Примеры решения задач
Выведенные формулы можно с легкостью применять для решения разнообразных задач по геометрии. Для понимания, как их следует использовать, следует рассмотреть несколько примеров.
Чтобы уметь решать различные задания, связанные с треугольником, нужно помнить всего несколько формул. Но понадобится знать, что углы в фигуре равны друг другу и составляют 60 градусов. Часто придётся применять и теорему Пифагора. Вот некоторые из типовых заданий, используемые при обучении школьников в седьмом классе:
- Какой будет радиус вписанной в правильный треугольник окружности, если его высота равняется 9 см. Зная свойство фигуры, решить задачу можно за пару секунд. Так как радиус равен 1/3 высоты, ответом на задачу будет: r = h / 3 = 9 / 3 = 3 см.
- Сторона равностороннего треугольника равняется корню из трёх. Определить диаметр описанной окружности. Известно, что отношение синуса к противолежащему углу составляет 2R. Следовательно: R = a / 2 * sin (a) = √3 * 2 / 2 * √3 = 1.
- Вокруг треугольной фигуры со стороной 8 √3 описан круг. Узнать его радиус. Эта задача в 2 действия. Используя формулу для нахождения вписанного радиуса и определение r = R / 2 можно записать: R = 2 * a * √3 / 6 = 2 * 8 * √3 * √3 / 6 = 2 * 4 = 8.
- Пусть имеется квадрат, вокруг которого описана окружность. В ней так же располагается правильный треугольник. Периметр треугольной фигуры равен 9 √ 6. Нужно вычислить сумму всех сторон квадрата. На первом шаге необходимо определить длину боковой грани треугольника. Найти её можно по формуле: a = 3 √6. Теперь возможно рассчитать радиус описанной окружности: a = R * √3. Выполнив подстановку, найти ответ несложно: R = 3 √6 / √3 = 3 * √2. На третьем шаге можно выяснить, чему равняется сторона четырёхугольника. В этом поможет равенство: 3 √2 = (n √2) / 2. Отсюда n = 6. Значит, периметр квадрата равняется: P = 4 * 6 = 24.
Следует отметить, что выучить наизусть все формулы сложно, поэтому обычно используют логическое мышление и теоремы синусов-косинусов. Учитывая, что любой угол в равностороннем треугольнике равен 60 градусов практически любую формулу вывести можно самостоятельно.
Описанная и вписанная окружности
Дан некоторый равноугольный треугольник. Известно, что разница между радиусами описанной и вписанной окружностей составляет 3 см. Следует найти площадь фигуры.
На первый взгляд может показаться, что нахождение решения этой задачи требует проведения некоторых промежуточных вычислений, но это не так. Если вспомнить, что радиус описанной окружности R ровно в 2 раза больше величины r, то их разница является не чем иным, как самим радиусом вписанной окружности r. Для получения ответа на задачу следует всего-навсего воспользоваться известной формулой и вычислить S:
S = 3*30,5 *r 2 = 46,765 см 2 .
Тетраэдр и его поверхность
Тетраэдр является объемной фигурой, которая ограничена четырьмя гранями, являющимися равноугольными треугольниками. Необходимо определить площадь поверхности этой геометрической фигуры, если известно, что ее объем составляет 100 см 3 .
Чтобы посчитать необходимую площадь, следует найти эту величину всего лишь для одного равностороннего треугольника, а затем полученное число умножить на 4. Из курса стереометрии известно, что объем тетраэдра рассчитывается по следующей формуле:
V = 20,5 /12*a 3 .
Отсюда можно получить длину стороны a:
a = (12*V/20,5)^(1/3).
Теперь можно применить формулу для расчета площади S через a:
S = 30,5/4*a 2 = 38,81 см 2 .
Получилась площадь одной грани тетраэдра. Поскольку объемная фигура состоит из четырех одинаковых треугольников, то площадь его поверхности St составит:
St = 4*S = 155,24 см 2 .
Таким образом, высокая симметрия равностороннего треугольника позволяет рассчитывать его площадь, зная всего один линейный параметр фигуры. Чаще всего таковым является высота, сторона основания или радиусы вписанной и описанной окружностей.
Как найти радиус вписанной в треугольник abc окружности: формула, примеры
Sign in
Password recovery
Восстановите свой пароль
Ваш адрес электронной почты
MicroExcel.
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в произвольный (любой), прямоугольный, равнобедренный или равносторонний треугольник. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.
- Формулы вычисления радиуса вписанной окружности
- Произвольный треугольник
- Прямоугольный треугольник
- Равнобедренный треугольник
- Равносторонний треугольник
- Примеры задач
Формулы вычисления радиуса вписанной окружности
Произвольный треугольник
Радиус окружности, вписанной в любой треугольник, равняется удвоенной площади треугольника, деленной на его периметр.
где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.
Прямоугольный треугольник
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равняется дроби, в числителе которого сумма катетов минус гипотенуза, в знаменателе – число 2.
где a и b – катеты, c – гипотенуза треугольника.
Равнобедренный треугольник
Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности вычисляется по формуле ниже:
где a – боковые стороны, b – основание треугольника.
Равносторонний треугольник
Радиус вписанной в правильный (равносторонний) треугольник окружности рассчитывается следующим образом:
где a – сторона треугольника.
Примеры задач
Задание 1Дан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. Вычислите радиус вписанной в него окружности.
РешениеСперва вычислим площадь треугольника.
Остается только применить соответствующую формулу для вычисления радиуса круга:
Задание 2Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 16 см, а основание 7 см. Найдите радиус вписанной в фигуру окружности.
РешениеВоспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные значения:
ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ
Таблица знаков зодиака
Нахождение площади трапеции: формула и примеры
Нахождение длины окружности: формула и задачи
Римские цифры: таблицы
Таблица синусов
Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)
Нахождение площади ромба: формула и примеры
Нахождение объема цилиндра: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)
Геометрическая фигура: треугольник
Нахождение объема шара: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)
Нахождение объема конуса: формула и задачи
Таблица сложения чисел
Нахождение площади квадрата: формула и примеры
Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема
Нахождение объема пирамиды: формула и задачи
Признаки подобия треугольников
Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи
Формула Герона для треугольника
Что такое средняя линия треугольника
Нахождение площади треугольника: формула и примеры
Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи
Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы
Разность кубов: формула и примеры
Степени натуральных чисел
Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg
Нахождение периметра квадрата: формула и задачи
Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи
Сумма кубов: формула и примеры
Нахождение объема куба: формула и задачи
Куб разности: формула и примеры
Нахождение площади шарового сегмента
Что такое окружность: определение, свойства, формулы
Радиус окружности описанной около равностороннего треугольника, если известна площадь треугольника
Пусть известна площадьS равностороннего треугольника. Найдем радиус окружности, описанной около треугольника. На странице Площадь равностороннего треугольника онлайн была выведена формула площади равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности:
| (9) |
В формуле (9) найдем R:
| (10) |
Пример 3. Площадь равностороннего треугольника равна:( small S=14.5 .) Найти радиус окружности описанной около равностороннего треугольника.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около равностороннего треугольника воспользуемся формулой (10). Подставим значения ( small S=14.5 ) в (10):
Ответ:
Онлайн калькулятор длины окружности
Категория:
Калькуляторы
С помощью данного бесплатного онлайн калькулятора вы сможете узнать длину окружности по радиусу или диаметру. Преимуществом сервиса является то, что перевод (конвертация) осуществляется автоматически. Просто вводите значения в соответствующие поля.
Длина окружности по радиусу
Радиус
Длина окружности 0.00
Длина окружности по диаметру
Диаметр
Длина окружности 0.00
Округлять до знаков после запятой (от 0 до 10)
Как узнать длину окружности
Чтобы вычислить длину окружности достаточно воспользоваться следующими формулами.
1. Формула длины для радиуса
ДЛИНА = 2 * π * РАДИУС
2.
ДЛИНА = π * ДИАМЕТР
где π = 3.14159 (примерно равно; часто для простоты используют и вовсе 3.14)
Теперь, у вас всегда есть под рукой удобный и легкий онлайн калькулятор.
- Калькулятор скидок онлайн
- Онлайн калькулятор объема цилиндра
Описанная окружность — коротко о главном
Определение
Центр описанной окружности
Радиус описанной окружности
Обрати внимание: теорема синусов сообщает, что для того чтобы найти радиус описанной окружности, нужна одна сторона (любая!) и противолежащий ей угол. Расположение центра описанной окружности
Расположение центра описанной окружности
В остроугольном треугольнике центр описанной окружности всегда лежит внутри треугольника
В тупоугольном треугольнике центр описанной окружности всегда лежит вне треугольника
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы.
Радиус окружности описанной около равностороннего треугольника, если известна сторона a
Пусть известна сторона a равностороннего треугольника. Найдем радиус описанной окружности около треугольника. На странице Радиус окружности описанной около треугольника вычисляется из формулы:
| (1) |
где p вычисляется из формулы:
| (2) |
Учитывая, что у нас треугольник равносторонний, т.е. a=b=c, имеем:
| ( small p= frac<large 3a><large 2>, ) | (3) |
| ( small p-a=p-b=p-c= frac< large a>< large 2>. ) | (4) |
Подставляя (3),(4) в (1) и учитывая, что a=b=c, получим:
( small R=frac<large a^3><large 4 cdot sqrt<frac<3><2>a left( frac <2>right)^3>> ) ( small =frac<large a^3><large 4 cdot sqrt< frac<3a^4><16>>> ) ( small =frac<large a>< large sqrt< 3>> )
| ( small R=frac<large a>< large sqrt< 3>>=frac<large a sqrt<3>>< large 3>. ) | (5) |
Пример 1. Известна сторона ( small a=frac<7> <2>) равностороннего треугольника. Найти радиус окружности описанной около треугольника.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (5).
Подставим значение ( small a=frac<7> <2>) в (5):
Ответ:
Радиус описанной около треугольника окружности: онлайн-калькулятор, формула
Sign in
Password recovery
Восстановите свой пароль
Ваш адрес электронной почты
В публикации представлены онлайн-калькуляторы и формулы для расчета радиуса окружности, описанной около треугольника: произвольного, прямоугольного и равностороннего (правильного).
- Расчет радиуса окружности
- Произвольный треугольник
- Прямоугольный треугольник
- Через катеты
- Через гипотенузу
- Равносторонний (правильный) треугольник
На рисунке ниже в качестве примера изображена окружность, описанная вокруг произвольного треугольника.
Инструкция по использованию: введите требуемые стороны треугольника (зависит от его вида), затем нажмите кнопку
“Рассчитать”.
(R)
Равносторонний (правильный) треугольник
ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ
Таблица знаков зодиака
Нахождение площади трапеции: формула и примеры
Нахождение длины окружности: формула и задачи
Римские цифры: таблицы
Таблица синусов
Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)
Нахождение площади ромба: формула и примеры
Нахождение объема цилиндра: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)
Геометрическая фигура: треугольник
Нахождение объема шара: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)
Нахождение объема конуса: формула и задачи
Таблица сложения чисел
Нахождение площади квадрата: формула и примеры
Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема
Нахождение объема пирамиды: формула и задачи
Признаки подобия треугольников
Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи
Формула Герона для треугольника
Что такое средняя линия треугольника
Нахождение площади треугольника: формула и примеры
Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи
Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы
Разность кубов: формула и примеры
Степени натуральных чисел
Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg
Нахождение периметра квадрата: формула и задачи
Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи
Сумма кубов: формула и примеры
Нахождение объема куба: формула и задачи
Куб разности: формула и примеры
Нахождение площади шарового сегмента
Что такое окружность: определение, свойства, формулы
Радиус окружности описанной около равностороннего треугольника, если известна высота треугольника
Пусть известна высота h равностороннего треугольник (Рис.1):
Найдем радиус описанной окружности около равностороннего треугольника. Из теоремы синусов имеем:
| ( small frac<large a>< large sin 90°>=frac<large h >< large sin C>. ) | (6) |
Уситывая, что сумма углов треугольника равна 180° и что у равностороннего треугольника все углы равны, имеем: ( small angle A= angle B=angle C=60°. ) Тогда из (6) получим:
| (7) |
Подставляя (7) в (5), получим:
| (8) |
Пример 2. Высота равностороннего треугольника равна:( small h=15 .) Найти радиус окружности описанной около равностороннего треугольника.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около равностороннего треугольника воспользуемся формулой (8). Подставим значения ( small h=15 ) в (8):
Ответ:
Примеры задач
Задание 1 Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.
Решение Для начала нам необходимо найти площадь треугольника. Т.к. нам известны длины всех его сторон, можно применить формулу Герона:
Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:
Задание 2 Дан треугольник, у которого известны две стороны из трех: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.
Решение Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, причем известные по условиям задачи стороны являются его катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры, воспользовавшись теоремой Пифагора:
Как мы знаем, радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равняется половине его гипотенузы, следовательно: R = 10 : 2 = 5.
Калькулятор радиуса окружности
Указано:
Окружность (C) Площадь (A) Диаметр (D)
Окружность (C)
MMCMDMMKMINFTYDMINMI
(A)
Получите виджет!
Добавьте этот калькулятор на свой сайт, чтобы пользователи могли выполнять простые расчеты.
Получить код
Обратная связь
Насколько легко было пользоваться нашим калькулятором? Сталкивались ли вы с какой-либо проблемой, сообщите нам!
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Наш калькулятор радиуса круга в основном предназначен для нахождения радиуса круга по значениям длины окружности, площади или диаметра.
Что такое радиус круга?
Все вы, возможно, знакомы с кругом, хорошо известной и широко используемой геометрической фигурой.
«Расстояние от центра окружности до любой из ее точек на окружности называется радиусом»
Как найти радиус окружности?
В геометрии окружность определяется многими связанными объектами.
\(r=\sqrt{24,840}\)
\(r=4,983\)
Как работает калькулятор радиуса окружности?
По правде говоря, наш калькулятор довольно прост в использовании, если вы придерживаетесь следующего руководства по использованию!
Ввод:
- Из первого выпадающего списка выберите параметр, с которым вы хотите провести расчеты
- После этого введите его значение вместе с единицей измерения, выбранной из следующего списка
- Наконец-то попал в калькукатре вутон
Вывод:
Радиус, площадь, диаметр и длина окружности
Ссылки:
Из источника Википедии: Радиус, Формула, Использование в системах координат
Из источника Академии Хана: Радиус, диаметр, длина окружности и π, Маркировка, Площадь частей кругов источник Lumen Learning: Круги, Уравнение круга в стандартной форме, Общая форма круга
