В каком соотношении высота делит сторону треугольника

Примечания

1. Ross Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1996, ISBN 978-0883856390. p. 30, Figure 34, §3. An Unlikely Collinearity.
2. Ross Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1996, ISBN 978-0883856390. p. 33, figure 40, §Exercise 3.2
3. Сафронова Вера Николаевна,. . Открытый урок. Издательский дом «Первое сентября». Дата обращения 19 июля 2017.
4. Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902. С. 9, п. 16. Высоты треугольника. Теорема Архимеда.
5. Nathan Altshiller-Court. «College Geometry. An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle». Second Edition. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. P. 298, §175.
6. Maureen T. Carroll, Elyn Rykken. . Дата обращения 10 апреля 2020.
7. Bogomolny, Alexander, . Проверено 17 ноября 2019.
8. Nathan Altshiller-Court. «College Geometry. An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle». Second Edition. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. P. 298, §176
9. Nathan Altshiller-Court. «College Geometry. An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle». Second Edition. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. P. 94, §177. Theorem.

Решения задач о треугольнике онлайн

Задача 1. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти: а) длину стороны $AB$; б) уравнение медианы $BM$;в) $cos$ угла $BCA$; г) уравнение высоты $CD$; д) длину высоты $СD$; е) площадь треугольника $АВС$.

Задача 2. Найти длину высоты $AD$ в треугольнике с вершинами $A(3,2), B(2,-5), C(-6,-1)$ и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$.

Задача 3. Даны вершины $A(1,1), B(7,5), C(4,5)$ треугольника. Найти:1) длину стороны $AB$; 2) внутренний угол $A$ в радианах с точностью до 0,01; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину $C$; 4) уравнение медианы, проведенной через вершину $C$; 5) точку пересечения высот треугольника; 6) длину высоты, опущенной из вершины $C$; 7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника.Сделать чертеж.

Задача 4. Даны уравнения двух сторон треугольника $4x-5y+9=0$ и $x+4y-3=0$. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке $P(3,1)$.

Задача 5. Даны две вершины $A(-3,3)$, $B(5,-1)$ и точка $D(4,3)$ пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.

Задача 6. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми $у = 2х$, $y = -2х$ и $у = х + 6$.

Задача 7. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника: $А(0, – 4)$, $В(3, 0)$ и $С(0, 6)$.

Задача 8. Вычислить координаты точек середины отрезков, являющихся медианами треугольника $ABC$, если $A(-6;1)$, $B(4;3)$, $C(10;8)$.

Не получаются задачи? Решим быстро и подробно!

Объем фигур — Фигуры В Пространстве

   Объем — это величина фигуры в дину, высоту и ширину, измеряемая в кубических единицах.

    Свойства объемов:

• Равные тела имеют равные объемы.
• Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел.

   1. Объем куба равен кубу длины его граней.

    Формула объема куба:  

    где V— объем куба,

          a — длина грани куба. 

    2. Объем призмы равен произведению основания призмы на ее высоту.

    Формула объема призмы: 

    3. Объем параллелепипеда равен произведению площади снования на высоту.    Формула объема параллелепипеда: 

    где  — объем параллелепипеда,  — площадь основания, — длина высоты.

  Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты. Формула объема прямоугольного параллелепипеда: 

    где  — объем прямоугольного параллелепипеда, 

           a

 — длина, 

            b

— ширина, 

            h

 — высота.

    4. Объем пирамиды равен трети от произведения площади ее основания на высоту.

    Формула объема пирамиды:

    где — объем пирамиды,  — площадь основания пирамиды,  — длина высоты пирамиды.

   5. Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

    Формулы объема цилиндра:

    где  — объем цилиндра,  — площадь основания цилиндра,  — радиус цилиндра,  — высота цилиндра, .

   6. Объем конуса равен трети от произведения площади его основания на высоту.

    Формулы объема конуса: 

    где  — объем конуса,  — площадь основания конуса,  — радиус основания конуса,  — высота конуса, .

    7. Объем шара равен четырем третьим от его радиуса в кубе помноженного на число.

    Фор

    где  — объем шара,  — радиус шара, .

Высота Треугольника (Высота). Калькулятор

Создано Ханной Памула, докторантом

Отзыв от Bogna Szyk

Последнее обновление: 27 сентября 2022 г.

• Какова высота треугольника?
• Как найти высоту треугольника — формулы
• Как найти высоту равностороннего треугольника
• Как найти высоту равнобедренного треугольника
• Как найти высоту прямоугольного треугольника
• Как найти высота треугольника с помощью этого калькулятора высоты треугольника?

Если вы ищете простой инструмент для расчета высоты в любом треугольнике, вы находитесь в нужном месте — этот калькулятор высоты треугольника является инструментом для вас.

Если вас все еще интересует формула высоты равностороннего треугольника или как найти высоту без площади, продолжайте прокручивать, и вы найдете ответ.

Какова высота треугольника?

Каждая сторона треугольника может быть основанием, и из каждой вершины можно провести линию, перпендикулярную линии, содержащей основание — это высота треугольника. Каждый треугольник имеет три высоты, которые также называются высот . Рисование высоты известно как падение высоты в этой вершине.

Как найти высоту треугольника — формулы

Существует много способов найти высоту треугольника. Самая популярная — с использованием площади треугольника, но существует много других формул:

1. Заданная площадь треугольника

Известное уравнение площади треугольника можно преобразовать в формулу высоты прямоугольного треугольника:

• , где — основание, — высота
• , значит,

Но как найти высоту треугольника без площади? Самые популярные формулы:

2. Даны стороны треугольника

Он использует уравнение, называемое формулой Герона, которое позволяет вычислить площадь по сторонам треугольника.

• Формула Герона:
• , поэтому

Вы можете узнать больше об этом уравнении в нашем специальном калькуляторе формул Герона.

3. Даны две стороны и угол между

Используйте тригонометрическую или другую формулу площади треугольника:

площадь = 0,5 × a × b × sin(γ)

(или или , если даны разные стороны)

h = 2 × 0,5 × a × b × sin(γ) / b = a × sin(γ)

Если ваша фигура представляет собой особый тип треугольника, прокрутите вниз, чтобы найти формулы высоты треугольника.

Как найти высоту равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны и все три угла равны 60°. Все три высоты имеют одинаковую длину, которая может быть рассчитана из:

h△ = a × √3/2 , где a — сторона треугольника

В равностороннем треугольнике высоты, биссектрисы, биссектрисы и медианы совпадают.

Если вас интересуют формулы площади и периметра, посетите наш специальный калькулятор равностороннего треугольника.

Как найти высоту равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник — это треугольник, две стороны которого имеют одинаковую длину. Есть две разные высоты равнобедренного треугольника; формула для вершины:

• , где — катет треугольника, а — основание. Формула получена из теоремы Пифагора.

• Высота от базовых вершин может быть рассчитана, например, из

  • формула площади :
  • тригонометрия :

Чтобы узнать формулы площади и периметра этого типа треугольника, посетите наш специальный калькулятор равнобедренного треугольника.

Как найти высоту прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — это треугольник, один из углов которого равен 90°. Две высоты найти несложно, так как катеты перпендикулярны: если более короткий катет — основание, то более длинный катет — высота (и наоборот). Третью высоту треугольника можно рассчитать по формуле:

hᶜ = площадь × 2 / c = a × b / c

Если вас интересуют уравнения площади и периметра этого треугольника, воспользуйтесь нашим калькулятором прямоугольного треугольника.

Как найти высоту треугольника с помощью этого калькулятора высоты треугольника?

Прочитав наше объяснение, мы почти уверены, что теперь вы понимаете, как найти высоту треугольника без заданной площади или какова высота треугольника.

1. Выберите тип треугольника . Предположим, мы хотим вычислить высоты разностороннего треугольника, поэтому мы не меняем параметр по умолчанию.
2. Введите указанные значения . Это может быть три стороны или две стороны и угол. Остановимся на первом варианте: a = 6 дюймов, b = 14 дюймов, c = 17 дюймов.
3. Калькулятор высоты треугольника показал все три высоты — они равны 13,17 дюйма, 5,644 дюйма и 4,648 дюйма. Более того, калькулятор показал нам все углы треугольника, площадь и периметр. Это потрясающе!

Ханна Памула, кандидат наук

Особый треугольник?

Heights (высоты)

Углы

другие

Периметр

Проверьте 18 аналогичных калькуляторов треугольника

30 60 90 ТРЕЗОНА 45 45 90 ТРИАНГРЕА ПРАВО ТРЕЙНАЛЯ… еще 15

Способы проведения высот треугольника

Перпендикулярный метод: для проведения высот треугольника с помощью данного метода необходимо взять любую сторону треугольника и провести из ее конца перпендикуляр к противоположной стороне. При этом перпендикулярный отрезок будет служить высотой треугольника, который делит сторону на две части в пропорции соответствующих катетов прямоугольного треугольника.

Метод медианы: для проведения высот треугольника по этому методу необходимо провести медиану из вершины треугольника к противоположной стороне. Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Медиана является также осью симметрии треугольника.

Метод биссектрисы: для проведения высот треугольника по этому методу необходимо провести биссектрису угла из вершины треугольника к противоположной стороне. Биссектриса угла – это отрезок, который делит угол на две равные части. Биссектриса является точкой пересечения высот треугольника.

• Перпендикулярный метод
• Метод медианы
• Метод биссектрисы

Решение задач

Рас­смот­рим сле­ду­ю­щие за­да­чи:

При­мер 1 На ри­сун­ке АВ = ВС, ∠1 = . Най­ди­те ∠2.

Ре­ше­ние Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок:

Рис. 4. Чер­теж к при­ме­ру 1

1. ∠АСВ = – = (по свой­ству смеж­ных углов). Зна­чит, угол при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равен .

2. ∠ВАС = ∠АСВ = (по­сколь­ку углы при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равны).

3. ∠2 = ∠ВАС (как вер­ти­каль­ные), зна­чит, ∠2 = ∠ВАС = .

Ответ:.

При­мер 2 Пе­ри­метр рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка АВС с ос­но­ва­ни­ем ВС равен 40 см, а пе­ри­метр рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка ВСD равен 45 см. Най­ди­те сто­ро­ны АВ и ВС.

Дано: АВ = АС, ВС = СD = DB. = 40 см. = 45 см.

Найти: АВ и ВС.

Ре­ше­ние Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок:

Рис. 5. Чер­теж к при­ме­ру 2

Ре­ше­ние: Пусть ВС = х, тогда все сто­ро­ны рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка тоже равны х. Пусть АВ = у, тогда обе бо­ко­вые сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равны у. Сле­дуя усло­вию, 3х = 45. Най­дем х. х = 45 : 3 = 15. Ис­поль­зу­ем факт, что = 40 см. 15 + 2у = 40, 2у = 25, у = 25 : 2 = 12,5.

Ответ: АВ = 12,5 см, ВС = 15 см.

При­мер 3: Ме­ди­а­на АМ в  тре­уголь­ни­ке АВС равна от­рез­ку ВМ. До­ка­жи­те, что ∠ВАС = ∠В + ∠С.

Дано: ВМ = МС, АМ = ВМ.

До­ка­зать: ∠ВАС = ∠В + ∠С.

До­ка­за­тель­ство: Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок:

Рис. 6. Чер­теж к при­ме­ру 3

Тре­уголь­ник АМВ – рав­но­бед­рен­ный, углы при ос­но­ва­нии равны, зна­чит, ∠1 = ∠2.  тре­уголь­ник АМС – рав­но­бед­рен­ный, зна­чит, углы при ос­но­ва­нии равны, ∠4 = ∠3.

∠1 + ∠4 = ∠2 + ∠3

∠ВАС = ∠В + ∠С

Ответ: До­ка­за­но.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/treugolnikib/reshenie-zadach-po-teme-ravnobedrennyy-treugolnik

https://www.youtube.com/watch?v=TyOhs9-_-3M

http://istudy.su/wp-content/uploads/2013/03/4_Ravnobedrennyj-treugolnik-732×1024.jpg

http://school-assistant.ru/?predmet=geometr&theme=ravnobedrennij_treugolnik

http://greatschool.ru/files/tasks/1577/121041.gif

http://blogstudy.ru/gdzimg/214aaa/20111205125802.jpeg

http://www.flconf.org/education/wp-content/uploads/2011/04/5107103-1886×2550-1-1024×757.jpg

http://cs1-26v4.vk-cdn.net/p15/f1c21f09bd9fad.mp3?extra=u96JCzuBb-XdruFah977CJD_izMWWpkY6XMumaQX91DaN6oYjpkhgbiIWHT_JgbeMV8sBTXjR7DNV22iBzUUOuBrsARIHPev

http://nsportal.ru/sites/default/files/2015/01/31/priznaki_ravenstva_treugolnikov.rar

Примеры вычисления высот треугольника на практике

Для вычисления высоты треугольника, нужно знать длину основания и высоту, опущенную на это основание. Рассмотрим треугольник ABC со сторонами a, b и c:

Пример 1:

Дан треугольник ABC со сторонами a = 6, b = 8, c = 10. На сторону b опущена высота h. Найдите длину высоты h.

Решение:

1. Найдем площадь треугольника ABC: S = (a * h) / 2 = (6 * h) / 2 = 3h.
2. Площадь треугольника ABC можно найти по формуле Герона: S = √p(p-a)(p-b)(p-c), где p = (a + b + c) / 2.
3. Подставим значения a, b, c и найдем p: p = (6 + 8 + 10) / 2 = 12.
4. Подставим значения a, b, c и p в формулу для площади: S = √12(12-6)(12-8)(12-10) = √12 * 6 * 4 * 2 = 2√6 * 4 * 2 = 16√6.
5. Найдем высоту h по формуле для площади: S = (b * h) / 2, где b = 8. Подставим значения и найдем h: h = (2 * 16√6) / 8 = 4√6.

Ответ: высота треугольника h = 4√6.

Пример 2:

Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием a = 8 и боковой стороной b = 10. Найдите длину высоты h, опущенной на основание a.

Решение:

1. Так как треугольник ABC равнобедренный, то его высота h, опущенная на сторону a, является медианой и биссектрисой.
2. Найдем длину медианы через половину основания и боковую сторону треугольника: m = √(b^2 — (a/2)^2) = √(100 — 16) = √84 = 2√21.

Ответ: высота треугольника h = 2√21.

Материал 7 класса

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Из любой точки окружности ее диаметр, не выходящий из этой точки, виден под прямым углом.

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника — угол, образованный стороной треугольника и продолжением его другой стороны.

При каждой вершине треугольника имеются два внешних угла.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.

Откуда в математике могли появиться внешние углы. Когда европейцы увидели пирамиды древнего Египта, они были потрясены увиденным. Им захотелось измерить эти грандиозные сооружения. Вот только внутренний угол пирамиды измерить не представляется возможным. Можно измерить внешний угол и высчитать внутренний.

Внутренняя область треугольника ABC — общая часть внутренних областей трех углов А, В и С этого треугольника.

Признаки равенства треугольников

1. СУС — Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. УСУ — Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. ССС — по трем сторонам (= это означает, что треугольник жесткая фигура — стороны определяют углы)

Дополнительные признаки

• СМС — Два треугольника равны, если две стороны и медиана, проведенная из общей вершины этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной из общей вершины этих сторон, другого треугольника.
• По медиане и двум углам, на которые она делит угол треугольника
• МСМ — Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника, то такие треугольники равны.
• СБС — Ели две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника, то такие треугольники равны.
• МММ — Два треугольника равны, если три медианы одного треугольника соответственно равны трем медианам другого треугольника.
• ВВВ — Два треугольника равны, если три высоты одного треугольника соответственно равны трем высотам другого треугольника.
• БББ — По трем биссектрисам
• ССУ_б — Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого, и угол одного треугольника, лежащий против большей из сторон, равен соответствующему углу другого, то такие треугольники равны.

Треугольник — жесткая фигура

Жесткая фигура — это фигура, не подверженная деформации.

Соединив дощечки с помощью гвоздей в четырехугольник, можно изменять градусную меру углов    четырехугольника, не меняя длины его сторон.

Можно менять величины углов у пятиугольников, шестиугольников и многоугольников с большим количеством сторон.

С треугольником так поступить не удастся.  Стороны треугольника определяют его углы однозначно. Треугольник не подвержен деформации. Поэтому треугольник — жесткая фигура. Из всех многоугольников только треугольник является жесткой фигурой.

Это свойство треугольника используется, в частности, при создании железных ажурных конструкций. Мосты, башни, подъемные краны, каркасы зданий, опоры для высоковольтных линий электропередач изготавливают таким образом, чтобы они содержали как можно больше треугольных элементов.

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.

При проведении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом 1/2. Центральный из этих 4 одинаковых треугольников называется дополнительным треугольником. Медианы и центр тяжести данного треугольника ABC совпадают с медианами и центром тяжести дополнительного треугольника A’B’C’.

Средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четверти площади исходного треугольника.

См. также

• Треугольник и окружность

• Неравенство треугольника

Задача Фаньяно

Задача Фаньяно . Рассматриваются всевозможные треугольники DEF , вершины D, E и F которых лежат на сторонах BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC соответственно. Доказать, что из всех треугольников DEF наименьшим периметром обладает ортоцентрический треугольник треугольника ABC .

Решение . Пусть DEF – один из рассматриваемых треугольников. Обозначим символом D₁ точку, симметричную точке D относительно прямой AC , и обозначим символом D₂ точку, симметричную точке D относительно прямой AB (рис.8).

Поскольку отрезок прямой – кратчайшее расстояние между двумя точками, то периметр треугольника DEF оказывается не меньшим, чем длина отрезка D₁D₂ . Отсюда вытекает, что при фиксированной точке D наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF , вершины F и E которого являются точками пересечения прямой D₁D₂ с прямыми AB и AC соответственно. Периметр этого треугольника равен длине отрезка D₁D₂ (рис.9).

Заметим также, что выполнено равенство

Кроме того, выполнено равенство

Отсюда вытекает, что длина отрезка D₁D₂ будет наименьшей тогда, когда длина отрезка AD будет наименьшей, т.е. в том случае, когда отрезок AD является высотой треугольника ABC . Другими словами, наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF , у которого вершина D является основанием высоты треугольника ABC , проведённой из вершины A , а вершины E и F построены по описанной выше схеме. Таким образом, среди всевозможных треугольников DEF треугольник с наименьшим периметром является единственным.

Если обозначить длину высоты, проведённой из вершины A , длину стороны AB и радиус описанной около треугольника ABC окружности буквами h, c и R соответственно, то, воспользовавшись теоремой синусов, получим:

Следовательно, наименьший периметр рассматриваемых треугольников DEF равен

Теперь докажем, что ортоцентрический треугольник и является треугольником с наименьшим периметром. Для этого воспользуемся следующей леммой.

Лемма . Пусть DEF – ортоцентрический треугольник треугольника ABC (рис.10).

В этом случае отрезок D₁D₂ проходит через точки F и E .

Доказательство . Заметим, что в силу следствия 2 выполняются равенства:

Кроме того, в силу равенства треугольников DFK и KFD₂ , а также в силу равенства треугольников DEL и LED₁ выполняются равенства:

откуда вытекает, что углы AEF и D₁EL , а также AFE и D₂FK являются вертикальными углами. Это означает, что точки D₁ , F, E , D₂ лежат на одной прямой. Лемма доказана.

Доказательство леммы и завершает решение задачи Фаньяно.

Задача на применение теоремы Пифагора.

Треугольник ABC является прямоугольным. При этом C-прямой угол. Из него проведена высота CD=6см.  Разность отрезков BD-AD=5 см. 

Найти: Стороны треугольника ABC. Решение. 

1.Составим систему уравнений согласно теореме Пифагора

CD2+BD2=BC2

CD2+AD2=AC2

поскольку CD=6

36+BD2=BC2

36+AD2=AC2

Поскольку BD-AD=5, то

BD = AD+5, тогда система уравнений принимает вид

36+(AD+5)2=BC2

36+AD2=AC2

Сложим первое и второе уравнение. Поскольку левая часть прибавляется к левой, а правая часть к правой — равенство не будет нарушено. Получим: 

36+36+(AD+5)2+AD2=AC2+BC2

72+(AD+5)2+AD2=AC2+BC2

2. Теперь, взглянув на первоначальный чертеж треугольника, по той же самой теореме Пифагора, должно выполняться равенство:

AC2+BC2=AB2

Поскольку AB=BD+AD, уравнение примет вид: 

AC2+BC2=(AD+BD)2

Поскольку BD-AD=5, то BD = AD+5, тогда

AC2+BC2=(AD+AD+5)2 

3. Теперь взглянем на результаты, полученные нами при решении в первой и второй части решения. А именно:

72+(AD+5)2+AD2=AC2+BC2

AC2+BC2=(AD+AD+5)2

Они имеют общую часть AC2+BC2 . Таким образом, приравняем их друг к другу.

72+(AD+5)2+AD2=(AD+AD+5)2

72+AD2+10AD+25+AD2=4AD2+20AD+25

-2AD2-10AD+72=0 

В полученном квадратном уравнении дискриминант равен D=676, соответственно, корни уравнения равны:

х₁=-3,5

x₂=4 

Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, отбрасываем первый корень.

AD=4

Соответственно

BD = AD + 5 = 9

AB = BD + AD = 4 + 9 = 13

По теореме Пифагора находим остальные стороны треугольника:

AC = корень из (52)

BC = корень из (117).

Треугольник (Трикутник)Описание курса Сумма углов треугольника   

Свойства и признаки равнобедренного треугольника

О нас

Демоверсии

Учебные пособия

Справочник по математике

Справочник по математике

Геометрия (Планиметрия)

Треугольники

Тип утверждения	Фигура	Рисунок	Формулировка
Определение	Равнобедренный треугольник		Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого две стороны равны.Равные стороны называют боковыми сторонами равнобедренного треугольника, третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника.
Свойство	Углы при основании равнобедренного треугольника		Если треугольник является равнобедренным треугольником, то углы при его основании равны.
Признак	Два равных угла треугольника	Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным треугольником.
Свойство	Медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию равнобедренного треугольника		В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины, противолежащей основанию, совпадают.
Признак	Высота треугольника, совпадающая с медианой		Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным
Признак	Высота треугольника, совпадающая с биссектрисой		Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным
Признак	Биссектриса треугольника, совпадающая с медианой		Если в треугольнике биссектриса совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным

Определение: равнобедренный треугольник
	Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого две стороны равны.Равные стороны называют боковыми сторонами равнобедренного треугольника, третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника.
Свойство: углы при основании равнобедренного треугольника
	Если треугольник является равнобедренным треугольником, то углы при его основании равны.
Признак: два равных угла треугольника
Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным треугольником.
Свойство: медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины, противолежащей основанию, совпадают.
Признак: высота треугольника, совпадающая с медианой
Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным
Признак: высота треугольника, совпадающая с биссектрисой
Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным
Признак: биссектриса треугольника, совпадающая с медианой
Если в треугольнике биссектриса совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным

Определение равнобедренного треугольника

Определение: Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами равнобедренного треугольника, третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника.

Свойство углов при основании равнобедренного треугольника

Свойство:Если треугольник является равнобедренным треугольником, то углы при его основании равны.

Признак равнобедренного треуголька: два равных угла треугольника

Признак:Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным треугольником.

Свойство медианы, биссектрисы и высоты, проведённых к основанию равнобедренного треугольника

Свойство:В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины, противолежащей основанию, совпадают.

Признак равнобедренного треугольника: высота треугольника, совпадающая с медианой

Признак:Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным

Признак равнобедренного треугольника: высота треугольника, совпадающая с биссектрисой

Признак:Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным

Признак равнобедренного треугольника: биссектриса треугольника, совпадающая с медианой

Признак:Если в треугольнике биссектриса совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Остроугольный треугольник и высота

Вернёмся–ка к остроугольному треугольнику. Отметим на рисунке равные углы:

Что видим теперь? Ещё подобные треугольники!

Как от двух линий вообще могут получиться столько подобных треугольников?!

Но тем не менее…

Видишь, какое богатство? И всё это может быть использовано в задачах!

Ну вот, теперь ты узнал что-то новенькое про высоты треугольника.

Теперь пробуй применять в задачах всё это – и соображение о том, что высота образует прямоугольный треугольник, и простые подобия прямоугольных треугольников, получающихся при пересечении двух высот, и подобие похитрее — которое с косинусом, и то, что угол между высотами равен углу между сторонами…

Главное, ты не старался просто запоминать все эти факты, а осознай, что их можно очень просто вывести.

Высота треугольника — коротко о главном

Четыре способа вычисления длины высоты, проведенной к стороне BC:

Способ 1. Через сторону и угол треугольника: \( \displaystyle A{{H}_{A}}=AC\cdot \sin C=AB\cdot \sin B\).

Способ 2. Через все 3 стороны треугольника:\( \displaystyle A{{H}_{A}}=\frac{2}{BC}\cdot \sqrt{p\cdot (p-BC)\cdot (p-AC)\cdot (p-AB)}\), где \( \displaystyle p\) — полупериметр треугольника: \( \displaystyle p=\frac{AB+BC+AC}{2}\).

Способ 3. Через сторону и площадь треугольника: \( \displaystyle A{{H}_{A}}=\frac{2S}{BC}\).

Способ 4. Через стороны треугольника и радиус описанной окружности: \( \displaystyle A{{H}_{A}}=\frac{AB\cdot AC}{2R}\), где \( \displaystyle R\) — радиус описанной окружности.

Точка пересечения высот треугольника — свойства, координаты и расположение ортоцентра — Помощник для школьников Спринт-Олимпиады

Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром и традиционно обозначается латинской буквой H. «Ортос» в переводе с греческого означает «прямой», «правильный». Ортоцентр может находиться внутри фигуры и вне ее. Местоположение зависит только от самой фигуры и не зависит от порядка расположения сторон и вершин.

Что такое высота

Если из вершины опустить перпендикуляр на противоположную сторону, получится отрезок, который именуется высотой. В равнобедренном треугольнике 2 отрезка равны, а в равностороннем равны все 3.

У фигур с углами 90 и более градусов высота попадает на противоположную сторону. В случае острого угла дело обстоит иначе.

В тупоугольной фигуре два из трех отрезков будут проходить за его пределами — ортоцентр окажется вне фигуры.

Свойства ортоцентра

Свойства высот треугольника, пересекающихся в одной точке, давно изучены и описаны. Согласно основному из них, все 3 высоты всегда пересекаются в одном месте. Иногда, чтобы найти это место, отрезки нужно продлить, превратив в ортогональные прямые.

Ортоцентр по отношению к фигуре может быть расположен:

• внутри;
• снаружи;
• в вершине (у прямоугольных треугольников)

Ортоцентр — важная в геометрии характеристика, влияющая на нахождение золотого сечения.

Так называется маленький треугольник, расположенный внутри основного, находящийся на пересечении его трех параметров:

• биссектрис,
• высот,
• медиан.

Золотое сечение может представлять собой не только треугольную фигуру, но и отрезок. В правильном треугольнике медианы, биссектрисы и высоты совпадают, значит, золотое сечение превращается в точку.

Полезные факты

Местонахождение ортоцентра имеет некоторые закономерности. Их знание принесет пользу при решении задач.

Пусть:

• H — ортоцентр в ABC;
• О — центр описанной окружности.

Тогда:

• окружности, описанные вокруг АБС, АНВ, CHB, HCA, равны:
• отрезок BH вдвое длиннее отрезка АС;
• середины отрезков AC и BH разделены расстоянием, равным радиусу описанной окружности.

Задача Фаньяно

Это классическая теорема. Она возникла в процессе поиска фигур с наименьшим периметром. Теорему доказал Фаньяно — итальянский математик и инженер. Это произошло еще в начале XVIII века.

• Формулировка: ортотреугольник, то есть фигура, полученная соединением трех оснований треугольника, проведенный внутри остроугольного треугольника, имеет самый маленький периметр изо всех возможных, вписанных в данную фигуру.
• Площадь ортотреугольника рассчитывается по формуле:
• Здесь S — площадь, а, b, c — стороны.

Существует понятие ортоцентрической системы. Оно включает в себя 3 вершины и место пересечения их высот. Любая из данных четырех точек будет являться ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными.

История изучения

Важное значение имеет место пересечения медиан или центр тяжести. Вместе с ортоцентром это еще одна «замечательная точка», которая была известна еще древним грекам

Так их стали называть начиная с 18 века, другое название «особенные».

Исследование этих точек стало началом для создания геометрии треугольника, основателем которой считается Леонард Эйлер. Ученый показал, что в любом треугольнике точки соединения высот, медиан и центр описанного круга находятся на одной линии, которую позже назвали прямой Эйлера.

В позапрошлом веке была обнаружена окружность 9 точек или Фейербаха. Она состоит из оснований медиан, высот и центров высот. Оказалось, что все эти точки лежат на общей окружности, центр которой находится на линии Эйлера.

Каждый отрезок, прочерченный из ортоцентра до соединения с описанной окружностью, всегда будет делиться линией Эйлера на 2 равные части.

Треугольник — удивительная фигура, изучением которой занимается целый раздел геометрии. Ортоцентр и его свойства имеют широкое применение в практической жизни, например, в строительстве. Этот показатель настолько важен и распространен, что существуют калькуляторы, позволяющие определить местонахождение точки по координатам вершин.

ПредыдущаяСледующая