Рациональные числа
Когда у нас было 7 мешков по 6 килограмм, с помощью умножения мы легко посчитали, что общий вес содержимого мешков составляет 42 килограмма. Представим себе, что мы высыпали всё содержимое всех мешков в одну общую кучу массой 42 килограмма. А потом передумали, и захотели распределить содержимое обратно по 7 мешкам. Сколько килограмм при этом попадет в один мешок, если будем распределять поровну? – Очевидно, что 6.
А если захотим распределить 42 килограмма по 6 мешкам? Тут мы подумаем о том, что те же общие 42 килограмма могли бы получиться, если бы мы высыпали в кучу 6 мешков по 7 килограмм. И значит при делении 42 килограмм на 6 мешков поровну получим в одном мешке по 7 килограмм.
А если разделить 42 килограмма поровну по 3 мешкам? И здесь тоже мы начинаем подбирать такое число, которое при умножении на 3 дало бы 42. Для «табличных» значений, как в случае 6 ·7=42 => 42:6=7, мы выполняем операцию деления, просто вспоминая таблицу умножения. Для более сложных случаев используется деление в столбик, которое будет рассмотрено в одной из следующих статей. В случае 3 и 42 можно «подбором» вспомнить, что 3 ·14 = 42. Значит, 42:3=14. В каждом мешке будет по 14 килограмм.
Теперь попробуем разделить 42 килограмма поровну на 5 мешков. 42:5=?
Замечаем, что 5 ·8=40 (мало), а 5·9=45 (много). То есть, ни по 8 килограмм в мешке, ни по 9 килограмм, из 5 мешков мы 42 килограмма никак не получим. При этом понятно, что в реальности разделить любое количество (крупы, например,) на 5 равных частей нам ничего не мешает.
Операция деления целых чисел друг на друга не обязательно дает в результате целое число. Так мы пришли к понятию дроби. 42:5 = 42/5 = 8 целых 2/5 (если считать в обыкновенных дробях) или 42:5=8,4 (если считать в десятичных дробях).
Обыкновенные и десятичные дроби
Обыкновенные дроби хороши тем, что, чтобы представить такой дробью результат деления любых двух целых чисел, нужно просто записать делимое в числитель дроби, а делитель в знаменатель. (123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, …) Затем по возможности сократить дробь и/или выделить целую часть (эти действия с обыкновенными дробями будут подробно рассмотрены в следующих статьях). Проблема в том, что производить арифметические действия (сложение, вычитание) с обыкновенными дробями уже не так удобно, как с целыми числами.
Для удобства записи (в одну строку) и для удобства вычислений (с возможностью вычислений в столбик, как для обычных целых чисел) кроме обыкновенных дробей придуманы ещё и десятичные дроби. Десятичная дробь – это специальным образом записанная обыкновенная дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и т.п. Например, обыкновенная дробь 7/10 – это то же, что и десятичная дробь 0,7. (8/100 = 0,08; 2 целых 3/10=2,3; 7 целых 1/1000 = 7, 001). Переводу обыкновенных дробей в десятичные и наоборот будет посвящена отдельная статья. Операциям с десятичными дробями – другие статьи.
Любое целое число может быть представлено в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1. (5=5/1; −765=−765/1).
Определение: Все числа, которые могут быть представлены в виде обыкновенной дроби, называют рациональными числами. Множество рациональных чисел обозначают буквой Q.
При делении любых двух целых чисел друг на друга (кроме случая деления на 0) всегда получим в результате рациональное число. Для обыкновенных дробей есть правила сложения, вычитания, умножения и деления, позволяющие произвести соответствующую операцию с любыми двумя дробями и получить в результате также рациональное число (дробь или целое).
Множество рациональных чисел – это первое из рассмотренных нами множеств, в котором можно и складывать, и вычитать, и умножать, и делить (кроме деления на 0), никогда не выходя за пределы этого множества (то есть, всегда получая в результате рационально число).
Казалось бы, других чисел не существует, все числа рациональные. Но и это не так.
Что такое натуральное число в математике?
Владимир з
Натуральные числа используются для нумерации объектов и для подсчета их количества. Для нумерации используются целые положительные числа, начиная с 1.
А для подсчета кол-ва сюда еще включают и 0, обозначающий отсутствие объектов.
Содержит ли понятие натуральных чисел число 0 зависит от аксиоматики. Если для изложения какой-либо математической теории требуется наличие 0 в множестве натуральных чисел, то это оговаривают и считают непреложной истиной (аксиомой) в пределах данной теории. К этому очень близко подходит определение числа 0, как положительного, так и отрицательного. Если принять за определение натуральных чисел как множества всех НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ целых чисел, то встает вопрос, каким является число 0 — положительным или отрицательным?
В практическом применении, как правило, используется первое определение, не включающее число 0.
Карандаш
Натуральные числа — это целые положительные числа. Натуральные числа применяются для подсчета (нумерации) объектов или для обозначения количества объектов или для обозначения порядкового номера объекта в перечне. Некоторые авторы искусственно включают в понятие «натуральные числа» ноль. Другие используют формулировку «натуральные числа и ноль». Это непринципиально. Множество натуральных чисел бесконечно, потому что с любым как угодно большим натуральным числом можно выполнить операцию сложения с другим натуральным числом и получить ещё бОльшее число.
Отрицательные и нецелые числа не входят в множество натуральных чисел.
Саяны
Натуральные числа — числа, которые используют для счета. Они могут быть только положительными и целыми. Что это значит на примере? Раз эти числа используют для счета, попробуем что-нибудь посчитать. Что можно посчитать? Например, людей. Мы можем считать людей так: 1 человек, 2 человека, 3 человека и т.д. Числа 1, 2, 3 и другие, используюшщиеся для счета, будут натуральными. Мы никогда не говорим -1 (минус один) человек или 1.5 (полтора) человека (извините за каламбур :), поэтому -1 и 1.5 (как и все отрицательные и дробные числа) не относятся к натуральным.
Лорелея
Натуральные числа — это те числа, которые используют при счете предметов.
Наименьшим натуральным числом является один. Часто возникает вопрос, является ли натуральным числом число ноль. Нет, не является в большинстве российских источников, а в других странах признается число ноль натуральным…
Moreljuba
Под натуральными числами в математике подразумеваются числа, используемые для последовательного счёта чего-либо или кого-либо. Самым маленьким натуральным числом принято считать единицу. Ноль в большинстве случаев не относится к разряду натуральных чисел. Отрицательные числа так же не входят сюда.
Приветствую вас славяне
Натуральные числа, они же естественные — это те числа, которые возникают обычным способом при их счёте, которые больше нуля. Последовательность каждого натурального числа, расположенного в порядке его возрастания будет называется естественным рядом.
Елена никитюк
Термин натуральное число используют в математике. Положительное целое число назвают натуральным. Наименьшее натуральное число принято считать — «0». Чтобы подсчитать что либо используют эти самые — натуральные числа, например 1,2,3… и так далее.
Nata43
Натуральные числа — это числа, которыми мы производим счет, то есть исла один, два, три, четыре, пять и другие — натуральные числа.
Это обязательно положительные числа больше нуля.
Дробные числа также не относятся к множеству натуральных чисел.
-Орхидея-
Натуральные числа нужны для подсчета чего-либо. Они представляют собой ряд из только положительных чисел, начиная с одного
Важно знать, что числа эти исключительно целые. Натуральными числами можно подсчитать все что угодно
Марлена
Натуральное число — это целые числа, которыми мы обычно пользуемся при подсчитывании каких-либо объектов. Ноль как таковой не входит в царство натуральных чисел, так как обычно мы не используем его при подсчетах.
Inara-pd
Натуральные числа -это числа,которые мы используем при счете -один,два,три и так далее.
Натуральные числа возникли из практических нужд человека.
Натуральные числа записывают с помощью десяти цифр.
Ноль -не является натуральным числом.
bolshoyvopros.ru
Классы чисел
Номера чисел объединены в классы. Каждый класс имеет три цифры: единицы, десятки и сотни.
Первый класс называется классом сущностей. Сюда входят числа до тысячи.
Второй класс – это класс тысяч. Единицы, десятки и сотни используются здесь для обозначения количества тысяч в числе.
1000 это тысяча.
25000 — двадцать пять тысяч, то есть два десятка и пять тысяч.
347 000 — триста сорок семь тысяч, то есть триста семь десятков и семь тысяч.
Третий класс — это класс миллионов, а четвертый — класс миллиардов.
Пример:
Номер 258 317 521
В этом числе есть три класса: миллионы, тысячи и единицы. В каждом классе мы видим три цифры: сотни, десятки и единицы. Пытаемся прочитать это число: двести пятьдесят восемь миллионов триста семнадцать тысяч пятьсот двадцать один.
То есть это двести миллионов, пять десятков миллионов, восемь миллионов, триста тысяч, один десять тысяч, семь тысяч, пятьсот единиц, два десятка единиц и один.
Примечание: обычно при написании больших чисел между классами ставятся небольшие пробелы. Это сделано для того, чтобы такие числа было легче читать и чтобы было легче визуально отличить один класс от другого.
упражняться:
Попросите ребенка разложить следующие числа на классы и категории:
3967, 12508, 17834552.
Свойства N
Как и все другие множества, N обладают своими собственными, особыми свойствами. Рассмотрим свойства N ряда (не расширенного).
- Значение, которое является самым маленьким и которое не следует ни за каким другим – это единица.
- N представляют собой последовательность, то есть одно натуральное значение следует за другим (кроме единицы – оно первое).
- Когда мы производим вычислительные операции над N суммами разрядов и классов (складываем, умножаем), то в ответе всегда получается натуральное значение.
- При вычислениях можно использовать перестановку и сочетание.
- Каждое последующее значение не может быть меньше предыдущего. Также в N ряде будет действовать такой закон: если число А меньше В, то в числовом ряде всегда найдется С, для которого справедливо равенство: А+С=В.
- Если взять два натуральных выражения, например А и В, то для них будет справедливо одно из выражений: А=В, А больше В, А меньше В.
- Если А меньше В, а В меньше С, то отсюда следует, что А меньше С.
- Если А меньше В, то следует, что: если прибавить к ним одно и то же выражение (С), то А+С меньше В+С. Также справедливо, что если эти значения умножить на С, то АС меньше АВ.
- Если В больше А, но меньше С, то справедливо: В-А меньше С-А.
Внимание! Все вышеперечисленные неравенства действительны и в обратном направлении
Свойство умножения
1. Переместительное свойство умножения
От перестановки множителей произведение не меняется.
2. Сочетательное свойство умножения
Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.
3. Свойство нуля при умножении
Если в произведении хотя бы один множитель равен нулю, то само произведение будет равно нулю.
Распределительное свойство умножения относительно сложения
Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты.
Это свойство справедливо для любого количества слагаемых.
Распределительное свойство умножения относительно вычитания
1. Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число сначала уменьшаемое, а затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.
В буквенном виде свойство записывается так:
2. Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.
Действия над множествами. Диаграммы Венна
Диаграммы Венна (по аналогии с кругами Эйлера) – это схематическое изображение действий с множествами. Опять же предупреждаю, что я рассмотрю не все операции:
1) Пересечение множеств характеризуется логической связкой И и обозначается значком
Пересечением множеств и называется множество , каждый элемент которого принадлежит и множеству , и множеству . Грубо говоря, пересечение – это общая часть множеств:
Так, например, для множеств :
Если у множеств нет одинаковых элементов, то их пересечение пусто. Такой пример нам только что встретился при рассмотрении числовых множеств:
Множества рациональных и иррациональных чисел можно схематически изобразить двумя непересекающимися кругами.
Операция пересечения применима и для бОльшего количества множеств, в частности в Википедии есть хороший .
2) Объединение множеств характеризуется логической связкой ИЛИ и обозначается значком
Объединением множеств и называется множество , каждый элемент которого принадлежит множеству или множеству :
Запишем объединение множеств : – грубо говоря, тут нужно перечислить все элементы множеств и , причём одинаковые элементы (в данном случае единица на пересечении множеств) следует указать один раз.
Но множества, разумеется, могут и не пересекаться, как это имеет место быть с рациональными и иррациональными числами:
В этом случае можно изобразить два непересекающихся заштрихованных круга.
Операция объединения применима и для бОльшего количества множеств, например, если , то:
, при этом числа вовсе не обязательно располагать в порядке возрастания (это я сделал исключительно из эстетических соображений). Не мудрствуя лукаво, результат можно записать и так:
3) Разностью множеств и называют множество , каждый элемент которого принадлежит множеству и не принадлежит множеству :
Разность читаются следующим образом: «а без бэ». И рассуждать можно точно так же: рассмотрим множества . Чтобы записать разность , нужно из множества «выбросить» все элементы, которые есть во множестве :
Пример с числовыми множествами: – здесь из множества целых чисел исключены все натуральные, да и сама запись так и читается: «множество целых чисел без множества натуральных».
Зеркально: разностью множеств и называют множество , каждый элемент которого принадлежит множеству и не принадлежит множеству :
Для тех же множеств – из множества «выброшено» то, что есть во множестве .
А вот эта разность оказывается пуста: . И в самом деле – если из множества натуральных чисел исключить целые числа, то, собственно, ничего и не останется 
Кроме того, иногда рассматривают симметрическую разность , которая объединяет оба «полумесяца»: – иными словами, это «всё, кроме пересечения множеств».
4) Декартовым (прямым) произведением множеств и называется множество всех упорядоченных пар , в которых элемент , а элемент
Запишем декартово произведение множеств :
– перечисление пар удобно осуществлять по следующему алгоритму: «сначала к 1-му элементу множества последовательно присоединяем каждый элемент множества , затем ко 2-му элементу множества присоединяем каждый элемент множества , затем к 3-му элементу множества присоединяем каждый элемент множества »:
Зеркально: декартовым произведением множеств и называется множество всех упорядоченных пар , в которых . В нашем примере:
– здесь схема записи аналогична: сначала к «минус единице» последовательно присоединяем все элементы множества , затем к «дэ» – те же самые элементы:
Но это чисто для удобства – и в том, и в другом случае пары можно перечислить в каком угодно порядке – здесь важно записать все возможные пары. А теперь гвоздь программы: декартово произведение – это есть не что иное, как множество точек нашей родной декартовой системы координат
А теперь гвоздь программы: декартово произведение – это есть не что иное, как множество точек нашей родной декартовой системы координат .
Задание для самостоятельного закрепления материала:
Выполнить операции 
, если:
1) ;
2)
Множество удобно расписать перечислением его элементов.
И пунктик с промежутками действительных чисел:
3)
Напоминаю, что квадратная скобка означает включение числа в промежуток, а круглая – его невключение, то есть «минус единица» принадлежит множеству , а «тройка» не принадлежит множеству . Постарайтесь разобраться, что представляет собой декартово произведение данных множеств. Если возникнут затруднения, выполните чертёж 
Краткое решение задачи в конце урока.
Натуральные числа
В далёком прошлом люди не знали чисел и, когда им требовалось пересчитать предметы (животных, рыбу и т.д.), они делали это не так, как мы сейчас.
Количество предметов сравнивали с частями тела, например, с пальцами на руке и говорили: «У меня столько же орехов, сколько пальцев на руке».
Со временем люди поняли, что пять орехов, пять коз и пять зайцев обладают общим свойством — их количество равно пяти.
Запомните!
Натуральные числа — это числа, начиная с 1 , получаемые при счете предметов.
Наименьшее натуральное число — 1 .
Наибольшего натурального числа не существует.
При счёте число ноль не используется. Поэтому ноль не считается натуральным числом.
Записывать числа люди научились гораздо позже, чем считать. Раньше всего они стали изображать единицу одной палочкой, потом двумя палочками — число 2 , тремя — число 3 .
Затем появились и особые знаки для обозначения чисел — предшественники современных цифр. Цифры, которыми мы пользуемся для записи чисел, родились в Индии примерно 1 500 лет назад. В Европу их привезли арабы, поэтому их называют арабскими цифрами.
Всего цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . С помощью этих цифр можно записать любое натуральное число.
Запомните!
Натуральный ряд — это последовательность всех натуральных чисел:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …
В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на 1 .
Натуральный ряд бесконечен, наибольшего натурального числа в нём не существует.
Систему счёта (счисления), который мы пользуемся, называют десятичной позиционной .
Десятичной потому, что 10 единиц каждого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной потому, что значение цифры зависит от её места в записи числа, то есть от разряда, в котором она записана.
Важно!
Разряды и классы (включая класс миллионов) подробно разобраны на нашем сайте в материалах для начальной школы.
Класс миллиардов
Если взять десять сотен миллионов, то получим новую разрядную единицу — один миллиард или в записи цифрами.
1 000 миллионов = 1 000 000 000 = 1 млрд
Десять таких единиц — десять миллиардов, десять десятков миллиардов образуют следующую единицу — сто миллиардов.
Запомните!
Миллиарды, десятки миллиардов и сотни миллиардов образуют четвёртый класс — класс миллиардов.
Разряды и классы натурального числа
Рассмотрим натуральное число 783 502 197 048
| Название класса | Миллиарды | Миллионы | Тысячи | Единицы | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Название разряда | Сотни миллиардов | Десятки миллиардов | Миллиарды | Сотни миллионов | Десятки миллионов | Миллионы | Сотни тысяч | Десятки тысяч | Тысячи | Сотни | Десятки | Единицы |
| Цифра (символ) | 7 | 8 | 3 | 5 | 2 | 1 | 9 | 7 | 4 | 8 |
| Название класса | Миллиарды | Миллионы | Тысячи | Единицы | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Название разряда | Сотни миллиардов | Десятки миллиардов | Миллиарды | Сотни миллионов | Десятки миллионов | Миллионы | Сотни тысяч | Десятки тысяч | Тысячи | Сотни | Десятки | Единицы |
| Цифра (символ) | 7 | 8 | 3 | 5 | 2 | 1 | 9 | 7 | 4 | 8 |
C помощью таблицы разрядов прочитаем это число. Для этого надо слева направо по очереди называть количество единиц каждого класса и добавлять название класса.
Название класса единиц не произносят, также не произносят название класса, если все три цифры в его разрядах — нули.
Теперь прочтем число 783 502 197 048 из таблицы: 783 миллиарда 502 миллиона 197 тысяч 48 .
Запомните!
Любое натуральное число можно записать в виде разрядных слагаемых.
Числа 1, 10, 100, 1000 … называются разрядными единицами. С их помощью натуральное число записывается в виде разрядных слагаемых. Так, например, число 307 898 будет выглядеть в виде разрядных слагаемых.
307 898 = 300 000 + 7 000 + 800 + 90 + 8
Проверить свои вычисления вы можете с помощью нашего калькулятора разложения числа на разряды онлайн.
Следующие за миллиардом классы названы в соответствии с латинскими наименованиями чисел. Каждая следующая единица содержит тысячу предыдущих.
- 1 000 миллиардов = 1 000 000 000 000 = 1 триллион («три» — по латыни «три»)
- 1 000 триллионов = 1 000 000 000 000 000 = 1 квадриллион («квадра» — по латыни «четыре»)
- 1 000 квадриллионов = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 квинтиллион («квинта» — по латыни «пять»)
Все числа пересчитать невозможно, поскольку за каждым числом следует число на единицу большее, но очень большие числа в повседневной жизни не нужны.
Однако, физики нашли число, которое превосходит количество всех атомов (мельчайших частиц вещества) во всей Вселенной.
Это число получило специальное название — гугол. Гугол — число, у которого 100 нулей.
Главные свойства
Рассмотрим основные свойства, которые характерны для всех натуральных чисел. Они применимы всегда и везде, так как способствуют упрощению некоторых выражений различных типов. Их используют при различных вычислениях и преобразованиях.
Свойство 1
От перемены места слагаемых сумма не меняется.Пример: 2 + 1 = 1 + 2 = 3. Как бы мы не переставляли слагаемые, сумма все равно останется такой же.
Свойство 2
От перемены места множителей произведение не меняется.Пример: 2 х 1 = 1 х 2 = 2. Аналогичное правило есть и в умножении. Значение произведения в итоге остается тем же.
Свойство 3
Чтобы прибавить к числу сумму двух других чисел, можно сначала произвести сложение одного числа, а затем — второго.Пример : 2 + (3 + 10) = 3 + (2 + 10) = 15. Данное правило еще называется сочетательным свойством.
Свойство 4
Чтобы умножить на число произведение двух других чисел, можно сначала произвести умножение одного числа, а затем — второго.Пример: 5 х (6 х 4) = (5 х 6) х 4 = 120. Правило, аналогичное предыдущему, только здесь используется другой вид арифметических действий. Принцип остается тем же.
Свойство 5
Для того, чтобы умножить сумму натуральных чисел на другое число, нужно умножить это число на каждую из представленных слагаемых, а затем сложить полученные произведения чисел.Пример: 5 х (4 + 3) = 5 х 4 + 5 х 3 = 35. Это правило умножения числа относительно сложения двух других. Часто применяется в решении заданий по преобразованию каких-либо выражений.Мы выяснили и разобрали на примерах самые главные свойства натуральных чисел
Если вы их не знали раньше, то советуем вам обратить на них особое внимание. А теперь перейдем к изучению наиболее распространенных и часто используемых операций.
Делимость натуральных чисел. Признаки делимости.
Далеко не всегда удается определить «на глаз», делится ли одно число на другое без остатка. В таких случаях полезен соответствующий тест на делимость, т е правило, которое может за секунды определить, можно ли делить числа без остатка. Знак «используется для обозначения делимости «».
- Признак делимости на 2 или 5. Числа делятся на 2 или 5, где последняя цифра — это число, которое делится соответственно на 2 или 5. Примеры: 4928 делится на 2; 1365 делится на 5; 1220 делится и на 2, и на 5.
- Знак делимости на 3 или 9. Эти числа делятся на числа, сумма цифр которых образует число, которое делится соответственно на 3 или 9. Примеры: 831 (
) делится на 3; 1422 (
) делится на 9; 3942 (3+9+4+2=18) делится и на 3, и на 9. - Признак делимости на 4 или 25. Эти числа являются делителями тех чисел, у которых две последние цифры равны нулю или представляют собой число, которое делится соответственно на 4 или 25. Примеры: 1300 делится и на 4, и на 25; 35616 делится на 4; 8650 делится на 25.
- Знак делимости на 8 или 125. Этот знак аналогичен предыдущему с тем отличием, что последние 3 цифры делимого числа должны быть равны нулю или обозначать число, которое делится соответственно на 8 или 125. Примеры: 64250 делится на 125; 15048 делится на 8; 192500 делится на 8 и 125.
- Знак делимости на 10. Числа, оканчивающиеся на 0, делятся на 10.
- Признак делимости на 7 или 11 или 13. Числа делятся на 7,11,13, где разница между числом, выраженным 3 последними цифрами, и числом, состоящим из всех остальных цифр (или наоборот), без изменения порядок записи чисел, делится соответственно на 7, 11 или 13. Примеры: 49105 (
) делится на 7; 82104 (
) делится на 11; 284245 (
) делится на 13.
Наименьшее общее кратное
Определение
Наименьшее общее кратное (обозначаемое НОК) — это наименьшее число, которое делится на каждое из заданных. НОК можно найти для любого набора натуральных чисел.
LCM, как и GCD, имеет большое прикладное значение. Так что именно НОК необходимо найти путем приведения обыкновенных дробей к общему знаменателю.
LCM определяется путем разложения заданных чисел на простые множители. Для формирования берется произведение, состоящее из каждого из встречающихся (хотя бы для 1 числа) простых множителей, представленных в максимальной степени.
Пример:
Требуется найти НОК чисел 14 и 24.
Решение:
Среднее арифметическое
Определение
Среднее арифметическое произвольного (но конечного) числа натуральных чисел есть сумма всех этих чисел, деленная на количество слагаемых:
Среднее арифметическое — это среднее значение для набора чисел.
Пример:
Даны числа 2,84,53,176,17,28. Требуется найти их среднее арифметическое.
Решение:
Делители натуральных чисел
Определение
Делитель – это число, на которое данное число можно разделить без остатка.
Согласно этому определению, натуральные простые числа имеют 2 делителя, составные числа имеют более 2 делителей.
Многие числа имеют общие части. Общий делитель – это число, на которое данные числа делятся без остатка.
Примеры:
- У чисел 12 и 15 общий делитель равен 3
- У чисел 20 и 30 общие делители 2,5,10
Особое значение имеет наибольший общий делитель (НОД). Это число, в частности, полезно, чтобы иметь возможность найти для сокращения дробей. Чтобы его найти, нужно данные числа разложить на простые множители и представить в виде произведения их общих простых множителей, возведенных в наименьшие степени.
Пример:
Требуется найти НОД чисел 36 и 48.
Решение:
Основные классы чисел[]
Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; множество натуральных чисел обозначается N{\displaystyle \mathbb {N} }. То есть N={1,2,3,…}{\displaystyle \mathbb {N} =\left\{1,2,3,…\right\}} (иногда к множеству натуральных чисел также относят ноль, то есть N={,1,2,3,…}{\displaystyle \mathbb {N} =\left\{0,1,2,3,…\right\}}). Натуральные числа замкнуты относительно сложения и умножения (но не вычитания или деления). Сложение и умножение натуральных чисел коммутативны и ассоциативны, а умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения и вычитания.
Важным подмножеством натуральных чисел являются простые числа P.{\displaystyle \mathbb {P} .} Простое число — это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Все остальные натуральные числа, кроме единицы, называются составными. Ряд простых чисел начинается так: 2,3,5,7,11,13,17,…{\displaystyle 2,3,5,7,11,13,17,…} Любое натуральное число, большее единицы, представимо в виде произведения степеней простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей. Например, 121968=24·32·7·112.
Целые числа, получаемые объединением натуральных чисел с множеством отрицательных чисел и нулём, обозначаются Z={…−2,−1,,1,2,…}{\displaystyle \mathbb {Z} =\left\{…-2,-1,0,1,2,…\right\}}. Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления).
Рациональные числа — числа, представленные в виде дроби m/n (n≠0), где m — целое число, а n — натуральное число. Рациональные числа замкнуты уже относительно всех четырёх арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль). Для обозначения рациональных чисел используется знак Q{\displaystyle \mathbb {Q} } (от лат. quotient).
Действительные (вещественные) числа представляют собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для математического анализа) операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначается R{\displaystyle \mathbb {R} }. Его можно рассматривать как пополнение поля рациональных чисел Q{\displaystyle \mathbb {Q} } при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной. Кроме рациональных чисел, R{\displaystyle \mathbb {R} } включает множество иррациональных чисел I{\displaystyle \mathbb {I} }, не представимых в виде отношения целых.
Комплексные числа C{\displaystyle \mathbb {C} }, являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут быть записаны в виде z=x+iy{\displaystyle z=x+iy}, где i — т. н. мнимая единица, для которой выполняется равенство i2=−1{\displaystyle i^{2}=-1}. Комплексные числа используются при решении задач электротехники, гидродинамики, картографии, квантовой механики, теории колебаний, теории хаоса, теории упругости и многих других. Комплексные числа подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое действительное трансцендентное является иррациональным, а каждое рациональное число — действительным алгебраическим. Более общими (но всё ещё счётными) классами чисел, чем алгебраические, являются периоды, вычислимые и арифметические числа (где каждый последующий класс шире, чем предыдущий).
Для перечисленных множеств чисел справедливо следующее выражение: P⊂N⊂Z⊂Q⊂R⊂C.{\displaystyle \mathbb {P} \subset \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} .}
|
||||||||||||||||||||
| 1,e1,e2,…,e15,7e2+25e7−13e15,…{\displaystyle 1,\;e_{1},\;e_{2},\;\dots ,\;e_{15},\;7e_{2}+{\frac {2}{5}}e_{7}-{\frac {1}{3}}e_{15},\;\dots } | Седенионы |