Вычисление радиуса окружности, описанной около треугольника

Описанная и вписанная окружности правильного многоугольника

Докажем важную теорему о правильном многоугольнике.

Для доказательства обозначим вершины произвольного правильного n-угольника буквами A1, A2, A3…An. Затем проводим биссектрисы углов ∠А1 и ∠А2. Они пересекаются в некоторой точке O. Соедините O с другими вершинами многоугольника отрезками OA3, OA4 и т д

∠A1 и ∠A2 совпадают по определению правильного многоугольника:

Из этого факта вытекают два сходства:

Оказывается, OA3 также является биссектрисой ∠A3. Итак, повторяя все предыдущие рассуждения, можно доказать равенство, подобное (1):

Это равенство означает, что точка O равноудалена от вершин многоугольника. Это означает, что можно построить окружность с центром в точке O, где будут лежать все вершины многоугольника:

Естественно, такая описанная окружность только одна, потому что через три точки, особенно через А1, А2 и А3, можно провести только одну окружность, часы и так далее

Продолжим рассмотрение нашей конструкции с описанной окружностью. Ясно, что ∆OA1A2, ∆OA2A3, ∆OA3A4,.. равны, потому что у них одни и те же 3 стороны. Опустим высоты OH1, OH2, OH3 из точки O на стороны многоугольника.

Так как высоты нарисованы в равных треугольниках, то и сами они равны:

Теперь нарисуем окружность с центром в точке O и радиусом отрезка OH1. Он также должен проходить через точки H2, H3,… Hn. Также отрезки OH1, OH2, OH3 будут радиусами. Поскольку они перпендикулярны сторонам многоугольника, эти же стороны будут касаться окружности (на основе касательной). Итак, этот круг вписан:

Понятно, что такая окружность будет единственной вписанной. Если бы существовала вторая вписанная окружность, то ее центр был бы равноудален от сторон многоугольника, а значит, лежал бы на пересечении биссектрис углов ∠A1, ∠A2, ∠A3, т е в точке O Так как расстояние от О до А1А2 составляет отрезок ОН1, вторая окружность будет иметь именно такой радиус. Получается, что вторая окружность будет полностью совпадать с первой, так как их центр будет в одной точке, а радиусы будут одинаковыми.

Примечание. Точка, являющаяся центром как вписанной, так и описанной окружности, называется центром правильного многоугольника.

Еще раз вернемся к приведенному выше доказательству и заметим, что высоты OH1, OH2, OH3, . проведены в равнобедренных треугольниках ∆OA1A2, ∆OA2A3, ∆OA3A4,… Следовательно, эти высоты также являются медианами, т.е точки H1, H2, H3, .. — середины сторон многоугольника.

Упражнение. Могут ли две биссектрисы, проведенные в правильном многоугольнике, быть параллельны друг другу?

Решение. Центр правильного многоугольника находится в точке пересечения всех биссектрис. То есть две биссектрисы будут иметь хотя бы одну общую точку. Параллельные прямые не имеют общих точек. Оказывается, биссектрисы не могут быть параллельны.

Примечание. Аналогичное утверждение можно доказать для серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам правильного многоугольника.

Вычисление радиуса через стороны

Выше были рассмотрены формулы, с помощью которых можно определить радиус окружности, описанной вокруг треугольника, зная его стороны. Кроме того, при решении задач можно использовать некоторые закономерности, предусмотренные для треугольников определенного типа.

Формула для равнобедренного треугольника

Обладая информацией о длине сторон равнобедренного треугольника, можно определить радиус окружности, описанной вокруг этого треугольника.

\(R=\frac{a^{2}}{\sqrt{4a^{2}-b^{2}}}\)

где a и b являются сторонами треугольника.  

Формула для равностороннего треугольника

Такое выражение подходит для расчета радиуса окружности, описанной около любого правильного многоугольника. Формула имеет вид:

\(R=\frac{a}{2\sin \frac{180^{0}}{n}}\)

Здесь а является длиной стороны многоугольника, n – определяет количество его сторон.

Частным случаем правильного многоугольника является правильный треугольник. Тогда данную формулу можно применить для расчета радиуса окружности, описанной около правильного треугольника.

Формула радиуса описанной окружности для правильного треугольника:

\(R=\frac{a}{\sqrt{3}}\)

Исключая иррациональность в знаменателе, получим:

\(R=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

Следует заметить, что в случае правильного треугольника радиус описанной окружности в два раза превышает радиус вписанной окружности:

R=2r

Формула для произвольного треугольника

Как правило, при решении задач по геометрии необходимо вычислить радиус окружности, описанной около произвольного треугольника. В этом случае целесообразно воспользоваться формулой:

\(R=\frac{abc}{4S}\)

Справедливо следующее равенство:

\(R=\frac{a}{2\sin \alpha }=\frac{b}{2\sin \beta }= \frac{c}{2\sin \gamma }\)

где a, b, c являются длинами сторон треугольника, \(\alpha, \beta, \gamma\) определяются, как противолежащие этим сторонам углы, S представляет собой площадь треугольника.

Формула для прямоугольного треугольника

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности можно определить по формуле:

\(R=\frac{AB}{2}\)

Таким образом, в случае прямоугольного треугольника радиус окружности, которая описана около него, равен половине гипотенузы. Как правило, ее обозначают с помощью «с», то есть АВ = с. Поэтому формула принимает следующий вид:

\(R=\frac{c}{2}\)

Теорема, основные свойства, признаки

Правило об описанной окружности

Около любой из вышеперечисленных фигур можно описать окружность, причем только одну.

Доказательством теоремы будет тот факт, что точка пересечения серединных перпендикуляров через медианы у любой фигуры будет только одна. Это точка будет является центром окружности, а значит, никакая другая окружность, которая при этом также захватывает все вершины фигуры, не может быть описана вокруг нее.

Теорема синусов

Теорема синусов позволяет найти двойной радиус или диаметр окружности по расчету формулы:

\(2R=d=\frac a{\sin\left(\angle A\right)}=\frac b{\sin\left(\angle B\right)}=\frac c{\sin\left(\angle C\right)},\)

где R — радиус,

d — диаметр,

a, b, c — стороны треугольника,

A, B, C — углы треугольника.

Соответственно, для того, чтобы найти радиус описанной окружности, необходимо знать величины любой стороны и противоположного ей угла.

Свойства описанной окружности:

• центр окружности лежит на пересечении всех серединных перпендикуляров фигуры;
• вершины фигуры, которая описана окружностью, будут равноудалены от центра и будут лежать на кривой окружности;
• в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов будет равна 180 градусам;
• вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Главным признаком описанной окружности будет ее расположение вокруг фигуры, причем ни одна из ее вершин не должна выходить за пределы кривой окружности.

Основные свойства правильного многоугольника

1. Все стороны равны:
a1=a2=a3=…=an-1=an2. Все углы равны:
α1 = α2 = α3 =… = αn-1 = αn3. Центр вписанной окружности Ов совпадает с центром описанной окружности Оо, образующей центр многоугольника О4. Сумма всех углов n-угольника равна:

180° (n — 2)

5. Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°:

β1 + β2 + β3 +… + βn-1 + βn = 360°

6. Количество диагоналей (Dn) n-угольника равно половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины:

Дн =	п (п — 3)
2

7. В любой многоугольник можно вписать окружность и описать окружность, при этом площадь кольца, образованного этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника:

С =	π	а2
4

8. Все биссектрисы угла между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O

Радиус и диаметр окружности

Диаметр окружности — это отрезок, который соединяет две любые точки окружности, причем сам отрезок должен проходить через центр окружности

Eсли от центра окружности провести отрезки ко всем точкам окружности, то они будут иметь одинаковую длину, то есть равны. В математике такие отрезки называют радиусами.

Все радиусы окружности, как и диаметры окружности, равны между собой, имеют одинаковую длину.

На рисунке выше изображена окружность, с центром в точке O. OA = OB = OC — радиусы окружности; BC = CO + OB — диаметр окружности;

Радиус окружности принято обозначать маленькой либо большой буквой, r или R. Диаметр окружности обозначают буквой D.

Диаметр окружности условно состоит из двух радиусов и равен длинам этих радиусов.

Длину радиуса окружности можно найти через диаметр окружности. Для этого достаточно разделить на два длину диаметра окружности, получившееся число и будет радиусом.

Формула радиуса окружности через диаметр:

Формула диаметра окружности через радиус:

Также, окружность, может быть вписанной в фигуру, описанной около фигуры; или вообще может быть не вписана и не описана. Формула радиуса окружности зависит от того находится фигура внутри окружности, или окружность находится около фигуры.

Существует радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности.

Формулы радиуса вписанной и радиуса описанной окружностей зависят в первую очередь от геометрической фигуры.

Радиус описанной окружности — это радиус окружности, которая описана около геометрической фигуры.

Примеры решения задач

Задача 1

Стороны треугольника равны 4, 6 и 9 см. Необходимо определить радиус окружности, которая описана около данного треугольника.

Решение

В первую очередь нужно рассчитать площадь рассматриваемого треугольника. Зная длины его сторон, ее можно определить с помощью формулы Герона:

\(S=\sqrt{9.5(9.5-4)*(9.5-6)*(9.5-9)}\approx 9.56\)

Затем достаточно просто найти радиус окружности:

\(R=\frac{4*6*9}{4*9.56}\approx 5.65\)

Ответ: радиус окружности равен 5.65 см

Задача 2

Известно, что катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Требуется рассчитать радиус окружности, которая описана около данного треугольника.

Решение

Определим гипотенузу рассматриваемого треугольника с помощью теоремы Пифагора:

\(c=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10\)

Известно, что радиус окружности, которая описана около прямоугольного треугольника, соответствует половине его гипотенузы. Таким образом:

\(R = 10/2 = 5\)

Ответ: радиус окружности равен 5 см.

Задача 3

Необходимо определить радиус описанной окружности около треугольника АВС, стороны которого равны \(AB=4\sqrt{2}\) см,\(\ AC=7 см\) и \(\angle A=45^{\circ}.\)

Решение

Определить радиус окружности, которая описана около треугольника, можно, как отношение произведения сторон треугольника к его площади, умноженной на 4:

\(R=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S} \)

По теореме косинусов следует рассчитать сторону ВС:

\(BC=\sqrt{AC^2 +AB^2 -2AC\cdot AB\cdot \cos \angle A} =\)

\(=\sqrt{49+32-2\cdot 7\cdot 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2} }2 } =\sqrt{25} =5\ cm\)

Затем можно определить площадь треугольника АВС:

\(S_{ABC} =\frac{1}{2} \cdot AB\cdot AC\cdot \sin \angle A=14\ cm^2 \)

Зная площадь, легко рассчитать радиус окружности:

\(R=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S} =\frac{4\sqrt{2} \cdot 5\cdot 7}{4\cdot 14} =\frac{5\sqrt{2} }{2} \ cm\)

Ответ: радиус окружности равен \(\frac{5\sqrt{2} }2 см.\)

Задача 4

Дан треугольник АВС со сторонами AB=3 см,\(\ AC=\sqrt{6} см\). Необходимо определить углы этой геометрической фигуры. При этом радиус описанной окружности равен \(R=\sqrt{3}\) см.

Решение

Согласно формуле, радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего угла:

\(R=\frac{AB}{2\sin \angle C} =\frac{AC}{2\sin \angle B} =\frac{BC}{2\sin \angle A} \)

Таким образом, можно вычислить синусы углов треугольника:

\(\sin \angle C=\frac{AB}{2R} =\frac{3}{2\sqrt{3} } =\frac{\sqrt{3} }{2}, откуда \angle C=60^{\circ},\)

\(\sin \angle B=\frac{AC}{2R} =\frac{\sqrt{6} }{2\sqrt{3} } =\frac{\sqrt{2} }{2}, откуда \angle B=45^{\circ}.\)

Далее следует определить угол А:

\(\angle A=180^{\circ} -60^{\circ} -45^{\circ} =75^{\circ} \)

Как найти радиус и диаметр описанной окружности, формула

Треугольник

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг треугольника:

\(R=\frac{a\times b\times c}{4\sqrt{p\times\left(p-a\right)\times\left(p-b\right)\times\left(p-c\right)}},\)

где R — радиус ,

a, b и c — стороны треугольника,

p — половина периметра, \(p=\frac{\left(a+b+c\right)}2.\)

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг равностороннего треугольника по стороне:

\(R=\frac a{\sqrt3},\)

где R — радиус,

а — сторона треугольника.

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг равностороннего треугольника по высоте:

\(R=\frac{2h}3,\)

где R — радиус,

h — высота.

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг равнобедренного треугольника по сторонам:

\(R=\frac{a^2}{\sqrt{4a^2-b^2}},\)

где R — радиус,

a и b — стороны.

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника по катетам и гипотенузе:

\(R=\frac12\sqrt{a^2+b^2}=\frac c2,\)

где R — радиус,

a и b — катеты,

с — гипотенуза.

Трапеция

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг трапеции по сторонам и диагонали:

\(R=\frac{a\times d\times c}{4\sqrt{p\times\left(p-a\right)\times\left(p-d\right)\times\left(p-c\right)}},\)

где R — радиус,

a — боковые стороны трапеции,

b — верхнее основание,

с — нижнее основание,

d — диагональ,

р — полупериметр прямоугольного треугольника: \(p=\frac{\left(a+b+c\right)}2.\)

Правильный многоугольник

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг правильного многоугольника:

\(R=\frac a{2\times\sin\left({\displaystyle\frac{180^\circ}N}\right)},\)

где R — радиус,

а — сторона многоугольника,

N — количество сторон многоугольника.

Правильного шестиугольник

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг правильного шестиугольника:

\(R=a=\frac d2,\)

где R — радиус,

а — сторона шестиугольника,

d — диагональ шестиугольника.

Прямоугольник

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг прямоугольника по стороне:

\(R=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}2=\frac d2,\)

где R — радиус,

a и b — стороны прямоугольника,

d — диагональ.

Квадрат

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг квадрата:

\(R=\frac a{\sqrt2}=\frac d2,\)

где R — радиус,

d — диагональ.

Понятие правильного многоугольника

Выпуклый многоугольник может иметь все стороны и все углы одновременно. В этом случае он называется правильным многоугольником.

Мы уже знаем некоторые правильные многоугольники. Например, правильный треугольник. У него все стороны равны по его определению, а все углы равны 60°. Поэтому его иногда так и называют – прямоугольный треугольник. Среди четырехугольников правильной фигурой является четырехугольник, который также по определению имеет те же стороны, а углы уже равны 90°.

Обратите внимание, что есть фигуры, у которых все стороны равны, но углы разные. Примером такой фигуры является ромб

Возможна и обратная ситуация — все углы фигуры одинаковы, а стороны разной длины. Это прямоугольник

Важно понимать, что такие формы (особенно ромб и прямоугольник) НЕ являются правильными

Для заданного числа n, начиная с n = 3, можно построить правильный n-угольник. На рисунке ниже показано несколько примеров таких n-угольников:

Это соотношение, которое позволяет определить угол правильного многоугольника. Мы уже знаем, что в любом выпуклом n-угольнике сумма углов равна 180°(n–2). Обозначим угол правильного многоугольника буквой α. Поскольку n-угольник имеет ровно n вершин, и все они равны, мы можем написать уравнение:

Нетрудно проверить, что эта формула верна для равностороннего треугольника и квадрата и позволяет правильно определить углы на этих фигурах. Для треугольника n = 3 получаем 60°:

Упражнение. Какова величина углов правильного пятиугольника, шестиугольника, восьмиугольника, пятиугольника?

Решение. Нужно просто подставить в формулу количество сторон правильного многоугольника. Сначала рассмотрим для пятиугольника:

Упражнение. Сколько сторон должно быть у правильного многоугольника, чтобы каждый угол был равен 179°?

Решение в формуле

Упражнение. Может ли это быть правильный многоугольник с углом 145°?

Решение. Предположим, что он существует. Затем по аналогии с предыдущей задачей находим количество страниц:

Мы получили не целое, а дробное количество страниц. Естественно, это невозможно, и поэтому такого многоугольника не может быть.