Параллелепипед

Наклонный параллелепипед: свойства, формулы и задачи репетитора по математике

Параллелепипедом называется четырехугольная призма, в основаниях которой лежат параллелограммы. Высотой параллелепипеда называют расстояние между плоскостями его основаниями. На рисунке высота показана отрезком . Различают два вида параллелепипедов: прямой и наклонный. Как правило, репетитор по математике сначала дает соответствующие определения для призмы, а затем переносит их на параллелепипед. Мы сделаем также.

Напомню, что призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям, если перпендикулярности нет – призму называют наклонной. Эту терминологию наследует и параллелепипед. Прямой параллелепипед – ни что иное, как разновидность прямой призмы, боковое ребро которой совпадает с высотой. Сохраняются определения таких понятий, как грань, ребро и вершина, являющиеся общими для всего семейства многогранников. Появляются понятие противоположные грани. У параллелепипеда 3 пары противоположных граней, 8 вершин ти 12 ребер.

Свойства наклонного параллелепипеда:

1) Все его грани – параллелограммы, а противоположные грани — равные параллелограммы.
3) Каждый параллелепипед состоит из шести равных по объему треугольных пирамид. Чтобы показать их ученику репетитор по математике должен отрезать от параллелепепеда половинку его диагональным сечением и разбить ее отдельно на 3 пирамиды. Их основания должны лежать в разных гранях исходного паралеллепипеда. Репетитор математики найдет применение этого свойства в аналитической геометрии. Оно используется для вывода объема пирамиды через смешанное произведение векторов.

Формулы объема параллелепипеда:
1) , где — площадь основания, h – высота.
2) Объем параллелепипеда равен произведению площади поперечного сечения на боковое ребро .Репетитору по математике: Как известно, формула является общей для всех призм и если репетитор уже доказал ее, нет смысла повторять тоже самое для параллелепипеда. Однако в работе со учеником среднего уровня (слабому формула не пригодиться) преподавателю желательно действовать с точностью до наоборот. Призму оставить в покое, а для параллелепипеда провести аккуратное доказательство.
3) , где –объем одной из шести треугольных пирамиды из которых состоит параллелепипед.
4) Если , то

Площадью боковой поверхности параллелепипеда называется сумма площадей всех его граней:
Полная поверхность параллелепипеда – это сумма площадей всех его граней, то есть площадь + две площади основания: .

О работе репетитора с наклонным параллелепипедом:
Задачами на наклонный параллелепипед репетитор по математике занимается не часто. Вероятность их появления на ЕГЭ достаточно мала, а дидактика неприлично бедная.

Более-менее приличная задача на объем наклонного параллелепипеда вызывает серьезные проблемы, связанные с пределением расположения точки Н — основания его высоты.

В этом случае репетитору по математике можно посоветовать обрезать параллелепипед до одной из шести его пирамид (о которых идет речь в свойстве №3), попробовать найти ее объем и умножить его на 6.

Задачи репетитора по математике:
1) Грани параллелепипеда равные роибы со стороной 2см и острым углом . Найти объем параллелепипеда.
2) В наклонном параллелепипеде боковое ребро равно 5см. Сечение, перпендикулярное ему, является четырехугольником со взаимно перпендикулярными диагоналями, имеющими длины 6см и 8 см. Вычислить объем паралеллепипеда.

3) В наклонном параллелепипеде известно, что , а в онованием ABCD является ромб со стороной 2см и уголом . Определите объем параллелепипеда.

Репетитор по математике, Александр Колпаков

Общая характеристика

В мире имеется множество предметов с формой параллелепипеда. Люди обычно не задумываются об этом, но архитектура и различные массивные строения состоят из нескольких граней. Выглядеть параллелепипед может по-разному в зависимости от типа.

Основные понятия и классификация

Определение параллелепипеда, пирамиды, куба и других многогранников было известно с древнейших времен. Основными характеристиками являются простота и значимость.

Выведенные формулы V и S значимы для решения различных задач с практическим содержанием и доказательства теорем (по чертежам). Виды параллелепипеда:

1. Прямой. Четыре боковые грани имеют углы по 90 градусов.
2. Прямоугольный. Каждая сторона фигуры является прямоугольной.
3. Наклонный.
4. Двугранный, трехгранный. Состоит из нескольких граней под углом 90 градусов.
5. Наклонный, диагональный. Боковые грани не перпендикулярны основаниям.
6. Ромбоэдр. Стороны являются одинаковыми ромбами.
7. Куб. Параллелепипед с равными (квадратными) сторонами.

Две стороны параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а содержащие единую линию — смежными. С точки зрения плоскостей, расположенных параллельно, внутри пересекаются три их пары. Эти вершины соединяет отрезок — диагональ. Длина трех ребер правильного многогранника называется измерением. Главным условием является общая вершина.

При решении задач важно понятие высоты — перпендикуляра, опущенного из любой вершины на обратную сторону. Грань, на которую опускается высота, считается основанием

Свойства параллелепипеда:

• любые стороны являются параллелограммами (с симметрией);
• стороны, расположенные друг против друга, будут параллельными и равными.

Кирпич — отличный пример прямоугольного параллелепипеда (ПП). Также его форму имеют девятиэтажные панельные дома, шифоньеры, шкафы-купе, контейнеры для хранения продуктов и прочие предметы быта.

Грани параллелепипеда спереди и сзади равнозначны, также как верхняя и нижняя стороны, но не равны, поскольку не противоположные, а смежные.

Формулы и анализ

Для ПП верно мнение, что его объем равен величине тройного произведения векторов трех сторон, исходящих из единой вершины. Формулы для ПП:

1. V=a*b*c.
2. S б =2*c*(a+b).
3. S п =2*(a*b+b*c+a*c).

Особым случаем параллелепипеда, в котором все стороны квадраты, является куб. Если любую из сторон обозначить буквой a, то для поверхности и объема используются формулы: S=6*a*2, V=3*а. В них V — объем фигуры, a — длина грани.

Последняя разновидность параллелепипеда — прямой тип. Его основанием будет параллелограмм, а основанием ПП — прямоугольник. Формулы, используемые в математике и геометрии: Sб=Ро*h, Sп=Sб+2Sо, V=Sо*h.

Диагональ ПП равна сложению квадратов его измерений: d2 = a2 + b2 + c2. Эта формула получается из теоремы Пифагора.

∆BAD — прямоугольный, поэтому BD2 = AB2 + AD2 = b2 + c2.

∆BDD1 является прямоугольным, значит, BD12 = BD2 + DD12. Нужно подставить значение: d2 = a2 + b2 + c2.

Стандартная формула: V= Sосн*h. Расшифровка обозначений: V — объем параллелепипеда, Sосн — площадь основания, h — высота.

S находится так же, как показатель параллелограмма или прямоугольника. При решении тестов и экзаменационных задач легче вычислять показатели призмы, в основе которой находится прямой угол. Также может пригодиться формула расчета стороны параллелепипеда Sбок = P*h, где:

• Sбок — площадь параллелепипеда;
• Р — периметр;
• h — высота, перпендикулярная основанию.

Параллелепипед

Параллелепипед — тело строгих геометрических форм, противоположные грани которого находятся в параллельных плоскостях. Все плоскости, или грани, включая основание, параллелограммы. Научно определение параллелепипеда — призма, основанием которой служит параллелограмм. Часто ученики затрудняются ответить, чем отличается параллелограмм от параллелепипеда. Отличие в том, что параллелограмм — фигура плоская, двухмерная, а параллелепипед — объемное геометрическое тело, протяженное в трех измерениях, имеющее ширину, высоту и длину. Как выглядит параллелепипед, посмотрите на рисунке:

Виды параллелепипеда

Параллелепипед — многогранник. Его ограничивают шесть плоскостей, два основания, и четыре боковые грани. Линии, по которым соединяются грани, называются ребрами, а точки, в которых сходятся три ребра — вершинами. У фигуры 8 вершин.

Если грани имеют общее ребро, то их называют смежными, а те, у которых такого ребра нет — противоположными. Это же касается и вершин, если они не лежат на одной грани, то их тоже называют противоположными. Высота, ширина и длина прямоугольного параллелепипеда называются измерениями, они выходят из одной вершины. Если фигура не прямоугольная, то измерения и ребра не совпадают.

При построении параллелепипеда на рисунке можно провести ряд дополнительных линий, которые помогают при вычислении объема, площади поверхности, неизвестных длин и других параметров. Если линии проходят через противоположные вершины, то их называют диагоналями. У параллелепипеда их насчитывается четыре.

В геометрии выделяют несколько типов параллелепипедов, которые отличаются некоторыми свойствами:

• Прямой — фигура, у которой боковые грани являются прямоугольниками;
• Прямоугольный — все грани прямоугольники, не только боковые, но и основания. Объемный прямоугольник — это т есть такой параллелепипед.
• Наклонный — боковые грани находятся по отношению к основанию под углами, отличными от 90 0 ;
• Ромбоэдр — все грани представляют собой равные ромбы;
• Куб — все грани квадратны.

Свойства параллелепипеда

Для всех типов параллелепипедов можно выделить общие свойства, характеризующие фигуру. Таких свойств немного, запомнить их не сложно:

• Диагонали параллелепипеда в точке пересечения делятся пополам;
• Параллелепипед симметричен относительно точки пересечения диагоналей;
• Любой отрезок, соединяющий две точки на гранях параллелепипеда и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится пополам;
• Противоположные грани равны и параллельны (вытекает из определения);
• Сумма квадратов измерений равна квадрату диагонали.

Твердо запомнив эти свойства несложно решить большинство задач школьной геометрии.

Основные формулы параллелепипеда

Кроме свойств этой фигуры нужно запомнить ряд несложных формул. Конечно, в процессе решения задачи можно вывести эти выражения самостоятельно. Но часто на это нет времени, лучше воспользоваться готовыми шаблонами.

Формула площади боковой поверхности прямого параллелепипеда — одна из самых простых. S_б=Р_о∙h. В этой формуле только три величины, но одна из них составная:

H – высота параллелепипеда;

Р – периметр, АВ+ВС+АD+ CD.

Воспользоваться такой формулой можно только в том случае, если известны длины сторон основы и высота.

Площадь полной поверхности параллелепипеда определяется по формуле S_п=S_б+2S_о.

Как найти площадь боковой поверхности мы знаем из предыдущего пункта, а площадь S_о рассчитывается в зависимости от вида четырехугольника, лежащего в основании.

Объем прямого параллелепипеда тоже найти несложно, для этого достаточно умножить площадь основания на высоту. Объём V=S_о∙h

Формулы для прямоугольного параллелепипеда тоже не отличаются сложностью:

S_б=2c(a+b) в этой формуле а и b – стороны основания, с – высота, равна длине бокового ребра.

Площадь полной поверхности равна S_п=2(ab+bc+ac);

Объем V=abc, то есть, произведение всех трех измерений.

Когда же приходится вычислять площади и объем произвольного параллелепипеда, то показанные формулы не всегда срабатывают. Необходимо использовать законы векторной геометрии. При вычислении объема параллелепипеда через длину диагонали, необходимо использовать проекции на разные оси. Видимая простота формул — это только основа для сложной работы, требующей пространственного воображения и смекалки.

Примеры использования параллелепипеда в реальной жизни

Параллелепипед является одной из основных геометрических форм и широко используется в различных областях жизни. Вот несколько примеров его использования:

1. Строительство: Параллелепипеды используются в строительстве для создания стен, фундаментов и других конструкций. Например, кирпичи или блоки, используемые для возведения стен здания, имеют форму параллелепипеда.

2. Упаковка и транспортировка: Множество товаров упаковываются в прямоугольные параллелепипеды. Это позволяет эффективно использовать пространство и обеспечивает удобство при транспортировке. Примерами могут быть коробки для продуктов, книг и электроники.

3. Мебель: Параллелепипеды используются в производстве мебели. Например, множество шкафов, комодов, столов и стульев имеют форму параллелепипеда.

4. Архитектурное проектирование: Параллелепипеды часто используются архитекторами при создании 3D-моделей зданий. Они позволяют визуализировать и анализировать форму и пространство зданий.

5. Учебные иллюстрации: Параллелепипеды широко применяются в учебниках и учебных материалах для иллюстрации геометрических концепций и примеров задач.

Это лишь несколько примеров использования параллелепипеда в реальной жизни. Его геометрические свойства делают его универсальной фигурой, которая находит применение во многих областях нашей повседневной жизни.

Свойства параллелепипеда

1. Противоположные грани параллелепипеда взаимно параллельны и являются равными параллелограммами.

2. Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и в ней делятся пополам.

3. Квадрат диагонали (d) прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: длины (a), ширины (b) и высоты (c).

D 2 = a 2 + b 2 + c 2

Примечание: к параллелепипеду, также, применимы свойства призмы.

Публикации по теме:

• Нахождение площади круга: формула и примеры Нахождение площади ромба: формула и примеры Нахождение площади трапеции: формула и примеры Нахождение площади параллелограмма: формула и примеры Нахождение периметра треугольника: формула и задачи Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи Нахождение периметра ромба: формула и задачи Нахождение периметра трапеции: формула и задачи Теорема синусов для треугольника: формула и задачи Теорема о сумме углов треугольника: формула и задачи Нахождение объема цилиндра: формула и задачи Нахождение объема куба: формула и задачи Нахождение объема шара: формула и задачи Нахождение объема пирамиды: формула и задачи Нахождение объема параллелепипеда: формула и задачи Нахождение радиуса шара: формула и примеры Нахождение площади прямоугольного параллелепипеда: формула и пример Формула Герона для треугольника Теорема Менелая: формулировка и пример с решением Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи Свойства прямоугольного треугольника Свойства равнобедренного треугольника: теория и задача Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи Определение и свойства медианы равностороннего треугольника Определение и свойства биссектрисы угла треугольника Свойства биссектрисы равнобедренного треугольника Определение и свойства высоты треугольника Формулы для нахождения высоты треугольника Свойства высоты равнобедренного треугольника Свойства высоты прямоугольного треугольника Нахождение радиуса описанной вокруг квадрата окружности Что такое ромб: определение, свойства, признаки Нахождение радиуса вписанной в ромб окружности Что такое окружность: определение, свойства, формулы Нахождение площади сегмента круга Что такое параллелограмм: определение, свойства, признаки Что такое трапеция: определение, виды, свойства Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции Что такое средняя линия треугольника Что такое куб: определение, свойства, формулы Что такое шар (сфера): определение, свойства, формулы Нахождение площади шарового сегмента Нахождение объема шарового слоя Что такое конус: определение, элементы, виды Основные свойства конуса Что такое усеченный конус: определение, основные элементы Основные свойства пирамиды Что такое правильная пирамида: определение, виды, свойства Пирамида с перпендикулярным плоскости основания боковым ребром Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

L=4⋅(a+b+c)

Что такое параллелепипед: определение, элементы, виды, свойства

В данной публикации мы рассмотрим определение, элементы, виды и основные свойства параллелепипеда, в т. ч. прямоугольного. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.

скрыть

• Определение параллелепипеда Виды параллелепипедов Свойства параллелепипеда

Формулы объема параллелепипеда:
1) \cdot h» />, где » />— площадь основания, h – высота.
2) Объем параллелепипеда равен произведению площади поперечного сечения на боковое ребро \cdot b» />. Репетитору по математике: Как известно, формула является общей для всех призм и если репетитор уже доказал ее, нет смысла повторять тоже самое для параллелепипеда. Однако в работе со учеником среднего уровня (слабому формула не пригодиться) преподавателю желательно действовать с точностью до наоборот. Призму оставить в покое, а для параллелепипеда провести аккуратное доказательство.
3) > » />, где > » />–объем одной из шести треугольных пирамиды из которых состоит параллелепипед.
4) Если (x_1;y_1;z_1), \overrightarrow(x_2;y_2;z_2), \overrightarrow(x_3;y_3;z_3)» />, то

Свойства параллелепипеда

Наклонный параллелепипед свойства, формулы и задачи репетитора по математике.

21.09.2019 0:10:33

2019-09-21 00:10:33

Любые данныеЛюбые данные Любые данные

Объем параллелепипеда

Формула, которая дает нам объем параллелепипеда, представляет собой произведение площади одной из его граней на высоту, соответствующую упомянутой грани..

V = A_Счас_С

В зависимости от типа параллелепипеда указанная формула может быть упрощена.

Таким образом, мы имеем, например, что объем ортоэдра будет

V = abc.

Где a, b и c обозначают длину ребер ортоэдра.

И в частном случае куба

V =3

Пример 1

Существует три разных модели коробок печенья, и вы хотите знать, в какой из этих моделей вы можете хранить больше печенья, то есть какая из коробок имеет наибольший объем.

Первый — это куб, край которого имеет длину а = 10 см.

Его объем будет V = 1000 см.3

Второй имеет ребра b = 17 см, c = 5 см, d = 9 см.

И поэтому его объем составляет V = 765 см.3

А третий имеет е = 9 см, f = 9 см и g = 13 см.

И его объем составляет V = 1053 см.3

Поэтому ящик с наибольшим объемом является третьим.

Еще один способ получения объема параллелепипеда — прибегнуть к векторной алгебре. В частности, тройное скалярное произведение.

Одной из геометрических интерпретаций, имеющих тройное скалярное произведение, является объем параллелепипеда, ребра которого представляют собой три вектора, которые имеют одну и ту же вершину в качестве начальной точки..

Таким образом, если у нас есть параллелепипед и мы хотим знать его объем, достаточно представить его в системе координат в R3 сопоставление одной из его вершин с началом координат.

Затем мы представляем ребра, совпадающие в начале координат с векторами, как показано на рисунке..

И таким образом, мы имеем, что объем указанного параллелепипеда определяется как

V = | AxB ∙ C |

Или, что эквивалентно, объем является детерминантом матрицы 3 × 3, образованной компонентами краевых векторов.

Пример 2

Представляя следующий параллелепипед в R3 мы можем видеть, что векторы, которые определяют это следующие

u = (-1, -3.0), v = (5, 0, 0) и w = (-0.25, -4, 4)

Используя тройное скалярное произведение, мы имеем

V = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1, -3.0) x (5, 0, 0) = (0,0, — 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, — 15) ∙ (-0,25, -4,4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = — 60

Из этого мы заключаем, что V = 60

Теперь рассмотрим следующий параллелепипед в R3, ребра которого определяются векторами

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) и C = (3, 4, 4)

Использование определителей дает нам, что

Таким образом, мы имеем, что объем указанного параллелепипеда составляет 112.

Оба являются эквивалентными способами расчета объема.

Идеальный параллелепипед

Он известен как кирпич Эйлера (или блок Эйлера) для ортоэдра, который выполняет свойство, состоящее в том, что длина его ребер и длина диагоналей каждой из его граней являются целыми числами..

Хотя Эйлер был не первым ученым, изучавшим ортоэдры, которые встречают это свойство, он нашел интересные результаты о них.

Меньший кирпич Эйлера был открыт Полом Холке, а длина его ребер a = 44, b = 117 и c = 240..

Открытая проблема в теории чисел заключается в следующем

Есть ли идеальные ортоэдры?

В настоящее время на этот вопрос не может быть ответа, так как не было возможности доказать, что эти тела не существуют, но ни один не был найден.

До сих пор было показано, что идеальные параллелепипеды существуют. Первый из обнаруженных имеет длину своих ребер значения 103, 106 и 271.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Рисунок 5

С понятием объема люди встречаются в повседневной жизни ежедневно. Мы наливаем воду в чайник, в ванну, другие жидкости в разные ёмкости – это всё измеряется в определенных единицах и является объемом. Наши шкафы, холодильники и другие подобные предметы – имеют объемы, так как мы их заполняем определенными вещами. На рисунке 5 показаны предметы, которые мы используем и которые имеют определенный объем.

Рассмотрим объемные геометрические фигуры. Так, например, прямоугольный параллелепипед. Рассмотрим рисунок 6, где показано, что параллелепипед состоит из нескольких одинаковых кубиков. Значит, объем данного параллелепипеда равен сумме объемов его кубиков.

Рисунок 6

За единицу измерения объема выбирают куб, ребро которого равно единичному отрезку. Такой куб называют единичным.

Объем куба с ребром 1 мм называют кубическим миллиметром и записывают 1 мм3; с ребром 1 см – кубическим сантиметром (см3) и так далее. Измерить объем фигуры – значит подсчитать, сколько единичных кубов в ней помещается. Если объем маленького кубика на рисунке 3 принять за единицу, то объем нашего прямоугольного параллелепипеда будет равен 15 кубическим единицам.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, надо перемножить три его измерения – длину, ширину и высоту. То есть V=abc (рисунок 4). Зная, что произведение длины и ширины – это есть площадь основания, получим, что V=(ab)h=Sh, где h – высота прямоугольного параллелепипеда. Таким образом, мы получили еще одну формулу для нахождения объема параллелепипеда.

Рисунок 7

Объем

Параллелепипед, образованный тремя векторами

Параллелепипед можно рассматривать как наклонную призму с параллелограммом в качестве основания. Следовательно, объем параллелепипеда — это произведение площади основания и высоты (см. Диаграмму). С участием
V{\ displaystyle V}B{\ displaystyle B}час{\ displaystyle h}

Bзнак равно|а→|⋅|б→|⋅грех⁡γзнак равно|а→×б→| {\ displaystyle B = | {\ vec {a}} | \ cdot | {\ vec {b}} | \ cdot \ sin \ gamma = | {\ vec {a}} \ times {\ vec {b}} | ~}(где — угол между векторами и ), иγ{\ displaystyle \ gamma}а→{\ displaystyle {\ vec {a}}}б→{\ displaystyle {\ vec {b}}}

часзнак равно|c→|⋅|потому что⁡θ | {\ displaystyle h = | {\ vec {c}} | \ cdot | \ cos \ theta ~ | ~}(где угол между вектором и нормалью к основанию), получаем:θ{\ displaystyle \ theta}c→{\ displaystyle {\ vec {c}}}

Vзнак равноB⋅часзнак равно(|а→||б→|грех⁡γ)⋅|c→||потому что⁡θ |знак равно|а→×б→| |c→| |потому что⁡θ |знак равно|(а→×б→)⋅c→| .{\ displaystyle V = B \ cdot h = (| {\ vec {a}} || {\ vec {b}} | \ sin \ gamma) \ cdot | {\ vec {c}} || \ cos \ theta ~ | = | {\ vec {a}} \ times {\ vec {b}} | ~ | {\ vec {c}} | ~ | \ cos \ theta ~ | = | ({\ vec {a}} \ раз {\ vec {b}}) \ cdot {\ vec {c}} | ~.}

Смешанное произведение трех векторов называется тройным произведением . Это можно описать определителем . Следовательно, объем равен:
а→знак равно(а1,а2,а3)Т, б→знак равно(б1,б2,б3)Т, c→знак равно(c1,c2,c3)Т,{\ displaystyle {\ vec {a}} = (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}) ^ {T}, ~ {\ vec {b}} = (b_ {1}, b_ {2 }, b_ {3}) ^ {T}, ~ {\ vec {c}} = (c_ {1}, c_ {2}, c_ {3}) ^ {T},}

(V1) .Vзнак равно|Detа1б1c1а2б2c2а3б3c3|{\ displaystyle \ quad V = \ left | \ det {\ begin {bmatrix} a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} \\ a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} \\ a_ {3} & b_ {3} & c_ {3} \ end {bmatrix}} \; \ right |}

Альтернативное представление объема использует только геометрические свойства (углы и длины кромок):

(V2) ,Vзнак равноабc1+2потому что⁡(α)потому что⁡(β)потому что⁡(γ)-потому что2⁡(α)-потому что2⁡(β)-потому что2⁡(γ){\ displaystyle \ quad V = abc {\ sqrt {1 + 2 \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) \ cos (\ gamma) — \ cos ^ {2} (\ alpha) — \ cos ^ {2 } (\ beta) — \ cos ^ {2} (\ gamma)}}}

где и — длины ребер.
 αзнак равно∠(б→,c→),βзнак равно∠(а→,c→),γзнак равно∠(а→,б→), {\ displaystyle \ \ alpha = \ angle ({\ vec {b}}, {\ vec {c}}), \; \ beta = \ angle ({\ vec {a}}, {\ vec {c}} ), \; \ gamma = \ angle ({\ vec {a}}, {\ vec {b}}), \}а,б,c{\ displaystyle a, b, c}

Доказательство (V2)

Доказательство (V2) использует и :

Позвольте быть 3×3-матрицей, столбцы которой — векторы (см. Выше). Тогда верно следующее:
M{\ displaystyle M}а→,б→,c→{\ displaystyle {\ vec {a}}, {\ vec {b}}, {\ vec {c}}}

V2знак равно(DetM)2знак равноDetMDetMзнак равноDetMТDetMзнак равноDet(MТM){\ Displaystyle V ^ {2} = (\ Det M) ^ {2} = \ Det M \ Det M = \ Det M ^ {T} \ Det M = \ Det (M ^ {T} M)}

знак равноDetа→⋅а→а→⋅б→а→⋅c→б→⋅а→б→⋅б→б→⋅c→c→⋅а→c→⋅б→c→⋅c→знак равно а2б2c2(1+2потому что⁡(α)потому что⁡(β)потому что⁡(γ)-потому что2⁡(α)-потому что2⁡(β)-потому что2⁡(γ)).{\ displaystyle = \ det {\ begin {bmatrix} {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {a}} и {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} и {\ vec { a}} \ cdot {\ vec {c}} \\ {\ vec {b}} \ cdot {\ vec {a}} & {\ vec {b}} \ cdot {\ vec {b}} & {\ vec {b}} \ cdot {\ vec {c}} \\ {\ vec {c}} \ cdot {\ vec {a}} и {\ vec {c}} \ cdot {\ vec {b}} & {\ vec {c}} \ cdot {\ vec {c}} \ end {bmatrix}} = \ a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} \; \ left (1 + 2 \ cos ( \ alpha) \ cos (\ beta) \ cos (\ gamma) — \ cos ^ {2} (\ alpha) — \ cos ^ {2} (\ beta) — \ cos ^ {2} (\ gamma) \ right ).}

(Используется последний шаг )
 а→⋅а→знак равноа2,…,а→⋅б→знак равноабпотому что⁡γ,а→⋅c→знак равноаcпотому что⁡β,б→⋅c→знак равнобcпотому что⁡α,…{\ displaystyle \ {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {a}} = a ^ {2}, …, \; {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} = ab \ cos \ gamma, \; {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {c}} = ac \ cos \ beta, \; {\ vec {b}} \ cdot {\ vec {c}} = bc \ cos \ alpha, …}

Соответствующий тетраэдр

Объем любого тетраэдра, который имеет три сходящихся ребра параллелепипеда, равен одной шестой объема этого параллелепипеда (см. ).