Задача на подобие треугольников.
В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90) проведена высота CD. Определите CD, если AD = 9 см, BD = 16 см
Решение.
Треугольники ABC, ACD и CBD подобны между собой . Это непосредственно следует из второго признака подобия (равенство углов в этих треугольниках очевидно).
Прямоугольные треугольники — единственный вид треугольников, которые можно разрезать на два треугольника, подобных между собой и исходному треугольнику.
Обозначения этих трех треугольников в таком порядке следования вершин: ABC, ACD, CBD. Тем самым мы одновременно показываем и соответствие вершин. (Вершине A треугольника ABC соответствует также вершина A треугольника ACD и вершина C треугольника CBD и т. д.)
Треугольники ABC и CBD подобны. Значит:
AD/DC = DC/BD, то есть
DC2=AD*BD
DC2=9*16
DC=12 см
Высота треугольника по трем сторонам
Формула площади треугольника по трем сторонам имеет следующий вид (см. статью на странице Площадь треугольника онлайн):
| (2) |
где \( \small a, \ b, \ c \) стороны треугольника а полупериод \( \small p \) вычисляется из формулы:
| (3) |
Высота треугольника, отпущенная на сторону \( \small a\) вычисляется из формулы (1). Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления высоты треугольника по трем сторонам:
| . | (4) |
Пример 2. Известны стороны треугольника: \( \small a=5, \) \( \small b= 4, \) \( \small c=7. \) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону \( \small a. \)
Решение: Найдем, сначала полупериод \( \small p \) треугольника из формулы (3):
Подставляя значения \( \small a , \ b, \ c \) и \( \small p \) в (4), получим:
Ответ:
Формулы площади геометрических фигур
Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.
- Формула площади треугольника по стороне и высоте Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
-
Формула площади треугольника по трем сторонам
S = √p(p — a)(p — b)(p — c)
- Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.
- Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
-
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности. где S — площадь треугольника, a, b, c — длины сторон треугольника, h — высота треугольника, γ — угол между сторонами a и b, r — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности,
p = a + b + c — полупериметр треугольника. 2
-
Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
S = a · h
-
Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.
S = a · b · sin α
- Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними. где S — Площадь параллелограмма, a, b — длины сторон параллелограмма, h — длина высоты параллелограмма, d1, d2 — длины диагоналей параллелограмма, α — угол между сторонами параллелограмма, γ — угол между диагоналями параллелограмма.
-
Формула площади ромба по длине стороны и высоте Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
S = a · h
-
Формула площади ромба по длине стороны и углу Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.
S = a2 · sin α
- Формула площади ромба по длинам его диагоналей Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей. где S — Площадь ромба, a — длина стороны ромба, h — длина высоты ромба, α — угол между сторонами ромба, d1, d2 — длины диагоналей.
-
Формула Герона для трапеции
S = a + b √(p-a)(p-b)(p-a-c)(p-a-d) |a — b| -
Формула площади трапеции по длине основ и высоте Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту где S — площадь трапеции, a, b — длины основ трапеции, c, d — длины боковых сторон трапеции,
p = a + b + c + d — полупериметр трапеции. 2
- Формула площади четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженному на синус угла между ними: где S — площадь четырехугольника, d1, d2 — длины диагоналей четырехугольника, α — угол между диагоналями четырехугольника.
-
Формула площади описанного четырехугольника (по длине периметра и радиусу вписанной окружности) Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности
S = p · r
-
Формула площади четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов
S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d) — abcd cos2θ
где S — площадь четырехугольника,
- a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,
- p = a + b + c + d2 — полупериметр четырехугольника,
- θ = α + β2 — полусумма двух противоположных углов четырехугольника.
- Формула площади четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность
S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)
-
Формула площади круга через радиус Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи.
S = π r2
- Формула площади круга через диаметр Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи. где S — Площадь круга, r — длина радиуса круга, d — длина диаметра круга.
2011-2020 Довжик МихаилКопирование материалов запрещено.
Добро пожаловать на OnlineMSchool. Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне [email protected]
Элементы тупоугольного треугольника:
Кроме сторон и углов у тупоугольного треугольника также имеются Внешние углы. Внешний угол это угол, смежный с внутренним углом треугольника. У любого треугольника, в т. ч. тупоугольного, 6 внешних углов, по 2 на каждый внутренний. Внешний угол тупого угла тупоугольного треугольника всегда будет острым углом. Внешний угол острого угла тупоугольного треугольника всегда будет тупым углом.
Рис. 5. Тупоугольный треугольник и внешний угол
Медиана тупоугольного треугольника (как и любого другого треугольника), соединяющая вершину треугольника с противоположной стороной, делит ее пополам, т. е. на два одинаковых отрезка.
Рис. 6. Тупоугольный треугольник и медиана тупоугольного треугольника
MA – медиана тупоугольного треугольника
Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
Рис. 7. Тупоугольный треугольник и высота тупоугольного треугольника
MС – высота тупоугольного треугольника
Высота тупоугольного треугольника может лежать за пределами треугольника.
Биссектриса в тупоугольном треугольнике (как и в любом другом треугольнике) делит угол пополам. Биссектрисы пересекаются в точке, которая является центром вписанной окружности.
Рис. 8. Тупоугольный треугольник и биссектриса угла тупоугольного треугольника
MA – биссектриса тупого угла тупоугольного треугольника
Кроме того, биссектриса тупоугольного треугольника (как и любого другого треугольника) делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
Угол между высотами
Давай узнаем, вдруг угол между высотами можно как–то выразить через углы треугольника? Давай рассмотрим остроугольный треугольник.
Итак, нам хотелось бы найти ( displaystyle angle varphi ).
Смотрим на ( displaystyle Delta AHC). Замечаем, что наш ( displaystyle angle varphi ) – внешний угол в этом треугольнике.
Значит, ( angle varphi =angle 1+angle 2).
Чему же равны ( displaystyle angle 1) и ( displaystyle angle 2)?
Конечно, таким же образом из ( Delta C_>A) получается, что ( angle 2=90<>^circ -angle A).
Теперь ( angle ~varphi =angle ~1+angle ~2=90<>^circ -angle ~C+90<>^circ -angle ~A=180<>^circ -angle ~A-angle ~C).
Но что же это такое? Ведь сумма угла углов треугольника — ( 180<>^circ )! Значит, ( angle varphi =angle B).
Итак, что получилось?
Читать далее…
Мы хотим постоянно улучшать этот учебник и вы можете нам в этом помочь.
Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)
Известные теоремы
| 1. | Показаны ближайшие расстояния от точки P до сторон равностороннего треугольника ABC. |
| 2. | Линии DE, FG и HI, параллельные AB, BC и CA, соответственно, определяют меньшие треугольники PHE, PFI и PDG. |
| 3. | Поскольку эти треугольники равносторонние, их высоту можно повернуть вертикально. |
| 4. | Поскольку PGCH представляет собой параллелограмм, треугольник PHE можно сдвинуть вверх, чтобы показать, что сумма высот равна высоте треугольника ABC. |
Теорема Морли о трисекторах утверждает, что в любом треугольнике три точки пересечения смежных трисекторов угла образуют равносторонний треугольник.
Теорема Наполеона гласит, что если равносторонние треугольники построены на сторонах любого треугольника, либо все наружу, либо все внутрь, центры этих равносторонних треугольников сами образуют равносторонний треугольник.
Версия изопериметрического неравенства для треугольников гласит, что треугольник с наибольшей площадью среди всех треугольников с заданным периметром является равносторонним.
Теорема Вивиани утверждает, что для любой внутренней точки P в равностороннем треугольнике с расстояниями d, e и f от сторон и высотой h,
- d + e + f = h, {\ displaystyle d + e + f = h,}
независимо от расположения P.
Теорема Помпейу утверждает, что если P — произвольная точка в плоскости равностороннего треугольника ABC, но не на его описанной окружности, то существует треугольник со сторонами длиной PA, PB и PC. То есть PA, PB и PC удовлетворяют неравенству треугольника , согласно которому сумма любых двух из них больше третьего. Если P находится на описанной окружности, то сумма двух меньших из них равна самому длинному, и треугольник выродился в линию, этот случай известен как теорема Ван Скутена.
Углы равностороннего треугольника
Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны. В таком треугольнике все углы тоже равны между собой.
Каждый угол равностороннего треугольника равен 60 градусов. Это происходит потому, что все стороны равной длины и углы равны между собой.
Также известно, что высота равностороннего треугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Каждый из этих треугольников имеет катеты равными половине основания и высоте треугольника.
Итак, все углы равностороннего треугольника равны 60 градусов. Они формируют прямоугольные треугольники внутри треугольника, где катеты равны половине основания и высоте.
Измерение углов треугольника
В равностороннем треугольнике все его стороны равны между собой, а все его углы равны 60 градусов. Такой треугольник имеет особый тип симметрии, который позволяет нам легко измерить его углы.
Для измерения углов равностороннего треугольника можно использовать различные методы. Один из самых простых способов — использование градусника или универсального измерителя. Необходимо приложить градусник к вершине треугольника и провести линию вдоль одной из его сторон. Затем, следуя линии на градуснике, можно определить угол треугольника.
Еще один способ — использование гониометра. Гониометр — это инструмент, который имеет специальную шкалу для измерения углов. Для измерения углов равностороннего треугольника достаточно расположить гониометр на одной из его сторон и прочитать значение на шкале.
Также можно использовать тригонометрические функции для определения углов равностороннего треугольника. Например, если известна длина одной стороны треугольника, то угол можно найти, используя теорему синусов или косинусов.
В общем, существует несколько различных методов для измерения углов равностороннего треугольника, и выбор метода зависит от доступных инструментов и предпочтений измеряющего. Главное понимать, что в равностороннем треугольнике все его углы равны и составляют 60 градусов.
Формула измерения углов
Равносторонний треугольник — это такой треугольник, у которого все стороны равны. Такой треугольник имеет также особенность — все его углы равны.
Для измерения углов в равностороннем треугольнике существует специальная формула. Ее можно выразить через высоту треугольника и длину его стороны.
Формула измерения углов в равностороннем треугольнике выглядит следующим образом:
Угол треугольника = arccos (1/2), где arccos — обратная функция косинуса.
То есть, чтобы найти угол в равностороннем треугольнике, нужно найти обратную функцию косинуса от значения 1/2.
Формула измерения углов позволяет определить все углы равностороннего треугольника, которые будут равны между собой.
Свойства углов треугольника
Треугольник — это геометрическая фигура, состоящая из трех сторон и трех углов. Все углы треугольника должны в сумме равняться 180 градусам.
Если треугольник является равносторонним, то все его стороны и углы будут равными. Это значит, что каждый угол равностороннего треугольника будет составлять 60 градусов.
Высота треугольника — это отрезок, проведенный из вершины треугольника к основанию, перпендикулярно к основанию. В равностороннем треугольнике высота будет также являться медианой и биссектрисой.
Каждый угол треугольника имеет свойство, заключающееся в том, что сумма двух его смежных углов всегда равна 180 градусам. Это свойство называется «дополнительным». Например, если один из углов треугольника равен 60 градусам, то сумма двух смежных углов будет равна 120 градусам.
Таким образом, углы равностороннего треугольника равны между собой и составляют по 60 градусов, а сумма любых двух углов треугольника всегда будет равняться 180 градусам.
Взаимосвязь между углами
В равностороннем треугольнике все его стороны равны, а также все его углы равны между собой. Это значит, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60 градусов.
Взаимосвязь между углами равностороннего треугольника проявляется и в свойствах его высот. Высота треугольника – это отрезок, проведенный из вершины треугольника под прямым углом к основанию.
В равностороннем треугольнике все его высоты также равны между собой. Это означает, что отрезок, проведенный из одной из вершин равностороннего треугольника к противоположному основанию, будет равен отрезку, проведенному из другой вершины к противоположному основанию.
Таким образом, в равностороннем треугольнике все его высоты равны и можно свободно использовать для решения геометрических задач, зная это свойство.
Высота в прямоугольном треугольнике
Вспомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.
В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами друг к другу. Главный интерес представляет высота, проведённая к гипотенузе.
Один из типов экзаменационных задач банке заданий ФИПИ — такие, где в прямоугольном треугольнике высота проведена из вершины прямого угла. Посмотрим, что получается:
Высота проведена к гипотенузе. Она делит треугольник на два прямоугольных треугольника — и. Смотрим внимательно на рисунок и находим на нем равные углы. Это и есть ключ к задачам по геометрии, в которых высота опущена на гипотенузу.
Мы помним, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна. Значит, , то есть угол равен углу. Аналогично, угол равен углу.
Иными словами, каждый из трех углов треугольника равен одному из углов треугольника (и треугольника ). Треугольники и называются подобными. Давайте нарисуем их рядом друг с другом.
Они отличаются только размерами. Стороны подобных треугольников пропорциональны. Что это значит?
Возьмем треугольники и. Стороны треугольника длиннее, чем стороны треугольника в раз:
При решении задач нам пригодится равенство углов треугольников и, а также пропорциональность их сторон
Обратите также внимание, что площадь треугольника можно записать двумя разными способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на проведенную к ней высоту
1. В треугольнике угол равен, — высота, , . Найдите.
Рассмотрим треугольник. В нем известны косинус угла и противолежащий катет. Зная синус угла, мы могли бы найти гипотенузу. Так давайте найдем :
(поскольку значение синуса острого угла положительно). Тогда:
Рассмотрим прямоугольный треугольник, . Поскольку
2. В треугольнике угол равен, , . Найдите высоту.
Сделайте чертеж и рассмотрите прямоугольный треугольник.
3. В треугольнике угол равен, , . К гипотенузе проведена высота. Найдите.
Это чуть более сложная задача. Ведь вам неизвестны катеты и.
Зато можно записать теорему Пифагора: .
Нам известно также, что:
Решая эту систему из двух уравнений, найдем:
Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:
Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла, можно было и другим способом. Мы выбрали самый короткий путь — составили и решили систему уравнений.
Запишем площадь треугольника АВС двумя способами.
Ege-study. ru
04.11.2020 2:31:03
2020-11-04 02:31:03
Основные формулы
Для каждого треугольника существует набор формул, с помощью которых можно определить его элементы. Чаще всего приходится выяснять длины сторон, площадь, высоты и периметр. При этом если известны боковые грани, можно найти практически любые остальные параметры.
Вокруг правильной фигуры можно описать круг, причём окружность можно и вписать в середину. Что интересно, их центры совпадут между собой и с местом пересечения высот. В этом случае радиус внешнего круга равняется R = (a * √3) / 3 = a / 2 * sin (a), а внутреннего: r = (a * √3) / 6 = R / 2. Чтобы найти высоту, зная радиус, используют выражение: h = (3 *R) / 2. Кроме этой формулы, довольно часто применяют равенство, связывающее сторону и перпендикуляр: h = (a * √3) / 2.
Доказательство верности формулы для нахождения радиуса вписанной окружности можно построить исходя из выражения, справедливого к равнобедренной фигуре: r = b / 2 √((2 a — b) / (2 a + b)). Так как стороны равны, то a = b. Получается, что r = a / 2 √(2a — a) / (2a + a) = (a / 2) * √(1 / 3) = a / (2 * √3) = (a √3) / 6.
Чтобы определить длину стороны, нужно знать высоту и теорему Пифагора. Согласно ей, квадрат гипотенузы находится как сумма квадратов высоты и длины разделённого основания. Применяя теорему к правильной фигуре, можно записать: AB2 = h2 + (AB / 2)2. Это равенство решают следующим образом: AB2 = h2 + AB2 / 22. Выражение можно преобразовать в вид: (3a2 / 4) = h 2 → a 2 = (4 * h2) / 3 → a 2 = √((4 * h2) / 3) → a = (2 * h) / √3.
Из других существующих формул можно перечислить те, что чаще всего применяют при решении примеров:
- Площадь. Находят из выражения: S = (a 2 * √3) / 4. Вывести эту формулу довольно просто. Если взять за основу, что равенство для площади верно, то исходя из свойств фигуры можно записать: S = ½ * a2 * sin 60 = ½ * a2 * √3 / 2 = (√3 / 4) * a2. Что и следовало доказать.
- Периметр. Чтобы его определить, нужно сложить длины всех сторон, но так как в правильной фигуре они равны, можно воспользоваться формулой: P = 3 * a.
Существуют ещё 2 значимые теоремы: косинусов и синусов. Согласно первой, квадрат стороны фигуры будет ранятся удвоенному произведению двух оставшихся отрезков и косинусу угла между ними, отнятому из суммы квадратов: a2 = b2 + c2 — 2 * b * c * cos (a). Согласно же второй, длины отрезков пропорциональны синусам углов, лежащих напротив: a / sin (a) = b / sin (b) = c / sinс.
Определение правильного треугольника
Треугольник называется правильным, если все его стороны равны: AB + AC + BC. Правильный треугольник еще называется равносторонним.
Общие сведения
Любое пространство можно описать размерностью. В трёхмерном измерении плоская геометрическая фигура, состоящая из трёх отрезков и такого же количества точек, в которых они соединяются, называется треугольником. Отрезки называют сторонами или боковыми гранями, площадь, ограниченная ими — внутренней, а точки — вершинами. Фигура имеет 3 угла и является невырожденной.
Строгого требования к обозначениям элементов многоугольника нет. Но традиционно вершины подписывают заглавными буквами латинского алфавита A, B, C, а противолежащие им стороны — аналогичными строчными знаками. В качестве обозначений для углов используют греческие символы: α, β, γ. Например, если имеется треугольник ABC, у него будут углы A, B, C и стороны a, b, c. Боковые грани могут подписываться и как отрезки, тогда в их имени учитываются ограничивающие точки. Например, AB, BC, CA.
В зависимости от соотношения размеров сторон, все треугольники разделяют на 3 вида. Они бывают:
- Равнобедренными — многоугольники, у которых одна сторона не равна двум другим. Эта грань называется основанием. Углы при этой стороне равны.
- Разносторонние (неправильные) — длины всех граней разные.
- Равносторонние — треугольники, имеющие одинаковые стороны. Часто эти фигуры называют правильными. По сути, они являются частным случаем равнобедренного многоугольника.
Существуют правила, позволяющие утверждать о равенстве или подобии двух и более треугольников. Они считаются идентичными, то есть их параметры полностью совпадают, если 2 стороны и угол равны или все грани имеют одинаковую длину. А также фигуры будут одинаковыми, когда у них совпадают 2 стороны и угол, располагающийся напротив большего отрезка.
Особые линии и точки
Медиана, высота и биссектриса — 3 замечательные линии любого треугольника. Представляют они собой внутренние отрезки, построенные из углов на противоположные стороны. Линия, соединяющая вершину с серединой противоположной грани, называется медианой. Луч, разделяющий угол на 2 равные части — это биссектриса, а перпендикуляр, построенный к стороне — высота.
В любом правильном треугольнике можно начертить 3 отрезка. Если отложить медиану, а потом биссектрису и высоту, можно заметить, что эти линии совпадут. Эта особенность и есть замечательным свойством равностороннего многоугольника, то есть если в любой другой трёхугольной фигуре можно построить 12 особых линий, то в рассматриваемом только 3.
Доказать это утверждение можно следующим образом: пусть имеется треугольник АВС, в котором проведена высота ВH. Далее, рассуждения нужно построить так:
- Отрезок BH перпендикулярен прямой AC по построению.
- Точка H разделяет отрезок AC на AD и CD. Если это утверждение будет верным, это означает, что построенная высота BH будет медианой треугольника.
- Отрезок BH создаёт в многоугольнике 2 угла — ∠ABH и ∠CBH. При верности этого утверждения можно утверждать, что отрезок BH является биссектрисой.
Если создать зеркальное отражение треугольнику и совместить его с оригинальным, все углы попарно совместятся. Совпадут и стороны. Так как ВH — высота, она перпендикуляр. Значит, в точке H отрезок образует прямой угол с боковой гранью AC. Отсюда следует, что образованные треугольники AHB и CBH прямоугольные.
Они являются равными по общей гипотенузе и острому углу. Это следует из того, что правильный многоугольник — частный случай равнобедренного. Так как треугольники совпадают, у них одинаковые углы ABH и CBH. Причём они смежные, поэтому BH — биссектриса. В то же время точка H делит AC на 2 равных отрезка, значит, BH — медиана.
Многоугольники
Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны. Справедливы следующие утверждения.
— Две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны тогда и только тогда, когда этот четырехугольник — параллелограмм.
— Противоположные стороны четырехугольника попарно равны тогда и только тогда, когда этот четырехугольник — параллелограмм.
— Противоположные углы четырехугольника попарно равны тогда и только тогда, когда этот четырехугольник — параллелограмм.
— Диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам тогда и только тогда, когда этот четырехугольник — параллелограмм.
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. Так как прямоугольник, по определению, является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Кроме того, прямоугольник обладает следующим характеристическим свойством.
Диагонали параллелограмма равны тогда и только тогда, когда этот параллелограмм — прямоугольник.
Диагонали параллелограмма делят его углы пополам тогда и только тогда, когда этот параллелограмм — ромб.
Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда этот параллелограмм — ромб.
Середины сторон произвольного (в том числе невыпуклого или даже пространственного) четырехугольника являются вершинами параллелограмма — параллелограмма Вариньона.
Стороны этого параллелограмма параллельны соответствующим диагоналям четырехугольника.
Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме длин диагоналей исходного четырехугольника, а площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника.
Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции называется средней линией трапеции. Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной трапецией. Трапеция, один из углов которой прямой, равен называется прямоугольной трапецией. Трапеция обладает следующими свойствами.
— Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме.
— Отрезок, соединяющие середины диагоналей трапеции, равен полуразности большего и меньшего оснований.
— Диагонали трапеции равны тогда и только тогда, когда эта трапеция равно-бедренная.
— Углы при каждом основании трапеции равны тогда и только тогда, когда эта трапеция равнобедренная.
— Сумма противолежащих углов в равнобедренной трапеции равна 180°.
— В равнобедренной трапеции расстояние от вершины одного основания до проекции противоположной вершины на прямую, содержащую это основание, равно средней линии.
Правильным шестиугольником называется шестиугольник, у которого все стороны и углы равны. Правильный шестиугольник обладает следующими свойствами.
— Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.
— Большая диагональ правильного шестиугольника является диаметром описанной вокруг него окружности и равна двум его сторонам.
— Меньшая диагональ правильного шестиугольника в раз больше его стороны.
— Угол между сторонами правильного шестиугольника равен 120°.
— Меньшая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне.
— Треугольник, образованный стороной шестиугольника, его большей и меньшей диагоналями, прямоугольный, а его острые углы равны 30° и 60°.
Теоремы о площадях многоугольников
Для вычисления площадей многоугольников применяют следующие теоремы.
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне или к ее продолжению.
Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон.
Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Площадь параллелограмма равна произведению сторон на синус угла между ними.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.
Площади подобных многоугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
Площадь многоугольника, вершины которого лежат в узлах решетки, равна где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.