Задачи на теорему стюарта егэ

Теорема Стюарта — Математика

МОУ Яркульская СОШ

Проектная работа по математике

Выполнила: Сосунова Татьяна, 10 класс

Руководитель: Галошина В. И.

1) Теорема Стюарта

2) Вычисление медиан треугольника

3) Вычисление биссектрис треугольника

4) Решение задач

Список использованной литературы

Введение:

У меня есть некоторые проблемы в умении доказывать теоремы и выводить формулы. Поэтому я с удовольствием приняла предложение моего учителя по математике изучить теорему Стюарта. Во всех источниках была дана только формулировка теоремы и формула, а так же в справочниках есть формулы для вычисления медианы и биссектрисы треугольника. Доказывать и выводить формулы мне пришлось самостоятельно. Теорема Стюарта названа по имени доказавшего её английского математика М. Стюарта и опубликовавшего её в труде «Некоторые общие теоремы» (1746, Эдинбург). Теорему сообщил Стюарту его учитель Р. Симсон, который опубликовал эту теорему лишь в 1749 г. Теорема Стюарта применяется для нахождения медиан и биссектрис треугольников.

1. Расширить круг изучаемых в школе теорем

2. Научиться применять теорему для решения задач

1. Изучить и доказать теорему Стюарта

2. Получить формулы для вычисления длин медиан и биссектрис треугольника

3. Рассмотреть применение теоремы Стюарта для решения задач на нахождение длин замечательных линий треугольника

Теорема Стюарта

Произведение квадрата расстояния от точки, лежащей на стороне треугольника, до противоположной вершины на длину этой стороны равно сумме квадратов оставшихся сторон на несмежные с ними отрезки первой стороны без произведения этих отрезков на длину основания.

AD 2 *BC = AB 2 *CD + AC 2 *BD – BC*BD*CD

Дано

ABC

DЄBC

AD 2 *BC = AB 2 *CD + +AC 2 *BD – BC*BD*CD

http://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2018/05/13/teorema-styuarta

http://stud-baza.ru/teorema-styuarta-rabota-matematika

Формулы, теоремы и свойства элементов треугольника. Справочник репетитора по математике

Теоретичесикие шпаргалки по элементарной геометрии для занятий с репетитором по математике. Базовый школьный уровень. Свойства элементов треугольника. В помощь для решению задач по всему курсу планиметрии. Для тренировки решения задач С4 на ЕГЭ по математике.

1) Определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике и теорема ПифагораТеорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть

2) Формулы площади треугольника

3) Подобие треугольников
Определение: два треугольника называются подобными, если у них соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны, то есть
и
Обозначение:
4) Признаки подобия двух треугольников
1-й признак: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Коротко: если , то
2-й признак:если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами равны, то треугольники подобны
Коротко: если и , то
3-й признак:если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то треугольники подобны, то есть
Коротко: если , то
5) Свойства подобных треугольников
если , то
, где
и — любые соответствующие медианы (проведенные к соответствующим сторонам)
и — любые соответствующие биссектрисы (проведенные к соответствующим сторонам)
и — любые соответствующие высоты (проведенные к соответствующим сторонам)
6) Подобие прямоугольных треугольников. Высота, проведенная из вершины прямого угла
Теорема: высота в прямоугольном треугольнике, поведенная из вершины прямого угла образует два треугольника, подобных исходному. Для катетов и высоты исходного треугольника верны следующие формулы:
7) Свойство медиан в треугольнике.
Теорема 1: Все медианы треугольника пересекаются в одной точке (центр тяжести треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершин. То есть
Теорема 2: Каждая медиана, проведенная в треугольнике делит этот треугольник на две равновеликие части (на два треугольника с равными площадями),
То есть
Теорема 3: все три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников, то есть
Свойство биссектрис в треугольнике Теорема 1: Каждая биссектриса угла в треугольнике делит его противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные к двум другим сторонам треугольника.
То есть

Теорема 2: Все биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной с треугольник окружности. В любой треугольник можно вписать окружность и только одну.

9) Свойство точки пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника:

Теорема: все серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной около треугольника окружности. Вокруг любого треугольника можно описать окружность и только одну.

10) Теорема о разделительном отрезке в треугольнике
Теорема: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной делит ее на отрезки, пропорциональные площадям образованных треугольников.
То есть
11) Средняя линия треугольника
Теорема: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон параллельна третьей стороне и равна ее половине.
То есть и
12) Теорема синусов и теорема косинусов
Теорема синусов: Cтороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов и каждое отношение стороны к синусу равно диаметру описанной около треугольника окружности.
То есть
Теорема косинусов: Квадрат стороны треугольника равне сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на синус угла между ними, то есть
13) Теорема Менелая
Теорема: Произведение отношений отрезков, на которые произвольная прямая делит стороны треугольника (или их продолжения) равно единице
То есть

Комментарий репетитора по математике: несправедливо выброшенная теорема из школьного курса геометрии. Рекомендую репетиторам включить ее в подготовку, по крайней мере к вузовским олимпиадам и вступительным экзаменам по математике в МГУ. В программу ЕГЭ теорема Менелая не входит, но несколько типов задач без нее решаются очень сложно.

14) Теорема Чевы
Теорема:если через вершины треугольника и произвольную внутреннюю точку провести отрезки к противоположным сторонам (чевианы), то их точки пересечения разделят стороны на отрезки, произведение отношений которых равно единице.
То есть

Колпаков А.Н. Репетитор по математике.

Медиана в равностороннем треугольнике свойства

Формулы. N = 2i. N — мощность алфавита (количество знаков в алфавите) i — информационный вес символа алфавита (количество информации в одном символе). I = K * i. I — количество информации, содержащееся в выбранном сообщении (информационный объем сообщения) K — число символов в.

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 2) Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника. 3) Если в ромбе один из углов равен 90° , то такой ромб — квадрат.

Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются Вершинами треугольника, а отрезки — его Сторонами.

Виды треугольников

Треугольник называется Равнобедренным, если у него две сторны равны. Эти равные стороны называются Боковыми сторонами, а третья сторона называется Основанием треугольника.

Треугольник, у которого все сторны равны, называется Равносторонним или Правильным.

Треугольник называется Прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется Гипотенузой, две другие стороны называются Катетами.

Треугольник называется Остроугольным, если все три его угла — острые, то есть меньше 90°.

Треугольник называется Тупоугольным, если один из его углов — тупой, то есть больше 90°.

Основные линии треугольника

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Свойства медиан треугольника

Центром тяжести

Биссектриса

Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрис треугольника

Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам: . Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.

Свойства высот треугольника

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.

Срединный перпендикуляр

Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют Серединным перпендикуляром к отрезку.

Свойства серединных перпендикуляров треугольника

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Признаки равенства треугольников

Два треугольника равны, если у них соответственно равны:

две стороны и угол между ними; два угла и прилежащая к ним сторона; три стороны.

Подобие треугольников

Два треугольника Подобны, если выполняется одно из следующих условий, называемых Признаками подобия:

два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника; две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны; три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности:

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

A 2 = B 2 + C 2 — 2Bc cos

Свойства равностороннего треугольника

Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме \(^>\), значит, каждый по \(^>\)

Таким образом, \(OB\) — это радиус окружности (обозначается \(R\)), а \(OK\) — радиус эндоцикла (обозначается \(r\)).

Но точка \(O\) также является пересечением пространств! Напомним, что медианы делятся пересечением в соотношении \(2:1\), считая от вершины.

Поэтому \(OB=2\cdot OK\), т.е. \(R=2\cdot r\).

Свойство 4. В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются длиной стороны.

Мы постоянно работаем над улучшением этого учебника, и вы можете помочь нам. Доступ и неограниченное использование учебника Юклава (более 100 статей по всем темам ЕГЭ и ОГЭ, более 2000 решенных задач, более 20 вебинаров — практических занятий).

Пример задачи

Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.

Решение Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100. Следовательно, BC = 10 см.

Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):

Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:8a = 60 – 6a14a = 60a ≈ 4,29

Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.

Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:AD 2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.

Теорема Стюарта. Доказательство

Теорема (Теорема Стюарта). Если точка D лежит на стороне BC треугольника ADC(Рис.1), то имеет место следующее равенство:

или

Доказательство (через теорему косинусов). Для треугольников ADB ADC запишем формулу, используя теорему косинусов:

Учитывая, что ( small cos ∠ADC=cos (180°−∠ADB)=-cos∠ADB , ) (2) можно записать так:

Умножим (1) на y и (2′) на x:

Сложим (3) и (4):

или

Тогда, учитывая, что x+y=a, получим:

Доказательство (с использованием векторов). Имеем:

Умножим (5) на CD, а (6) на BD:

Сложим (7) и (8):

Так как векторы

Учитывая (10) и CD+BD=BC, найдем AD из (9)

Возведем обе части равенства (11) в квадрат:

Возведем обе части равенства (12) в квадрат:

Поскольку

и, аналогично,

то

Тогда, учитывая (14),(15) и

и , учитывая, что ( small BD+CD=BC , ) получим:

Архив записей

Архив записейВыберите месяц Ноябрь 2022 (1) Сентябрь 2022 (1) Январь 2022 (2) Сентябрь 2021 (1) Июль 2021 (1) Июнь 2021 (2) Май 2021 (1) Апрель 2021 (1) Март 2021 (1) Сентябрь 2020 (1) Август 2020 (2) Июль 2020 (2) Июнь 2020 (2) Декабрь 2019 (3) Ноябрь 2019 (4) Октябрь 2019 (3) Сентябрь 2019 (2) Май 2019 (1) Октябрь 2018 (1) Июнь 2018 (1) Апрель 2018 (1) Январь 2018 (1) Ноябрь 2017 (1) Октябрь 2017 (1) Сентябрь 2017 (2) Август 2017 (4) Июль 2017 (5) Июнь 2017 (4) Май 2017 (5) Апрель 2017 (2) Март 2017 (1) Февраль 2017 (1) Январь 2017 (3) Декабрь 2016 (1) Ноябрь 2016 (2) Октябрь 2016 (3) Сентябрь 2016 (4) Август 2016 (6) Июль 2016 (9) Июнь 2016 (4) Май 2016 (5) Апрель 2016 (6) Март 2016 (5) Февраль 2016 (8) Январь 2016 (8) Декабрь 2015 (9) Ноябрь 2015 (4) Июль 2015 (1) Март 2015 (1) Февраль 2015 (1) Январь 2015 (1) Июль 2014 (1) Июль 2013 (1) Март 2013 (2) Декабрь 2012 (1) Ноябрь 2012 (1) Сентябрь 2012 (3) Август 2012 (4) Июль 2012 (4) Июнь 2012 (4) Май 2012 (4) Апрель 2012 (5) Март 2012 (7) Февраль 2012 (8) Январь 2012 (7) Декабрь 2011 (5) Ноябрь 2011 (1)

Теорема о длине биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы треугольника определяется по следующей формуле: где — биссектриса, проведенная к стороне — отрезки, на которые биссектриса делит сторону прилежащую к сторонам и соответственно. С доказательством этого утверждения интересующийся читатель может ознакомиться в видеоуроке.

Пример 3. Дан треугольник со сторонами 4; 8; 9. Найти длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.

Решение. Найдем сперва длины отрезков CL и LA. Используем для этого свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса треугольника разбивает противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. То есть CL : CB = LA : BA или CL : 4 = LA : 8. Учитывая также, что CL + LA = 9, получаем, что CL = 3, LA = 6. По доказанной ранее теореме, длину биссектрисы BL можно найти по следующей формуле: BL2 = CB · BA — CL · LA = 4·8 — 3·6 = 14. Итак, BL =

Задача для самостоятельного решения №3. В треугольнике ABC сторона AB равна 21, биссектриса BD равна а отрезок DC равен 8. Найти периметр треугольника ABC.

Показать ответ
Ответ: 60.

Теорема о трех медианах треугольника

Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил?

Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы, то есть доказать ее.

Доказательство теоремы о трех медианах треугольника

Сначала проведем не все три, а только две медианы. Они-то уж точно пересекутся, правда? Обозначим точку их пресечения буквой \( \displaystyle E\).

Соединим точки \( \displaystyle N\) и \( \displaystyle K\). Что получилось?

Конечно, \( \displaystyle NK\) – средняя линяя \( \displaystyle \triangle ABC\). Ты помнишь, что это значит?

\( \displaystyle NK\) параллельна \( \displaystyle AC\);
\( \displaystyle NK=\frac{AC}{2}\).

А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину \( \displaystyle AE\) – поставим точку \( \displaystyle F\), отметим середину \( \displaystyle EC\) — поставим точку \( \displaystyle G\).

Теперь \( \displaystyle FG\) – средняя линия \( \displaystyle \triangle AEC\). То есть:

\( \displaystyle FG\) параллельна \( \displaystyle AC\);
\( \displaystyle FG=\frac{AC}{2}\).

Заметил совпадения? И \( \displaystyle NK\) , и \( \displaystyle FG\) – параллельны \( \displaystyle AC\). И \( \displaystyle NK=\frac{AC}{2}\), и \( \displaystyle FG=\frac{AC}{2}\).

Что из этого следует?

\( \displaystyle NK\) параллельна \( \displaystyle FG\);
\( \displaystyle NK=FG\)

Посмотри теперь на четырехугольник \( \displaystyle NKGF\). У какого четырехугольника противоположные стороны (\( \displaystyle NK\) и \( \displaystyle FG\)) параллельны и равны?

Конечно же, только у параллелограмма!

Значит, \( \displaystyle NKGF\) – параллелограмм. Ну и что?

А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам.

Снова смотрим на рисунок.

Прямая на плоскости

Задачи по геометрии могут относиться к одному из двух принципиально отличающихся случаев. Это следующие:

На плоскости, где достаточно двух координат для описания любых геометрических объектов.
В трехмерном пространстве, где любая точка имеет три координаты.

Когда рассматривают треугольники и их элементы, то в ряде ситуаций речь идет именно о двумерном пространстве. В нем всякая прямая линия может быть выражена в виде нескольких математических форм или уравнений. Чаще всего используются следующие типы:

Общий. Он также называется универсальным. Прямая представляет собой следующую математическую запись: A*x + B*y + C = 0. Здесь A, B, C — числовые коэффициенты, x и y — переменные, являющиеся координатами. Сразу нужно отметить, что эта форма представления прямой используется для составления уравнения биссектрисы угла. Для удобства геометрического изображения общую форму записи часто представляют в виде y = f (x). Нужно понимать, что указанной форме в пространстве соответствует не прямая, а плоскость.
Канонический или уравнение в отрезках. Имеет оно такой вид: y/p + x/q = 1. Здесь p, q — это координаты, в которых прямая пересекает оси y и x, соответственно, поэтому удобно ее изображать в координатной системе.
Векторный. Это один из важных типов представления прямой как на плоскости, так и в пространстве. По сути, он является исходным представлением, из которого можно получить все остальные. Математически он записывается так: (x, y) = (x0, y0) + α*(v1, v2). Где (x0, y0) — координаты произвольной точки, которая лежит на прямой, (v1, v2) — направляющий вектор, он параллелен заданной прямой, α — произвольное число, параметр.
Параметрический. Этот тип представляет собой систему уравнений, которую удобно использовать во время преобразования одного вида прямой в другой. Представляет он собой следующую математическую запись: x = x0 + α*v1; y = y0 + α*v2. Несложно понять, что, выражая параметр α, можно получить уравнения общего вида и в отрезках. Объединяя же систему уравнений в одно выражение, получается векторная форма записи прямой.

Способы построения

Зная, что такое биссектриса, легко определить расположение отрезка в треугольной фигуре. Для построения применяется несколько способов:

Известен угол, из которого исходит прямая, делящая его на равные сегменты. Значение делится пополам. На рисунке с помощью транспортира строится нужный отрезок.
Если параметры угла неизвестны, его измеряют транспортиром, делят пополам, затем проводят искомую линию.
Оригинальный способ построить нужный отрезок с помощью карандаша, линейки и циркуля. Из любой вершины проводится окружность произвольного радиуса. Главное, что величина должна быть меньше, чем прилегающая сторона. Место пересечения с каждой стороной считается центром для еще двух окружностей с таким же шагом циркуля. Нарисовать еще два круга, которые пересекаются между собой два раза. Через полученные точки и вершину под линейку проводится прямая, которая и есть настоящая биссектриса внутреннего угла.
Построить треугольник по известной длине трех отрезков (АВ, ВС, АС) можно с помощью линейки и циркуля. На произвольной прямой линии обозначить сегмент, равный АВ. Из точки А провести окружность с шагом циркуля равным АС, а затем аналогично из точки В провести окружность с шагом ВС. Точка пересечения – вершина искомой треугольной фигуры (С), в которой легко определяются биссектрисы, учитывая их характеристики.

Длина биссектрисы треугольника

Рассмотрим треугольник на Рис.5.

Длина биссектрисы треугольника можно вычислить следующими формулами:

где p − полупериметр треугольника ABC, \( \small \gamma -\) угол между биссектрисой \( \small l_c\) и вершиной \( \small h_c:\)

Доказательство. 1) Из теоремы Стюарта следует:

(1)

А из теоремы о биссектрисе треугольника следует, что если l_c является биссектрисей треугольника ABC (Рис.5), то имеет место следующее соотношение:

(2)

Поскольку

(3)

(4)

(5)

Подставим (4) и (5) в (1):

(6)

Доказательство. 2) Подставим (4) и (5) в (6):

(7)

(8)

Доказательство. 3) Сделаем следующее обозначение:

(9)

Сделаем преобразования формулы (7), учитывая (9):

(10)

Доказательство. 4) Для доказательства четвертой формулы, снова обратимся к рисунке Рис.5. Запишем формулы площадей треугольников ABC, ADC и BDC:

Учитывая, что

(11)

Для \( \small \sin C \) применим формулу синуса двойного угла:

(12)

Подставляя (12) в (11) получим:

(13)

Доказательство. 5) Докажем пятую формулу. Из вершины C проведена вершина CH. Имеем прямоугольный треугольник CHD, для которого имеет место следующее равенство:

Остается показать, что

Поскольку биссектриса l_c делит угол C пополам, то:

Биссектриса треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти биссектрису треугольника. Для нахождения длины биссектрисы треугольника введите длины сторон треугольника, выберите сторону, к которой проведена биссектриса и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Определение 1. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны называется биссектрисой треугольника (Рис.1).

Биссектриса треугольника также называют биссектрисей угла треугольника или биссектрисей внутреннего угла треугольника.

Биссектриса внешнего угла треугольника − это биссектриса угла, которая является смежным с внутренним углом треугольника (Рис.2).

Любой треугольник имеет три биссектрисы.

Теорема 1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Проведем биссектрисы AA₁, BB₁ и обозначим через O точку их пересечения (Рис.3). Из точки O проведем перпендикуляры OK, OM и OL по сторонам треугольника ABC. По теореме 1 статьи Биссектриса угла. Свойства − OK=OL OK=OM. Следовательно OL=OM. Но последнее равенство означает, что точка O равноудалена от сторон AC и BC, т.е. находится на биссектрисе CC₁ (Определение 2 статьи Биссектриса угла. Свойства).

Точка пересечения биссектрис треугольника называется инцентром треугольника. Инцентр треугольника является центром вписанной в треугольник окружности (Рис.4).

Доказательство следует из теоремы 1, поскольку точка O равноудалена от сторон треугольника ABC и, следовательно, является центром окружности равной OK=OL=OM.

Похожие вопросы