Сравнимость. К.Гаусс (1801).
Сравнение – соотношение между двумя целыми числами n и m, означающее, что разность n–m этих чисел делится на заданное целое число а, называемое модулем сравнения; пишется: n≡m(mod а) и читается «числа n и m сравнимы по модулю а». Например, 3≡11(mod 4), так как 3–11 делится на 4; числа 3 и 11 сравнимы по модулю 4. Сравнения обладают многими свойствами, аналогичными свойствам равенств. Так, слагаемое, находящееся в одной части сравнения можно перенести с обратным знаком в другую часть, а сравнения с одним и тем же модулем можно складывать, вычитать, умножать, обе части сравнения можно умножать на одно и то же число и др. Например,
3≡9+2(mod 4) и 3–2≡9(mod 4)
– одновременно верные сравнения. А из пары верных сравнений 3≡11(mod 4) и 1≡5(mod 4) следует верность следующих:
3+1≡11+5(mod 4)
3–1≡11–5(mod 4)
3·1≡11·5(mod 4)
32≡112(mod 4)
3·23≡11·23(mod 4)
В теории чисел рассматриваются методы решения различных сравнений, т.е. методы отыскания целых чисел, удовлетворяющих сравнениям того или иного вида. Cравнения по модулю впервые использовались немецким математиком Карлом Гауссом в его книге «Арифметические исследования» 1801 года. Он же предложил утвердившуюся в математике символику для сравнений.
Полоски и тире
| Фамилия | Юникод | HTML | Латекс | Использует | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| вертикальная полоса | | | 007C | |{\ displaystyle |} | или и | абсолютное значение , модуль комплексного числа , определитель , кардинал множества , такие, что, зная, что | |
| полоса делимости | ∣ ∤ | 2223 2224 | ∣∤{\ displaystyle {\ begin {array} {c} \ mid \\\ nmid \ end {array}}} | или же |
делимость , , определение множества по осмыслению , условная вероятность |
|
| двойные вертикальные полосы | ∥ | 2016 г. | ‖{\ displaystyle \ Green} | или и | норма вектора | |
| параллельный | ∥ ∦ | 2225 2226 | ∥∦{\ displaystyle {\ begin {array} {c} \ parallel \\\ nparallel \ end {array}}} | параллелизм | ||
| слэш | 002F | {\ displaystyle /} | или же | деление , определение множества по пониманию , частное множество | ||
| разделительная косая черта | ∕ | 2215 | {\ displaystyle /} | разделение | ||
| дробная полоса | ⁄ | 2044 | & frasl; | {\ displaystyle /} | доля | |
| обратная косая черта | \ | 005C | ∖{\ displaystyle \ backslash} |
групповое частное по действию слева |
||
| разница наборов | ∖ | 2216 | ∖{\ displaystyle \ setminus} | установить разницу | ||
| меньше | — | 2212 | & минус; | -{\ displaystyle -} |
вычитание , изменение знака , установка разности
верхний или нижний индекс: отрицательная часть набора чисел |
|
| обел | ÷ | 00F7 | & делить; | ÷{\ displaystyle \ div} | разделение | |
| горизонтальная резьба | {\ displaystyle {\ frac {\ quad} {\ quad}}} | дробная полоса |
||||
| равный | знак равно | 003D | знак равно{\ displaystyle =} | равенство , определение , присвоение | ||
| неровный | ≠ | 2260 | &родившийся; | ≠{\ displaystyle \ neq} | неравенство | |
| двоеточие равно, дельта больше равно | ≔, ≜{\ Displaystyle \ треугольникq} | 2254, 225C | знак равно{\ displaystyle: =}, ≜{\ Displaystyle \ треугольникq} | , | определение , присвоение | |
| похожий на | ≡ | 2261 | & Equiv; | ≡{\ Displaystyle \ Equiv} | соответствие , идентичность |
Трансляция
– А Вычитание знаешь? Отними из восьми девять.
– Этого я не знаю, но зато…
Зато? Что так смутило Алису? Ответ прост, и подсказкой будет то, что этот момент смущал те только Алису, он сильно мучил и «древних математиков». А сложность этого момента сводится к простому утверждению: не все математические действия с «камешками» однозначно соответствуют (то есть Переносятся) на стадо коров. И отрицательные числа, наверно, стали самой простой и только первой проблемой, с которой столкнулась математика. Ведь очень непонятно какой корове соответствует отрицательное число -1.
И дальше встает вопрос. Отказываться ли от этих «странных» отрицательных чисел? Или можно использовать их, но не Переносить в коровы? Со знаниями, которыми обладает современный школьник старших классов, ответ тривиален. Конечно, использовать! И, видимо, Алисе придётся все же изучить и такое «странное» вычитание. Но «древним математикам» было не так легко. И только польза от алгоритмов, использующих отрицательные числа, помогла принять это сложное решение и ответить на заданный вопрос утвердительно. Да, нужно использовать отрицательные числа!
Такие же странные вопросы, подобные вопросу об «отрицательных числах», впоследствии вставали перед математиками не один раз. Вопросы были запутанными совсем как у Гусеницы, и каждый раз новая абстракция становилась всё «страньше» и «страньше». Иррациональные числа вместо рациональных (например, для алгоритма нахождения длины окружности по диаметру). Квадратный корень из отрицательного числа («мнимая единица»), например, для алгоритма решения кубического уравнения. «Бесконечность», например, для нахождения значения предела сходящейся суммы бесконечного ряда (еще древнегреческий философ Зенона размышлял над этой странной задачей в парадоксе «Ахиллес и черепаха»). Парадоксов перед математиками было много. Некоторые все же исключались, потому что не было возможности использовать их в полезных алгоритмах. Так было, например, с парадоксом «Множество всех множеств». Но основой всех таких размышлений и решений было одно — наличие полезных алгоритмов, в которых использовались эти «странности». И тут «естественный отбор» тоже работал. И эволюционный способ формирования математических алгоритмов, медленным и в дополнение к нему быстрым накоплением привел к тому, что мы сейчас называем слово «Математика».
А где же прячется различие двух близнецов «Переноса» и «Трансляции«. Вы, да и Алиса, верно уже догадались. При задании Трансляции обязательно вводятся ограничения и указывается подмножество взаимно-однозначно соответствующих объектов и алгоритмов, внутри которого можно корректно произвести Перенос между двумя алгоритмическими областями: прикладной областью («стадом коров») и пространством модели («горсткой камешков»). Вне этого подмножества Перенос невозможен. Как невозможна «минус одна корова». Эти ограничения необходимы в представленной модели с «отрицательными числами». Самой простой модели, которую удалось найти. Но такие же ограничения есть и для моделей с трансляцией куда более сложной. Все же здесь остановимся. Не будем всё сваливать в одну кучу — ведь перед нами нечто посложнее стада коров.
Оставим сложную часть для следующей статьи, в которой продолжим наш разговор об ученых, моделях и разных способах использования Алгоритма для изучения научного познания. На очереди вывод на чистую воду алгоритмичности «Физики». И, думаю, опять в этом нам должна помочь Алиса. Осталось только найти этому занятию время и надеяться, что мы не потратим его впустую.
– Все понятно! – с торжеством сказал Шляпа.
– Провести время?! Ишь чего захотела! Время не проведешь! Да и не любит он этого!
Более поздние обозначения
Учитывая, что знакомые нам графические изображения «плюса» и «минуса» были введены в обращение всего несколько столетий назад, не кажется удивительным, что математические знаки и символы, обозначающие сложные явления, стали использоваться лишь в позапрошлом веке.
Так, факториал, имеющий вид восклицательного знака после числа или переменной, появился лишь в начале XIX века. Приблизительно тогда же появились заглавная «П» для обозначения произведения и символ предела.
Несколько странно, что знаки для числа Пи и алгебраической суммы появились лишь в XVIII веке — позже, чем, например, символ интеграла, хотя интуитивно кажется, что они являются более употребительными. Графическое изображение отношения длины окружности к диаметру происходит от первой буквы греческих слов, означающих «окружность» и «периметр». А знак «сигма» для алгебраической суммы был предложен Эйлером в последней четверти XVIII столетия.
Дифференциал. Г.Лейбниц (1675, в печати 1684).
Главная, линейная часть приращения функции. Если функция y=f(x) одного переменного x имеет при x=xпроизводную, и приращение Δy=f(x+?x)–f(x) функции f(x) можно представить в виде Δy=f'(x)Δx+R(Δx), где член R бесконечно мал по сравнению с Δx. Первый член dy=f'(x)Δx в этом разложении и называется дифференциалом функции f(x) в точке x. В работах Готфрида Лейбница, Якоба и Иоганна Бернулли слово «differentia» употреблялось в смысле «приращение», его И. Бернулли обозначал через Δ. Г. Лейбниц (1675, в печати 1684) для «бесконечно малой разности» использовал обозначение d – первую букву слова «differential», образованого им же от «differentia».
История математических знаков
Задумывались ли вы о том, откуда математические знаки пришли к нам и что они изначально обозначали? Происхождение этих знаков не всегда можно точно установить. Существует мнение, что знаки «+» и «–» возникли в торговой практике. Виноторговец чёрточками отмечал, сколько мер вина он продал из бочки. Приливая в бочку новые запасы, он перечёркивал столько расходных чёрточек, сколько мер он восстановил. Так, якобы, произошли знаки сложения и вычитания в ХV веке. Относительно происхождения знака «+» существует и другое объяснение. Вместо «а + b» писали «а и b», по латыни «а et b». Так как слово «et» («и») приходилось писать очень часто, то его стали сокращать: писали сначала одну букву t, которая в конце концов превратилась в знак «+». Название «слагаемое» впервые встречается в работах математиков XIII века, а понятие «сумма» получило современное толкование только в XV веке. До этого времени оно имело более широкий смысл – суммой называли результат любого из четырёх арифметических действий. Для обозначения действия умножения одни из европейских математиков XVI века употребляли букву М, которая была начальной в латинском слове, обозначающем увеличение, умножение, – мультипликация (от этого слова произошло название «мультфильм»). В XVII веке некоторые математики стали обозначать умножение косым крестиком «×», а иные употребляли для этого точку.В Европе продолжительное время произведение называли суммой умножения. Название «множитель» упоминается в работах XI века. На протяжении тысячелетий действие деление не обозначали знаками. Арабы ввели для обозначения деления черту «/». Её перенял от арабов в XIII веке итальянский математик Фибоначчи. Он же первым употребил термин «частное». Знак двоеточия «:» для обозначения деления вошёл в употребление в конце XVII века. В России названия «делимое», «делитель», «частное» впервые ввёл Л.Ф. Магницкий в начале XVIII века. Знак равенства обозначался в разные времена по-разному: и словами, и различными символами. Знак «=», столь удобный и понятный сейчас, вошёл во всеобщее употребление только в XVIII веке. А предложил этот знак для обозначения равенства двух выражений английский автор учебника алгебры
Роберт Рикорд в 1557 году.
+ —
Знаки плюса и минуса придумали, по-видимому, в немецкой математической школе «коссистов» (то есть алгебраистов). Они используются в «Арифметике» Иоганна Видмана (Johannes Widmann), изданной в 1489 году. До этого сложение обозначалось буквой p (plus) или латинским словом et (союз «и»), а вычитание — буквой m (minus). У Видмана символ плюса заменяет не только сложение, но и союз «и». Происхождение этих символов неясно, но, скорее всего, они ранее использовались в торговом деле как признаки прибыли и убытка. Оба символа практически мгновенно получили общее распространение в Европе — за исключением Италии, которая ещё около века использовала старые обозначения.× ∙Знак умножения ввёл в 1631 году Уильям Отред (Англия) в виде косого крестика. До него использовали букву M. Позднее Лейбниц заменил крестик на точку (конец XVII века), чтобы не путать его с буквой x; до него такая символика встречалась у Региомонтана (XV век) и английского учёного Томаса Хэрриота (1560—1621)./ :
÷
Знаки деления. Отред предпочитал косую черту. Двоеточием деление стал обозначать Лейбниц. До них часто использовали также букву D. Начиная с Фибоначчи, используется также черта дроби, употреблявшаяся ещё в арабских сочинениях. В Англии и США распространение получил символ ÷ (обелюс), который предложили Йоханн Ран и Джон Пелл (John Pell) в середине XVII века.
±
Знак плюс-минус появился у Альберта Жирара (1626) и Отреда.
=
Знак равенства предложил Роберт Рекорд (Robert Recorde, 1510—1558) в 1557 году. Он пояснил, что нет в мире ничего более равного, чем два параллельных отрезка одинаковой длины. В континентальной Европе знак равенства был введён Лейбницем.
≠
Знак «не равно» впервые встречается у Эйлера.Знаки сравнения ввёл Томас Хэрриот в своём сочинении, изданном посмертно в 1631 году. До него писали словами: больше, меньше.Символы нестрогого сравнения предложил Валлис.
Деление. И.Ран (1659), Г.Лейбниц (1684).
Уильям Оутред в качестве знака деления использовал косую черту /. Двоеточием деление стал обозначать Готфрид Лейбниц. До них часто использовали также букву D. Начиная с Фибоначчи, используется также горизонтальная черта дроби, употреблявшаяся ещё у Герона, Диофанта и в арабских сочинениях. В Англии и США распространение получил символ ÷ (обелюс), который предложил Иоганн Ран (возможно, при участии Джона Пелла) в 1659 году. Попытка Американского национального комитета по математическим стандартам (National Committee on Mathematical Requirements) вывести обелюс из практики (1923) оказалась безрезультатной.
Символы линейной алгебры
| · | Точка | Скалярное произведение | А · Б |
| × | Пересекать | Векторный продукт | А × Б |
| А ⊗ Б | Тензорное произведение | Тензорное произведение A и B | А ⊗ Б |
| Внутренний продукт | |||
| [] | Кронштейны | Матрица чисел | |
| () | Круглые скобки | Матрица чисел | |
| | А | | Детерминант | Определитель матрицы A | |
| Det ( А ) | Детерминант | Определитель матрицы A | |
| || Х || | Двойные вертикальные полосы | Норма | |
| А Т | Транспонировать | Матрица транспонировать | ( A T ) Ij = ( A ) Ji |
| A † | Эрмитова матрица | Матрица сопряженная транспонировать | ( A † ) Ij = ( A ) Ji |
| А * | Эрмитова матрица | Матрица сопряженная транспонировать | ( A * ) Ij = ( A ) Ji |
| А -1 | Обратная матрица | AA -1 = I | |
| Ранг ( А ) | Ранг матрицы | Ранг матрицы A | Ранг ( А ) = 3 |
| Тусклый ( U ) | Измерение | Размерность матрицы A | Dim ( U ) = 3 |
Символьные обозначения
Для обозначения геометрических фигур и их проекций, для отображения отношения между геометрическими фигурами, а также для краткости записей геометрических предложений, алгоритмов решения задач и доказательства теорем используются символьные обозначения.
Символьные обозначения, все их многообразие, может быть подразделено на две группы: — Первая группа — обозначения геометрических фигур и отношения между ними; — Вторая группа — обозначения логических операций, составляющая синтаксическую основу геометрического языка.
Символьные обозначения — Первая группа
Символы, обозначающие геометрические фигуры и отношения между ними
Обозначения геометрических фигур: Φ — геометрическая фигура; A, B, C, D, …, L, M, N, … — точки расположенные в пространстве; 1, 2, 3, 4, …, 12, 13, 14, … — точки расположенные в пространстве; a, b, c, d, …, l, m, n, … — линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекций; h, υ(f), ω — линии уровня (горизонталь, фронталь, профильная прямая соответственно); (AB) — прямая проходящая через точки A и B; — отрезок прямой, ограниченный точками A и B; α, β, γ, δ, …, ζ, η, θ — поверхность; ∠ABC — угол с вершиной в точке B; ∠α, ∠β, ∠γ — угол α, угол β, угол γ соответственно; |AB| — расстояние от точки A до точки B (длина отрезка AB); |Aa| — расстояние от точки A до линии a; |Aα| — расстояние от точки A до поверхности α; |ab| — расстояние между прямыми a и b; |αβ| — расстояние между поверхностями α и β; H, V, W — координатные плоскости проекций (именуемые как горизонтальная, фронтальная, профильная соответственно); П1, П2, П3 — координатные плоскости проекций (именуемые как горизонтальная, фронтальная, профильная соответственно); x, y, z — координатные оси проекций (ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат); ko — постоянная прямая эпюра Монжа;
O — точка пересечения осей проекций; `, «, `» — верхние индексы для проекций точек, прямых, углов, фигур, поверхностей на плоскости проекций (именуемые как горизонтальную, фронтальную, профильную соответственно); 1, 2, 3 — верхние индексы для проекций точек, прямых, углов, фигур, поверхностей на плоскости проекций (именуемые как горизонтальную, фронтальную, профильную соответственно); αH, αV, αW — след поверхности оставляемый на горизонтальной, на фронтальной, на профильной плоскости проекций соответственно; αH, αV, αW — след поверхности α оставляемый на горизонтальной, на фронтальной, на профильной плоскости проекций соответственно; aH, aV, aW — след прямой a оставляемый на горизонтальной, на фронтальной, на профильной плоскости проекций соответственно;
Проекции точек, линий, поверхностей любой геометрической фигуры обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, с добавлением верхнего индекса A`, A», A`» или 1`, 1″, 1`», соответствующего плоскости проекции, на которой они получены: A`, B`, C`, D`, …, L`, M`, N`, … — горизонтальные проекции точек; A», B», C», D», …, L», M», N», … — фронтальные проекции точек; A`», B`», C`», D`», …, L`», M`», N`», … — профильные проекции точек; a`, b`, c`, d`, …, l`, m`, n`, …
— горизонтальные проекции линий; a», b», c», d», …, l», m», n», …
Линейная алгебра[править | править код]
| Символ TeX (Команда TeX) | Символ (Юникод) | Название | Значение | Пример |
|---|---|---|---|---|
| Произношение | ||||
| ⊗{\displaystyle \otimes } | ⊗ | Тензорное произведение | T1⊗T2{\displaystyle T_{1}\otimes T_{2}} означает «тензорное произведение тензоров T1{\displaystyle T_{1}} и T2{\displaystyle T_{2}}». | |
| «тензорное произведение … и …» | ||||
| AT{\displaystyle A^{T}} | AT | Транспонированная матрица | AT{\displaystyle A^{T}} означает «транспонированная матрица A{\displaystyle A}». | |
| «транспонированная матрица …» | ||||
| Ei,j{\displaystyle E_{i,\,j}} | Ei, j | Матричная единица | Ei,j{\displaystyle E_{i,\,j}} означает «матричная i,j{\displaystyle i,\;j}-единица», то есть матрица, у которой на месте (i,j){\displaystyle (i,\;j)} стоит единица, а на остальных местах — нули. | |
| «матричная единица …» | ||||
| ∗{\displaystyle *} | * |
Сопряжённый оператор |
A∗{\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}} означает «линейный оператор, сопряжённый к A{\displaystyle {\mathcal {A}}}», если A{\displaystyle {\mathcal {A}}} — линейный оператор.
V∗{\displaystyle V^{*}} означает «линейное пространство, сопряжённое к V{\displaystyle V} (дуальное к V{\displaystyle V})», если V{\displaystyle V} — линейное пространство. |
|
| «оператор, сопряжённый к …»; «пространство, сопряжённое к …»; |
Символы теории множеств
| Набор | Набор элементов | A = , B = |
|
| А ∩ Б | Пересечение | Объекты, принадлежащие множеству A и множеству B | A ∩ B = |
| А ∪ Б | Союз | Объекты, принадлежащие множеству A или множеству B | A ∪ B = |
| А ⊆ Б | Подмножество | A является подмножеством B. множество A включено в набор B. | ⊆ |
| A ⊂ B | Правильное подмножество / строгое подмножество | A является подмножеством B, но A не равно B. | ⊂ |
| А ⊄ Б | Не подмножество | Множество A не является подмножеством множества B | ⊄ |
| А ⊇ Б | Суперсет | A является надмножеством B. множество A включает множество B | ⊇ |
| А ⊃ Б | Правильный суперсет / строгий суперсет | A является надмножеством B, но B не равно A. | ⊃ |
| А ⊅ Б | Не суперсет | Множество A не является надмножеством множества B | ⊅ |
| 2 А | Набор мощности | Все подмножества A | |
| Набор мощности | Все подмножества A | ||
| А = В | Равенство | Оба набора имеют одинаковые элементы | A = , B = , A = B |
| А в | Дополнять | Все объекты, не принадлежащие множеству A | |
| А \ Б | Относительное дополнение | Объекты, принадлежащие A, а не B | A = , B = , AB = |
| А — Б | Относительное дополнение | Объекты, принадлежащие A, а не B | A = , B = , AB = |
| A ∆ B | Симметричная разница | Объекты, принадлежащие A или B, но не их пересечение | A = , B = , A ∆ B = |
| А ⊖ Б | Симметричная разница | Объекты, принадлежащие A или B, но не их пересечение | A = , B = , A ⊖ B = |
| A ∈A | Элемент, Принадлежит |
Установить членство | A = , 3 ∈ A |
| X ∉A | Не элемент | Нет установленного членства | A = , 1 ∉ A |
| ( А , Б ) | Упорядоченная пара | Сборник из 2-х элементов | |
| A × B | Декартово произведение | Множество всех упорядоченных пар из A и B | |
| | A | | Мощность | Количество элементов множества A | A = , | A | = 3 |
| #A | Мощность | Количество элементов множества A | A = , # A = 3 |
| | | Вертикальная полоса | Такой, что | А = |
| Алеф-нуль | Бесконечная мощность множества натуральных чисел | ||
| Алеф-он | Мощность множества счетных порядковых чисел | ||
| Ø | Пустой набор | Ø = | C = |
| Универсальный набор | Набор всех возможных значений | ||
| Набор натуральных / целых чисел (с нулем) | 0 = | 0 ∈ 0 | |
| 1 | Набор натуральных / целых чисел (без нуля) | 1 = | 6 ∈ 1 |
| Набор целых чисел | = | -6 ∈ | |
| Набор рациональных чисел | = X | X = A / B , A , B ∈ > | 2/6 ∈ | |
| Набор реальных чисел | = X | -∞ Х | 6.343434∈ | |
| Набор комплексных чисел |
= Z | Z = a + Bi , -∞ A b |
6 + 2 I ∈ |
Символи за анализ и анализ
| Граница | Гранична стойност на функция | ||
| Ε | Епсилон | Представлява много малко число, близо до нула | Ε → 0 |
| Д | E константа / номер на Ойлер | E = 2,718281828 . | E = lim (1 + 1 / X ) X , X → ∞ |
| У « | Производно | Производна — нотация на Лагранж | (3 X 3 ) ‘= 9 X 2 |
| Y « | Второ производно | Производно на производно | (3 X 3 ) «= 18 X |
| Y ( N ) | N-то производно | N умножение | (3 Х 3 ) (3) = 18 |
| Производно | Производна — нотация на Лайбниц | D (3 X 3 ) / Dx = 9 X 2 | |
| Второ производно | Производно на производно | D 2 (3 X 3 ) / Dx 2 = 18 X | |
| N-то производно | N умножение | ||
| Производна на времето | Производна по време — нотация на Нютон | ||
| Време второ производно | Производно на производно | ||
| D x y | Производно | Производна — нотация на Ойлер | |
| D x 2 Г. | Второ производно | Производно на производно | |
| Частична производна | ∂ ( X 2 + Y 2 ) / ∂ X = 2 X | ||
| ∫ | Неразделна | Противоположно на деривацията | ∫ F (x) dx |
| ∫∫ | Двоен интеграл | Интегриране на функция на 2 променливи | ∫∫ F (x, y) dxdy |
| ∫∫∫ | Тройна интегрална | Интегриране на функция на 3 променливи | ∫∫∫ F (x, y, z) dxdydz |
| ∮ | Затворен контур / линия интеграл | ||
| ∯ | Интеграл от затворена повърхност | ||
| ∰ | Интеграл от затворен обем | ||
| [ A , B ] | Затворен интервал | [ A , B ] = X | A ≤ X ≤ B > | |
| ( А , Б ) | Отворен интервал | ( A , B ) = X | A X B > | |
| I | Въображаема единица | I ≡ √ -1 | Z = 3 + 2 I |
| Z * | Сложен конюгат | Z = A + Bi → Z * = A — Bi | Z * = 3 — 2 I |
| Z | Сложен конюгат | Z = A + Bi → Z = A — Bi | Z = 3 — 2 I |
| Re ( Z ) | Реална част от комплексно число | Z = A + Bi → Re ( Z ) = A | Re (3 — 2 I ) = 3 |
| Im ( Z ) | Въображаема част от комплексно число | Z = A + Bi → Im ( Z ) = B | Im (3 — 2 I ) = -2 |
| | Z | | Абсолютна стойност / величина на комплексно число | | Z | = | A + Bi | = √ ( A 2 + B 2 ) | | 3 — 2 I | = √13 |
| Аргумент ( Z ) | Аргумент на комплексно число | Ъгълът на радиуса в комплексната равнина | Arg (3 + 2 I ) = 33,7 ° |
| ∇ | Nabla / del | Оператор на градиент / дивергенция | ∇ F ( X , Y , Z ) |
| Вектор | |||
| Единичен вектор | |||
| Х * У | Конволюция | Y ( T ) = X ( T ) * H ( T ) | |
| Лапласова трансформация | F ( S ) = F ( T )> | ||
| Преобразуване на Фурие | X ( Ω ) = F ( T )> | ||
| Δ | Делта функция | ||
| ∞ | Лемнискат | Символ на безкрайността |
Математическая логика
| Символ TeX (Команда TeX) | Символ (Юникод) | Название | Значение | Пример |
|---|---|---|---|---|
| Произношение | ||||
| \displaystyle{ \Rightarrow } (\Rightarrow)\displaystyle{ \rightarrow }(\rightarrow)\displaystyle{ \supset }(\supset) | ⇒→⊃ | Импликация, следование | \displaystyle{ A \Rightarrow B } означает «если \displaystyle{ A } верно, то \displaystyle{ B } также верно».(→ может использоваться вместо ⇒ или для обозначения функции, см. ниже.)(⊃ может использоваться вместо ⇒ или для обозначения надмножества, см. ниже.). | \displaystyle{ x = 2 \Rightarrow x^2 = 4 } верно, но \displaystyle{ x^2 = 4 \Rightarrow x = 2 } неверно (так как \displaystyle{ x=-2 } также является решением). |
| «влечёт» или «если…, то» или «отсюда следует» | ||||
| \displaystyle{ \Leftrightarrow }(\Leftrightarrow) | ⇔ | Равносильность | \displaystyle{ A \Leftrightarrow B } означает «\displaystyle{ A } верно тогда и только тогда, когда \displaystyle{ B } верно». | \displaystyle{ x + 5 = y + 2 \Leftrightarrow x + 3 = y } |
| «если и только если» или «равносильно» | ||||
| \displaystyle{ \wedge }(\wedge) | ∧ | Конъюнкция | \displaystyle{ A \wedge B } истинно тогда и только тогда, когда \displaystyle{ A } и \displaystyle{ B } оба истинны. | \displaystyle{ (n\gt 2)\wedge (n\lt 4)\Leftrightarrow (n=3) }, если \displaystyle{ n } — натуральное число. |
| «и» | ||||
| \displaystyle{ \vee }(\vee) | ∨ | Дизъюнкция | \displaystyle{ A\vee B } истинно, когда хотя бы одно из условий \displaystyle{ A } и \displaystyle{ B } истинно. | \displaystyle{ (n\leqslant 2)\vee (n\geqslant 4)\Leftrightarrow n\ne 3 }, если \displaystyle{ n } — натуральное число. |
| «или» | ||||
| \displaystyle{ \neg }(\neg) | ¬ | Отрицание | \displaystyle{ \neg A } истинно тогда и только тогда, когда ложно \displaystyle{ A }. | \displaystyle{ \neg (A\wedge B)\Leftrightarrow (\neg A)\vee (\neg B) }\displaystyle{ x\notin S\Leftrightarrow \neg(x\in S) } |
| «не» | ||||
| \displaystyle{ \forall }(\forall) | ∀ | Квантор всеобщности | \displaystyle{ \forall x, P\left( x \right) } обозначает «\displaystyle{ P\left( x \right) } верно для всех \displaystyle{ x }». | \displaystyle{ \forall n\in \mathbb N,\;n^2\geqslant n } |
| «Для любых», «Для всех», «Для всякого» | ||||
| \displaystyle{ \exists }(\exists) | ∃ | Квантор существования | \displaystyle{ \exists x,\;P\left( x \right) } означает «существует хотя бы один \displaystyle{ x } такой, что верно \displaystyle{ P\left( x \right) }» | \displaystyle{ \exists n\in \mathbb N,\;n+5=2n } (подходит число 5) |
| «существует» | ||||
| \displaystyle{ = } | = | Равенство | \displaystyle{ x=y } обозначает «\displaystyle{ x } и \displaystyle{ y } принимают одно и то же значение». | 1 + 2 = 6 − 3 |
| «равно» | ||||
| \displaystyle{ := }\displaystyle{ :\Leftrightarrow }(:\Leftrightarrow)\displaystyle{ \stackrel{\rm{def}}{=} }(\stackrel{\rm{def}}{=}) | :=:⇔≝ | Определение | \displaystyle{ x := y } означает «\displaystyle{ x } по определению равен \displaystyle{ y }».\displaystyle{ P :\Leftrightarrow Q } означает «\displaystyle{ P } по определению равносильно \displaystyle{ Q }» | \displaystyle{ {\rm ch} \left( x \right) := {1\over 2}\left(e^x+e^{-x}\right) } (определение гиперболического косинуса)\displaystyle{ A \oplus B :\Leftrightarrow (A\vee B)\wedge \neg (A\wedge B) } (определение исключающего «ИЛИ») |
| «равно/равносильно по определению» |
Предел. С.Люилье (1786), У.Гамильтон (1853), многие математики (вплоть до нач. ХХ в.)
Предел – одно из основных понятий математического анализа, означающее, что некоторая переменная величина в рассматриваемом процессе ее изменения неограниченно приближается к определенному постоянному значению. Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине XVII века Исааком Ньютоном, а также математиками XVIII века, такими как Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж. Первые строгие определения предела последовательности дали Бернард Больцано в 1816 году и Огюстен Коши в 1821 году. Символ lim (3 первые буквы от латинского слова limes – граница) появился в 1787 году у швейцарского математика Симона Антуана Жана Люилье, но его использование ещё не напоминало современное. Выражение lim в более привычном для нас оформлении первым использовал ирландский математик Уильям Гамильтон в 1853 году. Близкое к современному обозначение ввёл Вейерштрасс, однако вместо привычной нам стрелки он использовал знак равенства. Стрелка появилась в начале XX века сразу у нескольких математиков – например, у английского математика Годфрида Харди в 1908 году.
