Математические языки

Коды в системах классификации знаний

Существенная составляющая разработки технических устройств — математическая: алгебра, дискретная математика, геометрия, физика, математическая логика и т. д. Все современные устройства программируются на выполнение определенных алгоритмов.

Программирование устройств включает в себя написание специфического кода.

Человек кодирует информацию для:

1. Сокрытия ее от других. Пример: тайнопись Леонардо да Винчи, код Цезаря.
2. Записи информации кратко и доступно для быстрой передачи. Пример: стенография, дорожные знаки.
3. Легкой обработки и передачи данных. Пример: азбука Морзе, машинные коды — электрические сигналы.

Выделяют следующие способы кодирования информации:

1. Графический — используют знаки и рисунки.
2. Числовой — используют цифры для шифрования данных.
3. Символьный — алфавит.

Квантор всеобщности, квантор существования. Г.Генцен (1935), Ч.Пирс (1885).

Квантор – общее название для логических операций, указывающих область истинности какого-либо предиката (математического высказывания). Философы давно обращали внимание на логические операции, ограничивающие область истинности предиката, однако не выделяли их в отдельный класс операций. Хотя кванторно-логические конструкции широко используются как в научной, так и в обыденной речи, их формализация произошла только в 1879 году, в книге немецкого логика, математика и философа Фридриха Людвига Готлоба Фреге «Исчисление понятий». Обозначения Фреге имели вид громоздких графических конструкций и не были приняты. Впоследствии было предложено множество более удачных символов, но общепринятыми стали обозначения ∃ для квантора существования (читается «существует», «найдётся»), предложенное американским философом, логиком и математиком Чарльзом Пирсом в 1885 году, и ∀ для квантора всеобщности (читается «любой», «каждый», «всякий»), образованное немецким математиком и логиком Герхардом Карлом Эрихом Генценом в 1935 году по аналогии с символом квантора существования (перевёрнутые первые буквы английских слов Existence (существование) и Any (любой))

Например, запись

(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x, |x–x|<δ) (|f(x)–A|<ε)

читается так: «для любого ε>0 существует δ>0 такое, что для всех х, не равных хи удовлетворяющих неравенству |x–x|<δ, выполняется неравенство |f(x)–A|<ε».

Таблица символов и обозначений

Наиболее употребляемыми считают следующие математические символы, которые представлены в таблице:

Символ	Расшифровка знака	Символ	Расшифровка знака
+	Плюс		Больше, больше или равно
—	Минус		Меньше, меньше или равно
	Умножение		Плюс-минус
	Деление		Корень
=	Равенство	!	Факториал
	Тождество		Интеграл
	Приближенного равенства	^	Возведение в степень — используется в программировании
\%	Процент	log(), log()	Логарифм
	Предел	| |	Модуль
	Бесконечность		Следование
	Множество натуральных числе		Равносильность
	Множество целых чисел		Квантор всеобщности
	Множество рациональных чисел		Квантор существования
	Множество действительных или вещественных чисел		Определение
	Множество элементов		Пустое множество
	Принадлежит множеству		Не принадлежит множеству
	Объединение		Пересечение
	Сумма		Произведение
	Параллельно		Градус
	Перпендикулярно		Треугольник
	Угол		Дуга
S	Площадь	P	Периметр
sin()	Синус	arcsin	Арксинус
cos()	Косинус	arccos	Арккосинус
tan()	Тангенс	arctg	Арктангенс
	Котангенс	arcctg	Арккотангенс
	Число «пи»	e	Число e

Функция. И.Бернулли (1718), Л.Эйлер (1734).

Математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция – это «закон», » правило» по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений). Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Часто под термином «функция» понимается числовая функция; то есть функция которая ставит одни числа в соответствие другим.  Долгое время математики задавали аргументы без скобок, например, так – φх. Впервые подобное обозначение использовал швейцарский математик Иоганн Бернулли в 1718 году. Скобки использовались только в случае многих аргументов, а также если аргумент представлял собой сложное выражение. Отголоском тех времён являются употребительные и сейчас записи sin x, lg x и др. Но постепенно использование скобок, f(x), стало общим правилом. И основная заслуга в этом принадлежит Леонарду Эйлеру.

Неизвестные или переменные величины. Р. Декарт (1637).

В математике переменная – это величина, характеризующаяся множеством значений, которое она может принимать. При этом может иметься в виду как реальная физическая величина, временно рассматриваемая в отрыве от своего физического контекста, так и некая абстрактная величина, не имеющая никаких аналогов в реальном мире. Понятие переменной возникло в XVII в. первоначально под влиянием запросов естествознания, выдвинувшего на первый план изучение движения, процессов, а не только состояний. Это понятие требовало для своего выражения новых форм. Такими новыми формами и явились буквенная алгебра и аналитическая геометрия Рене Декарта. Впервые прямоугольную систему координат и обозначения х, у ввел Рене Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости. Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке.

Параллельность. У.Оутред (посмертное издание 1677 года).

Параллельность – отношение между некоторыми геометрическими фигурами; например, прямыми. Определяется по-разному в зависимости от различных геометрий; например, в геометрии Евклида и в геометрии Лобачевского. Знак параллельности известен с античных времён, его использовали Герон и Папп Александрийский. Сначала символ был похож на нынешний знак равенства (только более протяжённый), но с появлением последнего, во избежание путаницы, символ был повёрнут вертикально ||. В таком виде он появился впервые в посмертном издании работ английского математика Уильяма Оутреда в 1677 году.

ЗНАКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

ЗНАКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ — условные обозначения (символы) различных математических понятий (операций, функций, отношений и др.). Для некоторых З. м. существует общепринятая символика как в нашей стране, так и за рубежом; однако все еще существует разнобой как у нас, так и за рубежом в символике одних и тех же понятий. Так, во всех европейских странах отношение длины окружности к длине диаметра, как и у нас в стране, обозначают символом  (греч. буква «пи»). Логика обозначения функции, обратной синусу, не поддается строгому объяснению: в нашей стране эта функция обозначается , англичане же эту функцию обозначают  (в этом есть тоже определенный резон, так как функция, обратная функции обозначается символом ).

Сумму конечного числа слагаемых обозначают знаком , а бесконечного числа слагаемых в виде  (иногда встречаются обозначения и такие:  и ).

О роли З. м. великий русский математик Н. И. Лобачевский писал: «Подобно тому как дар слова обогащает нас мнениями других, так язык математических знаков служит средством еще более совершенным, более точным и ясным, чтобы один передавал другому понятия, которые он приобрел, истину, которую он постигнул, и зависимость между всеми частями, которую он открыл…» (Н. И. Лобачевский. Наставление учителям математики в гимназиях).

Удачно выбранные З. м. могут содействовать развитию той или иной отрасли математических знаний; так, тензорное исчисление в XIX в. получило успешное развитие благодаря удачно созданной символике. З. м. прошли довольно длительную и сложную историю своего развития, прежде чем они приняли современный вид.

Знаки в математике в основном подразделяются на три группы:

1) знаки математических объектов;

2) знаки различных операций;

3) знаки всевозможных отношений.

Приведем несколько примеров.

1. Точки обычно обозначаются прописными буквами латинского алфавита  или иногда цифрами ; прямые, проходящие через две какие-либо точки, обозначаются так:  или  или обозначаются строчными буквами латинского алфавита . Отрезки  и  обозначаются в школьном курсе математики так: , а длины этих отрезков — .

2. З. м. операций (действий): + и — (сложение и вычитание) были введены немецкими математиками в конце XV в.; З. м. • и : (умножение и деление) ввел Г. Лейбниц (1698); З. м.  (степени) введены Р. Декартом (1637), З. м.  (корни) введены X. Рудольфом (1525) и А. Жираром (1629); З. м.  — И. Кеплером (1624),  — Б. Кавальери (1632); знаки тригонометрических функций  — Эйлером (1753); З. м. ! (факториал) — X. Крампом (1808); З. м.  (дифференциалы и интеграл) — Г. Лейбницем (1675); в печати появились в 1684); З. м.  (модуль) — Вейерштрассом (1841).

3. З. м. отношений: = (равенство) введено Ф. Рекордом (1557);  (больше, меньше) — Т. Гарриотом (1631);  (отношение параллельности) — У. Оутредом (1677);  (знак отношения перпендикулярности) — П. Эригоном. Это все З. м. бинарных отношений. З. м.  (принадлежности элемента множеству; сокращение греческого слова  — быть) введен итальянским математиком и логиком Джузеппе Пеано (1858—1922).

Арксинус. К.Шерфер (1772), Ж.Лагранж (1772).

Обратные тригонометрические функции – математические функции, которые являются обратными к тригонометрическим функциям. Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк» (от лат. arc – дуга). К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций: арксинус (arcsin), арккосинус (arccos), арктангенс (arctg), арккотангенс (arcctg), арксеканс (arcsec) и арккосеканс (arccosec). Впервые специальные символы для обратных тригонометрических функций использовал Даниил Бернулли (1729, 1736). Манера обозначать обратные тригонометрических функции с помощью приставки arc (от лат. arcus, дуга) появилась у австрийского математика Карла Шерфера и закрепилась благодаря французскому математику, астроному и механику Жозефу Луи Лагранжу. Имелось в виду, что, например, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: sin–1 и 1/sin, но они не получили широкого распространения.

Логарифм, десятичный логарифм, натуральный логарифм. И.Кеплер (1624), Б.Кавальери (1632), А. Принсхейм (1893).

Термин «логарифм» принадлежит шотландскому математику Джону Неперу («Описание удивительной таблицы логарифмов», 1614); он возник из сочетания от греческих слов λογος (слово, отношение) и αριθμος (число). Логарифм у Дж. Непера – вспомогательное число для измерения отношения двух чисел. Современное определение логарифма впервые дано английским математиком Уильямом Гардинером (1742). По определению, логарифм числа b по основанию a (a ≠ 1, a > 0) – показатель степени m, в которую следует возвести число a (называемое основанием логарифма), чтобы получить b. Обозначается log_ab. Итак, m = log_ab, если am = b.

Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Термин «натуральный логарифм» ввели Пьетро Менголи (1659) и Николас Меркатор (1668), хотя лондонский учитель математики Джон Спайделл ещё в 1619 году составил таблицу натуральных логарифмов.

До конца XIX века общепринятого обозначения логарифма не было, основание a указывалось то левее и выше символа log, то над ним. В конечном счёте математики пришли к выводу, что наиболее удобное место для основания – ниже строки, после символа log. Знак логарифма  – результат сокращения слова «логарифм» – встречается в различных видах почти одновременно с появлением первых таблиц логарифмов, например Log – у И. Кеплера (1624) и Г. Бригса (1631), log – у Б. Кавальери (1632). Обозначение ln для натурального логарифма ввёл немецкий математик Альфред Прингсхейм (1893).

Дзета-функция, дзета-функция Римана. Б.Риман (1857).

Аналитическая функция комплексного переменного s = σ + it, при σ > 1 определяемая абсолютно и равномерно сходящимся рядом Дирихле:

ζ(s) = 1–s + 2–s + 3–s + … .

При σ > 1 справедливо представление в виде произведения Эйлера:

ζ(s) = Π_p(1–p–s)–s,

где произведение берётся по всем простым p. Дзета-функция играет большую роль в теории чисел. Как функция вещественного переменного, дзета-функция была введена в 1737 году (опубликовано в 1744 г.) Л. Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась немецким математиком Л. Дирихле и, особенно успешно, российским математиком и механиком П.Л. Чебышевым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы немецкого математика Георга Фридриха Бернхарда Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексного переменного; им же введено название «дзета-функция» и обозначение ζ(s) в 1857 году.

Факториал. К.Крамп (1808).

Факториал числа n (обозначается n!, произносится «эн факториал») – произведение всех натуральных чисел до n включительно: n! = 1·2·3·…·n. Например, 5! = 1·2·3·4·5 = 120. По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел. Факториал числа n равен числу перестановок из n элементов. Например, 3! = 6, действительно,

– все шесть и только шесть вариантов перестановок из трёх элементов.

Термин «факториал» ввёл французский математик и политический деятель Луи Франсуа Антуан Арбогаст (1800), обозначение n! – французский математик Кристиан Крамп (1808).

Корни. К.Рудольф (1525), Р.Декарт (1637), А.Жирар (1629).

Арифметический корень n-й степени из действительного числа а≥0, – неотрицательное число n-я степень которого равна а. Арифметический корень 2-й степени называется квадратным корнем и может записываться без указания степени: √. Арифметический корень 3-й степени называется кубическим корнем. Средневековые математики (например, Кардано) обозначали квадратный корень символом R_x (от латинского Radix, корень). Современное обозначение впервые употребил немецкий математик Кристоф Рудольф, из школы коссистов, в 1525 году. Происходит этот символ от стилизованной первой буквы того же слова radix. Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт (1637) для иной цели (вместо скобок), и эта черта вскоре слилась со знаком корня. Кубический корень в XVI веке обозначался следующим образом: R_x.u.cu (от лат. Radix universalis cubica). Привычное нам обозначение корня произвольной степени начал использовать Альбер Жирар (1629). Закрепился этот формат благодаря Исааку Ньютону и Готфриду Лейбницу.

Синус, косинус, тангенс, котангенс. У.Оутред (сер. XVII века), И.Бернулли (XVIII в.), Л.Эйлер (1748, 1753).

Сокращённые обозначения для синуса и косинуса ввёл Уильям Оутред в середине XVII века. Сокращённые обозначения тангенса и котангенса: tg, ctg введены Иоганном Бернулли в XVIII веке, они получили распространение в Германии и России. В других странах употребляются названия этих функций tan, cot предложенные Альбером Жираром ещё ранее, в начале XVII века. В современную форму теорию тригонометрических функций привёл Леонард Эйлер (1748, 1753), ему же мы обязаны и закреплением настоящей символики. Термин «тригонометрические функции» введён немецким математиком и физиком Георгом Симоном Клюгелем в 1770 году.

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива», то есть половина хорды), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение. Термин «тангенс» (от лат. tangens – касающийся) был введен датским математиком Томасом Финке в его книге «Геометрия круглого» (1583).

Математические обозначения знаки, буквы и сокращения

Для объявления надо написать название типа переменных (int, float или char и др.), а затем через запятую имена всех объявляемых этим типом переменных. При желании можно сразу записать в новую ячейку нужное число, как показано в примерах ниже. Если переменной не присваивается никакого значения, то в ней находится «мусор», то есть то, что было там раньше.

По описанию переменной в памяти компьютера резервируется ячейка для хранения ее значения. В зависимости от объявленного типа переменной ячейка может иметь разную внутреннюю структуру, т.е. содержать различное число байт.

int a; // выделить память под целую переменную a

float b, c; //две вещественных переменных b и c

int Tu104, Dl86=23, Yak42; //три целых переменных,

//причем в D186 сразу записывается число 23.

float x=4.56, y, z; //три вещественных переменных,

// причем в x сразу записывается число 4.56.

char c, c2=’A’, m; //три символьных переменных,

//причем в c2 сразу записывается символ ‘A’.

Арифметические выражения строятся из операндов, арифметических операций и круглых скобок. Операндами могут быть константы, переменные и функции.

В бесскобочных арифметических выражениях операции выполняются слева направо в соответствии с их приоритетом.

1. * (умножение); / (деление); % ( остаток от деления целых чисел).

2. + (сложение); — (вычитание).

Изменить порядок выполнения операций можно с помощьюкруглых скобок. Выражение, заключенное в круглые скобки, выполняется в первую очередь. Например, выражению: а/b*с соответствует математическая запись: , а выражению а/(b*с) – запись .

Тип арифметического выражения определяется типом входящих и него операндов.

Арифметическое выражение является целым, если все входящие и него операнды целого типа.

Если в арифметическом выражении содержится хотя бы один вещественный операнд, то результат — веществен­ный. Целые операнды в вещественном арифметическом выраже­нии всегда преобразуются к вещественному типу.

Операция выделения остатка или деление по модулю ( % ) применима только к целым числам. Результат ее выполнения имеет целый тип.

Исключение составляет операция деления с использованием символа ‘/’ (косая черта). Результат выполнения этой операции всегда зависит от типа операндов.

Например, значением выражения 2/5 будет число 0.