Плоские геометрические фигуры: свойства и основные формулы

в кембриджском словаре английского языка

От Huffington Post

Впоследствии они изготовили конструкцию, в которой центр масс системы был расположен соответствующим образом за счет добавления параллелограммных соединений.

Из Кембриджского корпуса английского языка

Каждый параллелограмм

предъявлялся в обоих направлениях движения в обоих типах апертур методом постоянных стимулов.

Из Кембриджского корпуса английского языка

Существует параллелограмм механизм, ограничивающий вращение подвижной платформы.

Из Кембриджского корпуса английского языка

Каждая подцепь содержит один пространственный параллелограмм четырех стержней, соединенных сферическими суставами.

Из Кембриджского корпуса английского языка

Для этого исследования мы выбрали иллюзорный квадрат в сравнении с параллелограммом , прямой треугольник в сравнении с перевернутым треугольником и ромб в сравнении с параллелограммом.

Из Кембриджского корпуса английского языка

Далее мы хотели бы поговорить о параллелограммах следующего вида.

Из Кембриджского корпуса английского языка

Его внутреннюю часть можно замостить с помощью трансляций основных параллелограммов.

Из Кембриджского корпуса английского языка

Даже в завершенном браке параллелограмм по-прежнему очевидны своенравные движения как вперед, так и назад; элементы продолжают появляться снова, требуя комбинации и выдачи.

Из Кембриджского корпуса английского языка

Также было решено встроить шарнирные параллелограммы, передающие движение внутрь корпуса пальца, чтобы иметь компактную конструкцию.

Из Кембриджского корпуса английского языка

Роль параллелограммов состоит в том, чтобы ограничивать ориентацию платформы параллельно рабочей поверхности.

Из Кембриджского корпуса английского языка

Соединительное звено ck несет призматический скользящий шарнир, который освобождает параллелограмм от поперечных силовых составляющих.

Из Кембриджского корпуса английского языка

Каждая из трех цепочек содержит по одному параллелограмму .

Из Кембриджского корпуса английского языка

Окончательное введение письменности, несомненно, оказало глубокое влияние на оба компонента языковых изменений 9.0175 параллелограмм сил.

Из Кембриджского корпуса английского языка

Кроме того, с помощью параллелограмма можно улучшить угол наклона или способность вращения.

Из Кембриджского корпуса английского языка

Эти примеры взяты из корпусов и источников в Интернете. Любые мнения в примерах не отражают мнение редакторов Кембриджского словаря, издательства Кембриджского университета или его лицензиаров.

Задачи на параллелограмм 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Повторение определения, свойств и признака параллелограмма

Сегодня мы основное внимание уделим задачам на параллелограмм

Определение. Параллелограмм – четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (см. Рис. 1).

Рис. 1. Параллелограмм

Основные свойства параллелограмма:

Теорема. Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны (см. Рис. 2), то этот четырехугольник – параллелограмм.  параллелограмм.

Рис. 2. Первый признак параллелограмма

Рис. 3. Второй признак параллелограмма

Теорема. Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны (см. Рис. 3), то этот четырехугольник – параллелограмм.  параллелограмм.

Теорема. Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам (см. Рис. 4), то этот четырехугольник – параллелограмм.  параллелограмм.

Рис. 4. Третий признак параллелограмма

Задачи на параллелограммы

Теперь рассмотрим решение задач с использованием определения, свойств и признаков параллелограмма.

Пример 1. В параллелограмме  проведены биссектрисы  и , которые пересекаются в точке . Найти .

Решение. Изобразим Рис. 5.

Рис. 5

Обозначим для удобства: . Следовательно,  поскольку  и  биссектрисы.

По теореме о сумме внутренних углов треугольника .

Вспомним свойство параллелограмма о сумме углов, прилежащих к одной стороне: . Тогда:

Ответ. .

Пример 2. Прямая , проведенная через середину  стороны  параллельно стороне  треугольника  пересекает третью его сторону в середине. Доказать, что  – это середина .

Доказательство. Изобразим Рис. 6 с дополнительными построениями: проведем .

Рис. 6

Рассмотрим четырехугольник :

 параллелограмм по определению. Тогда по свойству равенства противоположных сторон , но по условию еще известно, что , следовательно, .

Рассмотрим треугольники  и :

 по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилежащим углам).

Из равенства указанных треугольников следует равенство их соответствующих сторон, т.е., например, что . Это означает, что точка  является серединой стороны . Что и требовалось доказать.

Доказано.

3. Теорема Фалеса

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, которые пересекают стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство. Изобразим Рис. 7.

Рис. 7. Теорема Фалеса

Рассмотрим . В нем точка  – середина стороны , а прямая . Из предыдущего примера следует, что точка  делит сторону   на две равные части, т.е. . Равенство двух отрезков, ближайших к вершине угла доказано.

Доказано.

4. Пример задачи на применение теоремы Фалеса

Рассмотрим пример на доказанную теорему.

Пример 3. Дан отрезок , разделить его на три равные части.

Решение. Изобразим указанный отрезок на Рис. 8 и сделаем дополнительные построения: отложим три равных отрезка любой длины  вдоль одной прямой, не совпадающей с указанным в условии отрезком.

Рис. 8. Применение теоремы Фалеса

Соединим прямой точки  и , а затем проведем прямые, параллельные прямой , через точки  и : . Полученные при пересечении отрезка точки  и  будут делить отрезок  на три равных части по теореме Фалеса. Необходимое построение выполнено и задача решена.

Ответ: построено.

Методы, которые мы рассмотрели сегодня на примерах, демонстрирующих свойства и признаки параллелограмма, помогут нам в дальнейшем при работе с параллелограммами в более сложных случаях.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Narod.ru (Источник).
2. Фестиваль педагогических наук «Открытый урок» (Источник).

Домашнее задание

1. №  50 (г, д, е, ж, з, и), 51 (б, в, г, ж), 52 (б, в, е, ж). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
2. В параллелограмме   см,  см, биссектрисы углов  и  пересекают сторону  в точках  и . Найдите длину отрезка .
3. Угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины тупого угла, равен .
   Найдите периметр параллелограмма, если его высоты равны 4 см и 6 см.
4. ∗ Через середину  диагонали  параллелограмма  проведена прямая, которая пересекает стороны  и  в точках  и  соответственно. Докажите, что четырехугольник  параллелограмм.

Как сформулировать и доказать утверждения о свойствах параллелограмма, теоремы о признаках данной фигуры

Параллелограммом называют четырёхугольник (фигура, что состоит из четырёх точек и отрезков, последовательно их соединяющих), у которого противоположные стороны попарно параллельны. Его свойства впервые детально изучали греческие математики Евклид и Пифагор. Конец эпохи Средневековья принёс людям полную теорию об этой фигуре.

…

История возникновения термина

О некоторых видах четырёхугольников, квадратов, прямоугольников, равносторонних и прямоугольных трапеций знали ещё давно.

Термин «параллелограмм» греческого происхождения, считают что его придумал Евклид (приблизительно 300 годов до нашей эры). Ещё известно, что эта фигура и её свойства были знакомы ученикам школы Пифагора, раньше их называли пифагорейцами.

В «Началах» Евклида приведена следующая теорема: в параллелограмме противоположные стороны равны, а диагонали разделяют его по половине. Но в данной книге не было написано о свойствах точки их сечения. Ещё этот учёный не упоминает о прямоугольнике и ромбе.

Полную теорию сделали только в конце Средневековья, а в книгах она появилась в семнадцатом столетии. Теоремы и свойства параллелограмма основывались на аксиомах Евклида.

Нужно сказать, что Евклид, как и большинство математиков того времени, для названия отрезка, который соединяет противоположные вершины четырёхугольника или прямоугольника, использовал другой термин — «диаметр». Это можно объяснить тем, что первые геометры свои мысли основывали на вписании круга в прямоугольник. В Средние века для названия приведённых отрезков использовали оба термина. Только в семнадцатом столетии «диагональ» стала общепринятой.

Доказательство признаков фигуры

На следующем рисунке изображён параллелограмм ABCD, где AB параллельно CD и AD параллельно BC:

Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180 градусам — это первая подсказка о том, как сформулировать и доказать утверждения о признаках параллелограмма.

На этом рисунке углы A и B фигуры ABCD есть внутренними односторонними углами для параллельных прямых AD и BC . Поэтому углы A + B равны 180 градусам. Аналогично это свойство можно привести для любой другой пары соседних (если вершины есть концами одной и той же стороны) углов.

Теорема признаков паралелограмма

• Теорема признаков параллелограмма гласит, что это выпуклый четырёхугольник. Исходя из предыдущего правила, угол А намного меньше 180 градусов, как и B, C, D, поэтому его называют опухлым четырёхугольником. Диагонали этой фигуры могут пересекаться.
• У параллелограмма противоположные стороны и углы равны.

Диагональ АС разбивает фигуру на два треугольника ABC и ADC. АС — общая сторона двоих треугольников и САD эквивалентен АСВ также с САВ и АСD. Тогда ∆АВС = ∆СDA, по стороне и двумя прилегающими углами. Это значит, что АВ=СD, BC=AD и B=D, как соответствующие элементы в различных треугольниках.

Теорема о диагоналях

• Периметр (сумма длин всех сторон четырёхугольника, которую обозначают буквой Р) параллелограмма эквивалентен 2 (АВ +ВС) или АВ + ВС + СD + DA.
• Теорема о диагоналях параллелограмма гласит, что точкой пересечения они делятся ровно пополовине.

По условию задачи O — это точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма. AB эквивалентно BC, как противоположные, не имеющие своей общей вершины. CAD равен ACB также BDA и DBC, АD и BC секущими AC и B. D. Следуя дальше ∆АОD = ∆ COB, по стороне и двух прилегающих углах. Тогда, А = ОС, ВО = ОD, как соответствующие стороны разных треугольников.

На этом рисунке MN — это высота. Следуя за известным определением, из каждой вершины можно провести две высоты (BF и BT, которые приведены в соответствии к сторонам AD и CD).

Свойства параллелограмма с доказательствами 8 класса :

1. Две стороны равны и параллельны.
2. Противоположные стороны попарно равны.
3. Диагонали пересекаются и этой точкой делятся ровно пополам.
4. Противоположные углы попарно равны.

Теперь нужно вернуться к первому рисунку, чтобы до конца понять все признаки параллелограмма и доказательства любых признаков.

В нём AD = BC и AD || BC. Провели диагональ AC и получили ∆CAD и ∆ACB. CAD эквивалентен ВСА, как внутренние разносторонние углы при пересечениях прямых AD и BC секущей AC, ещё она является их общей стороной. Условия задачи говорят: AD=BC. Значит, что, ∆CAD=∆ACB, ACD = CAB. Из-за того, что они были созданы в таких условиях AB || CD, по признаку параллельных прямых.

Определение ромба, как геометрической фигуры

Ромб — это такой параллелограмм, у которого все стороны равны. Если же ромб имеет прямые углы, то он называется квадратом.

Сам термин «Ромб» в переводе с греческого языка, обозначает «бубен». Конечно же в нашем понимании бубен, как музыкальный инструмент, имеет круглую форму. Но это сейчас бубны делают круглыми, а в древние времена он как раз и имел квадратную форму или форму ромба.

Давайте остановимся на основных определениях ромба и попробуем понять, что же являет собой эта геометрическая фигура.

Ромб – это такой равносторонний параллелограмм, у которого равные стороны, но неравные углы.

В отличие от квадрата, ромб – это равносторонний косоугольник.

Как всегда мы получаем множество определений той или иной геометрической фигуры, но это не означает, что каждый ученик должен сесть и «зазубрить» именно эти определения. Отличие в определениях – это насколько широко они описывают нашу геометрическую фигуру. Самое главное, это понимание о чем говориться в определении и возможность представить фигуру. Если вы будете придерживаться этих двух правил, то и сами сможете написать или дополнить парочку определений.