Геометрия 7 класс объяснение основных тем, понятно для детей
первые геометрические объекты
Начать стоит с самого понятия «геометрия». С древнегреческого слово переводится как земля и измерение. Эта древнейшая наука, которая появилась в связи с необходимостью строить здания, дороги, измерять объекты и прокладывать границы.
Первыми геометрическими фигурами, которые стоит усвоить, являются точка, прямая, отрезок.
Точка — это абстрактный объект в пространстве. Никаких измерительных характеристик она не имеет (но можно определить координаты).
Через две точки можно провести прямую линию (причем единственную); она не искривляется, не имеет конца и начала, продолжается до бесконечности.
Иными словами, прямая — это множество точек на одной линии, продолжающееся до бесконечности.
Запомните важную аксиому:
Если часть прямой линии ограничить точками, получится отрезок. У отрезка есть и начало, и конец. Обозначается он большими буквами (например, отрезок КL, SD, AB и т.д.).
Если две прямые пересекаются под углом 90º, то говорят, что они перпендикулярны.
Если прямую ограничить только одной точкой, то получится два луча. У луча есть начало, а конца нет (уходит в бесконечность). Называют луч двумя буквами, например, ОА.
Еще одна фигура — угол. Он представляет собой точку и два луча, исходящие из нее. Лучи — это стороны угла, а начало этих сторон — его вершина. От того, сколько градусов составляет угол, зависит тип треугольника, который можно образовать.
https://youtube.com/watch?v=pMICc6Zxh3M
О равных треугольниках. Равнобедренный треугольник
Треугольником принято считать фигуру, которая состоит из 3-х точек. Причем точки эти не должны лежать на одной прямой, а соединяются они отрезками.
Треугольники можно различать по двум признакам: размеру сторон и размеру углов.
Если один треугольник (назовем его CFD) наложить на другой (C1F1D1) и они будут соответствовать друг другу, то треугольники равны. У равных фигур все элементы равны.
Чтобы понять, равны ли треугольники, познакомимся с признаками равенства этих фигур.
Остановимся отдельно на равнобедренных треугольниках. Если 2 стороны треугольники равны, то его называют равнобедренным.
Исходя из этого, можно выделить признаки равнобедренного треугольника. Треугольник равнобедренный, если:
- 2 угла в нем равны;
- биссектриса одновременно является высотой и медианой;
- медиана — биссектриса и высота;
- высота, соответственно — медиана и биссектриса.
Если взять треугольник неравнобедренный, то эти три составляющие (высота, биссектриса и медиана) не будут совпадать (это четко прослеживается на рисунке ниже).
параллельные прямые
Если на тетрадном листе кажется, что прямые параллельны, но имеется небольшой уклон, то вполне вероятно, что за пределами листа (ведь они бесконечны), прямые пересекутся.
Чтобы понять, параллельны ли прямые, нужно усвоить 3 основных признака.
Показать параллельность прямых а и б можно так: а ΙΙ б.
Бизнес и финансы
БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумагиУправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги — контрольЦенные бумаги — оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудитМеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетикаАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством
Понятие углов, виды углов
Обычно для названия углов используют три заглавные буквы. Ими обозначаются две точки, которые расположены на сторонах угла, а также вершины.
Посмотрите на рисунок:
Величина угла измеряется в градусах. Например, ∠AOB=24°.
Существует также другое определение угла.
Развернутым углом называется угол, при котором обе стороны угла располагаются на одной прямой (его стороны считаются дополнительными полупрямыми на одной прямой).
Посмотрите на рисунок развернутого угла:
Вершиной угла считается точка на данной прямой. Обычно в геометрии вершину угла называют точкой O. В математике угол обозначают обычно специальным знаком — . Если стороны угла подписать малыми латинскими буквами, то для точного определения угла записывают друг после друга буквы, которые соответствуют сторонам.
Если используется обозначение с помощью больших букв, то стороны угла будут иметь названия OB, OA. В данном случае у угла появляется обозначение из трех латинских букв, которые записаны друг за другом, с вершиной в центре — ∠AOB, ∠BOA. Используется также обозначение с помощью цифр. Используется в том случае, когда у углов нет названий, а также обозначений в виде букв.
Посмотрите на разные обозначения углов:
Угол может делить плоскость на две части. Если угол не является развернутым, тогда меньшая часть плоскости носит название внутренней области угла, большая часть называется внешней областью угла.
Посмотрите, какие части являются внешними, а какие внутренними:
Если развернутый угол разделяется на плоскости, любая из его частей является внутренней областью развернутого угла. Внутренняя область угла считается таким элементом, который служит для вторичного определения угла.
Определение смежных и вертикальных углов
Обратите внимание на рисунок ниже, на котором видно, что смежные углы являются дополнением друг друга до развернутого угла. Посмотрите на вертикальные углы:
Посмотрите на вертикальные углы:
В случае пересечения прямых формируются 4 пары смежных углов, а также 2 пары вертикальных углов.
Посмотрите на то, как это выглядит:
Бывает несколько видов углов:
- острый угол (менее 90°);
- тупой угол (более 90°);
- прямой угол (ровно 90°);
- развернутый угол (ровно 180°).
Посмотрите, как они выглядят:
Также стоит упомянуть о накрест лежащих углах. Накрест лежащими углами называются углы, которые расположены во внутренней области в разных сторонах от секущей (то есть накрест друг от друга).
Также вспомним соответственные углы. Это вид углов, которые образуются в случае пересечения двух параллельных прямых общей секущей.
Свойства вертикальных углов:
- вертикальные углы являются равными (∠AOC=∠BOD, ∠COD=∠AOB);
- биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.
- сумма смежных углов равняется 180°;
- угол, который является смежным с прямым, является прямым; смежный с острым — является тупым; смежный с тупым — является острым;
- если два угла равны, то смежные тоже будут равны;
- чем больше угол, тем смежный меньше;
- биссектрисы смежных углов формируют прямой угол;
- если смежные равны, то они являются прямыми.
Задачи по геометрии на повторение курса 7 класса
Задачи на повторение курса геометрии в 7 классе
1) Найдите величины смежных углов, если один из них в 5 раз больше другого. ( 30 и 50)
2) Отрезки MN и DK пересекаются в их общей середине B. Докажите равенство треугольников MDB и NKB. (по 1 признаку)
3) Найдите периметр равнобедренного треугольника ADC с основанием AD, если AD = 7 см, DC = 8 см.(23 )
4) Найдите неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если сумма двух из них равна 126°(63 и 117)
5) Точки М, N и R лежат на одной прямой, MN = 11 см, RN = 20 см. Найдите расстояние MR.(21 или 9)
6) Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 50° . Найдите величину внешнего угла при основании.(115)
7) Найдите углы треугольника, на которые высота разбивает равносторонний треугольник.(30, 60 и 90)
Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если один из них равен 42° .(42 и 138)
9) Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если один из них 126° .(126 и 54)
10) Найдите смежные углы, если один из них на 55° больше другого.(62,5 и 117,5)
11) Луч SR является биссектрисой угла S, а отрезки SM и SN равны. Докажите равенство треугольников SMO и SNO.(1 признак)
12) Найдите длину отрезка AM и градусную меру угла ABK, если BM – медиана, а BK – биссектриса треугольника ABC и известно, что AC = 17 см, угол ABC равен 84°(42о и 8,5 см)
13) Отрезки ABи CMпересекаются в точке O. Луч OKявляется биссектрисой угла MOB. Найдите угол MOK, если угол AOM равен 86° .(47)
14) В треугольнике MOKO = 76°, а угол M в 3 раза меньше внешнего угла при вершине K. Найдите неизвестные углы треугольника.(38 и 114)
15) Найдите углы при основании MР равнобедренного треугольника МОР, если MK– его биссектриса и OKM = 96°.(64)
16) Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если один из них равен 42°.(42 и 138)
17) Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 74 см, а одна из сторон равна 16 см. Найдите две другие стороны треугольника.(29 и 29)
18) В равнобедренном треугольнике ABC с основанием ВС проведена медиана AM. Найти медиану AM, если периметр треугольника ABC равен 32 см, а периметр треугольника ABM равен 24 см.(8)
19) Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210. Найти эти углы.(110)
20) Найти смежные углы, если один из них на 45 больше другого.(67,5 и 112,5)
21) Один из углов прямоугольного треугольника равен 60, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найти гипотенузу треугольника.(8,8 и 17,6)
22) Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50 градусам. Найти эти углы.(115 и 65)
23) Найдите неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если сумма двух из них равна 126°.(63 и 117)
24) Основание равнобедренного треугольника равно 8см. Медиана, проведенная к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на 2см больше периметра другого. Найти боковую сторону данного треугольника.(6 или 10)
25) В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120, АС+АВ=18см. Найти AC и AB.(6 и 12)
26) Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и в секущей с, если один из углов на 70 больше другого.(105 и 65)
6.Решение задач.
Класс работает фронтально, решая задачи, условия которых записаны на кодокадре и задачи на готовых чертежах. Двое, наиболее «сильных »учащихся, работают по решению задач повышенной сложности на боковой доске.
Задачи на кодокадре:
Определите вид треугольника, в котором
-один из его углов больше суммы двух других углов
-один из его углов равен сумме двух других углов
-сумма двух любых углов больше 90 градусов
-каждый из его углов меньше суммы двух других
-сумма любых двух углов меньше 120 градусов
Задачи на готовых чертежах (смотри приложение 1) задачи номер5,6,7,8,12.
Задание : «Найти неизвестные углы треугольника АВС»
Задачи, которые решаются на доске:
1.Найти сумму внешних углов треугольника взятых по одному при каждой вершине.
2.Найти углы треугольника АВС, если = 2:3:4
Найдите внешний угол при вершине А.
Целью данного этапа является формирование умения решать задачи, применяя для этого теоретический материал в нестандартной ситуации, развитие устной математической речи учащихся.
Формула высоты
В равностороннем треугольнике длина стороны равна произведению удвоенной высоты и квадратного корня из трёх. Эту формулу легко доказать, используя теорему Пифагора. Так как высота одновременно является и биссектрисой, она, проведённая на противоположное основание, разделяет треугольник на 2 симметричные фигуры. Исходя из того, что отрезок — это перпендикуляр, полученные геометрические тела будут прямоугольными.
Гипотенуза будет являться гранью основного тела, одним из катетов — проведённая линия, а вторым — половина основания. Последнее утверждение правдиво, так как в равносторонней фигуре все стороны равны. Соответственно, используя теорему Пифагора: c2 = b2 + a2, для рассматриваемого случая можно записать следующую формулу: a2 = h2 + a2 / 22, где: a — грань. После математических преобразований выражение примет вид: a = (2 * h) / √3. Отсюда уже можно вывести формулу для нахождения длины: h = (a * √3) / 2.
Аналогичное определение можно получить, используя для доказательства формулу Герона. Отрезок, являющийся высотой, можно найти из выражения: h = (2 * √p * (p — a) * (p — b) * (p — a)) / b. В равенстве p является периметром и находится как сумма всех сторон: p = (a + b + a). Так как одна из граней делится пополам, формулу можно привести к виду: p = (a + b + a) / 2 = a + b / 2.
После подстановки полученного выражения в формулу Герона, оно примет вид: h = 2 * √((a + b/2) * (b/2) * (a -b/2) * (b/2)) / b. Используя формулу сокращённого умножения: разность квадратов, равенство можно привести к виду: (a + b / 2) * (a — b / 2) = a2 — (b / 2)2.
Для упрощения выражения под корень можно внести двойку и знаменатель b. Таким образом, формула примет вид: h = √(22 * (a2 — (b/2)2 * (b/2)2) * b2). Выполнив ряд сокращений, равенство можно будет представить: h = √(a2 — (b2/4)). Из-за того, что стороны в трёхугольной фигуре совпадают, окончательный вариант можно записать: h = (a√3) / 2. Что и следовало доказать.
Высоту можно определить, и зная радиус вписанной окружности. Её можно найти по формуле: r = (a √ 3) / 6. Если выражение переписать как r = (1 / 3) * ((a √3) / 2), возможно увидеть, что второй множитель как раз и есть высота. Соответственно, r = (1/3) * h. Отсюда: h = 3 * r. Это довольно простая формула, которая часто используется при геометрических вычислениях, поэтому её тоже нужно запомнить.
Неравенство треугольника
Следующий факт касается не углов, а сторон треугольника.
Это означает, что:
- \( a+b>c\)
- \( a+c>b\)
- \( b+c>a\)
Ты уже догадался, почему этот факт называется неравенством треугольника?
Ну вот, а где же это неравенство треугольника может оказаться полезным?
А представь, что у тебя есть три друга: Коля, Петя и Сергей.
И вот, Коля говорит: «От моего дома до Петиного \( 100\) м по прямой». А Петя: «От моего дома до дома Сергея \( 200\) метров по прямой». А Сергей: «Вам хорошо, а от моего дома до Колиного аж \( 500\) м по прямой».
Ну, тут уже ты должен сказать: «Стоп, стоп! Кто – то из вас говорит неправду!»
Так не может быть!
Почему?
Да потому что если от Коли до Пети \( 100\) м, а от Пети до Сергея \( 200\) м, то от Коли до Сергея точно должно быть меньше \( 300\) (\( =100+200\)) метров – иначе и нарушается то самое неравенство треугольника.
Ну и здравый смысл точно, естественно, нарушается: ведь всякому с детства неизвестно, что путь до прямой (\( КС\)) должен быть короче, чем путь с заходом в точку \( П\). (\( К-П-С\)).
Так что неравенство треугольника просто отражает этот общеизвестный факт. Ну вот, ты теперь знаешь, как отвечать на такой, скажем, вопрос:
Бывает ли треугольник со сторонами \( 1,3,7\)?
Ты должен проверить, правда ли, что любые два числа из этих трёх в сумме больше третьего. Проверяем: \( 1+3<7\), значит, треугольника со сторонами \( 1,3\) и \( 7\) не бывает! А вот со сторонами \( 2,4,5\) – бывает, потому что
п. п. 3 Признаки равенства треугольников
Во всех четырёх учебниках применяется один и тот же подход с использованием аксиомы существования треугольника равного данному. Но нигде ссылок на эту аксиому нет. Доказательства проводятся на основе наглядности с помощью наложения и приложения. В учебнике Погорелова эта аксиома формулируется, но непосредственно при доказательстве на неё ссылки не делаются. Лишь после доказательства первого признака равенства треугольников проводится подробный разбор его с указанием используемых в доказательстве аксиом. Это введено с целью, сделать доказательство более строгим, чем, например доказательство, приведённое у Киселёва. Как нам кажется, именно для этого автор вводит такое нетрадиционное определение треугольника.
Доказательства, приведённые в учебниках Атанасяна и Киселёва аналогичны. Но в учебнике Киселёва, исходя из введенного им определения треугольника, следовало бы ещё доказать, что плоскости треугольников так же совпадут при наложении (о чём в доказательствах даже не упомянуто). В учебнике Атанасяна аксиомы не являются основой, на которой строится школьный курс геометрии (вместе с тем, в приложении в конце учебника подробно изложен вопрос о системе аксиом в курсе геометрии). По нашему мнению, большое преимущество по сравнению с учебным пособием Киселёва, имеет использование в учебнике Атанасяна в качестве основного рабочего аппарата признаки равенства треугольников, а не свойства геометрических преобразований. Такой подход позволяет отработать общие приёмы доказательства теорем. Эти доказательства строятся по схеме: поиск равных треугольников → доказательство предполагаемого равенства → обоснование новых утверждений. Благодаря использованию признаков равенства треугольников легче усваиваются основные теоремы планиметрии (свойства и признаки серединного перпендикуляра, свойства равнобедренного треугольника, теорема о внешнем угле треугольника, свойства и признаки параллельных прямых и параллелограмма, теорема Фалеса, признаки подобия треугольников и т.п.). В учебнике Атанасяна первый признак рассматривается в отрыве от двух других. Это обосновано тем, что он является основой для доказательства свойств равнобедренного треугольника, облегчающих доказательство третьего признака равенства треугольников.
Лишь в учебниках Киселёва и Шарыгина все три признака изучаются последовательно т.к. там не требуется разбивать их для доказательства свойств равнобедренных треугольников.
В учебнике Шарыгина кроме наложения используются ещё и симметрия, что усложняет доказательства. Доказательство третьего признака проводится с использованием элементов построения. Кроме того, применяется движение называемое переносом, но нигде не указано как оно осуществляется и действительно ли переводит одну точку в другую. Кроме трёх традиционных признаков равенства треугольников приводится ещё один для тупого угла и двух не образующих его сторон. Доказательство вытекает из задачи о не существовании треугольника равного данному, если равны две стороны и не содержащийся между ними угол.
Соотношение отрезков и углов
Задачи на соотношение отрезков и угловых мер в рассматриваемой фигуре могут требовать либо качественный, либо количественный ответ. В первом случае следует провести определенное доказательство, опираясь на известные аксиомы и теоремы о сторонах треугольника и их следствия. Во втором же случае следует пользоваться формулами и выражениями, которые содержат тригонометрические функции. В действительности оба типа задач связаны между собой. Так, прежде чем использовать какую-либо формулу, следует доказать возможность ее применения в конкретной ситуации.
Большие и меньшие длины
Основная теорема о соотношении между элементами в рассматриваемом типе многоугольников гласит, что против большего угла лежит большая сторона. Ее доказательство провести несложно, если построить треугольник, например, тупоугольный. Из тупого провести отрезок к противоположной стороне таким образом, чтобы он образовывал новый равнобедренный треугольник внутри исходного. После этого следует воспользоваться тем свойством, что внешний угол треугольника всегда больше внутреннего.
Следуя условию равенства углов в построенном равнобедренном треугольнике, легко показать, что против тупого всегда находится самый длинный отрезок.
Обратно эта теорема также справедлива, то есть против большей стороны треугольника лежит больший угол. Ее справедливость понятна каждому школьнику на интуитивном уровне, а доказательство заключается в переборе возможных трех вариантов соотношения между отрезками (больше, меньше, равно) и в привлечении уже доказанной теоремы.
Рассмотренные теоремы приводят к двум важным следствиям:
- Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. Следствие актуально для равносторонних и равнобедренных фигур.
- Гипотенуза в треугольнике с прямым углом является самой длинной стороной, поскольку она лежит напротив самого большого угла.
Теоремы косинусов и синусов
Количественной характеристикой соотношения сторон и углов являются знаменитые формулы, содержащие зависимость длин отрезков и угловых мер. Первая из них называется теоремой косинусов. Соответствующая формула имеет вид:
c 2 = a 2 + b 2 — 2*a*b*cos.
Здесь величины a, b, c — это длины, C — угол напротив стороны c. Формула позволяет вычислить третью сторону по известным двум другим и углу между ними. Однако, возможности выражения шире, с его помощью можно посчитать всякий внутренний угол фигуры, если известны три ее стороны.
Следующая по счету, но не по важности теорема синусов. Ее математическое выражение записывается так:. a/sin (A) = b/sin (B) = c/sin.
a/sin (A) = b/sin (B) = c/sin.
Эти равенства говорят о том, что отношение стороны к синусу противоположного ей угла является постоянной характеристикой конкретного треугольника. Зная связь двух углов и стороны или двух отрезков и одного угла можно рассчитать все остальные характеристики фигуры. Следует запомнить, что для любого рассматриваемого типа многоугольников однозначное вычисление всех его свойств требует знания минимум трех элементов (кроме трех углов).
Прямоугольный треугольник
Этот особый случай следует рассмотреть подробнее. Каждый школьник знает знаменитую теорему, позволяющую сравнить соответствие отрезков друг другу в этом типе фигуры. Она гласит, что сумма квадратов катетов соответствует квадрату гипотенузы, и называется пифагоровой теоремой, то есть можно записать:
c 2 = a 2 + b 2 .
Работать с прямоугольными треугольниками удобно по одной простой причине: через их геометрические параметры вводятся в математику тригонометрические функции. Последние легко использовать при вычислении сторон и углов фигуры. Например, если фигура является не только прямоугольной, но и равнобедренной, то ее катеты равны, а углы напротив них составляют по 45 °. При этом любой из катетов всегда в 2 0,5 раза меньше гипотенузы:
sin (45 °) = a/c = ½ 0,5.
Это соотношение можно получить также из теоремы Пифагора.
Другая ситуация, когда один из острых углов равен 30 °. Для лежащего напротив него катета a можно записать следующее выражение:
sin (30 °) = ½ = a/c.
Иными словами, лежащий против 30 ° катет составляет ровно половину длины гипотенузы.
Геометрия
Теорема о сумме углов треугольника
В этой главе мы снова обращаемся к треугольникам и будем обсуждать различные их свойства, при этом большое внимание уделим прямоугольным треугольникам, т. е
таким треугольникам, у которых один угол прямой. Некоторые свойства прямоугольных треугольников находят практическое применение, например, в конструкциях уголковых отражателей, которые широко используются в различных устройствах — от велосипедов до космических аппаратов. Об этом также будет рассказано в данной главе.
Докажем одну из важнейших теорем геометрии — теорему о сумме углов треугольника.
Теорема
| Сумма углов треугольника равна 180°. |
Доказательство
Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что
∠A+∠B+∠C= 180°.
Проведём через вершину В прямую а, параллельную стороне АС (рис. 125, а). Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых а и АС секущей АВ, а углы 3 и 5 — накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому
∠4 = ∠1, ∠5 = ∠3. (1)
Рис. 125
Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна развёрнутому углу с вершиной В, т. е. ∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°. Отсюда, учитывая равенства (1), получаем: ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°, или ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Теорема доказана.
Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника. Докажем, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
Обратимся к рисунку 125, б, на котором угол 4 — внешний угол, смежный с углом 3 данного треугольника. Так как ∠4 + ∠3 = 180°, а по теореме о сумме углов треугольника (∠1+ ∠2) + ∠3 = 180°, то ∠4 = ∠1 + ∠2, что и требовалось доказать.
Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники
Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что если в треугольнике один из углов прямой или тупой, то сумма двух других углов не превосходит 90°, и поэтому каждый из них острый. Таким образом, в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.
Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным (рис. 126, а). Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным (рис. 126, б). Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами. На рисунке 126, в изображён прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С.
Рис. 126
Задачи
223. Найдите угол С треугольника АВС, если:
a) ∠A = 65°, ∠B = 57°; б) ∠A = 24°, ∠B = 130°; в) ∠A = α, ∠B = 2α;
г) ∠A = 60° + α, ∠B = 60° — α.
224. Найдите углы треугольника АВС, если ∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 4.
225. Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.
226. Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника острые.
227. Найдите углы равнобедренного треугольника, если: а) угол при основании в два раза больше угла, противолежащего основанию; б) угол при основании в три раза меньше внешнего угла, смежного с ним.
228. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен: а) 40°; б) 60°; в) 100°.
229. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите ∠ADC, если ∠C = 50°.
230. Биссектрисы углов А и В треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите ∠AMB, если ∠A = 58°, ∠B = 96°.
231. Медиана AM треугольника АВС равна половине стороны ВС. Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.
232. Верно ли утверждение: если треугольник равнобедренный, то один из его внешних углов в два раза больше угла треугольника, не смежного с этим внешним углом?
233. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.
234. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115°. Найдите углы треугольника.
235 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите углы этого треугольника, если ∠ADB = 110°.
Ответы к задачам
223. а) 58°; б) 26°; в) 180° — 3α; г) 60°.
224. ∠A = 40°, ∠B = 60°, ∠C = 80°.
227. a) 36°, 72° и 72°; б) 45°, 45° и 90°.
228. a) 40°, 40° и 100° или 40°, 70° и 70°; б) 60°, 60° и 60°; в) 100°, 40° и 40°.
229. 105°.
230. 103°.
231. Указание. Воспользоваться свойством углов при основании равнобедренного треугольника.
232. Да.
233. Указание. Учесть, что внешний угол при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, в два раза больше угла при основании.
234. 57°30′, 57°30′, 65° или 65°, 65°, 50°.
235. 73°20′, 73°20′ и 33°20′.