Егэ по математике: решение задач по стереометрии с призмой и пирамидой

Правильные и неправильные фигуры

Мы выяснили, что такое основание фигуры. Тем не менее, до того как начать обсуждение формулы площади основания пирамиды, следует дать определение правильных и неправильных фигур этого класса.

Каждый школьник знает, что любой плоский многоугольник имеет геометрический центр. Если многоугольник изготовить из однородного материала, то геометрический центр совпадет с центром масс. Например, геометрический центр прямоугольника — это точка, где его диагонали пересекаются, для треугольника он находится в точке пересечения медиан. Концепция геометрического центра связана с понятиями правильной и неправильной пирамиды.

Выше было упомянуто о вершине пирамиды. Она соответствует точке, где пересекаются все треугольные боковые грани фигуры. Если из вершины опустить перпендикуляр к основанию, то длина полученного отрезка будет соответствовать расстоянию от вершины до основания. Этот отрезок называется высотой фигуры.

Если высота пересекает многоугольник в его геометрическом центре, то пирамида называется прямой. Если основанием прямой пирамиды будет многоугольник, имеющий стороны одинаковой длины и равные между собой углы, то пирамида называется правильной. Соответственно, если какое-либо из названных условий не выполняется, то говорят о неправильной пирамиде.

Согласно описанной классификации, пирамида Хеопса является правильной четырехугольной, имеющей в основании квадрат.

Связь пирамиды с цилиндром

Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одном основании цилиндра, а основание пирамиды вписано в другое основание цилиндра. Цилиндр можно описать вокруг пирамиды, если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.
Определение: Усеченная пирамида (пирамидальная призма) – это многогранник, который расположен между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной основанию. Таким образом, пирамида имеет большое основание и меньшее основание, подобное большему. Боковые грани — трапеции.
Определение Треугольная пирамида (тетраэдр) – это пирамида, у которой три грани и основание представляют собой произвольные треугольники. Тетраэдр имеет четыре грани, четыре вершины и шесть ребер, причем два ребра не имеют общих вершин, но не касаются друг друга. Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, образующих трехгранный угол. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центром противоположной грани, называется медианой тетраэдра (GM) Бимедиана – это отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, не соприкасающихся (KL) Все бимедианы и медианы тетраэдра пересекаются в одной точке (S). В этом случае бимедианы делятся пополам, а медианы в соотношении 3:1 сверху.
Определение Наклонная пирамида — это пирамида, одна из граней которой образует тупой угол (β) с основанием.
Определение Прямоугольной пирамидой называется пирамида, у которой одна из боковых граней перпендикулярна основанию. Определение Остроугольной пирамидой называется пирамида, у которой апофема составляет более половины длины стороны основания. Определение.

Тупой пирамидой называется пирамида, у которой апофема меньше половины длины стороны основания Определение Правильный тетраэдр — это тетраэдр, все четыре грани которого представляют собой равносторонние треугольники. Это один из пяти правильных многоугольников. В правильном тетраэдре все двугранные углы (между гранями) и трехгранные углы (при вершине) равны.

Определение Прямоугольный тетраэдр — это тетраэдр с прямым углом между тремя ребрами в вершине (ребра перпендикулярны). Три грани образуют прямоугольный трехгранный угол, причем грани — прямоугольные треугольники, а основание — произвольный треугольник. Апофема любой грани равна половине стороны основания, на которое падает апофема. Определение Равногранным тетраэдром называется тетраэдр, боковые грани которого равны между собой, а основание представляет собой правильный треугольник. В таком тетраэдре грани равнобедренные треугольники Определение Ортоцентрическим тетраэдром называется тетраэдр, у которого все высоты (перпендикуляры), опущенные от вершины к противоположной грани, пересекаются в одной точке Определение Звездчатой пирамидой называется многогранник, основание которого равно звезда.
Определение Бипирамида – это многогранник, состоящий из двух различных пирамид (пирамиды также могут быть отсечены), имеющих общее основание, а вершины находятся по разные стороны от плоскости основания.

Как определить площадь сечения цилиндра, конуса, призмы и пирамиды? Формулы

На практике часто возникают задачи, которые требуют умения строить сечения геометрических фигур различной формы и находить площади сечений. В данной статье рассмотрим, как строятся важные сечения призмы, пирамиды, конуса и цилиндра, и как рассчитывать их площади.

Объемные фигуры

Из стереометрии известно, что объемная фигура совершенно любого типа ограничена рядом поверхностей. Например, для таких многогранников, как призма и пирамида, этими поверхностями являются многоугольные стороны. Для цилиндра и конуса речь идет уже о поверхностях вращения цилиндрической и конической фигур.

Вам будет интересно: Что значит слыть: толкование, синонимы

Если взять плоскость и пересечь ею произвольным образом поверхность объемной фигуры, то мы получим сечение. Площадь его равна площади части плоскости, которая будет находиться внутри объема фигуры. Минимальное значение этой площади равно нулю, что реализуется, когда плоскость касается фигуры. Например, сечение, которое образовано единственной точкой, получается, если плоскость проходит через вершину пирамиды или конуса. Максимальное значение площади сечения зависит от взаимного расположения фигуры и плоскости, а также от формы и размеров фигуры.

Ниже рассмотрим, как рассчитывать площади образованных сечений для двух фигур вращения (цилиндр и конус) и двух полиэдров (пирамида и призма).

Цилиндр

Круговой цилиндр является фигурой вращения прямоугольника вокруг любой из его сторон. Цилиндр характеризуется двумя линейными параметрами: радиусом основания r и высотой h. Ниже схематически показано, как выглядит круговой прямой цилиндр.

Для этой фигуры существует три важных типа сечения:

круглое;
прямоугольное;
эллиптическое.

Эллиптическое образуется в результате пересечения плоскостью боковой поверхности фигуры под некоторым углом к ее основанию. Круглое является результатом пересечения секущей плоскости боковой поверхности параллельно основанию цилиндра. Наконец, прямоугольное получается, если секущая плоскость будет параллельна оси цилиндра.

Площадь круглого сечения рассчитывается по формуле:

Площадь осевого сечения, то есть прямоугольного, которое проходит через ось цилиндра, определяется так:

Сечения конуса

Конусом является фигура вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Конус имеет одну вершину и круглое основание. Его параметрами также являются радиус r и высота h. Пример конуса, сделанного из бумаги, показан ниже.

Видов конических сечений существует несколько. Перечислим их:

круглое;
эллиптическое;
параболическое;
гиперболическое;
треугольное.

Они сменяют друг друга, если увеличивать угол наклона секущей плоскости относительно круглого основания. Проще всего записать формулы площади сечения круглого и треугольного.

Круглое сечение образуется в результате пересечения конической поверхности плоскостью, которая параллельна основанию. Для его площади справедлива следующая формула:

Примеры решения задач

Задача 1

Дана правильная треугольная пирамида. Сторона основания пирамиды равна 2. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение: пирамида правильная и треугольная, значит, основание равнобедренный треугольник. Тогда площадь основания пирамиды находится по формуле: Затем мы получаем страницу

Отвечать:

Задача 2

Строитель решил построить здание в виде правильной шестиугольной пирамиды, для основания пирамиды у него есть доски, каждая площадью 0,5 м2. Сколько досок ему понадобится, если сторона основания пирамиды равна 6 м?

Решение:

Вычислите площадь основания правильной шестиугольной пирамиды. Для этого используем формулу: Заменяем в ней значение страницы. Мы получаем:
м2.

Теперь посчитаем, сколько досок нам понадобится:
.

Ответ: 108 досок.

Задача 3

Основание пирамиды представляет собой прямоугольный равнобедренный треугольник, катет которого равен 4. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение: Другими словами, нас просят определить площадь прямоугольного равнобедренного треугольника. Так как треугольник прямоугольный и равнобедренный, то одна сторона будет основанием треугольника, а другая высотой. Определяем площадь по формуле:.

Ответ: 8

Площадь усеченной пирамиды

Усеченная пирамида – это многогранник, образованный пирамидой и ее сечением, параллельным основанию.
Формула площади боковой поверхности усеченной пирамиды очень проста. Площадь равна произведению половины суммы периметров оснований и апофемы:

Рассмотрим пример вычисления площади боковой поверхности усеченной пирамиды.

Дана правильная квадратная пирамида. Длина основания b = 5 см, c = 3 см. Апофема а = 4 см. Найдите площадь боковой поверхности фигуры.
Сначала найдите периметр оснований. В большей базе это будет равно:
В меньшей базе:
Рассчитаем площадь:

Таким образом, используя простые формулы, мы нашли площадь усеченной пирамиды.

Свойства правильной пирамиды

1. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.2. Все боковые ребра равны.3. Все боковые ребра наклонены под одинаковым углом к основанию.4. Апотемы всех боковых поверхностей равны.5. Площади всех боковых поверхностей равны.6. Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские) углы.7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описываемой сферы будет точка пересечения перпендикуляров, проходящих через середины ребер.8. Сферу можно вписать в пирамиду. Центром вписанной сферы будет пересечение биссектрис, исходящих из угла между краем и основанием.9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π, или, наоборот, угол равен π/n, где n — число углов при основании пирамида.

Свойства пирамиды

Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, причем центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, падающий сверху, проходит через центр основания (окружности). Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами. Боковые грани равны, если они образуют равные углы с плоскостью основания или если можно описать окружность вокруг основания пирамиды Если боковые грани наклонены к плоскости основания под углом, то в основание можно вписать окружность пирамиды, а вершина пирамиды проецируется в середину.Если боковые поверхности наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых поверхностей равны.

Боковая поверхность пирамиды через периметр и апофему

Боковая поверхность правильной пирамиды в этом случае определяется по формуле:

$S_b = frac12 cdot P cdot c$, где

$P$ — периметр основания пирамиды;

$c$ — это апофема пирамиды.

В этом случае периметр правильного многоугольника можно определить по формуле:

$P = a cdot n$, где

$a$ — длина стороны многоугольника;

$n$ — количество страниц.

Вычислим боковую поверхность через апофему и периметр на примере четырехугольной пирамиды.

Пример 2

Задача

Дана правильная пирамида с квадратом в основании, сторона которого равна $5$ см. Апофема пирамиды составляет $9$ см. Вычислите площадь боковой поверхности.

Решение:

Вычислите периметр основания. Для квадрата периметр равен стороне, умноженной на 4:

$P_{main} = 4 cdot a^2 = 20$ см

Теперь рассчитаем площадь боковой поверхности:

$S_b = frac12 cdot 20 cdot 9 = $90 кв.см.

Примеры задач с решением

Задача

Дано

Правильный тетраэдр MABC с вершиной М. Высота основания AK=3 см.

∠MAB=∠MAC=∠MBA=∠MBC=∠MAB=∠MCA=∠MCB=45°. Необходимо вычислить площадь пирамиды MABC.

Решение

В основании правильного тетраэдра лежит равносторонний треугольник с известной длиной высоты. Применим свойство правильного треугольника, состоящее в следующем:

$h=\frac{\sqrt3}2a$

Преобразуем данное выражение так, чтобы вывести формулу стороны a:

$a=\frac h{\frac{\sqrt3}2}$

Теперь найдем a:

$a=\frac3{\frac{\sqrt3}2}=\frac{3\times2}{\sqrt3}=\frac6{\sqrt3}$

Подставим полученное выражение в формулу нахождения площади основания правильного многогранника с тремя боковыми гранями:

$S_{осн}=\frac{\sqrt3}4\times\left(\frac6{\sqrt3}\right)^2=\frac{\sqrt3}4\times\frac{6^2}{\sqrt3^2}=\frac{36\sqrt3}{4\times3}=3\sqrt3$

Далее необходимо найти площадь боковых граней тетраэдра. Для этого произведем вычисление высоты MK. Так как угол между гранью и основанием пирамиды равен 45°, то ∠OKM=45°, следовательно:

$\frac{OK}{MK}=\cos\left(45^\circ\right)=\frac{\sqrt2}2$

По свойству правильного треугольника, отрезок OK равен радиусу вписанной в ΔABC окружности.

Найдем ее по соответствующей формуле:

$OK=r=\frac{\sqrt3}6a=\frac{\sqrt3}6\times\frac6{\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{6\sqrt3}=1$

Подставим найденную величину в отношение ОК к МК:

$\frac{OK}{MK}=\frac{\sqrt2}2$

$\frac1{MK}=\frac{\sqrt2}2$

Из данной пропорции выведем выражение, по которому можно определить длину высоты MK:

$MK=\frac2{\sqrt2}$

Теперь, когда известны основание и высота равнобедренного треугольника, составляющего боковую грань пирамиды MABC, подставим значения в классическую формулу нахождения площади треугольника:

$S_{бок}=\frac12ah=\frac12\times\frac6{\sqrt3}\times\frac2{\sqrt2}=\frac{1\times6\times2}{2\times\sqrt3\times\sqrt2}=\frac{12}{2\sqrt6}=\frac6{\sqrt6}$

Суммируем площадь основания и боковых граней пирамиды:

$S_{MABC}=3\sqrt3+3\times6\sqrt6=3\sqrt3+18\sqrt6$