательные расчеты при перемножении одночленов и многочленов с цифрами или буквами. Данные принципы применяют в решении разнообразных задач. Это особый случай уравнения бинома Ньютона. Как правило, использование таких формул изучают на уроках в средних классах школы.

Популярные методы упрощения действия умножения применимы в каждом из математических разделов, в том числе, элементарной алгебре и высшей математике. С помощью достаточно простых закономерностей из сложных выражений получают простые соотношения, находят корни разных уравнений и неравенств, записывают в сокращенной версии дробные числа, высчитывают пределы и интегралы. Рассмотрим одну из формул сокращенного умножения под названием сумма кубов.

Сумма кубов пары выражений вычисляется, как результат умножения суммы данных выражений и неполного квадрата разности этих же выражений, то есть:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут

\(a^{3} + b^{3} = (a + b) \cdot (a^{2} — ab + b^{2})\)

Попробуем доказать записанное равенство. С этой целью выполним умножение выражений, заключенных в скобки, путем устранения этих скобок. Таким образом:

\((a + b) \cdot (a^{2} — ab + b^{2}) = a^{3} — a^{2}b + ab^{2} + ba^{2} — ab^{2} + b^{3} = a^{3} + b^{3}\)

В результате формула сокращенного умножения, то есть в данном случае сумма кубов, доказана.

В распространенных ситуациях рассмотренное выше соотношение используют при решении задач в алгебре, когда требуется:

• разложить выражение на множители;
• упростить решаемый пример.

Применение формул сокращенного умножения

Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.

• a2 + 2a + 1 = (a + 1)2
• (aс − 4b)(ac + 4b) = a2c2 − 16b2

В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители:

вынесение общего множителя за скобки и

способ группировки.

В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения.

Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку.

Вспомним, как выглядит формула разности кубов.

Формула разности кубов не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.

Важно понимать, что любая формула сокращённого умножения действует и в. (a − b)(a2 ab + b2) = a3 − b3

(a − b)(a2 ab + b2) = a3 − b3

Как разложить на множители разность кубов

Рассмотрим пример. Необходимо разложить на множители разность кубов.

Обратим внимание, что «» — это «», значит, для формулы разности кубов вместо «» мы используем «». Используем формулу разности кубов

На месте «» у нас стоит «», а на месте «», как и в формуле, стоит «»

Используем формулу разности кубов. На месте «» у нас стоит «», а на месте «», как и в формуле, стоит «».

Применение разности кубов в обратную сторону

Рассмотрим другой пример. Требуется преобразовать произведение многочленов в разность кубов, используя формулу сокращенного умножения.

Обратите внимание, что произведение многочленов «(x − 1)(x2 + x + 1)» напоминает правую часть формулы разности кубов

«a3 − b3 = (a − b)(a2 ab + b2)», только вместо «» стоит «», а на месте «» стоит «».

Используем для «(x − 1)(x2 + x + 1)» формулу разности кубов в обратную сторону.

Рассмотрим пример сложнее. Требуется упростить произведение многочленов.

Если сравнить «(y2 − 1)(y4 + y2 + 1)» с правой частью формулы разности кубов «a3 − b3 = (a − b)(a2 ab + b2)», то можно понять, что на месте «» из первой скобки стоит «, а на месте «» стоит «».

Одночлены, которые стоят на месте «» или «» могут стоять в степени.

Например, в рассматриваемом примере на месте «» стоит «». Это означает, что именно «» мы рассматриваем как «».

Представим скобку «(y4 + y2 + 1)» таким образом, чтобы она соответствовала правой части формулы разности кубов.

Используем формулу разности кубов и решим пример до конца.

Вспомним, как выглядит формула суммы кубов.

a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2)

Формула суммы кубов не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.

(a + b)(a2 ab + b2) = a3 + b3

Как разложить на множители сумму кубов

Рассмотрим пример. Необходимо разложить на множители сумму кубов.

Обратим внимание, что «» — это «», значит, для формулы суммы кубов вместо «» мы используем «». Используем формулу суммы кубов

Только вместо «» у нас будет «», а вместо «» будет «»

Используем формулу суммы кубов. Только вместо «» у нас будет «», а вместо «» будет «».

Применение суммы кубов в обратную сторону

Рассмотрим другой пример. Требуется преобразовать произведение многочленов в сумму кубов, используя формулу сокращенного умножения.

Обратите внимание, что произведение многочленов «(p + 1)(p2 − p + 1)» напоминает правую часть формулы суммы кубов

«a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2)», только вместо «» стоит «», а на месте «» стоит «».

Используем для произведения многочленов «(p + 1)(p2 − p + 1)» формулу сумму кубов в обратную сторону.

В этом произведении многочленов не так очевидно, что будет являться в формуле «», а что «».

Если сравнить «(2a + 3)(4a2 − 6a + 9)» с формулы суммы кубов «a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2), то можно понять, что в первой скобке «(2a + 3)» на месте «» стоит «», а на месте «» стоит «».

Теперь представим скобку «(4a2 − 6a + 9)» таким образом, чтобы она соответствовала правой части формулы суммы кубов.

Используем формулу суммы кубов и решим пример до конца.

В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения, а именно, разложение разности кубов на множители. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного материала.

Фсу – формулы сокращённого умножения по алгебре за 7 класс с примерами

Основная задача формул сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения (ФСУ) нужны для того, чтобы умножать и возводить в степень числа, выражения, в том числе многочлены. То есть, при помощи формул можно работать с числами значительно быстрее и проще. Таким образом можно из сложного уравнения сделать обычное, что упростит задачу.

Таблица с формулами сокращённого умножения

Квадрат суммы		Квадрат первого выражения плюс удвоенного произведение первого и второго выражения, плюс квадрат второго выражения.
Квадрат разности		Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого выражения на второе, плюс квадрат второго выражения.
Куб суммы		Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение первого выражения в квадрате на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на второе в квадрате, плюс второе выражение в кубе.
Куб разности		Куб разности двух величин равен первое выражение в кубе минус утроенное произведение первого выражения в квадрате на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на второе в квадрате, минус второе выражение в кубе.
Разность квадратов		Разность квадратов первого и второго выражений равен произведению разности двух выражений и их суммы.
Сумма кубов		Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.
Разность кубов		Произведение разности двух выражений на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.

Формулы сокращенного умножения (скачать таблицу для печати)

Обратите внимание на первые четыре формулы. Благодаря им можно возводить в квадрат или куб суммы (разности) двух выражений

Что касается пятой формулы, её нужно применять, чтобы вкратце умножить разность или сумму двух выражений.

Две последние формулы (6 и 7) применяются, чтобы умножать суммы обоих выражений на их неполный квадрат разности или суммы.

Вышеперечисленные формулы довольно-таки часто нужны на практике. Именно поэтому их желательно знать наизусть.

Такую же процедуру можно проделывать и с остальными формулами.

Доказательство ФСУ

Шаг первый.

Возведём a + b во вторую степень. Для этого степень трогать не будем, а выполним банальное умножение:  = x .

Шаг второй. Теперь и выносим за скобки: x + x .

Шаг третий. Раскрываем скобки: x + x + x + x .

Шаг четвёртый. Умножаем, не забывая о знаках: x + x + .

Шаг пятый. Упрощаем выражение: .

Точно так же можно доказать абсолютно любую формулу сокращённого умножения.

Примеры и решения с помощью ФСУ

Как правило, эти семь формул применяются тогда, когда нужно упростить выражение, чтобы решить какое-либо уравнение и даже обычный пример.

Пример 1

• Задание
• Упростите выражение:
• Как видно, к этому примеру подходит первая формула сокращённого умножения – Квадрат суммы.
• Решение

Исходя из первой формулы надо пример разложить на множители. Для этого смотрим на формулу и вместо букв подставляем цифры. В нашем случае «а» – это 3x, а «b» – это 5:

1. x x +
2. Считаем правую часть и записываем результат. У нас получается:
3. + x x +
4. В примере надо умножить всё то, что умножается и сразу получаем ответ:

Конечно же, есть примеры и с дробями. Но, если научитесь решать простые примеры, тогда другие виды вам будут не страшны.

Пример 2

• Задание
• Упростите выражение
• Решение
• = – x x + =

Пример 3

1. Задание
2. Представьте в виде квадрата двучлена трёхчлен
3. Решение
4. Здесь квадраты выражений – и
5. Выражения, которые возводились в квадрат – и
6. Удвоенное произведение этих выражений – , который совпадает с со вторым членом трёхчлена (со знаком «плюс), значит,

Итак, как видно, ничего сложно в примерах нет. Главное, знать формулы, где их можно применять, а где можно обойтись и без них.

Полезные источники

1. Арефьева И. Г., Пирютко О. Н. Алгебра: учебник пособие для 7 класса учреждений общего среднего образования: Минск “Народная Асвета”, 2017 – 304 с.
2. Никольский С. М., Потапов М. К. Алгебра 7 класс: М: 2015 – 287 с.
3. Рубин А. Г., Чулков П. В. Алгебра. 7 класс. М: 2015 – 224 с.

Примеры задач

Задача 1

Дано несколько выражений, которые с применением формул сокращенного умножения требуется разложить на множители:

\(x^3+y^3\)

\(m^3-n^3\)

\(8a^3+1\)

\(125-64y^3\)

\(\frac{1}{8} k^6-8\)

\(27+ \frac{m^3}{125}\)

Решение

Вспомним правило куба суммы и выполним соответствующие преобразования. В результате:

\(x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)\)

\(m^3-n^3 = (m-n)(m^2+mn+n^2)\)

\(8a^3+1 = (2a)^3+1^3 = (2a+1)(4a^2-2a+1)\)

\(125-64y^3 = 5^3-(4y)^3 = (5-4y)(25+20y+16y^2)\)

\(\frac{1}{8} k^6-8 = ( \frac{1}{2} k^2 )^3-2^3=(\frac{1}{2} k^2-2)(\frac{1}{4} k^4+k^2+4)\)

\(27+ \frac{m^3}{125} = 3^3+(\frac{m}{5})^3 = (3+\frac{m}{5})(9-\frac{3m}{5}+\frac{m^2}{25})\)

Ответ: \((x+y)(x^2-xy+y^2); (m-n)(m^2+mn+n^2); (2a+1)(4a^2-2a+1); (5-4y)(25+20y+16y^2); (\frac{1}{2} k^2-2)(\frac{1}{4} k^4+k^2+4); (3+\frac{m}{5})(9-\frac{3m}{5}+\frac{m^2}{25}).\)

Задача 2

 Дано следующее выражение:

\(19^3-11^3\)

Необходимо представить доказательства его кратности числу 8.

Решение

Воспользуемся формулой разности кубов, которую достаточно просто получить из соотношения суммы кубов. Выполним преобразования путем деления данного выражения на число 8:

\(\frac{19^3-11^3}{8} = \frac{(19-11)(19^2+19\cdot11+11^2 )}{8} = \frac{8(19^2+19\cdot11+11^2 )}{8} = 19 ^2+19\cdot11+11^2\)

Ответ: выражение \(19^3-11^3\) кратно числу 8.

Задача 3

Дано несколько выражений, которые с помощью применения формул сокращенного умножения требуется записать в форме многочлена:

\((x+5)^3\)

\((9-z)^3\)

\((5b-3c)^3\)

\((2mk+1)^3\)

Решение

Выполним соответствующие преобразования, используя уже знакомые правила разложения кубов суммы и разности кубов на многочлены:

\((x+5)^3 = x^3+3\cdot x^2\cdot5+3\cdot x\cdot5^2+5^3 = x^3+15x^2+75x+125\)

\((9-z)^3 = 9^3-3\cdot9^2\cdot z+3\cdot9\cdot z^2-z^3 = 729-243+27z^2-z^3\)

\((5b-3c)^3 = (5b)^3-3\cdot(5b)^2\cdot3c+3\cdot5b\cdot(3c)^2-(3c)^3 = 125b^3-225b^2c+135bc^2-27c^3\)

\((2mk+1)^3 = (2mk)^3+3\cdot(2mk)^2\cdot1+3\cdot2mk\cdot1^2+1^3 = 8m^3k^3+12m^2k^2+6mk+1\)

Ответ:  \(x^3+15x^2+75x+125; 729-243+27z^2-z^3; 125b^3-225b^2 c+135bc^2-27c^3; 8m^3k^3+12m^2k^2+6mk+1.\)

Задача 4

Необходимо записать в упрощенной форме следующие выражения:

\((a+2)^3-(a-2)^3\)

\((x-3y)^3+9xy(x-3y)\)

\((x+y)^3-x(x-y)^2\)

\(3m(k+3m)^2-(k+3m)^3\)

Решение

Заметим, что в данном случае целесообразно воспользоваться формулами сокращенного умножения. Применим куб суммы и куб разности, чтобы упростить соотношения и запишем ответы:

\((a+2)^3-(a-2)^3 = a^3+3a^2\cdot2+3a\cdot2^2+2^3-(a^3-3a^2\cdot2+3a\cdot2^2-2^3 )= 2\cdot6a^2-2\cdot8 = 12a^2-16\)

\((x-3y)^3+9xy(x-3y) = x^3-3x^2\cdot3y+3x\cdot(3y)^2-27y^3+9x^2 y-27xy^2 = x^3-27y^3\)

\((x+y)^3-x(x-y)^2 = x^3-3x^2 y+3xy^2+y^3-x(x^2-2xy+y^2 ) = x^3-3x^2 y+3xy^2+y^3-x^3+2x^2 y-xy^2 = -x^2 y+2xy^2+y^3\)

\(3m(k+3m)^2-(k+3m)^3 = 3m(k^2+6km+9m^2 )-(k^3+3k^2\cdot3m+3k\cdot(3m)^2+(3m)^3 ) = 3k^2 m+18km^2+27m^3- k^3-9k^2 m-27km^2-27m^3 = -6k^2 m-9km^2-k^3\)

Ответ: \(12a^2-16; x^3-27y^3; -x^2 y+2xy^2+y^3; -6k^2 m-9km^2-k^3.\)

Задача 5

Задано несколько выражений, значение которых необходимо вычислить с использованием формул сокращенного умножения и подстановки неизвестных:

\(a^3-b^3-3ab(a-b)\), если \(a = -7; b = -17\)

\(3ab(a+b)+a^3+b^3\), если \(a = -3; b = 13.\)

Решение:

Заменим неизвестные данными числами и воспользуемся правилами сокращенного умножения:

\(a^3-b^3-3ab(a-b) = a^3-b^3-3a^2 b+3ab^2 = a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3 = (a-b)^3\)

Путем подстановки получим:

\((-7-(-17) )^3 = 10^3 = 1000\)

Аналогичным способом вычислим второе выражение:

\(3ab(a+b)+a^3+b^3 = 3a^2 b+3ab^2+a^3+b^3 = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 =(a+b)^3\)

Подставим значения из условия задачи:

\((-3+13)^3 = 10^3 = 1000\)

Ответ: \(1000; 1000.\)

Пример задач на использование формул разности квадратов и суммы и разности кубов

Пример 4

Разложить на множители.

а) ${(a+5)}^2-9$

в) $-x^3+\frac{1}{27}$

Решение:

а) ${(a+5)}^2-9$

\

Применяя формулу разности квадратов, получим:

\

Запишем данное выражение в виде:

Применим формулу кумы кубов:

в) $-x^3+\frac{1}{27}$

Запишем данное выражение в виде:

\

Применим формулу кумы кубов:

\

Формулы или правила сокращенного умножения используются в арифметике, а точнее — в алгебре, для более быстрого процесса вычисления больших алгебраических выражений. Сами же формулы получены из существующих в алгебре правил для умножения нескольких многочленов.

Использование данных формул обеспечивает достаточно оперативное решение различных математических задач, а также помогает осуществлять упрощение выражений. Правила алгебраических преобразований позволяют выполнять некоторые манипуляции с выражениями, следуя которым можно получить в левой части равенства выражение, стоящее в правой части, или преобразовать правую часть равенства (чтобы получить выражение, стоящее в левой части после знака равенства).

Удобно знать формулы, применяемые для сокращенного умножения, на память, так как они нередко используются при решении задач и уравнений. Ниже перечислены основные формулы, входящие в данный список, и их наименование.

Квадрат суммы

Чтобы вычислить квадрат суммы, необходимо найти сумму, состоящую из квадрата первого слагаемого, удвоенного произведения первого слагаемого на второе и квадрата второго. В виде выражения данное правило записывается следующим образом: (а + с)² = a² + 2ас + с².

Квадрат разности

Чтобы вычислить квадрат разности, необходимо вычислить сумму, состоящую из квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе (взятое с противоположным знаком) и квадрата второго числа. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а — с)² = а² — 2ас + с².

Разность квадратов

Формула разности двух чисел, возведенных в квадрат, равна произведению суммы этих чисел на их разность. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: a² — с² = (a + с)·(a — с).

Куб суммы

Чтобы вычислить куб суммы двух слагаемых, необходимо вычислить сумму, состоящую из куба первого слагаемого, утроенного произведения квадрата первого слагаемого и второго, утроенного произведения первого слагаемого и второго в квадрате, а также куба второго слагаемого. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а + с)³ = а³ + 3а²с + 3ас² + с³.

Сумма кубов

Согласно формуле, приравнивается к произведению суммы данных слагаемых на их неполный квадрат разности. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: а³ + с³ = (а + с)·(а² — ас + с²).

Пример.
Необходимо вычислить объем фигуры, которая образована сложением двух кубов. Известны лишь величины их сторон.

Если значения сторон небольшие, то выполнить вычисления просто.

Если же длины сторон выражаются в громоздких числах, то в этом случае проще применить формулу «Сумма кубов», которая значительно упростит вычисления.

Куб разности

Выражение для кубической разности звучит так: как сумма третьей степени первого члена, утроенного отрицательного произведения квадрата первого члена на второй, утроенного произведения первого члена на квадрат второго и отрицательного куба второго члена. В виде математического выражения куб разности выглядит следующим образом: (а — с)³ = а³ — 3а²с + 3ас² — с³.

Разность кубов

Формула разности кубов отличается от суммы кубов лишь одним знаком. Таким образом, разность кубов — формула, равная произведению разности данных чисел на их неполный квадрат суммы. В виде разность кубов выглядит следующим образом: а 3 — с 3 = (а — с)(а 2 + ас + с 2).

Пример.
Необходимо вычислить объем фигуры, которая останется после вычитания из объема синего куба объемной фигуры желтого цвета, которая также является кубом. Известна лишь величина стороны маленького и большого куба.

Если значения сторон небольшие, то вычисления довольно просты. А если длины сторон выражаются в значительных числах, то стоит применить формулу, озаглавленную «Разность кубов» (или «Куб разности»), которае значительно упростит вычисления.