Как найти площадь шестиугольника по формуле?

Что такое правильный шестиугольник

Этот многоугольный геометрический объект имеет определённые свойства:

• Каждый угол этой фигуры равняется 120 градусам;
• Вокруг правильного шестиугольника можно описать окружность, причем единственную, а её радиус
  равняется его стороне;
• Большие диагонали такого выпуклого многоугольника разделяют его на шесть равносторонних
  треугольников, высота каждого равняется радиусу вписанной в выпуклый многоугольник окружности;
• Центры вписанной и описанной окружностей около подобного выпуклого многоугольника — это точка
  пересечения больших диагоналей этого множества точек.

Эта фигура очень часто встречается в природе, технике и культуре. К примеру:

• Пчелиные соты изображают разделение плоскости на выпуклые шестиугольники;
• Некоторые сложные молекулы углерода имеют гексагональную кристаллическую решётку;
• Сечение гайки и большинства карандашей описывается таким выпуклым многоугольником;
• Гексаграмма — это шестиконечная звезда, сформированная двумя правильными треугольниками. Также
  её называют звездой Давида, она считается символом иудаизма.

Свойства

Правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы равны между собой. Зная длину стороны правильного многоугольника и их количество можно найти все необходимые параметры. Периметр такого многоугольника равен произведению длины стороны a на общее их количество n. P=an

Формула площади правильного многоугольника, зная стороны, представляет собой произведение количества сторон и квадрата длины стороны, деленное на четыре тангенса угла, полученного делением 180 градусов на то же количество сторон. S=(na^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )

В правильный многоугольник можно вписать окружность и описать окружность вокруг него. Радиусы внутренней и внешней окружности всецело зависят от длины стороны и их количества. Чтобы найти радиус вписанной окружности правильного многоугольника, зная сторону, нужно разделить ее на два тангенса угла, полученного делением 180 градусов на количество сторон. Радиус описанной окружности, в свою очередь, равен стороне, деленной еа два синуса того же угла. r=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ) R=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )

Угол правильного многоугольника зависит только от количества сторон и рассчитывается как 180 градусов, деленные на количество сторон, и умноженные на разность количества сторон и двух. α=(n-2) (180°)/n

Умение определять площадь различных фигур играет немалую роль в жизни каждого человека. Рано или поздно приходится иметь дело с этими знаниями. К примеру, в процессе ремонта помещения для определения необходимого количества рулонов обоев, линолеума, паркета, плитки в ванную или на кухню нужно уметь рассчитывать необходимую площадь.

Знаниями в области геометрии пользовались еще в древнем Вавилоне и других странах. На первых шагах к культуре всегда возникала необходимость измерить участок, расстояние. При строительстве первых значительных сооружений требовались умения выдерживать вертикаль, спроектировать план.

Роль эстетических потребностей людей также имела немалое значение. Украшение жилища, одежды, рисование картин способствовало процессу формирования и накопления сведений в области геометрии, которые люди тех времён добывали опытным путем, по крупицам и передавали из поколения в поколение.

Сегодня знания геометрии необходимы и закройщику, и строителю, и архитектору и каждому простому человеку в быту.

Поэтому нужно учиться рассчитывать площадь различных фигур, и помнить, что каждая из формул может пригодиться впоследствии на практике, в том числе, и формула правильного шестиугольника. Шестиугольником называется такая многоугольная фигура, общее количество углов которой равно шести.

Вопрос-ответ:

Как рассчитать площадь шестиугольника с помощью калькулятора?

Для расчета площади шестиугольника с помощью калькулятора нужно знать длину его стороны. Вам нужно ввести эту величину в соответствующее поле на калькуляторе и нажать кнопку «Рассчитать». Калькулятор выполнит расчет и выдаст результат — площадь шестиугольника.

Какая формула используется для вычисления площади шестиугольника?

Формула для вычисления площади шестиугольника зависит от известных данных. Если известны только длины сторон, можно использовать формулу площади через длины сторон: S = (3√3 * a^2) / 2, где a — длина стороны шестиугольника. Если известны координаты вершин, можно использовать формулу площади через координаты: S = (1/2) * |(x1*y2 + x2*y3 + x3*y4 + x4*y5 + x5*y6 + x6*y1) — (y1*x2 + y2*x3 + y3*x4 + y4*x5 + y5*x6 + y6*x1)|.

Могу ли я использовать калькулятор для расчета площади регулярного шестиугольника?

Конечно! Калькулятор площади шестиугольника может использоваться для расчета площади регулярного шестиугольника. Для расчета площади регулярного шестиугольника нужно знать длину его стороны. Просто введите эту величину в соответствующее поле на калькуляторе и нажмите кнопку «Рассчитать». Калькулятор выполнит расчет и выдаст результат — площадь регулярного шестиугольника.

Могу ли я использовать калькулятор для расчета площади нерегулярного шестиугольника?

Да, вы можете использовать калькулятор площади шестиугольника для расчета площади нерегулярного шестиугольника. Для этого вам необходимо знать длины всех его сторон. Просто введите эти значения в соответствующие поля на калькуляторе и нажмите кнопку «Рассчитать». Калькулятор выполнит расчет и выдаст результат — площадь нерегулярного шестиугольника.

Как найти площадь шестиугольника, если известны его стороны?

Для расчета площади шестиугольника по стороне можно воспользоваться формулой: S = (3 * √3 * a^2) / 2, где S — площадь шестиугольника, a — длина стороны шестиугольника.

Описанная и вписанная окружности правильного многоугольника

Докажем важную теорему о правильном многоуг-ке.

Для доказательства обозначим вершины произвольного правильного n-угольника буквами А₁, А₂, А₃…А_n. Далее проведем биссектрисы углов ∠А₁ и ∠А₂. Они пересекутся в некоторой точке О. Соединим О с другими вершинами многоуг-ка отрезками ОА₃, ОА₄ и т. д.

∠А₁ и ∠А₂ одинаковы по определению правильного многоуг-ка:

Из этого факта вытекает два равенства:

Получается, что ОА₃ – это также биссектриса ∠А₃. Тогда, повторив все предыдущие рассуждения, мы можем доказать равенство, аналогичное (1):

Это равенство означает, что точка О равноудалена от вершин многоуг-ка. Значит, можно построить окружность с центром в О, на которой будут лежать все вершины многоуг-ка:

Естественно, существует только одна такая описанная окружность, ведь через любые три точки, в частности, через А₁, А₂ и А₃, можно провести только одну окружность, ч. т. д.

Продолжим рассматривать выполненное нами построение с описанной окружностью. Ясно, что ∆ОА₁А₂, ∆ОА₂А₃, ∆ОА₃А₄, …, равны, ведь у них одинаковы по 3 стороны. Опустим из О высоты ОН₁, ОН₂, ОН₃… на стороны многоуг-ка.

Так как высоты проведены в равных треуг-ках, то и сами они равны:

Теперь проведем окружность, центр которой находится в О, а радиус – это отрезок ОН₁. Он должен будет пройти и через точки Н₂, Н₃, … Н_n. Причем отрезки ОН₁, ОН₂, ОН₃ окажутся радиусами. Так как они перпендикулярны сторонам многоуг-ка, то эти самые стороны будут касательными к окружности (по признаку касательной). Стало быть, эта окружность является вписанной:

Ясно, что такая окружность будет единственной вписанной. Если бы существовала вторая вписанная окружность, то ее центр был бы равноудален от сторон многоуг-ка, а потому лежал бы в точке пересечения биссектрис углов ∠А₁, ∠А₂, ∠А₃, то есть в точке О. Так как расстояние от О до А₁А₂ – это отрезок ОН₁, то именно такой радиус был бы у второй окружности. Получается, что вторая окружность полностью совпала бы с первой, так как их центр находился бы в одной точке, и радиусы были одинаковы.

Примечание. Точка, которая центром и вписанной, и описанной окружности, именуется центром правильного многоуг-ка.

Ещё раз вернемся к приведенному доказательству и заметим, что высоты ОН₁, ОН₂, ОН₃,… проведены в равнобедренных треуг-ках∆ОА₁А₂, ∆ОА₂А₃, ∆ОА₃А₄,… Следовательно, эти высоты являются ещё и медианами, то есть точки Н₁, Н₂, Н₃,… – это середины сторон многоуг-ка.

Задание. Могут ли две биссектрисы, проведенные в правильном многоуг-ке, быть параллельными друг другу?

Решение. Центр правильного многоуг-ка находится в точке пересечения всех его биссектрис. То есть любые две биссектрисы будут иметь хотя бы одну общую точку. Параллельные же прямые общих точек не имеют. Получается, что биссектрисы не могут быть параллельными.

Примечание. Аналогичное утверждение можно доказать и для серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам правильного многоуг-ка.

Свойства простые и интересные

Чтобы понять свойства правильного шестиугольника, его имеет смысл разбить на шесть треугольников:

Это поможет в дальнейшем нагляднее отобразить его свойства, главные из которых:

1. диаметр описанной окружности;
2. диаметр вписанной окружности;
3. площадь;
4. периметр.

Описанная окружность и возможность построения

Вокруг гексагона можно описать окружность, и притом только одну. Поскольку фигура эта правильная, то можно поступить довольно просто: от двух соседних углов провести внутрь биссектрисы. Они пересекутся в точке О, и образуют вместе со стороной между ними треугольник.

Углы между стороной гексагона и биссектрисами будут по 60°, поэтому можно определенно сказать, что треугольник, к примеру, АОВ — равнобедренный. А поскольку третий угол тоже будет равен 60°, то он еще и равносторонний. Отсюда следует, что отрезки ОА и ОВ равны, значит, могут служить радиусом окружности.

После этого можно перейти к следующей стороне, и из угла при точке С тоже вывести биссектрису. Получится очередной равносторонний треугольник, причем сторона АВ будет общей сразу для двух, а ОС — очередным радиусом, через который идет та же окружность. Всего таких треугольников получится шесть, и у них будет общая вершина в точке О. Получается, что описать окружность будет можно, и она всего одна, а ее радиус равен стороне гексагона:

R=а.

Именно поэтому и возможно построение этой фигуры с помощью циркуля и линейки.

Ну а площадь этой окружности будет стандартная:

S=πR²

Вписанная окружность

Центр описанной окружности совпадет с центром вписанной. Чтобы в этом убедиться, можно провести из точки О перпендикуляры к сторонам шестиугольника. Они будут являться высотами тех треугольников, из которых составлен гексагон. А в равнобедренном треугольнике высота является медианой по отношению к стороне, на которую она опирается. Таким образом, эта высота не что иное, как серединный перпендикуляр, являющийся радиусом вписанной окружности.

Высота равностороннего треугольника вычисляется просто:

h²=а²-(а/2)²= а²3/4, h=а(√3)/2

А поскольку R=a и r=h, то получается, что

r=R(√3)/2.

Таким образом, вписанная окружность проходит через центры сторон правильного шестиугольника.

Ее площадь будет составлять:

S=3πa²/4,

то есть три четверти от описанной.

Периметр и площадь

С периметром все ясно, это сумма длин сторон:

P=6а, или P=6R

S=6(а/2)(а(√3)/2)= 6а²(√3)/4=3а²(√3)/2 или

S=3R²(√3)/2

Желающим вычислять эту площадь через радиус вписанной окружности можно сделать и так:

S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

Занимательные построения

В гексагон можно вписать треугольник, стороны которого будут соединять вершины через одну:

Всего их получится два, и их наложение друг на друга даст звезду Давида. Каждый из этих треугольников — равносторонний. В этом нетрудно убедиться. Если посмотреть на сторону АС, то она принадлежит сразу двум треугольникам — ВАС и АЕС. Если в первом из них АВ=ВС, а угол между ними 120°, то каждый из оставшихся будет 30°. Отсюда можно сделать закономерные выводы:

1. Высота АВС из вершины В будет равна половине стороны шестиугольника, поскольку sin30°=1/2. Желающим убедиться в этом можно посоветовать пересчитать по теореме Пифагора, она здесь подходит как нельзя лучше.
2. Сторона АС будет равна двум радиусам вписанной окружности, что опять-таки вычисляется по той же теореме. То есть АС=2(a(√3)/2)=а(√3).
3. Треугольники АВС, СДЕ и АЕF равны по двум сторонам и углу между ними, и отсюда вытекает равенство сторон АС, СЕ и ЕА.

Пересекаясь друг с другом, треугольники образуют новый гексагон, и он тоже правильный. Доказывается это просто:

1. Угол АВF равен углу ВАС. Таким образом, получившийся треугольник с основанием АВ и безымянной вершиной напротив него — равнобедренный.
2. Все такие же треугольники, основанием которых служит сторона гексагона, равны по стороне и прилегающей к ней углам.
3. Треугольники при вершинах гексагона являются равносторонними и равными, что вытекает из предыдущего пункта.
4. Углы новообразованного шестиугольника равняются 360-120-60-60=120°.

Таким образом, фигура отвечает признакам правильного шестиугольника — у нее шесть равных сторон и углов. Из равенства треугольников при вершинах легко вывести длину стороны нового гексагона:

d=а(√3)/3

Она же будет радиусом описанной вокруг него окружности. Радиус вписанной будет вдвое меньше стороны большого шестиугольника, что было доказано при рассмотрении треугольника АВС. Его высота составляет как раз половину стороны, следовательно, вторая половина — это радиус вписанной в маленький гексагон окружности:

r₂=а/2

Площадь нового шестиугольника можно посчитать так:

S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2

Как поступить, если фигура имеет три или четыре вершины?

В первом случае он окажется треугольником, и можно воспользоваться одной из формул:

• S = 1/2 * а * н, где а — сторона, н — высота к ней;
• S = 1/2 * а * в * sin (А), где а, в — сторон\ы треугольника, А — угол между известными сторонами;
• S = √(p * (p — а) * (p — в) * (p — с)), где с — сторона треугольника, к уже обозначенным двум, р — полупериметр, то есть сумма всех трех сторон, разделенная на два.

Фигура с четырьмя вершинами может оказаться параллелограммом:

• S = а * н;
• S = 1/2 * d1 * d2 * sin(α), где d1 и d2 — диагонали, α — угол между ними;
• S = a * в * sin(α).

Формула для площади трапеции: S = н * (a + в) / 2, где а и в — длины оснований.

Площадь неправильного шестиугольника

Существует несколько вариантов определения площади
неправильного шестиугольника:

• Метод трапеции.
• Метод расчета площади неправильных многоугольников при
  помощи оси координат.
• Метод разбивания шестиугольника на другие фигуры.

В зависимости от исходных данных, которые вам будут
известны, подбирается подходящий метод.

Метод трапеции

Площадь шестиугольника, имеющего произвольную
(неправильную) форму, рассчитывается методом трапеции, суть которого состоит в
разделении шестиугольника на отдельные трапеции и последующим вычислением
площади каждой из них.

Метод с осями
координат

Кроме этого, площадь неправильного шестиугольника можно рассчитать
при помощи метода расчета площади неправильных многоугольников. Рассмотрим его
на следующем примере:

Вычисление будем выполнять методом использования
координат вершин многоугольника:

1. На этом этапе следует сделать таблицу и записать
   координаты вершин x и y. Выбираем вершины в
   последовательном порядке по направлению против часовой стрелки, завершив конец
   списка повторной записью координаты первой вершины:

1. Теперь следует умножить значения координаты х 1-й вершины
   на y 2-й
   вершины и продолжить таким образом умножение далее. Затем необходимо сложить
   полученные результаты. В нашем случае получилось 82:

1. Последовательно умножаем значения координат y1-й
   вершины на значения координат х 2-й вершины. Суммируем полученные результаты. В
   нашем случае получилось 38:

1. Вычитаем сумму, которую получили на четвертом этапе из
   суммы, которая получилась на третьем этапе: 82 – (-38) = 120

1. Теперь необходимо разделить результат, который был
   получен на предыдущем этапе и найдем площадь нашей фигуры: S= 120/2 = 60
   см²

Метод разбивания
шестиугольника на другие фигуры

Каждый многоугольник можно разделить на несколько других
фигур. Это могут быть треугольники, трапеции, прямоугольники. Исходя из
известных данных, пользуясь формулами определения площадей перечисленных фигур,
последовательно вычисляются их площади и затем суммируются.

Некоторые неправильные шестиугольники состоят из двух
параллелограммов. Для определения площади параллелограмма следует умножить его
длину на ширину и затем сложить две уже известные площади.

Видео о том, как найти площадь многоугольника

Площадь равностороннего шестиугольника

Равносторонний шестиугольник имеет шесть равных сторон и
является правильным шестиугольником.

Площадь равностороннего шестиугольника равняется 6
площадям треугольников, на которые разбита правильная шестиугольная фигура.

Все треугольники в шестиугольнике правильной формы равны,
поэтому для нахождения площади такого шестиугольника достаточно будет знать
площадь хотя бы одного треугольника.

Для нахождения площади равностороннего шестиугольника
используется, конечно же, формула площади правильного шестиугольника, описанная
выше.

А Вы знали, как найти площадь шестиугольника? Как думаете, где эти знания пригодятся Вам в жизни? Поделитесь своим мнением в

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

      Фигуру называют выпуклой, если для любых двух точек этой фигуры соединяющий их отрезок полностью принадлежит фигуре.

      Правильными многоугольниками называют выпуклые многоугольники, у которых все углы равны и все стороны равны.

      Замечание 1. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность.

      Замечание 2. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность.

      Замечание 3. Центры вписанной в правильный многоугольник окружности и описанной около правильного многоугольника окружности совпадают. Эту точку называют центром правильного многоугольника.

      Используемые обозначения

Число вершин правильного многоугольника	Сторона правильного многоугольника	Радиус вписанной окружности	Радиус описанной окружности	Периметр	Площадь
n	a	r	R	P	S

Число вершин правильного многоугольника	n
Сторона правильного многоугольника	a
Радиус вписанной окружности	r
Радиус описанной окружности	R
Периметр	P
Площадь	S

Формулы для стороны, периметра и площади правильного n – угольника

Формулы для периметра правильного n – угольника

Выражение периметра через сторону P = an Выражение периметра через радиус вписанной окружности Выражение периметра через радиус описанной окружности

Формулы для площади правильного n – угольника

Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности Выражение площади через сторону Выражение площади через радиус вписанной окружности Выражение площади через радиус описанной окружности

Формулы для стороны правильного n – угольника

Выражение стороны через радиус вписанной окружности Выражение стороны через радиус описанной окружности

Формулы для стороны, периметра и площади правильного треугольника

Формулы для периметра правильного треугольника

Выражение периметра через сторону P = 3a Выражение периметра через радиус вписанной окружности Выражение периметра через радиус описанной окружности

Формулы для площади правильного треугольника

Выражение площади через сторону Посмотреть вывод формулы Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности Выражение площади через радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы Выражение площади через радиус описанной окружности Посмотреть вывод формулы

Формулы для стороны правильного треугольника

Выражение стороны через радиус вписанной окружности Выражение стороны через радиус описанной окружности

Формулы для стороны, периметра и площади правильного шестиугольника

Формулы для периметра правильного шестиугольника

Выражение периметра через сторону P = 6a Выражение периметра через радиус вписанной окружности Выражение периметра через радиус описанной окружности P = 6R

Формулы для площади правильного шестиугольника

Выражение площади через сторон Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности S = 3ar Выражение площади через радиус вписанной окружности Выражение площади через радиус описанной окружности

Формулы для стороны правильного шестиугольника

Выражение стороны через радиус вписанной окружности Выражение стороны через радиус описанной окружности a = R

Формулы для стороны, периметра и площади квадрата

Формулы для периметра квадрата

Выражение периметра через сторону P = 4a Выражение периметра через радиус вписанной окружности P = 8r Выражение периметра через радиус описанной окружности

Формулы для площади квадрата

Выражение площади через сторону S = a2 Выражение площади через радиус вписанной окружности S = 4r2 Выражение площади через радиус описанной окружности S = 2R2

Формулы для стороны квадрата

Выражение стороны через радиус вписанной окружности a = 2r Выражение стороны через радиус описанной окружности

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Определение и построение

Правильным шестиугольником называется плоскостная фигура, имеющая шесть равных по длине сторон и столько же равных углов. Если вспомнить формулу суммы углов многоугольника

180°(n-2),

то получается, что в этой фигуре она равна 720°. Ну а поскольку все углы фигуры равны, нетрудно посчитать, что каждый из них равен 120°.

Начертить шестиугольник очень просто, для этого достаточно циркуля и линейки.

Пошаговая инструкция будет выглядеть так:

1. чертится прямая линия и на ней ставится точка;
2. из этой точки строится окружность (она является ее центром);
3. из мест пересечения окружности с линией строятся еще две таких же, они должны сойтись в центре.
4. после этого отрезками последовательно соединяются все точки на первой окружности.

При желании можно обойтись и без линии, начертив пять равных по радиусу окружностей.

Полученная таким образом фигура будет правильным шестиугольником, и это можно доказать ниже.

Элементы

Для любой призмы главными ее элементами являются ребра, грани и вершины. Шестиугольная призма не является исключением. Приведенный выше рисунок позволяет посчитать количество этих элементов. Так, граней или сторон мы получаем 8 (два основания и шесть боковых параллелограммов), число вершин составляет 12 (по 6 вершин для каждого основания), количество ребер шестиугольной призмы равно 18 (шесть боковых и 12 для оснований).

В 1750-е годы Леонард Эйлер (швейцарский математик) установил для всех полиэдров, к которым относится призма, математическую связь между числами указанных элементов. Эта связь имеет вид:

число ребер = число граней + число вершин — 2.

Указанные выше цифры удовлетворяют этой формуле.

Примеры из реальной жизни

Гигантский гексагон

Гигантский гексагон — уникальное атмосферное явление на Сатуре, которое выглядит как грандиозный вихрь в форме правильного шестиугольника. Известно, что сторона гигантского гексагона составляет 13 800 км, благодаря чему мы можем определить площадь «облака». Для этого достаточно ввести значение стороны в форму калькулятора и получить результат:

Таким образом, площадь атмосферного вихря на Сатурне приблизительно составляет 494 777 633 квадратных километров. Поистине впечатляет.

Гексагональные шахматы

Мы все привыкли к шахматному полю, разделенному на 64 квадратные ячейки. Однако существуют и гексагональные шахматы, игровое поле которых разделено на 91 правильный шестиугольник. Давайте определим площадь игровой доски для гексагональной версии известной игры. Пусть сторона ячейки составляет 2 сантиметра. Площадь одной игровой клетки составит:

Тогда площадь всей доски будет равна 91 × 10,39 = 945,49 квадратных сантиметров.

Через радиус вписанной окружности

Шестиугольник считается правильным многоугольником, ведь все его стороны и углы равны друг другу.
Соответственно, во всякий шестиугольник можно вписать окружность.

Формула для расчёта площади следующего выпуклой фигуры с шестью углами через радиус вписанной
окружности будет выглядеть следующим образом:

S = √3*r²

где r — это отрезок, соединяющий центр и любую точку вписанной замкнутой
плоской кривой.

Цифр после запятой:

Результат в:

К примеру, если этот отрезок, соединяющий центр и любую точку, равен 14, тогда необходимая величина
этого множества точек будет примерно равна 679. Если в качестве отрезка, соединяющего центр и любую
точку, возьмем 4, тогда площадь будет приблизительно равна 55.

Через сторону

{S= dfrac{3sqrt{3} cdot a^2}{2}}

Формула для нахождения площади правильного шестиугольника через сторону:

{S= dfrac{3sqrt{3} cdot a^2}{2}}, где a — сторона шестиугольника.

S- площадь, p – периметр

Стороны и углы равны между собой

Короткие диагонали образуют гексограмму

Длинные диагонали образуют шесть равносторонних треугольников, с длинной ребра а

Вписанная и описанная окружность

Площадь правильного 6-угольника

Итак, у нас шестиугольная фигура с равными сторонами и углами. В повседневности мы часто имеем возможность встретить предметы правильной шестиугольной формы.

К примеру:

• гайка;
• пчелиные соты;
• снежинка.

Шестиугольная фигура наиболее экономично заполняет пространство на плоскости. Взгляните на тротуарную плитку, одна подогнана к другой так, что зазоров не остается.

Каждый угол равен 120˚. Сторона фигуры равна радиусу описанной окружности.

Шестиугольные числа

В теории чисел существуют фигурные числа, связанные с определенными геометрическими фигурами. Наибольшее применение находят треугольные и квадратные, а также тетраэдрические и пирамидальные числа, используя которые легко выкладывать геометрические фигуры при помощи реальных предметов. Например, пирамидальные числа подскажут вам, как сложить пушечные ядра в устойчивую пирамиду. Существуют также и шестиугольные числа, которые определяют число точек, необходимое для построения гексагона.

Расчет

Требуемое значение можно вычислить, разбив фигуру на шесть треугольников с равными сторонами.

Чтоб рассчитать S , пользуются следующей формулой:

Вычислив S одного из треугольников, нетрудно определить и общую. Простая формула, так как правильный шестиугольник, по сути, является шестью равными треугольниками. Таким образом, для ее расчета найденную площадь одного треугольника умножают на 6.

Если от центра шестиугольника к любой его стороне провести перпендикуляр, получается отрезок – апофема.

Посмотрим, как находить S шестиугольника, если апофема известна:

1. S =1/2×периметр×апофема.
2. Возьмем апофему равную 5√3 см.

1. Находим периметр, используя апофему: так как апофема перпендикулярно к стороне 6-угольника, углы треугольника, образованного с помощью апофемы, равняются 30˚-60˚-90˚. Каждая сторона треугольника соответствует: x-x√3-2x, где короткая, против угла 30˚,- это x; длинная сторона против угла 60˚- x√3, а гипотенуза – 2x.
2. Апофему x√3 можно подставить в формулу a=x√3. Если апофема равна 5√3, подставив данную величину, получим: 5√3см=x√3, или x=5см.
3. Короткая сторона треугольника составляет 5см, так как эта величина – половина длины стороны 6-угольника. Умножив 5 на 2, получим 10см, что есть значение длиной стороны.
4. Полученную величину умножим на 6 и получим значение периметра – 60см.

Подставляем полученные результаты в формулу: S=1/2×периметр×апофема

S=½×60 см× 5√3

Считаем:

Упрощаем полученный ответ, чтоб избавиться от корней. Результат будет выражен в квадратных сантиметрах: ½×60см×5√3см=30×5√3см=150 √3см=259,8с м².

Интересные факты

Форму правильного шестиугольника имеют пчелиные соты, сечение гаек и карандашей, кристаллическая решетка графита.

Просмотров страницы: 63177

Пятиугольник в реальности

Невыпуклые геометрические фигуры редко встречаются в человеческой повседневности и обычно представляют собой основания для нестандартных призм. Наиболее распространенным пятиугольником в реальности считается пентагон — правильный многоугольник. Пентагон нашел применение в архитектуре и дизайне, и тезкой фигуры является одно из самых известных зданий Америки — штаб министерства обороны США.

Додекаэдр — платоново тело, каждая из 12 сторон которого является правильным пятиугольником. Додекаэдр используется в различных сферах, но наиболее известным представлением многогранника считается игральная кость d12, которая используется как генератор случайных чисел для настольных ролевых игр.

Несмотря на то, что многие организмы обладают пентасимметрией, например, морские звезды или плоды мушмулы, природные пятиугольные объекты практически не встречаются в природе.

Формула расчета площади неправильного четырехугольника

A} _{\text{tri.}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}|} где xi и yi обозначают соответствующую координату. Эту формулу можно получить, раскрыв скобки в общей формуле для случая n = 3. По этой формуле можно обнаружить, что площадь треугольника равна половине суммы 10 + 32 + 7 − 4 − 35 − 16, что даёт 3. Число переменных в формуле зависит от числа сторон многоугольника. Например, в формуле для площади пятиугольника будут использоваться переменные до x5 и y5: A pent. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 4 y 3 − x 5 y 4 − x 1 y 5 | {\displaystyle \mathbf {A} _{\text{pent.}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{5}+x_{5}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3}-x_{5}y_{4}-x_{1}y_{5}|} A для четырехугольника — переменные до x4 и y4: A quad.

С вопросом: «Как найти площадь шестиугольника?»
, можно столкнуться не только на экзамене по геометрии и т.п., эти знания пригодятся и в быту, например, для правильного и точного вычисления площади помещения в процессе ремонта. Подставив в формулу требуемые значения, получится определить нужное количество рулонов обоев, плитки в ванную или на кухню и т.д.