Г. и. саранцев. о методике решения планиметрических задач. § 2. обучение решению задач векторным методом

Действия с векторами. Коллинеарность векторов

В школьном курсе геометрии рассматривается ряд действий и правил с векторами: сложение по правилу треугольника, сложение по правилу параллелограмма, правило разности векторов, умножения вектора на число, скалярное произведение векторов и др. Для затравки повторим два правила, которые особенно актуальны для решения задач аналитической геометрии.

Правило сложения векторов по правилу треугольников

Рассмотрим два произвольных ненулевых вектора  и :

Требуется найти сумму данных векторов. В силу того, что все векторы считаются свободными, отложим вектор  от конца вектора :

Суммой векторов  и  является вектор . Для лучшего понимания правила в него целесообразно вложить физический смысл: пусть некоторое тело совершило путь по вектору , а затем по вектору . Тогда сумма векторов  представляет собой вектор результирующего перемещения  с началом в точке отправления и концом в точке прибытия. Аналогичное правило формулируется для суммы любого количества векторов. Как говорится, тело может пройти свой путь сильно поддатым по зигзагу, а может и на автопилоте – по результирующему вектору суммы.

Кстати, если вектор  отложить от начала вектора , то получится эквивалентное правило параллелограмма сложения векторов.

Умножение вектора на число

Сначала о коллинеарности векторов. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Грубо говоря, речь идёт о параллельных векторах. Но применительно к ним всегда используют прилагательное «коллинеарные».

Представьте два коллинеарных вектора. Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными. Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены.

Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности: , при этом возможна детализация:  (векторы сонаправлены) или  (векторы направлены противоположно).

Произведением ненулевого вектора  на число  является такой вектор , длина которого равна , причём векторы   и  сонаправлены при  и противоположно направлены при .

Правило умножения вектора на число легче понять с помощью рисунка:

Разбираемся более детально:

1) Направление. Если множитель  отрицательный,  то вектор меняет направление на противоположное.

2) Длина. Если множитель заключен в пределах  или , то длина вектора уменьшается. Так, длина вектора  в два раза меньше длины вектора . Если множитель  по модулю больше единицы, то длина вектора увеличивается в  раз.

3) Обратите внимание, что все векторы коллинеарны, при этом один вектор выражен через другой, например,. Обратное тоже справедливо: если один вектор можно выразить через другой, то такие векторы обязательно  коллинеарны

Таким образом: если мы умножаем вектор на число, то получится коллинеарный (по отношению к исходному) вектор.

4) Векторы  сонаправлены. Векторы  и  также сонаправлены. Любой вектор первой группы противоположно направлен по отношению к любому вектору второй группы.

Какие векторы являются равными?

Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Заметьте, что сонаправленность подразумевает коллинеарность векторов. Определение будет неточным (избыточным), если сказать: «Два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину».

С точки зрения понятия свободного вектора, равные векторы – это один и тот же вектор, о чём уже шла речь в предыдущем параграфе.

Длина вектора и направляющие косинусы

Вследствие взаимной перпендикулярности координатных осей длина вектора

равна длине диагонали прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах

и выражается равенством

                       (4)

Вектор полностью определяется заданием двух точек (начала и конца), поэтому координаты вектора можно выразить через координаты этих точек.

Пусть в заданной системе координат начало вектора находится в точке

а конец – в точке

(рис.8).

Тогда

Из равенства

следует, что

Отсюда

или в координатной форме

          (5)

Следовательно, координаты вектора равны разностям одноимённых координат конца и начала вектора. Формула (4) в этом случае примет вид

          (6)

Направление вектора определяют направляющие косинусы. Это косинусы углов, которые
вектор образует с осями Ox, Oy и Oz. Обозначим эти углы соответственно
α, β и γ. Тогда косинусы этих углов можно найти по формулам

,

,

.

Направляющие косинусы вектора являются также координатами орта этого вектора и, таким
образом, орт вектора

или

.

Учитывая, что длина орта вектора равна одной единице, то есть

,

получаем следующее равенство для направляющих косинусов:

.

Пригодится: тригонометрическая таблица (синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы распространенных углов)

Пример 2. Найти длину вектора x = (3; 0; 4).

Решение. Длина вектора равна

Пример 3. Даны точки:

Выяснить, равнобедренный ли треугольник, построенный на этих точках.

Решение. По формуле длины вектора (6) найдём длины сторон и установим, есть ли среди них две равные:

Две равные стороны нашлись, следовательно необходимость искать длину третьей стороны отпадает, а заданный треугольник
является равнобедренным.

Пример 4. Найти длину вектора
и его направляющие косинусы, если .

Решение. Координаты вектора даны:

.

Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов координат вектора:

.

Находим направляющие косинусы:

Решить задачу на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 5. Найти длину, направляющие косинусы и орт
вектора , если
,
.

Пригодится: тригонометрическая таблица (синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы распространенных углов)

Назад

Листать

Вперёд>>>

Поделиться с друзьями

Весь блок «Аналитическая геометрия»

• Векторы
  • Понятие вектора, операции над векторами
  • Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов
  • Скалярное произведение векторов, угол между двумя векторами
  • Линейная зависимость векторов
  • Базис системы векторов. Аффинные координаты
  • Векторное произведение векторов, смешанное произведение векторов
• Плоскость

  Уравнения плоскости, взаимное расположение плоскостей

• Прямая на плоскости
  • Уравнение прямой с угловым коэффициентом
  • Общее уравнение прямой на плоскости
  • Уравнение прямой в отрезках
  • Каноническое уравнение прямой на плоскости
  • Параметрические уравнения прямой на плоскости
  • Нормальное уравнение прямой на плоскости, расстояние от точки до прямой

Примеры задач на вычисление длины вектора

Примеры вычисления длины вектора для плоских задачи

Пример 1.

Найти длину вектора

a

= {2; 4}.

Решение: |a| = √22 + 42 = √4 + 16 = √20 = 2√5.

Пример 2.

Найти длину вектора

a

= {3; -4}.

Решение: |a| = √32 + (-4)2 = √9 + 16 = √25 = 5.

Примеры вычисления длины вектора для пространственных задачи

Пример 3.

Найти длину вектора

a

= {2; 4; 4}.

Решение: |a| = √22 + 42 + 42 = √4 + 16 + 16 = √36 = 6.

Пример 4.

Найти длину вектора

a

= {-1; 0; -3}.

Решение: |a| = √(-1)2 + 02 + (-3)2 = √1 + 0 + 9 = √10.

Примеры вычисления длины вектора для пространств с размерностью большей 3

Пример 5.

Найти длину вектора

a

= {1; -3; 3; -1}.

Решение: |a| = √12 + (-3)2 + 32 + (-1)2 = √1 + 9 + 9 + 1 = √20 = 2√5

Пример 6.

Найти длину вектора

a

= {2; 4; 4; 6 ; 2}.

Решение: |a| = √22 + 42 + 42 + 62 + 22 = √4 + 16 + 16 + 36 + 4 = √76 = 2√19.

Примеры решения задач

      Пример 1. При каких значениях параметра   p   векторы     и     перпендикулярны?

      Решение. Воспользовавшись формулой (7), получим

      Ответ: 4.

      Пример 2. При каких значениях параметров   α   и   β   векторы   (α; – 2; 5)   и   (1; β; – 4)   ?

      Решение. Векторы, в силу изложенного выше, являются коллинеарными тогда и только тогда, когда существует такое действительное число t, что выполняются равенства:

      Ответ:   .

      Пример 3. Длины векторов     и     равны   2   и   1 ,   соответственно, а угол между ними равен   60° . Найти длину вектора   .

      Решение. Рассмотрим рисунок 12.

Рис.12

      Воспользовавшись , получим

      Ответ: .

      Пример 4. Длины векторов  и равны 3 и 1, соответственно, а угол между ними равен   60°.   Найти длину вектора .

      Решение. Рассмотрим рисунок 13.

Рис.13

      Воспользовавшись , получим

      Ответ:   .

      Пример 5. Найти угол между векторами   (3; 6; 2)   и   (4; 7; 4) .

      Решение. Воспользовавшись формулой (8), получим

      Ответ:   .

Проекция вектора онлайн

Алгебраическая проекция вектора

Пр_ab = |b|cos(a,b) или

a

Инструкция.

Пp_ababab

Классификация проекций вектора

Виды проекций по определению проекция вектора

1. Геометрическая проекция вектора AB на ось (вектор) называется вектор A’B’, начало которого A’ есть проекция начала A на ось (вектор), а конец B’ – проекция конца B на ту же ось.
2. Алгебраическая проекция вектора AB на ось (вектор) называется длина вектора A’B’, взятая со знаком + или -, в зависимости от того, имеет ли вектор A’B’ то же направление, что и ось (вектор).

Виды проекций по системе координат

1. проекции на плоскости (система координат OX,OY). Пример: a(2;-3), a=2i-3j

2. проекции в пространстве (система координат OX,OY, OZ). Пример: a(2;-3;1), a=2i-3j+k

3. проекции в N-мерном пространстве

AC’=AB’+B’C’

Пр_ab = |b|·cos(a,b)

Виды проекций вектора

1. проекция на ось OX.
2. проекция на ось OY.
3. проекция на вектор.

Проекция на ось OX	Проекция на ось OY	Проекция на вектор
Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением оси OX, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.	Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением оси OY, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.	Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением вектора NM, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.
Если направление вектора противоположно с направлением оси OX, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.	Если направление вектора A’B’ противоположно с направлением оси OY, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.	Если направление вектора A’B’ противоположно с направлением вектора NM, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.
Если вектор AB параллелен оси OX, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.	Если вектор AB параллелен оси OY, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.	Если вектор AB параллелен вектору NM, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.
Если вектор AB перпендикулярен оси OX, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).	Если вектор AB перпендикулярен оси OY, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).	Если вектор AB перпендикулярен вектору NM, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).

1. Вопрос: Может ли проекция вектора иметь отрицательный знак. Ответ: Да, проекций вектора может быть отрицательной величиной. В этом случае, вектор имеет противоположное направление (см. как направлены ось OX и вектор AB)
2. Вопрос: Может ли проекция вектора совпадать с модулем вектора. Ответ: Да, может. В этом случае, векторы параллельны (или лежат на одной прямой).
3. Вопрос: Может ли проекция вектора быть равна нулю (нуль-вектор).

Пример 1. Вектор (рис. 1) образует с осью OX (она задана вектором a) угол 60о. Если OE есть единица масштаба, то |b|=4, так что .
Действительно, длина вектора (геометрической проекции b) равна 2, а направление совпадает с направлением оси OX.

Пример 2. Вектор (рис. 2) образует с осью OX (с вектором a) угол (a,b) = 120o. Длина |b| вектора b равна 4, поэтому пр_ab=4·cos120o = -2.
Действительно, длина вектора равна 2, а направление противоположно направлению оси.

Пример 3. Пусть вектор b задан через координаты точек M(1;1), N(4;5).
Координаты вектора: MN(4-1;5-1) = MN(3;4)
Тогда модуль вектора MN равен:
Направляющий вектор для оси OX равен вектору M’N’, где координаты точек M’(1;0) N’(4;0). Следовательно, вектор M’N’ имеет координаты: x = 4-1, y = 0-0 = 0.

Пример 4. Найти проекцию вектора c на вектор d;
с = АС = (-2;-1;3), d = CB(-5;-3;3)
Найдем проекцию вектора AC на вектор BC

Пример 5. Найти проекцию пр_b(-2a+4b)
где a=2m+3n и b=4m-n, |m|=k, |n|=l, угол между ∠(m,n)= π
Тогда -2a+4b = -4m+6n + 16m-4n = 12m+2n

222о

пр_b(-2a+4b) = пр_b(12m+2n) =

Понятие вектора. Свободный вектор

Сначала повторим школьное определение вектора. Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:
В данном случае началом отрезка является точка , концом отрезка – точка . Сам вектор обозначен через . Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку в другой конец отрезка, то получится вектор , и это уже совершенно другой вектор. Понятие вектора удобно отождествлять с движением физического тела: согласитесь, зайти в двери института или выйти из дверей института – это совершенно разные вещи.

Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором . У такого вектора конец и начало совпадают.

!!! Примечание: Здесь и далее можете считать, что векторы лежат в одной плоскости или можете считать, что они расположены в пространстве – суть излагаемого материала справедлива и для плоскости и для пространства.

Обозначения: Многие сразу обратили внимание на палочку без стрелочки в обозначении  и сказали, там же вверху еще стрелку ставят! Верно, можно записать со стрелкой: , но допустима и запись , которую я буду использовать в дальнейшем. Почему? Видимо, такая привычка сложилась из практических соображений, слишком разнокалиберными и мохнатыми получались мои стрелки в школе и ВУЗе

В учебной литературе иногда вообще не заморачиваются клинописью, а выделяют буквы жирным шрифтом: , подразумевая тем самым, что это вектор.

То была стилистика, а сейчас о способах записи векторов:

1) Векторы можно записать двумя большими латинскими буквами: и так далее. При этом первая буква обязательно обозначает точку-начало вектора, а вторая буква – точку-конец вектора.

2) Векторы также записывают маленькими латинскими буквами: В частности, наш вектор  можно для краткости переобозначить маленькой латинской буквой .

Длиной или модулем ненулевого вектора  называется длина отрезка . Длина нулевого вектора  равна нулю. Логично.

Длина вектора обозначается знаком модуля: ,

Как находить длину вектора мы узнаем (или повторим, для кого как) чуть позже.

То были элементарные сведения о векторе, знакомые всем школьникам. В аналитической же геометрии рассматривается так называемый свободный вектор.

Если совсем просто – вектор можно отложить от любой точки:

Такие векторы мы привыкли называть равными (определение равных векторов будет дано ниже), но чисто с математической точки зрения это ОДИН И ТОТ ЖЕ ВЕКТОР или свободный вектор. Почему свободный? Потому что в ходе решения задач вы можете «пристроить» тот или иной «школьный» вектор в ЛЮБУЮ, нужную вам точку плоскости или пространства. Это очень крутое свойство! Представьте направленный отрезок произвольной длины и направления – его можно «клонировать» бесконечное количество раз и в любой точке пространства, по сути, он существует ВЕЗДЕ. Есть такая студенческая присказка: Каждому лектору в ж**у по вектору. Ведь не просто остроумная рифма, всё почти корректно – направленный отрезок можно пристроить и туда. Но не спешите радоваться, чаще страдают сами студенты =)

Итак, свободный вектор – это множество одинаковых направленных отрезков. Школьное определение вектора, данное в начале параграфа: «Вектором называется направленный отрезок…», подразумевает конкретный направленный отрезок, взятый из данного множества, который привязан к определённой точке плоскости или пространства.

Следует отметить, что с точки зрения физики понятие свободного вектора в общем случае некорректно, и точка приложения имеет значение. Действительно, прямой удар одинаковой силы по носу или по лбу хватит развивать мой дурацкий пример влёчет разные последствия. Впрочем, несвободные векторы встречаются и в курсе вышмата (не ходите туда :)).

Далее, если не оговаривается иное, речь пойдёт только о свободных векторах.

Нахождение длины вектора по координатам.

Длину вектора  будем обозначать . Аналогичное обозначение имеет модуль числа, и длину вектора часто называют модулем вектора.

Начнем с нахождения длины вектора на плоскости по координатам.

Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат Oxy. Пусть в ней задан вектор  и он имеет координаты . Получим формулу, позволяющую находить длину вектора  через координаты  и .

Отложим от начала координат (от точки О) вектор . Обозначим проекции точки А на координатные оси как  и  соответственно и рассмотрим прямоугольник  с диагональю ОА.

В силу теоремы Пифагора справедливо равенство , откуда . Из определения координат вектора в прямоугольной системе координатмы можем утверждать, что  и , а по построению длина ОА равна длине вектора , следовательно, .

Таким образом, формула для нахождения длины вектора  по его координатам на плоскости имеет вид .

Если вектор  представлен в виде разложения по координатным векторам , то его длина вычисляется по этой же формуле , так как в этом случае коэффициенты  и  являются координатами вектора  в заданной системе координат.

Рассмотрим пример.

Пример.

Найдите длину вектора , заданного в декартовой системе координат.

Решение.

Сразу применяем формулу для нахождения длины вектора по координатам :

Ответ:

.

Теперь получим формулу для нахождения длины вектора  по его координатам в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве.

Отложим от начала координат вектор  и обозначим проекции точки А на координатные оси как  и . Тогда мы можем построить на сторонах  и прямоугольный параллелепипед, в котором ОА будет диагональю.

В этом случае  (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), откуда . Определение координат вектора позволяет нам записать равенства , а длина ОА равна искомой длине вектора, следовательно, .

Таким образом, длина вектора  в пространстве равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, то есть, находится по формуле .

Пример.

Вычислите длину вектора , где  — орты прямоугольной системы координат.

Решение.

Нам дано разложение вектора  по координатным векторам вида , следовательно, . Тогда по формуле нахождения длины вектора по координатам имеем .

Ответ:

.

Длина вектора через координаты точек его начала и конца.

А как найти длину вектора, если даны координаты точек его начала и конца?

В предыдущем пункте мы получили формулы для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости и в трехмерном пространстве. Тогда мы можем ими воспользоваться, если найдем координаты вектора по координатам точек его начала и конца.

Таким образом, если на плоскости заданы точки  и , то вектор  имеет координаты  и его длина вычисляется по формуле , а формула для нахождения длины вектора  по координатам точек  и  трехмерного пространства имеет вид .

Рассмотрим решения примеров.

Пример.

Найдите длину вектора , если в прямоугольной декартовой системе координат .

Решение.

Можно сразу применить формулу для нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости :

Вторым вариантом решения является определение координат вектора через координаты точек и применение формулы :

Ответ:

.

Пример.

Определите, при каких значениях  длина вектора  равна , если .

Решение.

Длина вектора  по координатам точек начала и конца может быть найдена как

Приравняв полученное значение длины вектора к , вычислим искомые :

Ответ:

при .

Нахождение длины вектора по теореме косинусов.

Большинство задач на нахождение длины вектора решаются в координатах. Однако, когда координаты вектора не известны приходится искать другие пути решения.

Пусть известны длины двух векторов ,  и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора  или . В этом случае можно по теореме косинусов в треугольнике АВС вычислить длину стороны ВС, которая равна искомой длине вектора.

Разберем решение примера для пояснения сказанного.

Пример.

Длины векторов  и  равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен . Вычислите длину вектора .

Решение.

Длина вектора  равна длине стороны ВС в треугольнике АВС. Из условия нам известны длины сторон АВ и АС этого треугольника (они равны длинам соответствующих векторов), а также угол между ними, поэтому нам достаточно данных для применения теоремы косинусов:

Таким образом, .

Ответ:

.

Итак, для нахождения длины вектора по координатам используем формулы или ,
по координатам точек начала и конца вектора — или ,
в некоторых случаях к результату приводит теорема косинусов.

Свойства сложения

Действия с векторами во многом подобны действиям с обычными числами. Напомним, что в алгебре при прибавлении к числу нуля оно не менялось:

a + 0 = a

Аналогично и при прибавлении к вектору нулевого вектора он не изменится:

Работает ли это правило с векторами? Оказывается, что да. Убедиться в этом можно, построив параллелограмм, сторонами которого являются складываемые векторы:

Видно, что диагональ параллелограмма является суммой векторов, которые соответствуют нижней и крайней правой его стороне. Они обозначены как векторы a и b, причем в данном случае к а прибавляется b. Но одновременно эта же диагональ – это сумма векторов, которые соответствуют крайней левой и его верхней стороне. Напомним, что противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, поэтому они и обозначены одним вектором. В этом случае уже к b прибавляется a. Результат при этом получается одинаковый, поэтому можно записать, что

На этом примере мы увидели, как работает ещё одно правило сложения векторов, который называется правилом параллелограмма. Если есть два вектора, которые необходимо сложить, то можно отложить их от одной точки, а потом достроить получившуюся фигуру до параллелограмма.

Задание. Сложите с помощью правила параллелограмма вектора, изображенные на рисунке:

Решение. Надо всего лишь построить параллелограмм, как показано на рисунке. Его диагональ и окажется искомым вектором:

Ещё один закон, использующийся в алгебре, называется сочетательным законом, записывается он так:

Оказывается, что и при действиях с векторами он также работает, то есть справедливо соотношение:

Здесь оранжевый вектор – это сумма красного (а) и синего (b) вектора. Если к оранжевому вектору добавить зеленый (с), то получится фиолетовый вектор, который, таким образом, является суммой

Желтый вектор – это сумма синего и зеленого вектора. Видно, что фиолетовый вектор представляет собой сумму красного и желтого, то есть он представляет сумму

Складывать можно любое количество векторов. В этом случае надо последовательно прикладывать эти вектора друг к другу, выстраивая «цепочку» векторов. Например, сложение 4 векторов, показанных на рисунке, будет осуществляться следующим образом:

Этот способ сложения векторов именуют правилом многоугольника. Естественно, в силу переместительного закона вектора можно прикладывать друг к другу в разной последовательности, при этом результат будет получаться один и тот же.

Задание. Сложите, используя правило многоугольника, вектора, изображенные на рисунке. Выполните сложение двумя разными способами:

В первом случае последовательно сложим вектора a, b, c и d. Во втором случае изменим последовательность сложения. Например, сложим их в порядке d, b, c, a:

Видно, что каждый из двух способов дал один и тот же результат, что ещё раз подтверждает справедливость переместительного закона сложения векторов.

Взаимосвязь координат векторов и его начала и конца

На координатной плоскости любые две точки можно соединить друг с другом. В результате получается отрезок. Если же дополнительно указано, какая из этих точек – начало отрезка, а какая – конец, то в итоге мы уже имеем вектор. Попробуем определить, есть ли связь между координатами вектора и координатами (можно использовать сокращение коор-ты) его граничных точек.

Пусть в прямоугольной системе координат отмечены точки А (хА;уА) и В(хB;уB).Тогда можно задать вектор АВ. Также построим ещё два вспомогательных вектора ОА и ОВ, начинающиеся в точке О – начале коор-т:

Вектора ОВ и ОА – это радиус-векторы (так как их начало находится в начале координат), поэтому их коор-ты ОВ и ОА совпадают с коор-тами их концов (В и А соответственно):

Итак, зная коор-ты граничных точек вектора, можно найти и координаты данного вектора:

Например, если вектор начинается в точке А (2; 1), а заканчивается в точке В (6; 3), то коор-ты вектора АВ можно определить так:

Задание. Начало вектора находится в точке М, а конец – в точке К. Определите его коор-ты, если:

а) М(2; 7) и К(6; 8);

б) М(5; 1) и К(2; 10);

в) М(0; и К(9; -5).

Решение. Из коор-т К мы просто вычитаем соответствующие коор-ты М, и в итоге определяем коор-ты вектора:

Задание. От точки H (8; 15) отложили вектор m{5; – 6}. Каковы координаты конца этого вектора?

Решение. Обозначим интересующие нас коор-ты как (хк; ук). Для вектора, начинающегося в точке (8; 15) и заканчивающегося в точке (хк; ук), коор-ты можно вычислить так:

x = xk – 8

y = yk – 15

Однако нам даны координаты вектора, то есть величины х и у, поэтому мы можем записать:

5 = xk – 8

-6 = yk – 15

Оба равенства представляет собой уравнения, которые можно решить:

5 = xk – 8

xk = 5 + 8 = 13

-6 = yk – 15

yk = -6 + 15 = 9

В итоге получили, что конец вектора находится в точке (13; 9).

Ответ:(13; 9).

Как найти длину (модуль) вектора: формула, пример задачи

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

В данной публикации мы рассмотрим, что такое длина вектора, как она находится, а также приведем пример задачи для демонстрации применения теоретических знаний на практике.

• Определение длины вектора
• Нахождение длины вектора
• Пример задач

Определение длины вектора

Длина (или модуль) вектора AB – это неотрицательное число, которое равно расстоянию между его началом и концом. Другими словами, это длина соответствующего отрезка AB.

Для рассматриваемого вектора длина обозначается как |AB|, т.е. по бокам добавляются вертикальные черточки.

Примечания:

• Длина нулевого вектора 0, соответственно, равняется нулю.
• Длина единичного вектора e равна единице.

Нахождение длины вектора

Допустим, у нас есть вектор a, который задан своими координатами:

a = (a_x; a_y; a_z).

В этом случае длина вектора вычисляется по формуле:

Таким образом, длина вектора, заданная определенными координатами, равняется квадратному корню из суммы квадратов этих координат.

Пример задач

Дан вектор a = (2; -5; 6). Найдем его длину.

Решение

Все, что нам нужно сделать – это воспользоваться приведенной выше формулой, подставив в нее известные значения.

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы