Медиана, высота и биссектриса треугольника

Содержание

1. Что такое равносторонний треугольник?
2. Формула
3. Что мы узнали?

Бонус

• Тест по теме

• Площадь прямоугольного треугольника
• Высота треугольника
• Площадь правильного треугольника
• Площадь прямого треугольника
• Площадь равностороннего треугольника
• Площадь равнобедренного треугольника
• Медиана треугольника
• Правильный треугольник
• Тупоугольный треугольник
• Остроугольный треугольник
• Свойства прямоугольного треугольника
• Стороны прямоугольного треугольника
• Средняя линия прямоугольного треугольника
• Признаки подобия прямоугольных треугольников Высота равностороннего треугольника
• Медиана равностороннего треугольника
• Неравенство треугольника
• Длина медианы правильного треугольника
• Равнобедренный тупоугольный треугольник
• Средняя линия прямоугольного треугольника
• Длина средней линии треугольника

показать все

По многочисленным просьбам теперь можно: сохранять все свои результаты, получать баллы и участвовать в общем рейтинге.

1. 1. Алина Сайбель 1,833
2. 2. Игорь Проскуренко 556
3. 3. Денки Каминари 362
4. 4. Богдан Зайцев 313
5. 5. Роман Гончаренко 275
6. 6. Виктория Мирославская 228
7. 7. Полина Кулишенко 200
8. 8. Кирилл Иванов 198
9. 9. Виктория Кирьянова 149
10. 10. Александр Максимов 146

1. 1. Мария Николаевна 14,245
2. 2. Лариса Самодурова 13,785
3. 3. Кристина Волосочева 13,755
4. 4. Ekaterina 13,556
5. 5. Liza 13,260
6. 6. Юлия Бронникова 13,185
7. 7. Алина Сайбель 13,104
8. 8. Darth Vader 12,791
9. 9. TorkMen 12,566
10. 10. Влад Лубенков 12,025

Самые активные участники недели:

• 1. Виктория Нойманн — подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
• 2. Bulat Sadykov — подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
• 3. Дарья Волкова — подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.

Три счастливчика, которые прошли хотя бы 1 тест:

• 1. Наталья Старостина — подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
• 2. Николай З — подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
• 3. Давид Мельников — подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.

Карты электронные(код), они будут отправлены в ближайшие дни сообщением Вконтакте или электронным письмом.

Равносторонний треугольник является правильным многоугольником (геометрическая фигура, у которой все углы и все стороны равны). Фактически, это значительно упрощает процесс вычисления любых параметров, характеризующих такой треугольник, в том числе, длину высоты.

В равностороннем треугольнике все три высоты — одинаковой длины, поэтому найдя любую из них, можно применять полученное значение в отношении всех трех линий. Более того, все высоты полностью совпадают со всеми тремя медианами, биссектрисами и серединными перпендикулярами, называемыми иначе медиатриссами. Точка пересечения всех трех линий обладает свойствами точки пересечения высот, точки пересечения медиан и точки пересечения биссектрис одновременно, являя собой любой из возможных центров треугольника, в том числе центр вписанной и описанной окружностей.

Исходя из этого, чтобы найти высоту равностороннего треугольника, можно использовать абсолютно любые известные параметры, например, сторону треугольника.

Высота равностороннего треугольника, проведенная к любой стороне, создает внутри него прямоугольный треугольник, в котором можно ее вычислить, используя тригонометрические отношения, так как известно, что все углы в равностороннем треугольнике имеют по 60 градусов. Для полученного прямоугольного треугольника высота будет катетом, противолежащем углу в 60 градусов, а сторона равностороннего треугольника — гипотенузой, соответственно, чтобы найти высоту, нужно применить синус. Если подставить вместо угла альфа 60 градусов, получится, что высота равностороннего треугольника равна половине стороны, умноженной на корень из трех.

Ответ

Проверено экспертом

Центр вписанной окружности в равносторонний треугольник лежит на высоте (биссектрисе и медиане) и делит её в отношении 2/1 считая от вершины. ⇒ высота (7+7*2)=21 ед.

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера»

Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны.

Какие же особенные свойства присущи равностороннему треугольнику?

Равносторонний треугольник. Свойства

Свойство 1. В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны .

Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме , значит, каждый по .

Свойство 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника (равностороннего!).

Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник:

Он является равнобедренным, какую бы его сторону ни принять за основание – так сказать, со всех сторон равнобедренный.

Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром! В равностороннем треугольнике оказалось не особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!

  Посоветуйте интересную книгу форум

Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан.

Свойство 3. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной.

Уже должно быть очевидно, отчего так.

Посмотри на рисунок: точка – центр треугольника. Значит, – радиус описанной окружности (обозначили его ), а – радиус вписанной окружности (обозначим ).

Но ведь точка – ещё и точка пересечения медиан! Вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины.

Поэтому , то есть .

Свойство 4. В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны.

Давай удостоверимся в этом.

Рассмотрим – он прямоугольный.

Равносторонний треугольник. Радиус описанной окружности

Мы уже выяснили, что точка – не только центр описанной окружности, но и точка пересечения медиан. Значит, .

Величину мы уже находили. Теперь подставляем:

Равносторонний треугольник. Радиус вписанной окружности

Это уже теперь должно быть совсем ясно

Ну вот, все основные сведения обсудили. Конечно, можно задавать сотни вопросов про всякие длины всяких отрезков в равностороннем треугольнике.

Но главное, что следует иметь в виду, решая задачки о равностороннем треугольнике, – это то, что все его углы известны – равны и все высоты являются и биссектрисами, и медианами, и серединными перпендикулярами.

Равносторонний треугольник. краткое изложение и основные формулы

Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны: .

В равностороннем треугольнике каждая медиана совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины Точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров равностороннего треугольника совпадают.

  С чем можно поесть сгущенку

Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают: точка . В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной: .

В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны :

Высота=медиане=биссектрисе : Радиус описанной окружности : Радиус вписанной окружности : Площадь : Периметр :

Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:

Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.

• Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности:
• Площадь треугольника равна произведению ПЕРИМЕТРА на радиус!
• Площадь треугольника равна произведению ПОЛУПЕРИМЕТРА на радиус вписанной окружности

Площадь треугольника равна 24, а радиус вписанной окружности равен 2. Найдите периметр этого треугольника.

Из формулы , где p — полупериметр, находим, что периметр описанного многоугольника равен отношению удвоенной площади к радиусу вписанной окружности:

Равносторонний треугольник вписан в окружность найти радиус Ссылка на основную публикацию

Решение задач

Приступим к тренировочным задачам задания №1 из ЕГЭ по математике профильного уровня на площадь треугольника.

Задача (Прямоугольный треугольник)

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 16 и 20.

Решение:

Здесь можно воспользоваться основной формулой для нахождения площади прямоугольного треугольника

Но важно знать, что любой катет — это и есть высота прямоугольного треугольника

Таким образом, высота будет, к примеру, сторона AB. Тогда основанием будет сторона ВС.

Найдём сторону АВ по теореме Пифагора.

x2 + 162 = 202
x2 = 400 — 256 = 144
x = 12

Тогда площадь будет равна:

S = 0,5 * 12 * 16 = 6 * 16 = 96

Ответ:
Задача (Прямоугольный треугольник, закрепление)

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Решение:

Найдём гипотенузу по теореме Пифагора.

AC2 = AB2 + BC2
AC2 = 62 + 82 = 100
AC = 10

Мы в прошлой задаче выяснили, что площадь прямоугольного треугольника можно найти, как половину произведения его катетов. А с другой стороны, исходя из основной формулы, площадь равна половине произведения высоты ВН и основания (гипотенузы AC).

S = 0,5*AB*BC = 0,5*BH*AC
BH = AB*BC / AC = 6*8 / 10 = 4,8

Ответ:
Задача (Три треугольника, одна высота)

На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=3, DC=7. Площадь треугольника ABC равна 100. Найдите площадь треугольника BCD.

Решение:

Проведём в треугольнике ABC высоту BH. Оказывается, что ВН является высотой и для треугольника ABD, и для треугольника DBC, и для треугольника ABC.

Применим основную формулу для треугольника ABC и найдём высоту BH.

S_ABC = 0,5 * AC *BH
S_ABC = 0,5 * 10 * BH = 100
BH = 100 / (0,5*10) = 20

Теперь применим основную формулу, чтобы найти площадь треугольника BCD.

S_DBC = 0,5 * DC * BH
S_DBC = 0,5 * 7 * 20 = 70

Ответ:
Задача (Запасная формула)

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) угол при основании равен 15°. Боковая сторона равна 10. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

Здесь удобно использовать запасную формулу. Мы знаем две боковые стороны треугольника. Остаётся найти синус угла между ними.

Мы знаем, что углы при основании равны в равнобедренном треугольнике. Поэтому

∠ABC + ∠ВАС + ∠BCA = 180°
∠ABC = 180° — ∠ВАС — ∠BCA
∠ABC = 180° — 15° — 15° = 150°

Синус угла 150° известен. Он равен sin(150°) = sin(30°) = 0,5. Тогда

S = 0,5 * AB*BC * sin(∠ABC)
S = 0,5 * 10*10 * 0,5 = 25

Ответ:
Задача (Треугольники в ромбе)

Найдите площадь ромба, если один из его углов равен 60°, а меньшая диагональ равна 10. В ответе запишите число, делённое на √3.

Решение:

Меньшая диагональ будет находится напротив угла 60°, т.к. второй угол у ромба будет 120°, и напротив этого угла будет находится большая диагональ.

Рассмотрим треугольник ВАС. Мы знаем, что у ромба все стороны равны, поэтому треугольник ВАС равносторонний. Ведь, ВА = АС ⇒ ∠ABC = ∠ACB. Тогда

∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°
x = ∠ABC = ∠ACB
x + x + 60° = 180°
2x = 120°
x = 60°

Значит, треугольник ВАС равносторонний. Следовательно, BA = AC = CB = 10.

Чтобы найти площадь ромба, можно разбить его на два одинаковых треугольника: BAC и BDC. Эти два треугольника равны по трём сторонам (BA = AC = CD = DB, BC — общая).

Площадь треугольника BAC легко найти по запасной формуле, ведь две стороны мы знаем, и синус угла между ними тоже известен.

S_BAC = 0,5 * BA * AC * sin(60°)
S_BAC = 0,5 * 10 * 10 * (√3/2)
S_BAC = 25 * √3

Площадь ромба будет равна

S_BACD = 2 * S_BAC = 2 * 25 * √3 = 50 * √3

В ответе нужно указать число, делённое на √3.

Ответ:
Задача (Решаем задачу двумя способами)

На рисунке AB ⊥ BD, AB = 5, AD = 13 и CD = 6. Найдите площадь треугольника CAD.

Решение:

Первый способ (основная формула)

Нам известна высота треугольника CAD, AB=5. Нам известно основание, на которое она опущена, это CD=6. Применим основную формулу для площади треугольника.

S_CAD = ½ * AB * CD
S_CAD = ½ * 5 * 6 = 15

Второй способ (запасная формула)

В прямоугольном треугольнике ABD найдём синус ∠BDA.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin(∠BDA) = AB/AD = 5/13

Теперь воспользуемся запасной формулой для треугольника CAD.

S_CAD = ½ * CD * DA * sin(∠BDA)
S_CAD = ½ * 6 * 13 * (5/13) = 15

Задача (Формула Герона)

Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 28, 26, 30.

Решение:

Решим по формуле Герона.

Найдём полупериметр.

p=(28+26+30)/2 = 42

Тогда

Ответ:

На этом всё! Сегодня мы повторили основные формулы для нахождения площади треугольника и порешали задачи на эту темы. Всем удачи!

Через площадь и длину стороны разностороннего треугольника

Через площадь и длину высота находится по формуле:

h = 2S / a

где S – площадь треугольника, а – сторона треугольника.

Цифр после запятой:

Результат в:

Согласно этой формуле высота равна удвоенной площади, деленной на длину стороны, к которой она
проведена.

Пример.  Найдите высоту разностороннего треугольника, проведенную к стороне а,
площадь которого равна 27 см, а длина стороны а составляет одну треть от площади. Решение: Найдем
сторону а. Так как известно, что она составляет треть от площади, а = 27 / 3 = 9 см.
Теперь воспользуемся формулой для нахождения высоты: h = 2S / a. Подставим
известные значения. h = 2 * 27 / 9 = 6 см. Ответ: 6 см

Презентация на тему: » § 5. Как находить высоты и биссектрисы треугольника?» — Транскрипт:

1

§ 5. Как находить высоты и биссектрисы треугольника?

2

ПРИМЕР 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 8. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу. ПРИМЕР 2. Дан треугольник со сторонами а, b и b. Найдите высоту, опущенную на сторону, равную Ь.

3

ПРИМЕР 3. Дан треугольник со сторонами 13,14,15. Найдите высоту, проведённую к большей стороне. «площадной» подход 1 способ

4

ПРИМЕР 3. Дан треугольник со сторонами 13,14,15. Найдите высоту, проведённую к большей стороне. Уравнение на основе теоремы Пифагора 2 способ x 15-x

5

ПРИМЕР 3. Дан треугольник со сторонами 13,14,15. Найдите высоту, проведённую к большей стороне. По теореме косинусов + основное тригонометрическое тождество + формула площади по двум сторонам и углу между ними 3 способ По теореме косинусов + решение прямоугольного треугольника АВН 4 способ

6

Задача 5 из диагностической работы Две стороны треугольника равны 3 и 6, а угол между ними равен 60°. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины этого угла. 1 способ«площадной» подход

7

Задача 5 из диагностической работы Две стороны треугольника равны 3 и 6, а угол между ними равен 60°. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины этого угла. ABC- прямоугольный =>ADC- прямоугольный 2 способ

8

Задача 5 из диагностической работы Две стороны треугольника равны 3 и 6, а угол между ними равен 60°. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины этого угла. CD:DB=AC:AB — свойство биссектрисы треугольника + теорема косинусов 3 способ

9

Задача 5 из диагностической работы Две стороны треугольника равны 3 и 6, а угол между ними равен 60°. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины этого угла. Метод координат + уравнение прямой 4 способ 5 способ Уравнение прямой ВС по координатам двух точек Уравнение прямой AD по началу координат и угловому коэффициенту

10

Задача 5 из диагностической работы Две стороны треугольника равны 3 и 6, а угол между ними равен 60°. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины этого угла. Метод координат + уравнение прямой ? способ Доделать??? Уравнение вс ПРИ У=0

11

Задача 5 из диагностической работы Две стороны треугольника равны 3 и 6, а угол между ними равен 60°. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины этого угла. дополнительные построения + подобие треугольников 6 способ К 1. ACK- равнобедренный => AK 2. CDK~ ADB, k=0,5 => AD

12

ПРИМЕР 4. Стороны треугольника равны а и Ь, а угол между ними равен у. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины этого угла.

13

ПРИМЕР 5. Вычислите биссектрису треугольника ABC, проведённую из вершины А, если ВС = 18, АС = 15, АВ = 12. Ответ: Свойство биссектрисы + теорема косинусов

14

ПРИМЕР 5. Вычислите биссектрису треугольника ABC, проведённую из вершины А, если ВС = 18, АС = 15, АВ = 12. Ответ: способ по формуле для квадрата биссектрисы. Утверждение. Квадрат биссектрисы треугольника равен произведению сторон, её заключающих, без произведения отрезков третьей стороны, на которые она разделена биссектрисой.

16

ПРИМЕР 5. Вычислите биссектрису треугольника ABC, проведённую из вершины А, если ВС = 18, АС = 15, АВ = 12. Ответ: ВК=12/27 от 18; BK= 8. СК = ВС ВК = 18 8 = 10. По формуле для квадрата биссектрисы треугольника находим, что АК² =АВ·АС-ВК·СК= 12·15-8·10 = = способ

17

8 подготовительных задач 5.1. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 12 и 20 соответственно. Найдите высоту, проведённую из вершины прямого угла Найдите высоту прямоугольного треугольника, опущенную на гипотенузу, если известно, что основание этой высоты делит гипотенузу на отрезки, равные 1 и Высота равнобедренного треугольника, опущенная на боковую сторону, разбивает её на отрезки, равные 2 и 1, считая от вершины треугольника. Найдите эту высоту.

18

8 подготовительных задач 5.4. Стороны треугольника равны 10,17 и 21. Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины наибольшего угла В треугольнике ABC известно, что АВ = а, АС = b, ABAC = 120°. Найдите биссектрису AM Катеты прямоугольного треугольника равны а и Ь. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины прямого угла.

19

8 подготовительных задач 5.7. В треугольнике ABC известно, что АВ = 8, АС = 6, BAC = 60°. Найдите биссектрису AM Найдите высоту трапеции, боковые стороны которой равны 6 и 8, а основания равны 4 и 14.

Высота треугольника

В произвольном треугольнике (у которого все стороны разной длины), высоты, проведенные к сторонам , медианы и биссектрисы представляют собой совершенно разные линии. Чтобы найти длину высоты в треугольнике, нельзя будет использовать свойства медианы или биссектрисы, как для равнобедренных или равносторонних треугольников, поэтому придется использовать другие методы.

Один из подобных методов заключается в использовании общего параметра треугольника — площади. Алгоритм вычислений строится на том, что площадь разностороннего треугольника можно найти несколькими способами, в том числе и через высоту. Зная три стороны треугольника, можно найти его площадь по формуле Герона, а затем используя другую формулу площади, выразить через нее высоту.

Чтобы вычислить площадь треугольника по формуле Герона, нужно сначала рассчитать полупериметр треугольника. Как следует из названия, полупериметр — это периметр, то есть сумма длин всех трех сторон, деленный на два.

Сама формула площади представляет собой произведение полупериметра на его разности с каждой стороной, все это выражение будучи заключенным под квадратным корнем.

С другой стороны та же площадь треугольника через высоту равна половине произведения стороны треугольника на высоту, на нее опущенную. Отсюда высота будет равна отношению удвоенной площади к стороне треугольника. Из предыдущей формулы можно выразить площадь через три стороны треугольника и заменить ее в формуле высоты.

Данная формула высоты через стороны треугольника применима для любых треугольников, произвольных, равнобедренных или равносторонних за отсутствием других.

Вычисляя высоту треугольника, зная три стороны, приходится идти длинным путем, используя формулы площади

Высота треугольника, выраженная через площадь, связана только с той стороной, на которую она опущена, поэтому чрезвычайно важно правильно указать для калькулятора порядок сторон и в ручном расчете подставить соответствующую сторону в формулу высоты

Формула высоты произвольного треугольника через площадь

http://allcalc.ru/node/992

Формула нахождения радиуса вписанной окружности

Вычисление радиуса вписанной окружности ведется по формулам, которые зависят от фигуры и известных данных. Главным условием является тот факт, что фигура должна подходить под список тех, в которые можно вписать окружность.

Радиус — перпендикуляр, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности. По длине радиус составляет половину диаметра.

Треугольник

Формула нахождения радиуса окружности, вписанной в треугольник через все стороны:

(r=sqrt{frac{left(p-aright)left(p-bright)left(p-cright)}p},)

где r — радиус,

a, b и c — стороны треугольника,

p — полупериметр, (p=frac{a+b+c}2.)

Формула нахождения радиуса окружности, вписанной в треугольник через сторону и высоту:

(r=frac{btimes h}{b+sqrt{4times h^2+b^2}},)

(r=frac{htimessqrt{a^2-h^2}}{a+sqrt{a^2-h^2}},)

где r — радиус,

a и b — стороны треугольника,

h — высота.

Равносторонний треугольник

Формула нахождения радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник:

(r=frac a{2sqrt3},)

где r — радиус,

a — сторона треугольника.

Равнобедренный треугольник

Формула нахождения радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник через значения сторон:

(r=frac b2sqrt{frac{2a-b}{2a+b}},)

где r — радиус,

a и b — стороны треугольника.

Формула нахождения радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник через сторону и угол:

(r=Atimesfrac{sinleft(aright)timescosleft(aright)}{1+cosleft(aright)}= Atimescosleft(aright)timestanleft(frac a2right),)

(r=frac b2timesfrac{sinleft(aright)}{1+cosleft(aright)}=frac b2timestanleft(frac a2right),)

где r — радиус,

A и b — стороны треугольника,

a — угол при основании.

Прямоугольный треугольник

Формула нахождения радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

(r=frac{atimes b}{a+b+c}=frac{a+b-c}2,)

где r — радиус,

a и b — катеты треугольника,

c — гипотенуза.

Равнобедренная трапеция

Формула нахождения радиуса окружности, вписанной в равнобедренную трапецию:

(r=frac h2=frac{sqrt{ctimes b}}2,)

где r — радиус,

с — нижнее основание,

b — верхнее,

а — боковые стороны,

h — высота.

Формула нахождения радиуса окружности, вписанной в квадрат:

(r=frac a2,)

где r — радиус,

а — сторона квадрата.

Ромб

Формула нахождения радиуса окружности, вписанной в ромб через значения диагоналей:

(r=frac{Dtimes d}{4times a}=frac{Dtimes d}{2sqrt{D^2+d^2}}.)

Формула нахождения радиуса окружности, вписанной в ромб через значения стороны и угла:

(r=frac{atimessinleft(aright)}2.)

Формула нахождения радиуса окружности, вписанной в ромб через диагональ и угол:

(r=frac d2timescosleft(frac a2right)=frac d{2sqrt2}timessqrt{1+cosleft(aright)},)

(r=frac D2timessinleft(frac a2right)=frac D{2sqrt2}timessqrt{1-cosleft(aright)}.)

Формула нахождения радиуса окружности, вписанной в ромб через диагональ и сторону:

(r=frac{Dsqrt{a^2-{displaystylefrac{D^2}4}}}{2a},)

(r=frac{dsqrt{a^2-{displaystylefrac{d^2}4}}}{2a}.)

Формула нахождения радиуса окружности, вписанной в ромб через высоту:

(r=frac h2,)

где r — радиус,

а — сторона ромба,

D — большая диагональ,

d — меньшая диагональ,

a — острый угол,

h — высота.

Многоугольник

Формула нахождения радиуса окружности, вписанной в правильный многоугольник:

(r=frac a{2timestanleft({displaystylefrac{180^circ}N}right)},)

где r — радиус,

N — количество сторон многоугольника.

Шестиугольник

Формула нахождения радиуса окружности, вписанной в шестиугольник:

(r=frac{sqrt3}2times a,)

где r — радиус,

a — сторона шестиугольника.

Высота равностороннего треугольника

Какими свойствами обладает высота равностороннего треугольника? Как найти высоту равностороннего треугольника через его сторону, радиусы вписанной или описанной окружностей?

(свойство высоты равностороннего треугольника)

В равностороннем треугольнике высота, проведённая к любой стороне, является также его медианой и биссектрисой.

Доказательство :

Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.

Так как AB=BC, треугольник ABC равнобедренный с основанием AC.

Проведём высоту BF.

По свойству равнобедренного треугольника, BF является также его медианой и биссектрисой

(то есть, AF=FC, ∠ABF=∠CBF).

Аналогично, рассмотрев треугольник ABC как равнобедренный с основанием BC и треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB, доказываем, что высоты AK и CD являются также его медианами и биссектрисами

(то есть, BK=KC, ∠BAK=∠CAK; AD=BD, ∠ACD=∠BCD).

Что и требовалось доказать .

(свойство высот равностороннего треугольника) Все три высоты равностороннего треугольника равны между собой.

Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.

AK, BF и CD — его высоты.

В прямоугольных треугольниках ABF, BCD и CAK:

гипотенузы AB, BC и CA равны по условию,

∠BAF=∠CBD=∠ACK (как углы равностороннего треугольника).

Следовательно, треугольники ABF, BCD и CAK равны (по гипотенузе и острому углу).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: BF=CD=AK.

Что и требовалось доказать .

Из теорем 1 и 2 следует, что в равностороннем треугольнике все высоты, медианы и биссектрисы равны между собой.

1) Найдём высоту равностороннего треугольника через его сторону.

В треугольнике ABC AB=BC=AC=a.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABF.

Отсюда формула высоты равностороннего треугольника через его сторону:

(2-й способ: из прямоугольного треугольника ABF по теореме Пифагора

2) Выразим высоту равностороннего треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей.

Точка O — центр правильного треугольника — является также центром его вписанной и описанной окружностей. Как центр вписанной окружности O — точка пересечения биссектрис треугольника. В правильном треугольнике биссектрисы и медианы совпадают. Следовательно, также является O точкой пересечения медиан.

А так как медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины, то BO:OF=2:1, то есть

BO — радиус описанной окружности, OF — вписанной: BO=R, OF=r.

Следовательно, высота равностороннего треугольника равна трём радиусам вписанной окружности:

и в полтора раза больше радиуса описанной окружности:

Определение высоты треугольника

Геометрия, являющаяся разделом математики, изучает структуры в пространстве и на плоскости. Одним из типов таких фигур являются геометрические фигуры. К ним можно отнести квадрат, прямоугольник, круг, пятиугольник, треугольник и другие. Из них можно делать более сложные фигуры или оставлять в первоначальном виде.

Треугольники могут быть:

• разными по величине углов: прямоугольными, тупоугольными и остроугольными;
• разными по числу равных сторон: равносторонними, равнобедренными и разносторонними.

Помимо трех сторон, важными элементами треугольников являются медианы, высоты и биссектрисы.

В геометрии высота треугольника обозначается буквой h.

В зависимости от типа треугольника высота может:

• падать на противоположную сторону — у остроугольного треугольника;
• находиться вне треугольника — у тупоугольного треугольника;
• совпадать с одной из сторон — у прямоугольного треугольника.

Чтобы сделать высоту графически явной и понятной на рисунке, ее нередко выделяют красной линией.

Для того чтобы определить графическое начертание высоты треугольника, необходимо:

1. Найти вершину фигуры.
2. Опустить вниз перпендикулярную линию к противоположной стороне.
3. Продлить противоположную сторону до пересечения с высотой, если требуется.

Любой треугольник имеет 3 высоты — по числу углов. Их пересечение находится в точке ортоцентра, которая, в зависимости от типа треугольника, может находиться внутри треугольника, снаружи на пересечении продолжений высот или совпадать с вершиной прямого угла.

Все три высоты треугольника обратно пропорциональны сторонам, к которым опущены. Доказательством будет соотношение:

Выглядеть графически это будет так:

Существует множество способов нахождения высоты треугольника в зависимости от имеющихся данных.

Через площадь и длину стороны, к которой опущена высота:

Через длины всех сторон:

Данная формула подходит только для нахождения высоты разностороннего треугольника.

Через длину прилежащей стороны и синус угла:

Данная формула подходит только для нахождения высоты разностороннего треугольника.

Через стороны и радиус описанной окружности.

Решать задачи с треугольником и описанной окружностью для нахождения высоты можно следующим образом:

Данная формула подходит только для нахождения высоты разностороннего треугольника.

Через длины отрезков, образованных на гипотенузе при проведении к ней высоты треугольника:

Данная формула подходит только для нахождения высоты прямоугольного треугольника.