4 теоремы про окружность в ЕГЭ и ОГЭ
Теперь я предлагаю ознакомиться с теоремами, которые появляются в комбинациях различных прямых и отрезков в окружности.
Теорема № 1: теория и задания из ЕГЭ и ОГЭ
Первая теорема про хорду и касательную звучит так:
Угол между касательной и хордой равен половине дуге, которую стягивает хорда.
Подробнее с выведением вы можете ознакомиться на рисунке:
Вот так выводится теорема про хорду и касательную
Однако хочу обратить ваше внимание, что если вы просто запомните формулировку, то многие задачи на окружность в ЕГЭ и ОГЭ покажутся вам супер-простыми и будут решаться в 1 действие. Давайте в этом убедимся:. Пример решения задачи на окружность в ЕГЭ и ОГЭ с использованием теоремы про хорду и касательную
Пример решения задачи на окружность в ЕГЭ и ОГЭ с использованием теоремы про хорду и касательную
Вот так просто и быстро в 1 действие мы справились с задачей. Правда здорово?!
Теорема № 2: теория и задания из ЕГЭ и ОГЭ
А теперь давайте посмотрим на одну из моих самых любимых теорем. А любимая она, потому что без неё некоторые задачи кажутся практически нерешаемыми, а с ней их можно решить быстро и просто! Звучит она так:
Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть. Я советую запоминать именно словесную формулировку, так как чертежи и буквы на них могут быть разными, и есть риск всё перепутать.
Наглядно познакомиться с теоремой можно на рисунке ниже:
Теорема: квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть
И конечно же давайте отработаем на практике!
Пример задания на теорему № 2
Если бы мы не знали ту теорему, которую только что прошли, то было бы много версий, как можно решить задачу. Кто-то начал бы строить радиус к касательной и рассматривать треугольники, а кто-то просто не стал бы решать, однако у нас есть формула: давайте её используем!
Решение:
Вот так просто решается это задание!
Теорема № 3: теория и задания из ЕГЭ и ОГЭ
Если вы ещё не устали от теорем, то давайте познакомимся с ещё одной, которая связывает хорду с диаметром (радиусом).
Эта теорема интересна тем, что работает в обе стороны:
Вот так хорду можно связать с диаметром (радиусом)
Конечно же я не могу оставить вас без тренировки, поэтому посмотрим на следующую задачу:
Задание на нашу теорему и его решение
Теорема № 4: пересекающиеся хорды
Последнее, с чем я вас познакомлю в контексте прямых и отрезков в окружности будет свойство пересекающихся хорд:
Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.
Свойство пересекающихся хорд на рисунке
Для наглядности отрезки выделены разными цветами, так вам будет проще запомнить свойство.
А теперь отработаем его на практике:
Задание на свойство пересекающихся хорд и его решение
Измерения дуг и углов.
Длина окружности. Дуги и углы измеряются в градусах и радианах. Сперва о градусах. Для углов проблем нет — нужно научиться измерить дугу в градусах.
Градусная мера (величина дуги) — это величина (в градусах) соответствующего центрального угла
Что здесь значит слово «соответствующего»? Смотрим внимательно:
Видишь две дуги и два центральных угла? Ну вот, большей дуге соответствует больший угол (и ничего страшного, что он больше), а меньшей дуге соответствует меньший угол.
Итак, договорились: в дуге содержится столько же градусов, сколько в соответствующем центральном угле.
А теперь о страшном — о радианах!
Что же это за зверь такой «радиан»?
Представь себе: радианы — это способ измерения угла … в радиусах!
Угол величиной радиан — такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.
Тогда возникает вопрос — а сколько же радиан в развёрнутом угле?
Иными словами: сколько радиусов «помещается» в половине окружности? Или ещё по-другому: во сколько раз длина половины окружности больше радиуса?
Этим вопросом задавались учёные ещё в Древней Греции.
И вот, после долгих поисков они обнаружили, что отношение длины окружности к радиусу никак не хочет выражаться «человеческими» числами вроде и т.п.
И даже не получается выразить это отношение через корни. То есть, оказывается, нельзя сказать, что половина окружности в раза или в раз больше радиуса! Представляешь, как удивительно это было обнаружить людям впервые?! Для отношения длины половины окружности к радиусу на хватило «нормальных» чисел. Пришлось вводить букву.
Итак, — это число, выражающее отношение длины полуокружности к радиусу.
Теперь мы можем ответить на вопрос: сколько радиан в развёрнутом угле? В нём радиан. Именно оттого, что половина окружности в раз больше радиуса.
Древние (и не очень) люди на протяжении веков (!)
попытались поточнее подсчитать это загадочное число, получше выразить его (хоть приблизительно) через «обыкновенные» числа. А мы сейчас до невозможности ленивы — нам достаточно двух знаков после занятой, мы привыкли, что
Задумайся, это значит, например, что y окружности с радиусом единица длина приблизительно равна, а точно эту длину просто невозможно записать «человеческим» числом — нужна буква. И тогда эта длина окружности окажется равной. И конечно, длина окружности радиуса равна.
Вернёмся к радианам.
Мы выяснили уже, что в развёрнутом угле содержится радиан.
Что имеем:
Значит, рад., то есть рад. Таким же образом получается табличка с наиболее популярными углами.
Теория
Площадь сегмента окружности через угол и радиус
Чему равна площадь сегмента окружности Sск, если её радиус r, а угол сегмента α ?
В градусах:
Sск = r² ⋅ (π ⋅ α — sin α)
В радианах:
Sск = r² ⋅ (α — sin α)
Пример
К примеру, посчитаем площадь сегмента круга, имеющего радиус r = 2 см, а угол сегмента ∠α = 45°:
Sск = 2² ⋅ (3.14 ⋅ 45 — sin 45) = 2 ⋅ (0.785 — 0.707) = 0.156 см²
Площадь сегмента окружности через хорду и высоту сегмента
Чему равна площадь сегмента окружности Sск, если длина хорды c, а высота сегмента h ?
Чтобы посчитать площадь сегмента, нам для начала потребуется вычислить радиус окружности r и угол сегмента α. А затем воспользоваться формулой площади сегмента из предыдущего параграфа.
Радиус круга:
r = c² + 4h²
Угол сегмента:
∠α = 2 ⋅ arcsinc
Пример
К примеру, посчитаем площадь сегмента круга, имеющего высоту h = 2 см и длину хорды c = 5 см:
r = 5² + 4⋅2² = 25 + 16 = 2.5625 см
∠α = 2 ⋅ arcsin5 = 2 ⋅ arcsin 0.9756 ≈ 2.7 rad
Sск = 2.5625² ⋅ (2.7 — sin 2.7) = 3.2832 ⋅ (2.7 — 0,427) = 7.46 см²
Площадь сегмента окружности через высоту и радиус (или диаметр)
Чему равна площадь сегмента окружности Sск, если его высота h, а радиус r ?
Если нам известен не радиус, а диаметр, то делим его на 2 и получаем радиус (r = d ÷ 2).
Далее нам остаётся определить угол сегмента α. А затем воспользоваться формулой площади сегмента, описанной выше.
Угол сегмента:
∠α = 2 ⋅ arccosr — h
Пример
К примеру, посчитаем площадь сегмента круга, имеющего высоту h = 1 см, а диаметр окружности d = 4 см:
r = 4 ÷ 2 = 2 см
∠α = 2 ⋅ arccos2 — 1 = 2 ⋅ arccos 0.5 = 2.094 rad
Sск = 2² ⋅ (2.094 — sin 2.094) = 2 ⋅ (2.094 — 0.866) = 2.456 см²
Основные определения и свойства
| Фигура | Рисунок | Определения и свойства |
| Окружность |
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки – центра окружности |
|
| Дуга |
Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности |
|
| Круг |
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью |
|
| Сектор |
Часть круга, ограниченная двумя радиусами |
|
| Сегмент |
Часть круга, ограниченная хордой |
|
| Правильный многоугольник |
Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны |
|
|
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность |
| Окружность |
|
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки – центра окружности |
| Дуга |
|
Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности |
| Круг |
|
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью |
| Сектор |
|
Часть круга, ограниченная двумя радиусами |
| Сегмент |
|
Часть круга, ограниченная хордой |
| Правильный многоугольник |
|
Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны Около любого правильного многоугольника можно описать окружность |
Определение 1. Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.
Определение 2. Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.
Замечание 1. Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.
Определение 3. Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.
Замечание 2. Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:
Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.
Использование площади сектора круга в реальной жизни
Площадь сектора круга может быть использована во многих областях, например, в геометрии и физике. В геометрии, площадь сектора круга может быть использована для вычисления площади треугольника, образованного радиусом и двумя линиями, соединяющими центр круга с концами дуги.
В физике, площадь сектора круга может быть использована для определения момента инерции твердого тела. Момент инерции это величина, которая характеризует способность твердого тела сохранять свое движение.
Кроме того, площадь сектора круга может быть использована для вычисления скорости движения точки на круговой траектории. В данном случае, площадь сектора круга является площадью, ограниченной радиусом и дугой, которую прошла точка за определенное время. Эта формула может быть использована, например, в механике и астрономии для вычисления орбитальной скорости небесных тел.
- В геометрии площадь сектора круга может быть использована для вычисления площади треугольника
- В физике площадь сектора круга может быть использована для определения момента инерции твердого тела
- Площадь сектора круга может быть использована для вычисления скорости движения точки на круговой траектории
Вопрос-ответ
Вопрос: Какую формулу нужно использовать для вычисления площади сектора круга?
Ответ: Формула для вычисления площади сектора круга: S = (ϕ/360)πr², где S — площадь сектора, ϕ — центральный угол в градусах, r — радиус круга.
Вопрос: Можно ли использовать другие единицы измерения радиуса для расчета площади сектора?
Ответ: Да, можно использовать любые единицы измерения радиуса, главное, чтобы они были в одной системе измерений. Например, если радиус задан в см, то площадь сектора также будет выражаться в квадратных см.
Вопрос: Как найти центральный угол, если известны площадь сектора и радиус круга?
Ответ: Центральный угол можно найти по формуле: ϕ = (S/πr²) * 360, где S — площадь сектора, r — радиус круга.
Вопрос: Можно ли использовать эту формулу для вычисления площади других фигур, а не только секторов круга?
Ответ: Нет, данная формула применяется только для вычисления площади сектора круга.
Вопрос: Можно ли использовать эту формулу для вычисления длины дуги сектора?
Ответ: Нет, для вычисления длины дуги сектора используется другая формула: L = (ϕ/360) * 2πr, где L — длина дуги сектора, ϕ — центральный угол в градусах, r — радиус круга.
Главная — Полезно — Освойте простую формулу и научитесь находить площадь сектора круга в несколько шагов!
Комментарии
Мария
5.0 out of 5.0 stars5.0
Спасибо за такую полезную статью! Когда я училась в школе, я никогда не могла понять, как найти площадь сектора круга. И даже сейчас, с появлением интернета и массы информации о математике, многие объяснения показались мне слишком запутанными. Но в этой статье все настолько ясно и доступно, что я смогла без проблем разобраться в этом вопросе и даже решила несколько задач по этой теме. Я особенно оценила шаг за шагом инструкцию о том, как найти площадь сектора круга, а также примеры, которые помогли мне лучше понять материал. Теперь я буду использовать этот навык в повседневной жизни, например, при расчете размера кругов в журнальном столике или на кухонных принадлежностях. Очень рекомендую эту статью всем, кто хочет научиться находить площадь сектора круга!
JuliaSun
5.0 out of 5.0 stars5.0
Анна Иванова
5.0 out of 5.0 stars5.0
Linda87
5.0 out of 5.0 stars5.0
Я всегда верила, что математика не для меня, но эту статью прочитав, мое отношение изменилось. Я стала более уверенной в своих способностях и готова поставить на себя цели, которые казались недостижимы. А все благодаря простому и понятному объяснению, как найти площадь сектора круга! Сначала я была пугавшейся основных формул и знаков математики, и не понимала, каким образом я смогу их использовать в реальной жизни. Однако, данная статья помогла мне понять, что каждая формула имеет свое значение и применение в повседневной жизни. Например, при разделении пиццы на сектора, при расчетах производственных операций в промышленности и при распределении земельных участков. Теперь я знаю, как легко и быстро найти площадь сектора круга. Но самое главное для меня, это то, что я стала более уверенной в своих знаниях математики, что повлияет на мою уверенность и успехи в других областях жизни. Хочу сказать огромное спасибо авторам статьи за их профессиональный и понятный подход!
Анна
5.0 out of 5.0 stars5.0
Быстро и понятно объяснили, как найти площадь сектора круга. Спасибо!
Екатерина Петрова
5.0 out of 5.0 stars5.0
Благодарю за простое и доступное объяснение! Теперь наконец-то я понимаю, как найти площадь сектора круга