Прямая и обратная теорема о пересекающихся биссектрисах треугольника

Доказательство теорем о совпадении биссектрисы с медианой и высотой в равнобедренном треугольнике

Почему в случае с равнобедренным треугольником биссектриса оказывается одновременно и медианой и высотой? Как это доказать?

Смотри: у \( \triangle ABL \) и \( \triangle CBL \) равны стороны \( AB \) и \( BC \), сторона \( BL \) у них вообще общая и \( \angle 1=\angle 2\). (\( BL \) – биссектриса!)

И вот, получилось, что два треугольника имеют по две равные стороны и угол между ними.

Вспоминаем первый признак равенства треугольников (не помнишь, загляни в тему «Треугольник») и заключаем, что \( \triangle ABL=\triangle CBL \), а значит \( AL \)= \( CL \) и \( \angle 3=\angle 4 \).

\( AL \) = \( CL \) – это уже хорошо – значит, \( BL \) оказалась медианой.

Через две стороны и угол между ними

Нам дан некий треугольник, известно значение двух сторон и угла между ними. Нам нужно найти
биссектрису. Задача кажется невыполнимой, если не знать формулы:

L = (2bc · cos (α/2)) / b + c

где «L» это непосредственно длина, а «b» и «с» — стороны треугольника, «α» — угол между
ними.

Цифр после запятой:

Результат в:

В нашем случае биссектриса равняется среднему двух сторон и угла, лежащего между ними.

Пример. Дан треугольник ABC. Известно, что стороны b = 6 см, а сторона c = 9 см.
Угол между двумя сторонами равен 65°. Нам нужно найти биссектрису. Подставив в формулу данные
значения, мы получаем ответ – биссектриса треугольника АВС равна 6 см. Решение легкое, ведь вам
нужно прибегнуть к обычному применению выведенной формулы. 2 × 6 × 9 × cos(65 ÷ 2) / 9 + 6 = 6 см.

В прямоугольном треугольнике через гипотенузу и угол

Формула ниже слегка отличается от остальных, ведь тут использует понятие синуса и косинуса.

L = 2c / √2 * ((sin α * cos α) / (sin α + cos α))

где c — гипотенуза, sin α, cos α — угол.

Цифр после запятой:

Результат в:

Именно данное вычисление поможет вам с поисками длины биссектрисы в прямоугольном треугольнике, если
вам известна одна гипотенуза и угол. «с» — гипотенуза, «а» — угол.

Пример. В прямоугольном треугольнике АВС известно значение гипотенузы и угла «а».
Пользуясь выведенной формулой, вы можете заметить, что от вас требуют синусы и косинусы угла «а».
Для того чтобы правильно посчитать, нужно воспользоваться специальной таблицей синусов и косинусов.
Далее решение не составит особого труда. Пусть гипотенуза c =  10 мм, угол α = 30 градусов,
тогда биссектриса L =  2* 10 / √2 * ((sin 30 * cos 30) / (sin 30 + cos 30)) = 4.48 мм.

Полезные формулы

Для решения задач применяются не только теоремы и свойства, но и соотношения. В них подставляются известные величины. Для нахождения биссектрисы в треугольнике с равными боковыми сторонами, проведенной из вершины к основанию, специалисты выделяют две основные формулы:

1. При проведении биссектрисы из вершины к основанию сторона QS вычисляется по формуле QS=QR’+R’S.
2. Длина этой величины при известной боковой стороне и основании определяется следующим образом: RR’ = L = [(QR)^2 — ((QS)/2)^2]^(½).

Для удобства можно обозначить элементы соотношения следующим образом: RR’=L, QR=t и QS=s. Тогда значение искомой величины можно найти по переделанному соотношению: L=[t ²- (s/2)^2]^(½).

Таким образом, для решения задач по геометрии нужно знать теорему о биссектрисах, их свойства для равнобедренных и равносторонних треугольников, а также основные соотношения.

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 113, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 189, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 291, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 298, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 317, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 401, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 481, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 668, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 856, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 894, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Связь между биссектрисой и медианой

Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой. Это связано с особенностями равнобедренных треугольников и их внутренних углов.

Биссектриса — это отрезок, который делит угол на две равные части. В случае равнобедренного треугольника, у него есть две биссектрисы, каждая из которых делит угол при основании на две равные части.

Медиана — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В случае равнобедренного треугольника, медиана соединяет вершину с серединой основания.

Заметим, что в равнобедренном треугольнике все стороны и углы одинаковы, поэтому все биссектрисы будут равными и делят соответствующие углы пополам. Также все медианы будут равными, так как каждая проходит через середину соответствующей стороны.

Таким образом, любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой. Эта связь является одним из свойств равнобедренных треугольников и может быть использована для нахождения медианы, зная только биссектрису.

Определение медианы

Медиана — одна из важных характеристик треугольника, которая проходит из вершины до середины противоположной стороны. В отличие от биссектрисы, медиана не делит угол на две равные части.

Для любого треугольника, включая равнобедренный, любая из биссектрис является медианой. Это свойство позволяет использовать биссектрису для определения медианы, что упрощает решение некоторых задач.

Медиана треугольника делит стороны в отношении 2:1, то есть отношение отрезков, на которые медиана делит сторону, равно 2:1. Она также проходит через центр тяжести треугольника, где пересекает две другие медианы.

Медианы треугольника имеют множество применений. Они используются, например, для нахождения центра окружности, описанной вокруг треугольника, или для определения точки пересечения медиан, из которой можно провести прямую, делящую треугольник на две равные площади.

В равнобедренном треугольнике, где две стороны равны, медиана является высотой. Она проходит через вершину и перпендикулярна основанию треугольника.

Медиана треугольника является важным понятием в геометрии. Она представляет собой линию, которая проходит через вершину треугольника и точку, которая является серединой противоположной стороны. В случае равнобедренного треугольника, любая биссектриса также является его медианой.

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. В таком треугольнике медиана будет проходить через вершину и точку, которая делит основание на две равные части. Однако, в случае любого треугольника, медиана всегда проходит через вершину и середину противоположной стороны.

Медианы имеют ряд интересных и важных свойств. Например, все три медианы в треугольнике пересекаются в одной точке, называемой центром тяжести. Этот центр является точкой равновесия треугольника и делит каждую медиану в отношении 2:1, где длина медианы, ведущей к вершине, дважды больше длины медианы, ведущей к середине противоположной стороны.

Свойства медианы и биссектрисы

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны между собой. В таком треугольнике каждая биссектриса, проведенная из вершины угла, делящая противоположную сторону на две равные части, является медианой.

Медиана – это отрезок, соединяющий одну из вершин равнобедренного треугольника с серединой противоположной стороны. Основное свойство медианы равнобедренного треугольника заключается в том, что она делит противоположную сторону на две равные части. Это означает, что отрезок медианы, соединяющий вершину угла с серединой стороны, имеет одинаковую длину с другим отрезком, проведенным из вершины угла к противоположному углу.

Биссектриса – это отрезок, который делит угол на две равные части и пересекается в одной точке с противоположной стороной треугольника. В случае равнобедренного треугольника, биссектриса, проведенная из вершины угла без равных сторон, является медианой. Таким образом, в равнобедренном треугольнике любая биссектриса является одновременно медианой.

Биссектриса равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник уникален равенством двух сторон и двух углов. Именно этим обеспечивается основное свойство биссектрисы равнобедренного треугольника: в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, совпадает с высотой и медианой.

В равнобедренном треугольнике только биссектриса, проведенная к основанию, совпадает с высотой и медианой. Две другие биссектрисы будут отличатся от соответствующих медиан и высот, проведенным к этим же сторонам. Это стоит запомнить раз и навсегда, чтобы не допускать нелепых ошибок.

Рис. 2. Биссектрисы в равнобедренном треугольнике

При решении задач, нужно понимать, что это свойство можно применять не только в равнобедренном, но и в равностороннем треугольнике.

Ведь, если выбрать любую из сторон равностороннего треугольника и принять ее за основание, то две другие стороны будут равны, а, значит, равносторонний треугольник может считаться равнобедренным треугольником, у которого любая сторона может выступать в роли основания.

А раз любую сторону можно принимать за основание, то и каждая биссектриса будет совпадать с каждой соответствующей медианой и высотой. Ведь каждая биссектриса будет проведена к стороне, которую можно считать основанием.

Именно на этом свойстве основано равенство двух треугольников, которые получаются в равнобедренном треугольнике в результате проведения биссектрисы. Ведь в таких треугольниках одна сторона, та самая биссектриса, будет общей.

Рис. 3. Равнобедренный тупоугольный треугольник

Биссектриса совпадает с высотой, а, значит, два малых треугольника будут прямоугольными, а биссектриса дает два равных угла. То есть, два треугольника будут равны по катету и прилежащему острому углу, что соответствует одному из признаков равенства прямоугольных треугольников.

Использование двух малых треугольников часто встречается на практике. Например, если известны основание треугольника и его боковая сторона, а нужно найти биссектрису, сделать это можно гораздо проще, нежели в других треугольниках.

Биссектриса совпадает с медианой и высотой, а, значит, станет катетом малого прямоугольного треугольника, тогда значение биссектрисы можно найти как значение катета через теорему Пифагора.

Что мы узнали?

Мы вспомнили, что такое равнобедренный треугольник. Поговорили о свойствах биссектрисы равнобедренного треугольника, отдельно выделили свойства биссектрис равностороннего треугольника. Отметили наиболее применяемый и простой способ нахождения биссектрисы равнобедренного треугольника.

1. /10

   Вопрос 1 из 10

   Равнобедренный треугольник – это …

   • Треугольник, две стороны которого равны между собой
   • Треугольник, две стороны которого неравны между собой
   • Треугольник, три стороны которого равны между собой
   • Нет верного ответа

Свойства и признаки равнобедренного треугольника

Тип утверждения	Фигура	Рисунок	Формулировка
Определение	Равнобедренный треугольник		Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого две стороны равны.Равные стороны называют боковыми сторонами равнобедренного треугольника, третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника.
Свойство	Углы при основании равнобедренного треугольника		Если треугольник является равнобедренным треугольником, то углы при его основании равны.
Признак	Два равных угла треугольника	Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным треугольником.
Свойство	Медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию равнобедренного треугольника		В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины, противолежащей основанию, совпадают.
Признак	Высота треугольника, совпадающая с медианой		Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным
Признак	Высота треугольника, совпадающая с биссектрисой		Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным
Признак	Биссектриса треугольника, совпадающая с медианой		Если в треугольнике биссектриса совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным

Определение: равнобедренный треугольник
	Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого две стороны равны.Равные стороны называют боковыми сторонами равнобедренного треугольника, третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника.
Свойство: углы при основании равнобедренного треугольника
	Если треугольник является равнобедренным треугольником, то углы при его основании равны.
Признак: два равных угла треугольника
Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным треугольником.
Свойство: медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины, противолежащей основанию, совпадают.
Признак: высота треугольника, совпадающая с медианой
Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным
Признак: высота треугольника, совпадающая с биссектрисой
Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным
Признак: биссектриса треугольника, совпадающая с медианой
Если в треугольнике биссектриса совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным

Определение равнобедренного треугольника

Определение: Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами равнобедренного треугольника, третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника.

Свойство углов при основании равнобедренного треугольника

Свойство:Если треугольник является равнобедренным треугольником, то углы при его основании равны.

Признак равнобедренного треуголька: два равных угла треугольника

Признак:Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным треугольником.

Свойство медианы, биссектрисы и высоты, проведённых к основанию равнобедренного треугольника

Свойство:В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины, противолежащей основанию, совпадают.

Признак равнобедренного треугольника: высота треугольника, совпадающая с медианой

Признак:Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным

Признак равнобедренного треугольника: высота треугольника, совпадающая с биссектрисой

Признак:Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным

Признак равнобедренного треугольника: биссектриса треугольника, совпадающая с медианой

Признак:Если в треугольнике биссектриса совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным

Задача #1

На рисунке изображен $\bigtriangleup{ABC}$, где $BC=CA$. Известно, что $\angle{1}=130^{\circ}$. Чему равняется значение угла $\angle{2}$?

Дано:$\bigtriangleup{ABC}$$BC=CA$$\angle{1}=130^{\circ}$

Найти: $\angle{2}~—~?$

РешениеРассмотрим $\bigtriangleup{ABC}$. В нем по условию боковые стороны $BC$ и $CA$ равны. Следовательно $\bigtriangleup{ABC}$ — равнобедренный треугольник, по определению равнобедренного треугольника.

Угол $\angle{1}$ — смежный угол с $\angle{ABC}$. Сумма смежных углов равняется $180^{\circ}$, откуда получаем значение $\angle{ABC}=180^{\circ}-130^{\circ}=50^{\circ}.$ По теореме о равнобедренном треугольнике, углы при основании равнобедренных треугольников равны. Тогда $\angle{ABC}=\angle{CAB}$.

Угол $\angle{2}$ — вертикальный угол с $\angle{CAB}$. По теореме о равенстве вертикальных углов получаем, что $\angle{CAB}=\angle{2}=\angle{ABC}=50^{\circ}.$

Ответ: $50^{\circ}.$

Формулы равнобедренного треугольника

Формулы сторон равнобедренного треугольника

• b — сторона (основание)
• а — равные стороны
• a — углы при основании
• b — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания — b):

• b = 2a sin( beta /2)= a sqrt { 2-2 cos beta }
• b = 2a cos alpha

Формулы длины равных сторон — (а):

• a=frac { b } { 2 sin(beta /2) } = frac { b } { sqrt { 2-2 cos beta } }
• a=frac { b } { 2 cosalpha }

Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

• L — высота=биссектриса=медиана
• b — сторона (основание)
• а — равные стороны
• a — углы при основании
• b — угол образованный равными сторонами

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

• L = a sina
• L = frac { b } { 2 } *tgalpha
• L = a sqrt { (1 + cos beta)/2 } =a cos (beta)/2)

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

L = sqrt { a^ { 2 } -b^ { 2 } /4 }

Площадь равнобедренного треугольника

• b — сторона (основание)
• а — равные стороны
• h — высота

Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):

S=frac { 1 } { 2 } *bh

Смотри также:

Определение биссектрисы треугольника

Допустим, что в рассматриваемом треугольнике ABC сторона AB = 5 cm, AC = 4 cm. Отрезок CD = 3 cm.

Определение длины

Определить длину можно по следующей формуле. AD = квадратный корень из разности произведения сторон и произведения пропорциональный отрезков.

Найдем длину стороны BC.

• Из свойств известно, что BD/CD = AB/AC.
• Значит, BD/CD = 5/4 = 1,25.
• BD/3 = 5/4.
• Значит, BD = 3,75.
• ABxAC = 54=20.
• CDxBD = 33,75 = 11,25.

Так, для того чтобы рассчитать длину, требуется вычесть из 20 11,25 и извлечь квадратный корень из получившегося 8,75. Результат с учетом тысячных долей получится 2,958.

Данный пример призван также эксплицитно указать на ситуацию, когда значения длины биссектрисы, как и все другие значения в математике, будут выражены не в натуральных числах, однако бояться этого не стоит.

Нахождение величины угла

Для нахождения углов, образующихся биссектрисой, важно, прежде всего, помнить о сумме углов, неизменно составляющей 180 градусов. Предположим, что угол ABC равен 70 градусам, а угол BCA 50 градусам

Значит, путем простейших вычислений получим, что CAB = 180 (70+50) = 60 градусов.

Если использовать главное свойство, в соответствии с которым угол, из которого она исходит, делится пополам, получим равные значения углов BAD и CAD, каждый из которых будет 60/2 = 30 градусов.

Если требуется дополнительный наглядный пример, рассмотрим ситуацию, когда известен лишь угол BAD равный 28 градусам, а также угол ABC равный 70 градусам. Используя свойство биссектрисы, сразу найдем угол CAB путем умножения значения угла BAD на два. CAB = 282 =56. Значит, BAC = 180 (70+56) или 180 (70+282)= 180 126 = 54 градуса.

Специально не рассматривалась ситуация, когда данный отрезок выступает в качестве медианы или высоты, оставив для этого другие специализированные статьи.

Таким образом, мы рассмотрели такое понятие, как биссектриса треугольника, формула для нахождения длины и углов которой заложена и реализована в приведенных примерах, имеющих целью наглядно показать, каким образом можно использовать для решения тех или иных задач в геометрии. Также к данной теме относятся такие понятия, как медиана и высота. Если данный вопрос прояснился, следует обращаться к дальнейшему изучению различных других свойств треугольника, без которых немыслимо дальнейшее изучение геометрии.

Биссектриса треугольника

Теорема о равнобедренном треугольнике

Теорема 1. Углы, прилежащие к основанию равнобедренного треугольника равны.

Доказательство (доказательство Прокла). Пусть задан равнобедренный треугольник ABC, где AB=AC (Рис.2). Докажем, что \( \small \angle B= \angle C. \) Возьмем любую точку D на стороне AC и точку E на стороне AB так, чтобы AD=AE. Проведем отрезки DE, CE, BD. Треугольники ABD и ACE равны по двум сторонам и углу между ними: AE=AD, AC=AB, угол \( \small \angle A \) общий (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников). Отсюда следует:

Из \( \small AB=AC\) и \( \small AD=AE \) следует:

Рассмотрим треугольники CBE и BCD. Они равны по трем сторонам: \( \small CE=BD,\) \( \small CD=BE ,\) сторона \( \small BC \) общая. Отсюда следует, что

Из (2) и (4) следует, что \( \small \angle B= \angle C. \)

Доказательство (Вариант 2). Пусть задан равнобедренный треугольник ABC, где AB=AC (Рис.3). Проведем биссектрису \( \small AH \) треугольника. Тогда \( \small \angle CAH=\angle BAH. \) Докажем, что \( \small \angle B= \angle C. \) Треугольники AHB и AHC равны по двум сторонам и углу между ними: AC=AB, сторона \( \small AH \) общая, \( \small \angle CAH=\angle BAH. \) Отсюда следует: \( \small \angle B= \angle C. \)