Среднее геометрическое чисел

Натуральные и десятичные дроби

При работе с натуральными дробями их следует привести к общему знаменателю, который умножается на количество чисел в массиве. В числителе ответа будет сумма приведенных числителей исходных дробных элементов.

Инженерный калькулятор.

Инструкция

Учитывайте, что в общем случае среднее геометрическое чисел находится путем перемножения этих чисел и извлечения из них корня степени, которая соответствует количеству чисел. Например, если нужно найти среднее геометрическое пяти чисел, то из произведения нужно будет извлекать корень степени.

Для нахождения среднего геометрического двух чисел используйте основное правило. Найдите их произведение, после чего извлеките из него квадратный корень, поскольку числа два, что соответствует степени корня. Например, для того чтобы найти среднее геометрическое чисел 16 и 4, найдите их произведение 16 4=64. Из получившегося числа извлеките квадратный корень √64=8. Это и будет искомая величина

Обратите внимание на то, что среднее арифметическое этих двух чисел больше и равно 10. Если корень не извлекается нацело, произведите округление результата до нужного порядка

Чтобы найти среднее геометрическое более чем двух чисел, тоже используйте основное правило. Для этого найдите произведение всех чисел, для которых нужно найти среднее геометрическое. Из полученного произведения извлеките корень степени, равной количеству чисел. Например, чтобы найти среднее геометрическое чисел 2, 4 и 64, найдите их произведение. 2 4 64=512. Поскольку нужно найти результат среднего геометрического трех чисел, что из произведения извлеките корень третей степени. Сделать это устно затруднительно, поэтому воспользуйтесь инженерным калькулятором. Для этого в нем есть кнопка «x^y». Наберите число 512, нажмите кнопку «x^y», после чего наберите число 3 и нажмите кнопку «1/х», чтобы найти значение 1/3, нажмите кнопку «=». Получим результат возведения 512 в степень 1/3, что соответствует корню третьей степени. Получите 512^1/3=8. Это и есть среднее геометрическое чисел 2,4 и 64.

С помощью инженерного калькулятора можно найти среднее геометрическое другим способом. Найдите на клавиатуре кнопку log. После этого возьмите логарифм для каждого из чисел, найдите их сумму и поделите ее на количество чисел. Из полученного числа возьмите антилогарифм. Это и будет среднее геометрическое чисел. Например, для того чтобы найти среднее геометрическое тех же чисел 2, 4 и 64, сделайте на калькуляторе набор операций. Наберите число 2, после чего нажмите кнопку log, нажмите кнопку «+», наберите число 4 и снова нажмите log и «+», наберите 64, нажмите log и «=». Результатом будет число, равное сумме десятичных логарифмов чисел 2, 4 и 64. Полученное число разделите на 3, поскольку это количество чисел, по которым ищется среднее геометрическое. Из результата возьмите антилогарифм, переключив кнопку регистра, и используйте ту же клавишу log. В результате получится число 8, это и есть искомое среднее геометрическое.

Средняя геометрическая применяется
в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т. е. характеризует средний коэффициент роста.

Мода и медиана очень часто рассчитывают в задачах статистики и они являются дополнительными к средней характеристиками совокупности и используются в математической статистике для анализа типа рядов распределения, которое может нормальным, асимметричным, симметричным и т.д.

Также как и медиану вычисляются значения признака, делящего совокупность на четыре равные части — квартели
, на пять частей — квинтели
, на десять равных частей — децели
, на сто равных частей — перцентели
. Использование при анализе вариационных рядов распределения рассмотренных характеристик в статистике позволяет более глубоко и детально охарактеризовать изучаемую совокупность.

Тема среднего арифметического и среднего геометрического входит в программу математики 6-7 классов. Так как параграф довольно прост для понимания, его быстро проходят, и к завершению учебного года школьники его забывают. Но знания в базовой статистике нужны для сдачи ЕГЭ, а также для международных экзаменов SAT. Да и для повседневной жизни развитое аналитическое мышление никогда не помешает.

Понимание среднего геометрического

Среднее геометрическое, иногда называемое совокупным годовым темпом роста или взвешенной по времени ставкой доходности, представляет собой среднюю норму доходности набора значений, рассчитанных с использованием произведений условий. Что это обозначает? Среднее геометрическое имеет несколько значений, и умножает их и устанавливает их в / п 1 — й мощности.

Например, вычисление среднего геометрического можно легко понять с помощью простых чисел, таких как 2 и 8. Если вы умножите 2 и 8, а затем извлечете квадратный корень (степень ½, поскольку есть только 2 числа), ответ будет 4. Однако, когда чисел много, их труднее вычислить, если не использовать калькулятор или компьютерную программу.

Краткий обзор

Чем длиннее временной горизонт, тем более критичным становится сложное сложение и тем более подходящим является использование среднего геометрического.

Основное преимущество использования среднего геометрического состоит в том, что не нужно знать фактические инвестированные суммы; расчет полностью сосредоточен на самих показателях доходности и представляет собой сравнение «яблок с яблоками» при рассмотрении двух вариантов инвестирования за более чем один период времени. Среднее геометрическое всегда будет немного меньше среднего арифметического, которое является простым средним.

Как рассчитать среднее геометрическое

Чтобы рассчитать сложные проценты с использованием среднего геометрического дохода от инвестиций, инвестору необходимо сначала рассчитать проценты в первом году, которые составляют 10 000 долларов, умноженные на 10%, или 1000 долларов. На второй год новая основная сумма составляет 11000 долларов, а 10% от 11000 долларов составляют 1100 долларов. Новая основная сумма теперь составляет 11000 долларов плюс 1100 долларов, или 12100 долларов.

На третий год новая основная сумма составляет 12 100 долларов, а 10% от 12 100 долларов составляют 1210 долларов. По истечении 25 лет 10 000 долларов США превращаются в 108 347,06 долларов США, что на 98 347,05 долларов США больше первоначальных инвестиций. Более короткий путь состоит в том, чтобы умножить текущую основную сумму долга на единицу плюс процентную ставку, а затем поднять коэффициент до количества сложенных лет. Расчет: 10 000 долларов США

Что такое среднее геометрическое?

Среднее геометрическое — это среднее значение набора продуктов, расчет которого обычно используется среднее арифметическое работает с самими значениями.

Среднее геометрическое является важным инструментом для расчета эффекты начисления сложных процентов.

Ключевые выводы

Среднее геометрическое — это средняя доходность набора значений, рассчитанная с использованием произведений условий.
Среднее геометрическое больше всего подходит для рядов, демонстрирующих последовательную корреляцию — это особенно верно для инвестиционных портфелей.
Большинство доходов в финансах коррелированы, включая доходность облигаций, доходность акций и премии за рыночный риск.
Для изменчивых чисел среднее геометрическое обеспечивает гораздо более точное измерение истинной доходности за счет учета годового сложения, которое сглаживает среднее значение.

Смешанные числа

Смешанные числа являются промежуточными величинами между обыкновенными дробями и целыми. Не каждое дробное тождество можно представить в таком виде. Для этого подойдет только неправильное выражение. Алгоритм преобразования:

Записать неправильную дробь: 79/11.
Рассчитать целое число: 79/11=7.
Вычислить новое значение числителя: 79−11*7=2.
Записать смешанную величину: 7 2/11.

Методика обратной конвертации смешанного числа в неправильное дробное выражение является еще одной операцией, о которой нужно знать. Ее реализация:

Записать смешанное выражение: 7[2/11].
Вычислить величину нового числителя: 7*11+2=79.
Результат: 79/11.

Специалисты рекомендуют начинающему математику потренироваться, придумывая различные задания на конвертацию числовых выражений.

Расчет среднего геометрического

Для того чтобы начать онлайн расчет среднего геометрического введите исходные числа в одно из полей ввода-вывода данных.
В первое поле можно ввести последовательность чисел, разделенных точкой с запятой (программа попытается так же преобразовать к стандартному виду, например, вставленную копию последовательности чисел с плавающей точкой, разделенных пробелами, запятой или точкой с запятой).
Во второе поле можно вводить числа по одному — они автоматически будут добавляться к данным первого поля, если расчет не запустился автоматически, кликните по зеленой кнопке, показывающей количество чисел в исследуемом массиве:

Введите исходные данные

Введите число

Сохранить исходный ряд данныхупорядочить данные по возрастаниюупорядочить данные по убываниювернуть исходную последовательность

Что-то пошло не так…
Прямое восхождение не может быть больше 24 часов,
минуты и секунды больше 60,
а склонение по абсолютной величине не должно быть больше 90°

Среднее геометрическое, a_{ср. геом}

Для наглядной демонстрации правила о средних

a_{ср. геом} ≤ a _ср._арифм

выводим так же результат расчета среднего арифметического:
Среднее арифметическое, a_{ср. арифм}

a_{среднее}_{геометрическое} ≤ a _{среднее}_{арифметическое}

Design by Sergey Ov for abc2home.ru

ВНИМАНИЕ! При перезагрузке страницы введенная информация не сохраняется, если Вы не сгенерировали код для записи результатов работы в командной строке:

Сохранить расчет среднего геометрического в истории браузера

Адресную строку с кодом из Ваших данных Вы можете переслать на любое устройство и воспроизвести на нем результаты расчетов

После того как будут введены хотя бы два исходных числа, цвет квадратной кнопки на поле ввода данных должен поменяться с оранжевого на зеленый, и автоматически начнется расчет среднего геометрического и сопутствующих параметров, если это не произошло, то кликните по зеленому полю кнопки.

Среднее арифметическое — расчет онлайн, определение, формула
Среднеквадратическое отклонение — расчет онлайн, определение, формула
Среднее геометрическое — расчет онлайн, определение, формула
Среднее гармоническое и среднее степенное — расчет онлайн, определения, формулы
Среднее квадратическое — расчет онлайн, определение, формула

Формула для среднего геометрического

μгеометрический= (1+< mi>R1)(1< /mn>+R2) …(1+Rn< /mi>)1n–1< mstyle scriptlevel=»0″ displaystyle=»true»>где:</ mtr><mstyle scriptlevel=»0″ displaystyle=»true» «>∙R1…Rn – доход от актива (или другого</ mtd>наблюдения для усреднения).</ mtd>\begin &\mu _{\text{геометрический}} = ^{1/n} — 1\ &\textbf{где:}\ &\bullet R_1\ldots R_n \text{ — доходность актива ( или другие}\ &\text{наблюдения для усреднения)}. \endμгеометрический</s pan>=(1 +R 1</s pan>)(1+R2 )…(1+R n )]</s pan>1n−1где: ∙R 1…R n — это результаты актив (или другойнаблюдения для усреднения).</ диапазон></промежуток></промежуток></промежуток>

Показатели вариации

Вариация — это различие значений величин X у отдельных единиц статистической совокупности. Для изучения силы вариации рассчитывают следующие показатели вариации: , , , , , .

Размах вариации

Размах вариации – это разность между максимальным и минимальным значениями X из имеющихся в изучаемой статистической совокупности:

Недостатком показателя H является то, что он показывает только максимальное различие значений X и не может измерять силу вариации во всей совокупности.

Cреднее линейное отклонение

Cреднее линейное отклонение — это средний модуль отклонений значений X от среднего арифметического значения. Его можно рассчитывать по формуле средней арифметической простой — получим среднее линейное отклонение простое:

Если исходные данные X сгруппированы (имеются частоты f), то расчет среднего линейного отклонения выполняется по формуле средней арифметической взвешенной — получим среднее линейное отклонение взвешенное:

Линейный коэффициент вариации

Линейный коэффициент вариации — это отношение среднего линейного отклонение к средней арифметической:

С помощью линейного коэффициента вариации можно сравнивать вариацию разных совокупностей, потому что в отличие от среднего линейного отклонения его значение не зависит от единиц измерения X.

Дисперсия

Дисперсия — это средний квадрат отклонений значений X от среднего арифметического значения. Дисперсию можно рассчитывать по формуле средней арифметической простой — получим дисперсию простую:

Если исходные данные X сгруппированы (имеются частоты f), то расчет дисперсии выполняется по формуле средней арифметической взвешенной — получим дисперсию взвешенную:

Если преобразовать формулу дисперсии (раскрыть скобки в числителе, почленно разделить на знаменатель и привести подобные), то можно получить еще одну формулу для ее расчета как разность средней квадратов и квадрата средней:

Если значения X — это , то для расчета дисперсии используют частную формулу дисперсии доли:

Cреднее квадратическое отклонение

Выше уже было рассказано о , которая применяется для оценки вариации путем расчета среднего квадратического отклонения, обозначаемое малой греческой буквой сигма:

Еще проще можно найти среднее квадратическое отклонение, если предварительно рассчитана дисперсия, как корень квадратный из нее:

Квадратический коэффициент вариации

Квадратический коэффициент вариации — это самый популярный относительный показатель вариации:

Критериальным значением квадратического коэффициента вариации V служит 0,333 или 33,3%, то есть если V меньше или равен 0,333 — вариация считает слабой, а если больше 0,333 — сильной. В случае сильной вариации изучаемая статистическая совокупность считается неоднородной, а средняя величина — нетипичной и ее нельзя использовать как обобщающий показатель этой совокупности.

Предыдущая лекция…Следующая лекция…

Пример среднего геометрического

Если у вас есть 10 000 долларов и вы получаете 10% годовых на эти 10 000 долларов в течение 25 лет, сумма процентов составит 1 000 долларов в год в течение 25 лет, или 25 000 долларов. Однако при этом не учитываются проценты. То есть расчет предполагает, что вы получаете проценты только на первоначальные 10 000 долларов, а не на 1000 долларов, добавляемых к ним каждый год. Если инвестор получает проценты по процентам, это называется сложным процентом, который рассчитывается с использованием среднего геометрического.

Использование среднего геометрического позволяет аналитикам рассчитать доходность инвестиций, по которым выплачиваются проценты на проценты. Это одна из причин, по которой портфельные менеджеры советуют клиентам реинвестировать дивиденды и прибыль.

Среднее геометрическое также используется в формулах денежных потоков текущей и будущей стоимости . Среднегеометрическая доходность специально используется для инвестиций, которые предлагают сложный доход. Возвращаясь к приведенному выше примеру, вместо того, чтобы заработать 25 000 долларов США на простых процентных инвестициях, инвестор зарабатывает 108 347,06 долларов США на сложных процентных инвестициях.

Простые проценты или доход представляются средним арифметическим, а сложные проценты или доход представляются средним геометрическим.

Теоремы о постоянной сумме и постоянном произведении

Из теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом вытекают две важные теоремы, которые очень часто используются при решении практических задач.

Теорема о постоянной сумме. Если сумма двух положительных величин постоянна, то их произведение будет наибольшим тогда итолько тогда, когда эти величины примут равные значения.

Например, если сумма двух положительных величин а и b равна 10, то возможны случаи: а= 1, b= 9; а= 2, b= 8; а= 3,5, b= 6,5; а= 4,1, b= 5,9; а= 5, b= 5 и т.,д.

Этим случаям соответствуют следующие значения произведения ab: 9; 16; 22,75; 24,19; 25 Наибольшее произведение (25) будет при а= b =5.

Доказательство теоремы
Пусть сумма двух положительных величин а и b равна с. Тогда по теореме о среднем арифметическом и среднем геометрическом получаем:

При этом, если а = b, то \(\sqrt{ab}\)= c/₂; если же а =/=b ,то \(\sqrt{ab}\)c/₂

Следовательно, \(\sqrt{ab}\) будет наибольшим при а = b. Но тогда, очевидно, и подкоренное выражение ab будет наибольшим при а = b.

Задача. Какой наибольший по площади прямоугольный участок можно огородить забором длины l ?

Решение. Пусть длина участка равна х, а ширина у. Тогда площадь его будет равна ху. По условию задачи 2x + 2у = l , или х + у = l/₂. Так как

сумма х +у постоянна, то произведение ху будет наибольшим при х = у. Следовательно, если мы хотим забором длины lогородить наибольший по площади прямоугольный участок, то должны огораживать участок, имеющий форму квадрата. Сторона такого квадрата равна l/₄, а площадь l2/16

Теорема о постоянном произведении. Если произведение двух положительных величин постоянно, то их сумма будет наименьшей тогда и только тогда, когдa эти величины примут равные значения.

Например, если произведение двух положительных величин а и b равно 16, то возможны случаи: а= 1, b =16; а =2, b= 8; а =4, b= 4; а = 5, b= 16/₅и т . д. Этим случаям соответствуют суммы а + b: 17; 10; 8; 8 1/₅и т. д.

Наименьшая сумма (8) будет при а = b =4.

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы о постоянной сумме. Предлагаем учащимся провести его самостоятельно.

Задача. Какую наименьшую длину должен иметь забор, чтобы им можно было огородить прямоугольный участок, площадь которого равна S?

Решение. Пусть длина прямоугольного участка равна х, а ширина у. Тогда длина забора будет равна 2(х + у). Площадь участка равна ху = S

Так как произведение ху постоянно, то сумма х + у будет наименьшей при х = у =\(\sqrt{S}\). Следовательно, наименьшая длина забора равна

2 (\(\sqrt{S}\)+ \(\sqrt{S}\)) = 4\(\sqrt{S}\)

Алгоритм нахождения среднего значения

Среднее арифметическое — математическая характеристика, позволяющая найти оптимальное значение.

Например, на уроках выставляется оценка за месяц. Для ее вычисления необходимо найти среднее значение всех отметок, полученных учеником.

Кроме того, среднее арифметическое используется при вычислении какой-либо характеристики опытным путем.

Например, при расчете заряда электрона производится определенное количество измерений, а затем рассчитывается средняя величина заряда частицы.

Методика определения среднеарифметического значения:

Записать все значения.
Сложить все элементы, записанные в первом пункте.
Поделить сумму, полученную на втором шаге, на количество элементов.
Записать результат.

Для реализации алгоритма на практике необходимо записать несколько чисел — 4, 7, 8, 12, 15. Решение выглядит следующим образом:

Количество элементов: 5.
Сумма: 4+7+8+12+15=46.
Среднее арифметическое: 46/5=9,2.
Результат: 9,2.

В некоторых случаях результат необходимо округлять. Однако этого можно не делать при подсчете какой-либо физической величины.