Основные теоретические сведения
Базовые сведения о модуле
Определение модуля может быть дано следующим образом: Абсолютной величиной числа a (модулем) называется расстояние от точки, изображающей данное число a на координатной прямой, до начала координат. Из определения следует, что:
Таким образом, для того чтобы раскрыть модуль необходимо определить знак подмодульного выражения. Если оно положительно, то можно просто убирать знак модуля. Если же подмодульное выражение отрицательно, то его нужно умножить на «минус», и знак модуля, опять-таки, больше не писать.
Основные свойства модуля:
Некоторые методы решения уравнений с модулями
Существует несколько типов уравнений с модулем, для которых имеется предпочтительный способ решения. При этом данный способ не является единственным. Например, для уравнения вида:
Предпочтительным способом решения будет переход к совокупности:
А для уравнений вида:
Также можно переходить к почти аналогичной совокупности, но так как модуль принимает только положительные значения, то и правая часть уравнения должна быть положительной. Это условие нужно дописать в качестве общего ограничения для всего примера. Тогда получим систему:
Оба этих типа уравнений можно решать и другим способом: раскрывая соответствующим образом модуль на промежутках где подмодульное выражение имеет определённый знак. В этом случае будем получать совокупность двух систем. Приведем общий вид решений получающихся для обоих типов уравнений приведённых выше:
Для решения уравнений в которых содержится более чем один модуль применяется метод интервалов, который состоит в следующем:
- Сначала находим точки на числовой оси, в которых обращается в ноль каждое из выражений, стоящих под модулем.
- Далее делим всю числовую ось на интервалы между полученными точками и исследуем знак каждого из подмодульных выражений на каждом интервале. Заметьте, что для определения знака выражения надо подставить в него любое значение x из интервала, кроме граничных точек. Выбирайте те значения x, которые легко подставлять.
- Далее на каждом полученном интервале раскрываем все модули в исходном уравнении в соответствии с их знаками на данном интервале и решаем полученное обычное уравнение. В итоговый ответ выписываем только те корни этого уравнения, которые попадают в исследуемый промежуток. Еще раз: такую процедуру проводим для каждого из полученных интервалов.
Докажите свойство модуля: \( \left| x+y \right|\le \left| x \right|+\left| y \right|\)
Доказательство
Предположим, что существуют такие \( x;y\in \mathbb{R}\), что \( \left| x+y \right|>\left| x \right|+\left| y \right|.\) Возведем левую и правую части неравенства в квадрат (это можно сделать, т.к. обе части неравенства всегда неотрицательны):
\( \displaystyle \begin{array}{l}\left| x+y \right|>\left| x \right|+\left| y \right|\Leftrightarrow \\{{\left( x+y \right)}^{2}}>{{\left( \left| x \right|+\left| y \right| \right)}^{2}}\Leftrightarrow \\{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}>{{x}^{2}}+2\cdot \left| x \right|\cdot \left| y \right|+{{y}^{2}}\Leftrightarrow \\xy>\left| x \right|\cdot \left| y \right|\Leftrightarrow \\xy>\left| xy \right|,\end{array}\)а это противоречит определению модуля.
Следовательно, таких \( x;y\in \mathbb{R}\) не существует, а значит, при всех \( x,\text{ }y\in \mathbb{R}\) выполняется неравенство \( \left| x+y \right|\le \left| x \right|+\left| y \right|.\)
Решение задач с применением модуля числа
Решение:
Следует понимать, что мы не располагаем числа — 15 ; — 1 ; в порядке возрастания. 4 ; 7, но их модули.
Для этого мы должны определить модули каждого из них:
|-15| = 15
|-1| = 1
Длина такого отрезка всегда является неотрицательной величиной.
Два шарика катятся по прямой линии. Первый шар покатился на 4 м вправо от начальной точки, второй шар покатился на 6 м влево от начальной точки.
Проведите координатную линию и отметьте на ней координаты точек остановки двух шаров.
Расположите эти числа в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему):
1, 4, 7, 15 .
Это дает следующую последовательность уравнений,
|-1| = 1
|4| = 4
|7| = 7
|-15| = 15
Следовательно, числа должны располагаться в порядке возрастания их модуля: -1, 4, 7, 7, -15
Ответ: — 1, 4, 4, 7, 7, — 15
|-15| = 15
На координатной прямой мы отметили две точк и-73 и 68. Какой коэффициент числа больше?
Решение:
Представьте, что на координатной прямой на определенном расстоянии от точки O (начало координат) отмечены две точки.
Слева от начала координат находится точка с координатам и-73.
Справа от начала координат находится точка с координатой 68.
Мы знаем, что модуль — это расстояние от данной точки до начала координат, выраженное в единичных отрезках.
Понятие модуля числа часто кажется студентам пугающим и непонятным. На самом деле, в этой теме по математике 6 класса нет ничего сложного. Чтобы лучше понять вопрос, давайте рассмотрим основные моменты, связанные с понятием коэффициента.
Мы начнем с понятия числовой линии и вектора. Прямая линия — это линия, на которой можно увидеть направление движения, точку 0 (начало координат) и величину единичного перехвата.
Каждое из действительных чисел может быть отмечено на числовой прямой. Независимо от подмножества, размер числа и его десятичные знаки. Прямая линия бесконечна и поэтому подходит абсолютно ко всем числам, кроме комплексных.
Числовая линия часто используется для сравнения различных типов чисел. Если отметить на линии два числа, то число справа будет больше, а число слева — меньше.
Слева от начала координат находится точка с координатам и-73.
Справа от начала координат находится точка с координатой 68.
Мы знаем, что модуль — это расстояние от данной точки до начала координат, выраженное в единичных отрезках.
Представьте, что на координатной прямой на определенном расстоянии от точки O (начало координат) отмечены две точки.
Модуль — это размер сегмента вектора. То есть, если число обозначено символом модуля, то вычитается параметр направления вектора. В геометрии это необходимо для нахождения сумм векторов и вообще для любых алгебраических операций с векторами. В этом примере невозможно указать и учесть направление, поэтому был придуман модуль.
В алгебре модуль числа означает, что при вычислениях учитывается только размер отрезка, без учета направления. На практике это означает, что
повороты модуля:
Возникает вопрос, почему отрицательное число становится положительным? Знак минус указывает только направление вектора. Символ знака минус указывает направление знака. А знак модуля отменяет параметр направления. Может ли размер сегмента быть отрицательным? Нет, конечно, нет. Таким образом, коэффициент отрицательного числа всегда является положительным числом.
|-15| = 15
В этом уроке мы более подробно рассмотрим понятие коэффициента числа.
Модуль — это расстояние между началом координат и числом на координатной прямой. Поскольку расстояние никогда не бывает отрицательным, модуль всегда неотрицателен. Поэтому модуль числа 3 равен 3, так же как модуль числ а-3 равен 3.
Предположим, что на координатной прямой расстояние между целыми числами равно одному шагу. Если теперь обозначить числ а-3 и 3, то их расстояние от начала координат равно трем шагам:
Коэффициент — это не только расстояние между началом координат и числом. Модулем также является расстояние между любыми двумя числами на координатной прямой. Это расстояние выражается как разность между этими числами с помощью символа модуло:
Примеры графиков с модулем
Часто в тестах и на экзаменах встречаются задания, которые возможно решить, лишь проанализировав графики. Рассмотрим такие задания.
Пример 1.
Дана функция f(x) = |x|. Необходимо построить график от – 3 до 3 с шагом 1.
Решение:
Объяснение: из рисунка видно, что график симметричен относительно оси Y.
Пример 2. Необходимо нарисовать и сравнить графики функций f(x) = |x–2| и g(x) = |x|–2.
Решение:
Объяснение: константа внутри абсолютной величины перемещает весь график вправо, если ее значение отрицательное, и влево, если положительное. Но постоянная снаружи будет передвигать график вверх, если значение положительное, и вниз, если оно отрицательное (как –2 в функции g (x)).
Координата вершины x (точка, в которой соединяются две линии, вершина графа) – это число, на которое график сдвигается влево или вправо. А координата y – это значение, на которое график сдвигается вверх или вниз.
Строить такие графики можно с помощью онлайн приложений для построения. С их помощью можно наглядно посмотреть, как константы влияют на функции.
«Величина» числа
Сначала попытаемся сформулировать понятие о «величине» числа. Из этого понятия естественным образом получим понимание, откуда взялся и как определить модуль.
Геометрический смысл
Представьте, что вы стоите в точке 0 на числовой оси. Слева от вас, в точке − 1 0 0 , находится школа. Справа, в точке 5 0 , находится ваш дом. Математически число − 1 0 0 меньше, чем 5 0 . Но вот идти до школы 1 0 0 метров влево гораздо дольше, чем пройти 5 0 метров до дома вправо. В этом смысле «величина» пройденного расстояния в − 1 0 0 метров больше, чем 5 0 метров.
Пусть теперь школа находится в точке − 1 0 , а дом в точке 1 0 . Математически вновь получаем, что − 1 0 меньше 1 0 . Но вот нам, находящимся в 0 , совершенно нет разницы: идти − 1 0 метров влево или 1 0 метров вправо. В обоих случаях мы пройдем 1 0 метров. То есть, по «величине» числа − 1 0 и 1 0 равны.
Количественный смысл
Рассмотрим числа 5 0 и − 1 0 0 . В математическом смысле − 1 0 0 гораздо меньше 5 0 . А давайте посмотрим на эти числа под другим углом. У вас есть всего 5 0 рублей и вы задолжали другу. Ваш долг составляет − 1 0 0 рублей. В этом смысле «величина» вашего долга в − 1 0 0 рублей гораздо больше имеющихся у вас 5 0 рублей. Получается, что математически − 1 0 0 меньше 5 0 , но по «величине» − 1 0 0 больше 5 0 .
Теперь рассмотрим числа − 1 0 и 1 0 . Математически, опять же, − 1 0 меньше 1 0 . Но, пользуясь нашей аналогией с долгом, своими 1 0 рублями вы полностью покроете долг в − 1 0 рублей. То есть, по «величине» число − 1 0 равно числу 1 0 .
Понятие величины
Мы поняли, что каждое число имеет свою «величину». Причем эта величина не зависит от того, положительным или отрицательным является число. Можно даже сказать, что «величина» числа это и есть само число, от которого «отбросили» его знак.
Случай переменной правой части
А теперь рассмотрим вот такое уравнение:
\
Это уравнение принципиально отличается от всех предыдущих. Чем? А тем, что справа от знака равенства стоит выражение $2x$ — и мы не можем заранее знать, положительное оно или отрицательное.
Как быть в таком случае? Во-первых, надо раз и навсегда понять, что если правая часть уравнения окажется отрицательной, то уравнение не будет иметь корней — мы уже знаем, что модуль не может быть равен отрицательному числу.
А во-вторых, если права часть всё-таки положительна (или равна нулю), то можно действовать точно так же, как раньше: просто раскрыть модуль отдельно со знаком «плюс» и отдельно — со знаком «минус».
Таким образом, сформулируем правило для произвольных функций $f\left( x \right)$ и $g\left( x \right)$ :
\
Применительно к нашему уравнению получим:
\
Ну, с требованием $2x\ge 0$ мы как-нибудь справимся. В конце концов, можно тупо подставить корни, которые мы получим из первого уравнения, и проверить: выполняется неравенство или нет.
Поэтому решим-ка само уравнение:
\
Ну и какой их этих двух корней удовлетворяет требованию $2x\ge 0$? Да оба! Поэтому в ответ пойдут два числа: $x=2$ и $x={2}/{5}\;$. Вот и всё решение.:)
Подозреваю, что кто-то из учеников уже начал скучать? Что ж, рассмотрим ещё более сложное уравнение:
\
Хоть оно и выглядит злобно, по факту это всё то же самое уравнение вида «модуль равен функции»:
\
И решается оно точно так же:
\
С неравенством мы потом разберёмся — оно какое-то уж слишком злобное (на самом деле простое, но мы его решать не будем). Пока лучше займёмся полученными уравнениями. Рассмотрим первый случай — это когда модуль раскрывается со знаком «плюс»:
\
Ну, тут и ежу понятно, что нужно всё собрать слева, привести подобные и посмотреть, что получится. А получится вот что:
\
Выносим общий множитель ${{x}^{2}}$ за скобку и получаем очень простое уравнение:
\
\
Тут мы воспользовались важным свойством произведения, ради которого мы и раскладывали исходный многочлен на множители: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Теперь точно так же разберёмся со вторым уравнением, которое получается при раскрытии модуля со знаком «минус»:
\
Опять то же самое: произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один из множителей. Имеем:
\
\
Ну вот мы получили три корня: $x=0$, $x=1,5$ и $x={2}/{3}\;$. Ну и что из этого набора пойдёт в окончательный ответ? Для этого вспомним, что у нас есть дополнительное ограничение в виде неравенства:
\
Как учесть это требование? Да просто подставим найденные корни и проверим: выполняется неравенство при этих $x$ или нет. Имеем:
\
Таким образом, корень $x=1,5$ нас не устраивает. И в ответ пойдут лишь два корня:
\
Как видите, даже в этом случае ничего сложного не было — уравнения с модулями всегда решаются по алгоритму. Нужно лишь хорошо разбираться в многочленах и неравенствах. Поэтому переходим к более сложным задачам — там уже будет не один, а два модуля.
Раскрытие модуля
Когда мы говорим, что |3|= 3 или |−3|= 3 мы выполняем действие называемое раскрытием модуля.
Правило раскрытия модуля выглядит так:
В зависимости от того что будет подставлено вместо x, выражение |x| будет равно x, если подставленное число больше или равно нулю. А если вместо x подставлено число меньшее нуля, то выражение |x| будет равно −x.
Второй случай на первый взгляд может показаться противоречивым, поскольку запись |x| = −x выглядит будто модуль стал равен отрицательному числу. Следует иметь ввиду, что когда x
Пример 2. Пусть x = 5. То есть мы рассматриваем модуль числа 5
В данном случае выполняется первое условие x ≥ 0, ведь 5 ≥ 0
Поэтому используем первую формулу. А именно | x | = x. Получаем | 5 | = 5.
Пример 3. Пусть x = √4 − 6. То есть мы рассматриваем модуль выражения √4 − 6,
Корень из числа 4 равен 2. Тогда модуль примет вид
x который был равен √4−6 теперь стал равен −4. В данном случае выполняется второе условие x |√4 − 6| = |2 − 6| = |−4| = −(−4) = 4
На практике обычно рассуждают так:
«Модуль раскрывается со знаком плюс, если подмодульное выражение больше или равно нулю; модуль раскрывается со знаком минус, если подмодульное выражение меньше нуля».
Примеры:
|2| = 2 — модуль раскрылся со знаком плюс, поскольку 2 ≥ 0
Пример 4. Пусть x = 0. То есть мы рассматриваем модуль нуля:
В данном случае выполняется условие x=0, ведь 0 = 0
Пример 5. Раскрыть модуль в выражении |x|+ 3
Если x ≥ 0, то модуль раскроется со знаком плюс, и тогда исходное выражение примет вид x + 3.
Допустим, требуется найти значение выражения |x|+ 3 при x = 5. Поскольку 5 ≥ 0, то модуль, содержащийся в выражении |x|+ 3 раскрóется со знаком плюс и тогда решение примет вид:
Найдём значение выражения |x|+ 3 при x = −6. Поскольку −6 |x| + 3 = 3 − x = 3 − (−6) = 9
Пример 6. Раскрыть модуль в выражении x +|x + 3|
Найдём значение выражения x +|x + 3| при x = 4. Поскольку 4 ≥ −3, то согласно нашему решению модуль выражения x +|x + 3| раскрывается со знаком плюс, и тогда исходное выражение принимает вид 2x+3, откуда подставив 4 получим 11
Найдём значение выражения x +|x + 3| при x=−3.
Пример 3. Раскрыть модуль в выражении
Как и прежде используем правило раскрытия модуля:
В данном примере удобнее использовать подробную запись правила раскрытия модуля, где отдельно рассматривается случай при котором x = 0
Перепишем решение так:
Пример 4. Раскрыть модуль в выражении
Но надо учитывать, что при x = − 1 знаменатель выражения обращается в ноль. Поэтому второе условие x следует дополнить записью о том, какие значения может принимать x
Модуль комплексного числа
Дадим определение модуля комплексного числа
. Пусть нам дано комплексное число
, записанное в алгебраической форме , где x
и y
– некоторые действительные числа, представляющие собой соответственно действительную и мнимую части данного комплексного числа z
, а – мнимая единица.
Сначала определяем знак выражения под знаком модуля, а потом раскрываем модуль
:
- если значение выражения больше нуля, то просто выносим его из-под знака модуля,
- если же выражение меньше нуля, то выносим его из-под знака модуля, меняя при этом знак, как делали это ранее в примерах.
Ну что, попробуем? Оценим:
(Забыл, Повтори.)
Если, то какой знак имеет? Ну конечно, !
А, значит, знак модуля раскрываем, меняя знак у выражения:
Разобрался? Тогда попробуй сам:
Ответы:
Какими же ещё свойствами обладает модуль?
Выражаясь математическим языком, модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел.
Например:
А что, если нам нужно разделить два числа (выражения) под знаком модуля?
Да то же, что и с умножением! Разобьем на два отдельных числа (выражения) под знаком модуля:
при условии, что (так как на ноль делить нельзя).
Стоит запомнить ещё одно свойство модуля:
Модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел:
Почему так? Всё очень просто!
Как мы помним, модуль всегда положителен. Но под знаком модуля может находиться любое число: как положительное, так и отрицательное. Допустим, что числа и оба положительные. Тогда левое выражение будет равно правому выражению.
Рассмотрим на примере:
Если же под знаком модуля одно число отрицательное, а другое положительно, левое выражение всегда окажется меньше правого:
Вроде с этим свойством все ясно, рассмотрим еще парочку полезных свойств модуля.
Что если перед нами такое выражение:
Что мы можем сделать с этим выражением? Значение x нам неизвестно, но зато мы уже знаем, что, а значит.
Число больше нуля, а значит можно просто записать:
Вот мы и пришли к другому свойству, которое в общем виде можно представить так:
А чему равно такое выражение:
Итак, нам необходимо определить знак под модулем. А надо ли здесь определять знак?
Конечно, нет, если помнишь, что любое число в квадрате всегда больше нуля! Если не помнишь, смотри тему . И что же получается? А вот что:
Здорово, да? Довольно удобно. А теперь конкретный пример для закрепления:
Ну, и почему сомнения? Действуем смело!
Во всем разобрался? Тогда вперед тренироваться на примерах!
1. Найдите значение выражения, если.
2. У каких чисел модуль равен?
3. Найдите значение выражений:
Если не все пока ясно и есть затруднения в решениях, то давай разбираться:
Решение 1
:
Итак, подставим значения и в выражение
Решение 2:
Как мы помним, противоположные числа по модулю равны. Значит, значение модуля, равное имеют два числа: и.
Решение 3:
а)
б)
в)
г)
Все уловил? Тогда пора перейти к более сложному!
Попробуем упростить выражение
Решение:
Итак, мы помним, что значение модуля не может быть меньше нуля. Если под знаком модуля число положительное
, то мы просто можем отбросить знак: модуль числа будет равен этому числу.
Но если под знаком модуля отрицательное число
, то значение модуля равно противоположному числу (то есть числу, взятому со знаком «-»).
Для того, чтобы найти модуль любого выражения, для начала нужно выяснить, положительное ли значение оно принимает, или отрицательное.
Получается, значение первого выражения под модулем.
Следовательно, выражение под знаком модуля отрицательно. Второе выражение под знаком модуля всегда положительно, так как мы складываем два положительных числа.
Итак, значение первого выражения под знаком модуля отрицательно, второго — положительно:
Это значит, раскрывая знак модуля первого выражения, мы должны взять это выражение со знаком «-». Вот так:
Во втором случае просто отбросим знак модуля:
Упростим данное выражение целиком:
Что такое модуль числа?
Но у данного понятия есть и геометрическое объяснение, поскольку модулю в геометрии равняется расстояние от начала системы координат до точки X, которое измеряется в привычных единицах измерения.
Для того, чтобы определить данный показатель у числа, следует не учитывать его знак (минус, плюс), но при этом следует помнить то, что он никогда не может быть отрицательным. Данное значение на бумаге выделяется графически в виде квадратных скобок |a|. При этом, математическое определение такое:
|х| = х, если х больше или равен нулю и -х, если меньше нуля.
Английский ученый Р. Котес был тем человеком, кто впервые применил данное понятие в математических расчетах. А вот К. Вейерштрасс, математик из Германии, придумал и ввел в использование графический символ.
В геометрии module можно рассмотреть на примере координатной прямой, на которое нанесены 2 произвольные точки. Предположим, одна А имеет значение 5, а вторая В — 6. При подробном изучении чертежа станет ясно, что расстояние от А до В – 5 единиц от нуля, т.е. начала координат, а точка В размещена от начала координат на 6 единиц. Можно сделать вывод, что module точки, А = 5, а точки В = 6. Графически это можно обозначить так: | 5 | = 5. Т. е. расстояние от точки до начала координат является модулем данной точки.
Свойства модуля (абсолютной величины)
Рассмотрим некоторые свойства модуля числа.
1. Модуль нуля равен нулю
Так как от нуля до начала отсчета нет никакого расстояния (0 единичных отрезков), модуль нуля и есть нуль.
|0| = 0
2. Модуль числа всегда число неотрицательное (т.е. положительное или нуль)
Мяч катнули вдоль прямой на расстояние, равное 3 м вправо, мяч ударился о стену и покатился вдоль прямой в обратном направлении на 3 м и остановился.
Изобразим на координатной прямой координаты точек в момент каждой остановки мяча.
Точка О на координатной прямой- это точка откуда катнули мяч- точка начала отсчета.
Единичный отрезок координатной прямой равен 1 деление- 1метр.
Можно ли утверждать, что мяч не преодолевал никакого расстояния, оставаясь в исходной точке в состоянии покоя, ведь в конечном счете мяч оказался в точке м (от точки ноль до начала отсчета О не помещается ни одного единичного отрезка)? Конечно же, нет!
Путь мяча был бы равен нулю, если бы его вообще никуда не пинали, и он оставался в состоянии покоя в точке О.
Но мы должны понимать, что путь (расстояние), которое преодолел мяч, состоит из 3 единичных отрезков в правую сторону и 3 единичных отрезков в левую сторону; сложив все единичные отрезки, получим:
3 единичных отрезка + 3 единичных отрезка = 6 единичных отрезков
6 единичных отрезков = 6 м
Для определения пути мы складывали только числовое значение без учета направления. Это числовое значение и есть модуль числа.
Таким образом, можно сказать, что любое число состоит из знака и абсолютного значения (модуля).
Поэтому, чтобы найти модуль числа, нужно записать это число без учета знака.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
В математике для лучшего восприятия темы «Модуль числа» придумали шуточную ассоциацию.
Заходя в баню (оказываясь под знаком модуль), отрицательное число моется, освобождается от знака. Из бани (из под знака модуль) число выходит «чистым»- без знака «минус».
В такой бане могут «мыться» положительные, отрицательные числа и ноль.
3. Модули противоположных чисел равны
Рассмотрим на примере данное утверждение:
Пусть модуль х равен 4, получим равенство |x| = 4
Отметим на координатной прямой точки, которые удовлетворяют этому равенству:
Модул ь- это расстояние от начала отсчета до точки в единичных отрезках, равное в данном случае четырем.
Откладываем 4 единичных отрезка вправо, получаем точку с координатой 4
Но такое же количество единичных отрезков можно отложить влево, тогда получим точку с координатой (-4)
Получим на координатной прямой две точки, которые удовлетворяют условию |x| = 4
В данном примере значение х может быть равным:
х = 4
На координатной прямой противоположные числа, хоть и по разные стороны от точки начала отсчета, но находятся на равных расстояниях от этой точки, т.е. по модулю равны.
4. Модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел
В буквенном выражении это можно записать так:
5. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа
6. Модуль частного двух чисел равен частному их модулей
\(\mathbf\Bigr| = \frac , y \neq 0>\)(так как на нуль делить нельзя).
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Величины в математике
Для начала следует понимать, что абсолютная величина – это параметр в статистике (измеряется количественно), который характеризует изучаемое явление по его объему. При этом явление должно осуществляться в определенных временных рамках и с определенным месторасположением. Различают значения:
- суммарные – подходят для группы единиц или полностью всей совокупности,
- индивидуальные – подходят только для работы с единицей некой совокупности.
Понятия широко используются в статистических измерениях, результатом которых являются показатели, характеризующие абсолютные размеры у каждой единицы некоего явления. Измеряются они в двух показателях: натуральном, т.е. физические единицы (шт., люди) и условно-натуральном. Модуль в математике является отображением данных показателей.
Модуль числа
Геометрическая интерпретация модуля
Как мы уже знаем, модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5.
Нарисуем числовую прямую и отобразим это на ней.
Эта геометрическая интерпретация используется для решения уравнений и неравенств с модулем. Давайте рассмотрим на примерах.
Решим уравнение: |х| = 5
Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно 5. Это точки 5 и −5. Значит, уравнение имеет два решения: x = 5 и x = −5.
Решим неравенство: |a + 7|
Решим неравенство: |10 − x| ≥ 7.
Расстояние от точки 10 до точки x больше или равно семи. Отметим эти точки на числовой прямой.
Вывод
Принцип понимания такого математического понятия, как module, крайне важен, поскольку оно используется в высшей математике и прочих науках, поэтому необходимо уметь работать с ним.
Ваша цель:
четко знать определение модуля действительного числа;
понимать геометрическую интерпретацию модуля действительного числа и уметь применять ее при решении задач;
знать свойства модуля и уметь применять при решении задач;
уметь представление о расстоянии между двумя точками координатной прямой и уметь использовать его при решении задач.
Входная информация
Понятие модуля действительного числа.
Модулем действительного числа называют само это число , если , и противоположны ему число , если
Модуль числа обозначают и записывают:
Геометрическая интерпретация модуля
.
Геометрически
модуль действительного числа есть расстояние от точки, изображающей данное число на координатной прямой, до начала отсчета.
Решение уравнений и неравенств с модулями на основе геометрического смысла модуля
.
Пользуясь понятием «расстояние между двумя точками координатной прямой» можно решать уравнения вида или неравенства вида , где вместо знака может стоять любой из знаков .
Пример.
Решим уравнение .
Решение.
Переформулируем задачу геометрически. Поскольку -это расстояние на координатной прямой между точками с координатами и , значит, требуется найти координаты таких точек, расстояние от которых до точек с координатой 1 равно 2.
Короче, на координатной прямой найти множество координат точек, расстояние от которых до точки с координатной 1 равно 2.
Решим эту задачу. Отметим на координатной прямой точку, координата которой равна 1 (рис. 6) На две единицы от этой точки удалены точки, координаты которых равны -1 и 3. Значит, искомое множество координат точек есть множество, состоящее из чисел -1 и 3.
Ответ: -1; 3.
Как найти расстояние между двумя точками координатной прямой.
Число, выражающее расстояние между точками и ,
называют расстоянием между числами и .
Для любых двух точек и координатной прямой расстояние
.
Основные свойства модуля действительного числа:
3. ;
7. ;
8. ;
9. ;
При имеем:
11. тогда только тогда, когда или ;
12. тогда только тогда, когда ;
13. тогда только тогда, когда или ;
14. тогда только тогда, когда ;
11. тогда только тогда, когда .
Практическая часть
Задание 1.
Возьмите чистый лист бумаги и на нем запишите ответы ко в сем устным упражнениям, приведенным ниже.
Свои ответы сверьте с ответами или краткими указаниями, помещенными в конце учебного элемента в рубрике «Ваш помощник».
1.
Раскройте знак модуля:
а) |–5|; б) |5|; в) |0|; г) |p|.
2.
Сравните между собой числа:
а) || и –; в) |0| и 0; д) – |–3| и –3; ж) –4|а
| и 0;
б) |–p| и p; г) |–7,3| и –7,3; е) |а
| и 0; з) 2|а
| и |2а
|.
3.
Как при помощи знака модуля записать, что по крайней мере одно из чисел а
, b
или с
отлично от нуля?
4.
Как при помощи знака равенства записать, что каждое из чисел а
, b
и с
равно нулю?
5.
Найдите значение выражения:
а) |а
| – а
; б) а
+ |а
|.
6.
Решите уравнение:
а) |х
| = 3; в) |х
| = –2; д) |2х
– 5| = 0;
б) |х
| = 0; г) |х
– 3| = 4; е) |3х
– 7| = – 9.
7.
Что можно сказать о числах х
и у
, если:
а) |х
| = х
; б) |х
| = –х
; в) |х
| = |у
|?
8.
Решите уравнение:
а) |х
– 2| = х
– 2; в) |х
– 3| =|7 – х
|;
б) |х
– 2| = 2 – х
; г) |х
– 5| =|х
– 6|.
9.
Что можно сказать о числе у
, если имеет место равенство:
а) ïх
ï = у
; б) ïх
ï = –у
?
10.
Решите неравенство:
а) |х
| > х
; в) |х
| > –х
; д) |х
| £ х
;
б) |х
| ³ х
; г) |х
| ³ –х
; е) |х
| £ –х
.
11.
Укажите все значения а, для которых имеет место равенство:
а) |а
| = а
; б) |а
| = –а
; в) а
– |–а
| =0; г) |а
|а
= –1; д) = 1.
12.
Найдите все значения b
, для которых имеет место неравенство:
а) |b
| ³ 1; б) |b
| b
| £ 0; г) |b
| ³ 0; д) 1 b
|
С некоторыми видами следующих заданий вы могли встречаться на уроках математики. Самоопределитесь, какие из следующих заданий вам необходимо выполнить. В случае затруднений обращайтесь к рубрике «Ваш помощник», за консультацией к учителю или за помощью к товарищу.
Задание 2.
Исходя из определения модуля действительного числа, решите уравнение:
Задание 4.
Расстояние между точками, изображающими действительные числа α
и β
на координатной прямой, равно | α
– β
|. Пользуясь этим, решите уравнение.