Интуитивное руководство по экспоненциальным функциям и числу e

Что такое Экспонента

Экспонента (экспоненциальная функция) — это математическая функция вида y = e×, или у = exp(x), или у = Exp(x) (где основанием степени является число е).

е — это число Эйлера, у него бесконечное количество цифр после запятой, оно трансцендентное и иррациональное. Оно равно округлённо 2,72 (а полностью — 2,718281828459045. ).

Трансцендентным число называется, если оно не удовлетворяет ни одному алгебраическому уравнению. Иррациональным — если его нельзя представить в виде дроби m/n, где n не равно 0.

Несмотря на свою бесконечность, число е является константой. То есть значением, которое никогда не изменяется.

Показательная функция — это математическая функция вида y = a×.

График экспоненты выглядит следующим образом:

Экспоненциальный рост

Мы используем термин экспоненциальный рост, чтобы сказать о стремительном росте чего-либо. Словосочетание чаще всего употребляется по отношению к росту популяции людей или животных/птиц.

Что такое второй замечательный предел

Швейцарский математик Якоб Бернулли (1655–1705 гг.) вывел число е, когда пытался решить финансовый вопрос. В частности, он пытался понять, как должны начисляться проценты на сумму вклада в банке, чтобы это было наиболее прибыльно для владельца денег.

Он также пытался понять, есть ли лимит у дохода, получаемого в процентах, или он будет увеличиваться бесконечно.

Решая эту задачу, он использовал предел последовательности, а именно второй замечательный предел. Формулу для вычисления числа е можно записать следующим образом (где n — это число, стремящееся к бесконечности):

Второй замечательный предел

То есть числу е равняется предел, где n стремится к бесконечности, от 1, плюс 1, разделённый на n, и всё возвести в степень n.

Если подставить в данную формулу вместо n какую-нибудь очень большую цифру, можно получить очень хорошее приближение к е. Например, подставим 1.000.000 и посчитаем на калькуляторе:

(1 + 1/1000000) ^ 1000000 = 2.7182804691

Как видите, с n = 1.000.000 мы получили достаточно хорошее приближение, с правильными 5 знаками после запятой.

Как определить число е?

Помимо второго замечательного предела, существуют и другие способы для определения числа е:

через сумму ряда;
через формулу Муавра — Стирлинга;
другие.

Сумма ряда

Существует мнение, что этот метод использовал сам Эйлер, когда высчитывал е.

Можно получить приближение е, рассчитав первые 7 частей этой суммы:

И эти вычисления дали нам следующий результат:

Этот метод дал нам точных 4 знака после запятой, и его достаточно легко запомнить.

Формула Муавра — Стирлинга

Также называется просто формула Стирлинга:

И в этом случае чем больше n, тем точнее будет результат.

Как запомнить число е

Можно легко запомнить 9 знаков после запятой, если заметить удивительную закономерность: после «2,7» число «1828» появляется дважды (2,7 1828 1828). В 1828 году родились Лев Толстой и Жюль Верн, а Франц Шуберт умер.

Хотите дальше? Можно и дальше! 15 знаков после запятой! Последующие цифры — это градусы углов в равнобедренном прямоугольном треугольнике ( 45°, 90°, 45°): 2,7 1828 1828 45 90 45.

Интересные факты

Экспоненциальную функцию также называют экспонента.

Показательная функция — это функция вида y=a×, где a — заданное число (основание), x — это переменная.

А если основание = е, с переменной x, то математически логарифм записывается как ln, а не как log. И его называют натуральный логарифм (логарифм с основанием е):

Логарифмическая функция, что обратная к показательной функции y = a×, a > 0, a≠1, пишется как .

Производная и первообразная экспоненциальной функции равны ей самой, т. е. (e×)’ = e×, но (a×)’ = (a×)*ln(a).

Якобу Бернулли в расчётах помогал его брат Иоганн. Один из кратеров на Луне носит их имя.

Число Непера и число Эйлера

Число Непера или Неперово число, число Эйлера — это названия для одного и того же числа е.

Шотландский математик Джон Непер придумал логарифмы. Так как число е является основанием натурального логарифма (ln x), то этому числу присвоили имя математика из Шотландии. Хотя Непер и не вычислял его.

Джон Непер — шотландский математик (1550–1617 гг.)

Сам символ e был придуман в 1731 году швейцарским математиком Леонардом Эйлером. Эйлер занимался вычислениями алгоритмов и вывел его основание. А точнее основание натурального логарифма, которым и является число е.

Леонард Эйлер — швейцарский математик (1707–1783 гг.)

Изобретение логарифмов в XVII веке (1614 год) шотландским математиком Джоном Непером стало одним из важнейших событий в истории математики.

Свойства

(ex)’ = ex, в частности
Экспонента является единственным решением дифференциального уравнения y‘ = y с начальными данными y(0) = 1. Кроме того через экспоненту выражаются общие решения однородных дифференциальных уравнений.
Экспонента определена на всей вещественной оси. Она всюду возрастает и строго больше нуля.
Экспонента является выпуклой функцией.
Обратная функция к ней — натуральный логарифм .
Производная в нуле равна 1, поэтому касательная к экспоненте в этой точке проходит под углом 45°.
Основное функциональное свойство экспоненты:exp(a + b) = exp(a)exp(b)
Непрерывная функция с таким свойством либо тождественно равна 0, либо имеет вид exp(ct), где c — некоторая константа.

.

Естественная экспоненциальная функция

Это функция, в основе которой лежит число e или число Эйлера, иррациональное число, значение которого:

е = 2,718181828 …

Эта база, хотя и не является круглым числом, очень хорошо подходит для многих приложений. Поэтому он считается самым важным основанием всех экспоненциальных функций. Естественная экспоненциальная функция математически выражается как:

f (x) = eИкс

Экспоненциальная функция часто появляется в Probability and Statistics, поскольку различные распределения вероятностей, такие как нормальное распределение, распределение Пуассона и другие, могут быть выражены через экспоненциальные функции.

И что все это значит

Экспонента — это наибольший возможный результат стопроцентного непрерывного роста за конкретный период времени. Да, изначально нам обещают 100% прибыли, то есть всего $2, но каждый цент приносит свои дивиденды и по итогам у нас оказывается ровно $2,71828 прибыли. Число е – это максимум, который мы можем получить при разбиении прибыли на суммы бесконечно малых величин.

Это означает, что если при потенциальной стопроцентной прибыли мы вложим в бизнес $1, то получим $2,718 чистой прибыли. Если $2, то мы получим 2е чистой прибыли, а если $100, то наш профит составит 100е. Таким образом, e — это предельная константа, которая ограничивает процессы роста точно так же, как скорость света ограничивает передвижение информации в пространстве. Число е – это максимально возможный результат, труднодостижимый на практике, поэтому в реальности многие процессы описываются с использованием частей экспоненты.

Формальное определение

Показательная функция (синим цветом) и сумма первых

n + 1

членов ее степенного ряда (красным цветом).

Действительная экспоненциальная функция может быть охарактеризована множеством эквивалентных способов. Обычно это определяется следующим степенным рядом : exp : р → р { Displaystyle ехр двоеточие mathbb {R} to mathbb {R}}

exp ⁡ Икс знак равно ∑ k знак равно 0 ∞ Икс k k ! знак равно 1 + Икс + Икс 2 2 + Икс 3 6 + Икс 4 24 + ⋯ { displaystyle exp x: = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {k}} {k!}} = 1 + x + { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {3}} {6}} + { frac {x ^ {4}} {24}} + cdots}

Так как радиус сходимости этого степенного ряда бесконечен, это определение фактически применимо ко всем комплексным числам z ∈ ℂ (см. § Комплексная плоскость для продолжения до комплексной плоскости). Тогда постоянная e может быть определена как exp ⁡ Икс { Displaystyle ехр х} е знак равно exp ⁡ 1 знак равно ∑ k знак равно 0 ∞ ( 1 / k ! ) . { textstyle e = exp 1 = sum _ {k = 0} ^ { infty} (1 / k!).}

Почленное дифференцирование этого степенного ряда показывает, что для всех действительных x , что приводит к еще одной общей характеристике как единственного решения дифференциального уравнения d d Икс exp ⁡ Икс знак равно exp ⁡ Икс { Displaystyle { гидроразрыва {d} {dx}} ехр х = ехр х} exp ⁡ Икс { Displaystyle ехр х}

y ′ ( Икс ) знак равно y ( Икс ) , { Displaystyle у ‘(х) = у (х),}

удовлетворяющий начальному условию y ( 0 ) знак равно 1. { displaystyle y (0) = 1.}

Основываясь на этой характеристике, цепное правило показывает, что его обратная функция, натуральный логарифм , удовлетворяет для или Это соотношение приводит к менее распространенному определению действительной экспоненциальной функции как решения уравнения d d y бревно е ⁡ y знак равно 1 / y { displaystyle { frac {d} {dy}} log _ {e} y = 1 / y} y > 0 , { displaystyle y> 0,} бревно е ⁡ y знак равно ∫ 1 y 1 т d т . { textstyle log _ {e} y = int _ {1} ^ {y} { frac {1} {t}} , dt.} exp ⁡ Икс { Displaystyle ехр х} y { displaystyle y}

Икс знак равно ∫ 1 y 1 т d т . { displaystyle x = int _ {1} ^ {y} { frac {1} {t}} , dt.}

Посредством биномиальной теоремы и определения степенного ряда экспоненциальная функция также может быть определена как следующий предел:

exp ⁡ Икс знак равно Lim п → ∞ ( 1 + Икс п ) п . { displaystyle exp x = lim _ {n to infty} left (1 + { frac {x} {n}} right) ^ {n}.}