Целые числа

Положительные и отрицательные числа – определения и примеры

Дать определение положительных и отрицательных чисел нам поможет координатная прямая. Для удобства будем считать, что она расположена горизонтально и направлена слева направо.

Определение.

Числа, которые соответствуют точкам координатной прямой, лежащим правее начала отсчета, называют положительными.

Определение.

Числа, которые соответствуют точкам координатной прямой, лежащим левее начала отсчета называю отрицательными.

Число нуль, соответствующее началу отсчета, не является ни положительным, ни отрицательным числом.

Из определения отрицательных и положительных чисел следует, что множество всех отрицательных чисел представляет собой множество чисел, противоположных всем положительным числам (при необходимости смотрите статью противоположные числа). Следовательно, отрицательные числа всегда записываются со знаком минус.

Теперь, зная определения положительных и отрицательных чисел, мы с легкостью можем привести примеры положительных и отрицательных чисел. Примерами положительных чисел являются натуральные числа 5 , 792 и 101 330, да и вообще любое натуральное число является положительным. Примерами положительных рациональных чисел являются числа , 4,67 и 0,(12)=0,121212…, а отрицательных – числа , −11, −51,51 и −3,(3). В качестве примеров положительных иррациональных чисел можно привести число пи, число e, и бесконечную непериодическую десятичную дробь 809,030030003…, а примерами отрицательных иррациональных чисел являются числа минус пи, минус e и число, равное значению числового выражения . Следует отметить, что в последнем примере отнюдь не очевидно, что значение выражения является отрицательным числом. Чтобы это узнать наверняка, нужно получить значение этого выражения в виде десятичной дроби, а как это делается, мы расскажем в статье сравнение действительных чисел.

Иногда перед положительными числами записывается знак плюс, также как перед отрицательными числами записывается знак минус. В этих случаях следует знать, что +5=5, и т.п. То есть, +5 и 5 и т.п. – это одно и то же число, но по-разному обозначенное. Более того, можно встретить определение положительных и отрицательных чисел, на основании знака плюс или минус.

Определение.

Числа со знаком плюс называют положительными, а со знаком минус – отрицательными.

Существует еще одно определение положительных и отрицательных чисел, основанное на сравнении чисел. Чтобы дать это определение, достаточно лишь вспомнить, что точка на координатной прямой, соответствующая большему числу, лежит правее точки, соответствующей меньшему числу.

Определение.

Положительные числа – это числа, которые больше нуля, а отрицательные числа – это числа, меньшие нуля.

Таким образом, нуль как бы отделяет положительные числа от отрицательных.

Конечно же, следует еще остановиться на правилах чтения положительных и отрицательных чисел. Если число записано со знаком + или −, то произносят название знака, после чего произносят число. Например, +8 читается как плюс восемь, а — как минус одна целая две пятых. Названия знаков + и − не склоняются по падежам. Примером правильного произношения является фраза «a равно минус трем» (не минусу трем).

Применение

Координатная прямая – это основа простейших видов графиков, с которыми сталкивается школьник на своем учебном пути. Она используется практически в каждой математической теме: при расчёте скорости и времени, проецировании размеров объектов и вычислении их площади, в тригонометрии при работе с синусами и косинусами.

А про скорость речь идёт неспроста – именно её зачастую отображают графики функции. А ещё они могут отображать изменение температуры или давления внутри объекта, его размеров, ориентации относительно горизонта. Таким образом, построить координатную прямую зачастую требуется и в физике.

Какие числа называются положительными и отрицательными

Отрицательными числами в алгебре являются числа со знаком минус (-). Например, к таким числам относят -1, -2, -3. Прочитать запись можно, как минус один, минус два, минус три.

Отрицательное число — это какое-либо число меньше нуля, перед которым ставится знак минус.

Положительные числа — числа, состоящее в множестве положительных чисел, являются числами без знака минус в обозначении и не являются нулем.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут

В системе отрицательных чисел так же, как и среди положительных есть дроби: обыкновенные и десятичные, целые числа, корни и так далее. Почти все подвиды чисел, которые встречаются среди положительных чисел, есть и среди отрицательных. Стоит отметить, что, согласно понятию, число 0 не является ни положительным, ни отрицательным числом.

Положительные числа — это числа, соответствующие точкам в той части координатной прямой, которая лежит с правой стороны относительно начала отсчета.

Отрицательные числа — являются числами, соотносящимися с точками в части координатной прямой, которая расположена с левой стороны относительно начала отсчета (нуля).

Наглядным примером использования отрицательных чисел является термометр. Прибор демонстрирует температуру тела, воздуха, почвы, воды. Зимой при холодной погоде температура воздуха снижается до отрицательных значений. К примеру, -10 градусов мороза:

Обычные числа, в том числе, 1, 2, 3 называют положительными. Данные числа имеют знак (+). Обычно, его не записывают.

Координатная прямая — является прямой линией, на которой размещены все числа, включая отрицательные и положительные.

Координатная прямая имеет следующий вид:

В данном случае отмечены только числа от −5 до 5. В действительности координатная прямая бесконечна. На изображении можно увидеть только фрагмент этой прямой. Для того чтобы отметить на координатной прямой числа, использую точки. Началом отсчета является нуль. С левой стороны от нуля отмечают отрицательные числа, а с правой — положительные.

Координатная прямая продолжается бесконечно по обе стороны. Бесконечность в математике обозначается символом   \(\infty\). Отрицательное направление будет обозначаться символом −\(\infty\), а положительное — символом +\(\infty\). Таким образом, координатная прямая содержит все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности:

\((−\infty; +\infty)\)

Каждая точка на координатной прямой обладает определенным именем и координатой. Именем является какая-либо латинская буква. Координата представляет собой число, указывающее на положение точки на прямой. Таким образом, координатой является то число, которое требуется отметить на координатной прямой. К примеру, точка А(2) читается, как «точка А с координатой 2» и обозначается на координатной прямой таким образом:

При рассмотрении изображения координатной прямой можно заметить, что отрицательные числа лежат левее относительно начала отсчета, а положительные числа — правее. С каждым шагом в левую сторону число будет уменьшаться в меньшую сторону. При каждом шаге в правом направлении число будет увеличиваться.

Координатный луч

Чтобы определить координатный луч, нам сначала потребуется, конечно же, сам луч. Итак, построим луч, обозначим его OX, точка O – начало луча. Забегая вперед, скажем, что точку O называют началом отсчета координатного луча. Луч можно изображать в любом направлении, однако во многих случаях луч проводят горизонтально и вправо от его начала.

Так у нас есть луч. Как же его сделать координатным лучом?

Во-первых, над точкой O нужно написать число .

Во-вторых, нужно задать так называемый единичный отрезок. Для этого на луче нужно отметить какую-нибудь точку, отличную от точки O (на этом месте принято ставить не точку, а штрих), и над штрихом записать число 1.

В-третьих, на луче от конца единичного отрезка нужно отложить еще один отрезок, равный единичному, далее от конца этого отрезка нужно отложить еще один единичный отрезок, от конца построенного отрезка нужно отложить еще один единичный отрезок, и так далее.

Наконец, чтобы координатный луч принял законченный вид, осталось записать над штрихами слева направо числа из : 2, 3, 4, …

Так координатный луч представляет собой не что иное, как бесконечную шкалу.

Следует заметить, что очень часто координатный луч изображают лучом с началом в точке O, и откладывают от его начала единственный единичный отрезок, над концами которого записывают числа и 1. Этот вариант изображения координатного луча приведен на рисунке ниже.

В этом случае подразумевается, что мы при необходимости можем легко продолжить построение шкалы, последовательно откладывая единичные отрезки на луче.

Также допускается буквы O и X записывать над лучом, а числа – под лучом.

Наконец, не удивляйтесь, если в обозначении координатного луча Вы увидите одновременно и маленькую и большую буквы. Наиболее часто придется сталкиваться с координатными лучами, обозначенными как Ox, Oy и Oz.

Положительные и отрицательные числа – определения и примеры

Дать определение положительных и отрицательных чисел нам поможет координатная прямая. Для удобства будем считать, что она расположена горизонтально и направлена слева направо.

Числа, которые соответствуют точкам координатной прямой, лежащим правее начала отсчета, называют положительными.

Числа, которые соответствуют точкам координатной прямой, лежащим левее начала отсчета называю отрицательными.

Число нуль, соответствующее началу отсчета, не является ни положительным, ни отрицательным числом.

Из определения отрицательных и положительных чисел следует, что множество всех отрицательных чисел представляет собой множество чисел, противоположных всем положительным числам (при необходимости смотрите статью противоположные числа). Следовательно, отрицательные числа всегда записываются со знаком минус.

Теперь, зная определения положительных и отрицательных чисел, мы с легкостью можем привести примеры положительных и отрицательных чисел. Примерами положительных чисел являются натуральные числа 5 , 792 и 101 330 , да и вообще любое натуральное число является положительным. Примерами положительных рациональных чисел являются числа , 4,67 и 0,(12)=0,121212. , а отрицательных – числа , −11 , −51,51 и −3,(3) . В качестве примеров положительных иррациональных чисел можно привести число пи, число e , и бесконечную непериодическую десятичную дробь 809,030030003… , а примерами отрицательных иррациональных чисел являются числа минус пи, минус e и число, равное значению числового выражения . Следует отметить, что в последнем примере отнюдь не очевидно, что значение выражения является отрицательным числом. Чтобы это узнать наверняка, нужно получить значение этого выражения в виде десятичной дроби, а как это делается, мы расскажем в статье сравнение действительных чисел.

Иногда перед положительными числами записывается знак плюс, также как перед отрицательными числами записывается знак минус. В этих случаях следует знать, что +5=5 , и т.п. То есть, +5 и 5 и т.п. – это одно и то же число, но по-разному обозначенное. Более того, можно встретить определение положительных и отрицательных чисел, на основании знака плюс или минус.

Числа со знаком плюс называют положительными, а со знаком минус – отрицательными.

Существует еще одно определение положительных и отрицательных чисел, основанное на сравнении чисел. Чтобы дать это определение, достаточно лишь вспомнить, что точка на координатной прямой, соответствующая большему числу, лежит правее точки, соответствующей меньшему числу.

Положительные числа – это числа, которые больше нуля, а отрицательные числа – это числа, меньшие нуля.

Таким образом, нуль как бы отделяет положительные числа от отрицательных.

Конечно же, следует еще остановиться на правилах чтения положительных и отрицательных чисел. Если число записано со знаком + или −, то произносят название знака, после чего произносят число. Например, +8 читается как плюс восемь, а — как минус одна целая две пятых. Названия знаков + и − не склоняются по падежам. Примером правильного произношения является фраза «a равно минус трем» (не минусу трем).

Взаимно однозначное соответствие между точками координатной прямой и действительными числами

Нам известно, что на данной прямой линии лежит бесконечно много точек. Не является исключением и координатная прямая – она также содержит бесконечно много точек. Между точками координатной прямой и действительными числами существует очень важная связь, которую называют взаимно однозначным соответствием. Эта связь выражается следующим утверждением: каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число, а каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой.

Озвученное утверждение, несомненно, нуждается в пояснении.

Отметим какую-нибудь точку на координатной прямой. Какое действительное число ей соответствует?

Если эта точка совпадает с началом отсчета (точкой O), то будем считать, что ей отвечает число нуль.

Если эта точка не совпадает с началом отсчета, то от точки O будем друг за другом последовательно откладывать единичные отрезки, пока не попадем в отмеченную точку. Если это произошло, то будем считать, что этой точке соответствует число, записанное над ней. Например, на рисунке ниже в точку М мы попадаем, отложив три единичных отрезка в отрицательном направлении, этой точке соответствует число -3.

Если же откладывание единичных отрезков на координатной прямой не приводит нас в отмеченную точку, то будем откладывать не только единичные отрезки, но и отрезки, составляющие одну десятую долю единичного отрезка, а при необходимости одну сотую долю, одну тысячную долю и так далее. На рисунке ниже в точку М мы попали, отложив в положительном направлении 1 единичный отрезок и 4 отрезка, составляющих десятую долю единичного отрезка. Этой точке соответствует рациональное число1,4. А если на координатной прямой отложить в отрицательном направлении 17 единичных отрезков, 3 отрезка, составляющих сотую долю единичного, и 9 отрезков, составляющих стотысячную долю единичного, то мы попадем в точку, которой будет соответствовать число, противоположное числу 17,03009, то есть -17,03009 (при необходимости обращайтесь к материалу статьи противоположные числа).

Так единичный отрезок и его десятая, сотая и так далее доли позволяют нам попасть в точки координатной прямой, которым будут соответствовать конечные десятичные дроби (как в предыдущем примере). Однако на координатной прямой существуют точки, в которые мы не можем попасть, но к которым мы можем подойти сколь угодно близко, использую все меньшие и меньшие до бесконечно малой доли единичного отрезка. Этим точкам соответствуют бесконечные периодические и непериодические десятичные дроби. Приведем несколько примеров. Одной из таких точек на координатной прямой соответствует число 3,711711711…=3,(711). Чтобы подойти к этой точке нужно отложить 3 единичных отрезка, 7 его десятых долей, 1 сотую долю, 1 тысячную, 7 десятитысячных долей, 1 стотысячную, 1 миллионную долю единичного отрезка и так далее. А еще одной точке координатной прямой отвечает иррациональное число пи (π=3,141592…).

Так как элементами множества действительных чисел являются все числа, которые можно записать в виде конечных и бесконечных десятичных дробей, то вся вышеизложенная в этом пункте информация позволяет утверждать, что каждой точке координатной прямой мы поставили в соответствие конкретное действительное число, при этом понятно, что разным точкам соответствуют разные действительные числа.

Также достаточно очевидно, что это соответствие является взаимно однозначным. То есть, мы можем указанной точке на координатной прямой поставить в соответствие действительное число, но мы также можем по данному действительному числу указать конкретную точку на координатной прямой, которой отвечает данное действительное число. Для этого нам придется отложить от начала отсчета в нужном направлении определенное количество единичных отрезков, а также десятых, сотых и так далее долей единичного отрезка. Например, числу 703,405 отвечает точка на координатной прямой, в которую из начала отсчета можно попасть, отложив в положительном направлении 703 единичных отрезка, 4 отрезка, составляющих десятую долю единичного, и 5 отрезков, составляющих тысячную долю единичного.

Итак, каждой точке на координатной прямой отвечает действительное число, и каждое действительное число имеет свое место в виде точки на координатной прямой. Вот почему координатную прямую очень часто называют числовой прямой.

Мимоходом заметим, что точкам, лежащим правее начала отсчета на числовой прямой, соответствуют положительные числа, а точкам, лежащим левее начала отсчета, — отрицательные. Подробнее об этом написано в статье положительные и отрицательные числа.

К началу страницы

Пример 2

Рас­смот­рим чис­ло­вую ось (см. рис. 3).

Рис. 3. Чис­ло­вая ось

На ней от­ме­че­ны на­ту­раль­ные числа 1, 2, 3 и т. д. и на­ча­ло в точке ноль. Также на со­от­вет­ству­ю­щих от­рез­ках можем от­ме­тить числа , , и т. д. (см. рис. 4).

Рис. 4. Чис­ло­вая ось

Что озна­ча­ет,  Это мы к 1 при­бав­ля­ем три еди­ни­цы и по­па­да­ем в точку 4 (см. рис. 5).

Рис. 5. Чис­ло­вая ось

Так, .

Точно так же мы можем сде­лать шаг в дру­гую сто­ро­ну. На­при­мер, что будет, если мы из 1 вы­чтем 3: ? Мы по­па­дем в пу­сто­ту (см. рис. 6).

Рис. 6. Чис­ло­вая ось

Здесь и на­хо­дят­ся от­ри­ца­тель­ные числа, ко­то­рые нам, без­услов­но, по­на­до­бят­ся (см. рис. 7).

Рис. 7. Чис­ло­вая ось

Те­перь мы можем их вве­сти. Но как же обо­зна­ча­ют­ся от­ри­ца­тель­ные числа? Для этого вспом­ним, как обо­зна­ча­ют­ся на­ту­раль­ные числа, такие как 1, 2, 3, 4 и т. д. (см. рис. 8).

Рис. 8. Чис­ло­вая ось

Но что по­ка­зы­ва­ет число 2? Оно по­ка­зы­ва­ет, что от 0 до 2 по­ме­ща­ет­ся два еди­нич­ных от­рез­ка (см. рис. 9).

Рис. 9. Чис­ло­вая ось

Если от­ло­жить такой же от­ре­зок влево, мы по­лу­чим рас­сто­я­ние от точки 0 ровно в один от­ре­зок. Так мы по­лу­ча­ем число 1. Но чтобы не пу­тать­ся, для чисел слева при­ду­ма­ли спе­ци­аль­ный знак «-», ко­то­рый мы ста­вим перед чис­лом и по­лу­ча­ем . Ана­ло­гич­но, сле­ду­ю­щее число будет  и т. д. То есть, если на­ту­раль­ные числа у нас обо­зна­ча­ют­ся как 1, 2, 3 и т. д., то от­ри­ца­тель­ные как -1, -2, -3.(см. рис. 10).

Рис. 10. Чис­ло­вая ось

Есть число , для него су­ще­ству­ет про­ти­во­по­лож­ное число. Оно на­хо­дит­ся между -2 и -1 и равно — (см. рис. 11).

Рис. 11. Чис­ло­вая ось

Вер­нем­ся к пер­во­му при­ме­ру. У нас было 20 руб. и мы по­тра­ти­ли 40 руб., у нас оста­лось -20 руб.

Как дей­ство­вать с от­ри­ца­тель­ны­ми чис­ла­ми, как их скла­ды­вать, вы­чи­тать и т. д. – это темы более позд­них уро­ков. А сей­час да­вай­те по­ду­ма­ем, где же в ре­аль­ной жизни при­ме­ня­ют­ся от­ри­ца­тель­ные числа?

Размещаем фигуру

Теперь перейдем к такому вопросу, как построение фигур на координатной плоскости. Для того чтобы построить на координатной плоскости любую фигуру, следует знать, как размещать на ней точки. Если вы умеете это делать, то разместить фигуру на плоскости не так уж и сложно.

В первую очередь вам понадобятся координаты точек фигуры. Именно по ним мы и будем наносить на нашу систему координат выбранные вами геометрические фигуры. Рассмотрим нанесение прямоугольника, треугольника и окружности.

Начнем с прямоугольника. Наносить его довольно просто. Сначала на плоскость наносятся четыре точки, обозначающие углы прямоугольника. Затем все точки последовательно соединяются между собой.

Нанесение треугольника ничем не отличается. Единственное – углов у него три, а значит, на плоскость наносятся три точки, обозначающие его вершины.

Касательно окружности тут следует знать координаты двух точек. Первая точка – центр окружности, вторая – точка, обозначающая ее радиус. Эти две точки наносятся на плоскость. Затем берется циркуль, измеряется расстояние между двумя точками. Острие циркуля ставится в точку, обозначающую центр, и описывается круг.

Как видите, тут также нет ничего сложного, главное, чтобы под рукой всегда были линейка и циркуль.

Теперь вы знаете, как наносить координаты фигур. На координатной плоскости это делать не так уж и сложно, как может показаться на первый взгляд.

Ход урока:

1. Организационный момент

А) Приветствие
В) деление на 3 группы (карточки с примерами на ранее изученные темы)
С) создание коллаборативной среды — проведение тренинга «Знакомство» (представить себя и на первую букву своего имени, охарактеризовать себя словом, начинающимся с этой буквы)
Д) раздача листов самооценивания, составление вместе с учащимися критериев оценивания (лист самооценивания выводится на интерактивную доску для объяснения)

Ф. И._________________________ __Класс_____

№ п/п	Этап работы	Балл	Сумма баллов
1	Прием «Ассоциации»
2	Самостоятельное изучение темы
3	Объяснение темы классу
4	Синквейн
5	Пример  на закрепление темы (свой)
6	Практическая работа
7	Прием «Верю, не верю»

32–35 баллов — «5»
25–31 балл -«4»
15–24 балла — «3»
Менее 15 баллов — «2»

2. Прием «Ассоциации»:

А) какие ассоциации (впечатления) у вас вызывает слово положительный?
В) какие ассоциации у вас вызывает слово отрицательный?
С) Какие ассоциации вызывает слово равнодушный?
Д) Попробуйте сформулировать тему сегодняшнего урока.

А) в группах самостоятельно изучают тему (вместе читают, объясняют друг другу)
В) затем представитель одной группы объясняет тему всему классу у доски
С) представитель другой группы приводит примеры на применение положительных и отрицательных чисел (объясняет у доски)
Д) третья группа составляет синквейн на эту тему
(по результату жеребьевки)

4. Закрепление темы

Работа с применением интерактивной доски (выполнение упражнений из учебника — с каждой группы выходят к доске желающие, выполняют упражнения с объяснением классу, остальные выполняют в тетрадях): № 264, 265, 266, 267, 268, 286,288. (задания на знание, понимание, применение по таксономии Блума).

7. Прием «Верю, не верю»

(одной паре учащихся из группы раздаются таблицы, в которых содержится информация о положительных и отрицательных числах: исторические факты, интересные сведения, применение. Эти сведения могут быть как истинными, так и ложными. Напротив каждого высказывания ученик должен поставить «+» — верю (истинное высказывание, «-» — не верю (ложное высказывание). Другой паре учащихся из группы раздается лист с информацией по данной теме, ознакомившись с которой он сможет проверить, насколько правильно учащиеся ответили на вопросы. С помощью этого задания можно проверить, насколько учащиеся владеют информацией об отрицательных числах, области их применения, а также выяснить, кто из учащихся интересуется дополнительной литературой по математике.).

Верю, не верю

№ п/п	Высказывание	Верю – «+», не верю – «-»
1	Верите ли вы, что в Древней Греции отрицательные числа не использовались?
2	Верите ли вы, что Диофант умел умножать отрицательные числа еще в 3 веке?
3	Верите ли вы, что впервые отрицательные числа были узаконены в Японии?
4	Верите ли вы, что в Древней Индии отрицательные числа трактовались как долги, недостача?
5	Верите ли вы, что в Европе отрицательные числа называли «ложными»?
6	Верите ли вы, что наглядное представление на числовой оси отрицательные числа получили только в 19 веке?
7	Верите ли вы, что полная теория отрицательных чисел была создана только в 20 веке?

8. Прием «Перепутанные логические цепочки»:

Используя материал параграфа учебника (новая тема) учащимся предлагается собрать из перепутанных слов определение, высказывание, предложение. Это задание помогает определить внимательность чтения параграфа при самостоятельном изучении новой темы, развивает память, логику мышления. Это задание выполняет каждая группа — по одному высказыванию. Затем проверяем на доске.

10. Итог урока 

Составление кластера, на котором необходимо коротко изобразить то, что изучили на уроке в виде схем, рисунка, таблицы и т. п. на усмотрение учащихся. Критерии, предъявляемые к кластеру: полнота информации, четкость изображения, рациональное использование ватмана, доступность изложения. Затем каждая группа защищает свой кластер. Другие группы внимательно слушают, дают две звезды за кластер и одно пожелание. Выставление оценок в листах самооценивания.

11. Рефлексия 

Сегодня на уроке:

•  я научился…
•  было интересно…
•  было трудно…
•  мои ощущения…

Приклеить на доску под знаками плюс или минус.

Числовая прямая — что это такое

Чтобы облегчить понимание начального курса алгебры и четко представлять характеристику любого числа, а также действия, которые с ним можно совершить, вводится понятие «числовая прямая».

За начальную точку может быть взята некоторая точка О, которую по-другому называют точкой отсчета. Положительное направление должно быть указано специальной стрелкой. В то же время направление в противоположную сторону от точки отсчета называется отрицательным. На числовой прямой обязательно должен быть указан масштаб, чтобы правильно определить единицу измерения.

Когда на числовой прямой нужно определить место того или иного числа, присутствует однозначное соответствие, при котором:

1. Нуль — это начало координат.
2. Произвольная точка находится от нуля на расстоянии, которое в положительном направлении обозначается знаком «+», а в отрицательном — знаком «-» и равно количеству единиц измерения для своего значения.

Итак, числовая ось визуально демонстрирует множество вещественных чисел, расположенных на двух расходящихся лучах от точки отсчета О. Порядок точек на этой прямой соответствует упорядоченности чисел.

Такую ось, кроме визуального представления о числе, удобно использовать при составлении графиков течения какого-то процесса, определения его тенденций и закономерностей.  

Определение координат

Для того чтобы определить координаты точки, опускают перпендикуляр на каждую из осей. Получаются два отрезка. Значение длин этих отрезков в заданных единицах длины и будет соответствовать координатам точки.

Соответственно, чтобы по координатам построить точку, нужно провести перпендикуляр из заданных точек на осях. В точке пересечения этих перпендикуляров и будет находиться искомая точка.

У координатной плоскости есть 4 четверти, в каждой из которых свои границы х и у. Будьте внимательны, координаты вполне могут быть отрицательными. Это всего лишь позволяет определить четверть координатной плоскости.

Что такое множество в математике и как оно обозначается

Множество – это количество предметов или чисел, обладающих общими свойствами.

Данное определение подходит к любой совокупности с одинаковыми признаками, независимо оттого, сколько предметов в нее входит: толпа людей, стог сена, звезды в небе.

В математике изучаемое понятие обозначается заглавными латинскими буквами, например: А, С, Z, N, Q, A1, A2 и т. д.

Объекты, составляющие группу, называются элементами множества и записываются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, x, y, a1, a2 и т. д.

Границы совокупности обозначаются фигурными скобками { }.

Пример:

1. А = {а, в, с, у} – А состоит из четырех элементов.
2. Записать совокупность Z согласных букв в слове «калькулятор»:

Z = {к, л, т, р}, повторяющиеся согласные записываются один раз. Z состоит из четырех элементов.

Принадлежность элементов множеству обозначается знаком – Є.

Пример: N = {a, b, c, y}, а Є N – элемент «а» принадлежит N.

Выделяют три вида множеств:

• конечные — совокупности, имеющие максимальный и минимальный предел (например, отрезок);
• бесконечные — не являющиеся конечными (например, числовые);
• пустые (обозначаются Ø) – не имеющие элементов.

Если две разные совокупности содержат одинаковые элементы, то одна из них (со всеми своими элементами) является подмножеством другой и обозначается знаком — ⊆.

Пример: А = {а, в, с, у} и В = {а, в, с, е, к} – все элементы А являются элементами совокупности В, следовательно А ⊆ В.

Если множества состоят из одинаковых элементов, их называют равными.

Пример: А = {23, 29, 48} и В = {23, 29, 48}, тогда А = В.

В математике выделяют несколько числовых совокупностей. Рассмотрим их подробнее.

Обозначения

Множество чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, а его элементы — строчными. При этом элементы заключаются в фигурные скобки.

Например, если наших друзей зовут Том, Джон и Лео, то мы можем задать множество друзей, элементами которого будут Том, Джон и Лео.

Обозначим множество наших друзей через заглавную латинскую букву F (friends), затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим наших друзей:

F = { Том, Джон, Лео }

Пример 2. Запишем множество делителей числа 6.

Обозначим через любую заглавную латинскую букву данное множество, например, через букву D

D

затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим элементы данного множества, то есть перечислим делители числа 6

D = { 1, 2, 3, 6 }

Если какой-то элемент принадлежит заданному множеству, то эта принадлежность указывается с помощью знака принадлежности ∈. К примеру, делитель 2 принадлежит множеству делителей числа 6 (множеству D). Записывается это так:

2 ∈ D

Читается как «2 принадлежит множеству делителей числа 6»

Если какой-то элемент не принадлежит заданному множеству, то эта не принадлежность указывается с помощью зачёркнутого знака принадлежности ∉. К примеру, делитель 5 не принадлежит множеству D. Записывается это так:

5 ∉ D

Читается как «5 не принадлежит множеству делителей числа 6»

Кроме того, множество можно записывать прямым перечислением элементов, без заглавных букв. Это может быть удобным, если множество состоит из небольшого количества элементов. Например, зададим множество из одного элемента. Пусть этим элементом будет наш друг Том:

{ Том }

Зададим множество, которое состоит из одного числа 2

{ 2 }

Зададим множество, которое состоит из двух чисел: 2 и 5

{ 2, 5 }

Множество натуральных чисел

К совокупности натуральных чисел (N) относятся цифры, используемые при счете — от 1 до бесконечности.

Натуральные числа используют для исчисления порядка предметов. Обязательное условие данной числовой группы — каждое следующее число больше предыдущего на единицу.

N = {9, 11, 13, 15……}.

Относится ли ноль к натуральным числам? Это до сих пор открытый вопрос для математиков всего мира.

Множество целых чисел

Совокупность целых чисел (Z) включает в себя положительные натуральные и отрицательные числа, а также ноль:

Z = {-112, -60, -25, 0, 36, 58, 256}.

Следовательно, N — подмножество Z, что можно записать как N ⊆ Z. Любое натуральное число можно назвать так же и целым.

Множество рациональных чисел

Совокупность рациональных чисел (Q) состоит из дробей (обыкновенных и десятичных), целых и смешанных чисел:

Q={-½; 0; ½, 5; 10}.

Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числителем служит любое целое число, а знаменателем – натуральное:

5 = 5/1 = 10/2 = 25/5;

0,45 = 45/100 = 9/20.

Следовательно, N и Z являются подмножествами Q.