Квадратные неравенства. решение, примеры

Квадратные неравенства

Ключевые слова: квадратные неравенства, решение квадратных неравенств, примеры решения задач. Раздел ОГЭ по математике: 3.2.5. Квадратные неравенства.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Неравенство вида ах2 + bх + с > 0, где а ≠ 0, называют квадратным неравенством.

Примечание к определению: вместо знака > могут стоять и другие знаки неравенства: <, ≥, ≤.

Множество решений квадратного неравенства легко найти, используя график функции у = ах2 + bх + с.

На рисунке изображён график функции у = х2 – 2х – 3. График пересекает ось х в двух точках, абсциссы которых равны –1 и 3, т. е. при х = –1 и х = 3 значения функции у = х2 – 2х – 3 равны нулю.

При –1 < х < 3 график расположен ниже оси х, т. е. значения функции на этом промежутке отрицательны. Иными словами, множеством решений неравенства у < 0 является промежуток –1 < х < 3.
При x < –1 и x > 3 график расположен выше оси х, т. е. значения функции положительны. Иными словами, неравенство х2– 2х – 3 > 0 выполняется при х < –1 и х > 3.

При решении квадратных неравенств можно ограничиться схематическим рисунком, показывающим положение графика относительно оси х, так как координаты вершины в данном вопросе значения не имеют; можно также не изображать ось у.

Если требуется решить квадратное неравенство с отрицательным коэффициентом а, то всегда целесообразно перейти к равносильному неравенству с положительным первым коэффициентом, умножив обе части неравенства на –1. Например, вместо неравенства 5 + 4х – х2 ≤ 0 решать неравенство х2– 4х – 5 ≥ 0.

Примеры решения задач

Пример 1. Решим неравенство х2 – x – 6 > 0.

Выясним, пересекает ли график функции у = х2 – х – 6 ось х. Для этого решим уравнение х2 – x – 6 = 0. Его корни x₁ = –2 и х₂ = 3. Следовательно, парабола (график функции) пересекает ось х в точках с абсциссами –2 и 3, её ветви направлены вверх. Покажем схематически расположение параболы относительно оси х.
Из рисунка видно, что парабола расположена выше оси x при х < –2 и х > 3. Объединение этих промежутков и составляет множество решений неравенства x2 – x – 6 > 0.

Ответ можно записать по–разному:
1) x < –2; х > 3;
2) (–оо; –2) U (3; +оо).

Пример 2. Решим неравенство х(3 – 2х) > 2.

Раскроем скобки и перенесём все слагаемые в левую часть, получим: –2×2 + 3x – 2 > 0. Теперь заменим неравенство равносильным неравенством с положительным первым коэффициентом (для этого умножим обе части неравенства на –1 и заменим знак неравенства на противоположный): 2х2– 3х + 2 < 0.

Выясним, пересекает ли парабола – график функции у = 2х2– 3х + 2 – ось х. Найдём дискриминант квадратного трёхчлена 2х2– 3х + 2, a именно: D = 9 – 4·2·2 = 9 – 16 < 0. Так как дискриминант отрицательный, то квадратный трёхчлен не имеет корней и парабола не пересекает ось х. Изобразим эту параболу схематически:
При всех значениях х парабола расположена выше оси х, это означает, что нет таких значений х, при которых функция у = 2х2– 3х + 2 принимает отрицательные значения, значит, неравенство 2х2–Зх + 2 < 0 решений не имеет.

Ответ можно записать по–разному:
1) неравенство решений не имеет;
2) ∅.

Пример 3. Воспользуемся этим же рисунком, чтобы решить неравенство –2х2 + 3х – 2 < 0. Заменим его равносильным неравенством 2х2– 3х + 2 > 0. В этом случае любое число является решением неравенства, так как при всех значениях х функция у – 2х2– 3х + 2 принимает положительные значения.

Ответ можно записать по–разному:
1) х – любое число;
2) (–оо; +оо).

Если неравенство нестрогое, то не надо забывать включить в множество решений значения переменной, при которых квадратный трёхчлен обращается в нуль.

Пример 4. Найдём область определения выражения:

Область определения выражения задаётся условиями:
Решив каждое из неравенств, получим:

Сделаем схематический рисунок:
Из рисунка видно, что множеством решений системы неравенств является промежуток от 2/3 до 2 (включая эти числа) без числа 1. Ответ можно записать по–разному:

Это конспект по алгебре на тему «Квадратные неравенства». Выберите дальнейшие действия:

Перейти к следующему конспекту:
Вернуться к списку конспектов по Математике.
Проверить знания по Математике.

Решение сложного задания

Решение сложных неравенств способом интервалов занимает гораздо меньше времени, чем альтернативными методами. Например, нужно вычислить выражение (x3 — 6×2 + 11 — 6) / (x4 + 9×2 — 10) ≥ 0. К этому неравенству нужно применить рассматриваемый метод, поэтому вместо исходного выражения нужно решать уравнение (x3 — 6×2 + 11 — 6) / (x4 + 9×2 — 10) = 0.

Дробь может быть равной нулю лишь в том случае, когда числитель будет равняться нулю, а знаменатель нет. Отсюда следует, что нужно найти корни делителя и делимого. После выполнения ряда преобразований результат должен получиться следующий: (x — 1) * (x — 2) * (x — 3) / (x — 1) * (x + 1) * (x2 + 10) = 0.

Анализируя найденное выражение, можно заметить, что в числителе и знаменателе есть одинаковая скобка, поэтому кажется, что на x — 1 можно сократить. Но делать это ни в коем случае нельзя, так как изначально решается неравенство.

Итак, если в равенстве делимое равняется нулю, то это значит, что одна из скобок числителя должна быть нулевой (произведение на ноль даёт ноль). Таким образом, икс может равняться одному, двум или трём. Это и есть совокупность условий для числителя.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю, иначе возникнет неопределённость. Возможным корнем в этом случае будет x, отличный от -1 и 1. Следует отметить, что третья скобка в делителе в ноль обратиться не может, поэтому она не учитывается. Для удобства полученные корни можно переписать в таблицу:

Переменная	Знак, возможное значение
x1	= 1
x2	= 2
x3	= 3
x4	≠ -1
x5	≠ 1

Из таблицы полученные значения необходимо перенести на числовую прямую. Так как равенство нестрогое, на оси точки будут как закрашенные (их ещё называют выколотыми), так и белые. Первые — это те, что получились за счёт знаменателя, а вторые — числителя. Затем нужно в каждом из них определить знак. В результате получится:

(- ∞, -1) — белая точка -;
(-1, 1) — белая точка +;
(1, 2) — белая точка +;
(2, 3) — закрашенная точка -;
(3, + ∞) — закрашенная точка +.

Таким образом, по условию задания ответ будет иметь следующий вид: X Є (-1; 1) U (1; 2] U [3; + ∞). Квадратные скобки в записи обозначают, что корни уравнения также включаются во множество решения.

Что такое метод интервалов

Метод интервалов — это специальный алгоритм, предназначенный для решения сложных неравенств вида () > 0 и () < 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

Решить уравнение () = 0. Таким образом, вместо неравенства получаем уравнение, которое решается намного проще;
Отметить все полученные корни на координатной прямой. Таким образом, прямая разделится на несколько интервалов;
Выяснить знак (плюс или минус) функции () на самом правом интервале. Для этого достаточно подставить в () любое число, которое будет правее всех отмеченных корней;
Отметить знаки на остальных интервалах. Для этого достаточно запомнить, что при переходе через каждый корень знак меняется.

Вот и все! После этого останется лишь выписать интервалы, которые нас интересуют. Они отмечены знаком «+», если неравенство имело вид () > 0, или знаком «−», если неравенство имеет вид () < 0.

На первый взгляд может показаться, что метод интервалов — это какая-то жесть. Но на практике все будет очень просто. Стоит чуть-чуть потренироваться — и все станет понятно. Взгляните на примеры — и убедитесь в этом сами:

Работаем по методу интервалов. Шаг 1: заменяем неравенство уравнением и решаем его:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

Получили два корня. Переходим к шагу 2: отмечаем эти корни на координатной прямой. Имеем:

Теперь шаг 3: находим знак функции на самом правом интервале (правее отмеченной точки = 2). Для этого надо взять любое число, которое больше числа = 2. Например, возьмем = 3 (но никто не запрещает взять = 4, = 10 и даже = 10 000). Получим:

Получаем, что (3) = 10 > 0, поэтому в самом правом интервале ставим знак плюс.

Переходим к последнему пункту — надо отметить знаки на остальных интервалах. Помним, что при переходе через каждый корень знак должен меняться. Например, справа от корня = 2 стоит плюс (мы убедились в этом на предыдущем шаге), поэтому слева обязан стоять минус.

Этот минус распространяется на весь интервал (−7; 2), поэтому справа от корня = −7 стоит минус. Следовательно, слева от корня = −7 стоит плюс. Осталось отметить эти знаки на координатной оси. Имеем:

Вернемся к исходному неравенству, которое имело вид:

Итак, функция должна быть меньше нуля. Значит, нас интересует знак минус, который возникает лишь на одном интервале: (−7; 2). Это и будет ответ.

Шаг 1: приравниваем левую часть к нулю:

Помните: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Именно поэтому мы вправе приравнять к нулю каждую отдельную скобку.

Шаг 2: отмечаем все корни на координатной прямой:

Шаг 3: выясняем знак самого правого промежутка. Берем любое число, которое больше, чем = 1. Например, можно взять = 10. Имеем:

Шаг 4: расставляем остальные знаки. Помним, что при переходе через каждый корень знак меняется. В итоге наша картинка будет выглядеть следующим образом:

Вот и все. Осталось лишь выписать ответ. Взгляните еще раз на исходное неравенство:

Это неравенство вида () < 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

Это и есть ответ.

Квадратные неравенства – коротко о главном

Виды квадратных неравенств

Все квадратные неравенства сводятся к следующим четырём видам:

( displaystyle left. begin{array}{l}a{{x}^{2}}+bx+c ge 0\a{{x}^{2}}+bx+c>0\a{{x}^{2}}+bx+cle 0\a{{x}^{2}}+bx+c<0end{array} rightrangle ane 0)

Алгоритм решения квадратных неравенств:

1) Запишем соответствующее неравенству квадратное уравнение (просто меняем знак неравенства ( >,text{ }<,text{ }ge ,text{ }le ) на знак равенства «( displaystyle=)»).

Пример:

( 2{{x}^{2}}+x-3ge 0)

( 2{{x}^{2}}+x-3=0)

2) Найдём корни этого уравнения:

( {{x}_{1}}=-frac{3}{2};text{ }{{x}_{2}}=1)

3) Отметим корни на оси ( Ox) и схематично покажем ориентацию ветвей параболы («вверх» или «вниз»)

4) Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там где парабола выше оси, ставим «( +)», а там где ниже – «( –)».

5) Выписываем интервал(ы), соответствующий(ие) «( +)» или «( –)», в зависимости от знака неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое – не входят.

Числовые неравенства

Вы умеете сравнивать целые числа, десятичные дроби. Знаете правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями,
но разными числителями; с одинаковыми числителями, но разными знаменателями. Здесь вы научитесь сравнивать любые два числа с
помощью нахождения знака их разности.

Сравнение чисел широко применяется на практике. Например, экономист сравнивает плановые показатели с фактическими, врач
сравнивает температуру больного с нормальной, токарь сравнивает размеры вытачиваемой детали с эталоном. Во всех таких случаях
сравниваются некоторые числа. В результате сравнения чисел возникают числовые неравенства.

Определение.
Число а больше числа b, если разность а-b положительна. Число а меньше числа b, если разность а-b отрицательна.

Если а больше b, то пишут: а > b; если а меньше b, то пишут: а Таким образом, неравенство а > b означает, что разность а — b положительна, т.е. а — b > 0. Неравенство а Для любых двух чисел а и b из следующих трёх соотношений a > b, a = b, a Сравнить числа а и b — значит выяснить, какой из знаков >, = или Теорема.
Если a > b и Ь > с, то а > с.

Теорема.
Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится.Следствие.
Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на
противоположный.

Теорема.
Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.
Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.Следствие.
Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.
Если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Вы знаете, что числовые равенства можно почленно складывать и умножать. Далее вы научитесь выполнять аналогичные действия
с неравенствами. Умения почленно складывать и умножать неравенства часто применяются на практике. Эти действия помогают решать
задачи оценивания и сравнения значений выражений.

При решении различных задач часто приходится складывать или умножать почленно левые и правые части неравенств. При этом
иногда говорят, что неравенства складываются или умножаются. Например, если турист прошёл в первый день более 20 км, а во
второй — более 25 км, то можно утверждать, что за два дня он прошёл более 45 км. Точно так же если длина прямоугольника меньше
13 см, а ширина меньше 5 см, то можно утверждать, что площадь этого прямоугольника меньше 65 см2.

При рассмотрении этих примеров применялись следующие теоремы о сложении и умножении неравенств:

Теорема.
При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а > b и c > d, то
a + c > b + d.

Теорема.
При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается
неравенство того же знака: если а > b, c > d и а, b, с, d — положительные числа, то ac > bd.

Неравенства со знаком > (больше) и 1/2, 3/4 b, c Наряду со знаками строгих неравенств > и Точно так же неравенство $a \geq b $ означает, что число а больше или равно b, т. е. а не меньше b.

Неравенства, содержащие знак $\geq $ или знак $\leq $, называют нестрогими. Например,
$18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 $ — нестрогие неравенства.

Все свойства строгих неравенств справедливы и для нестрогих неравенств. При этом если для строгих неравенств противоположными
считались знаки > и Вы знаете, что для решения ряда прикладных задач приходится составлять математическую модель в виде уравнения или системы
уравнений. Далее вы узнаете, что математическими моделями для решения многих задач являются неравенства с неизвестными.
Будет введено понятие решения неравенства и показано, как проверить, является ли данное число решением конкретного неравенства.

Неравенства вида
\(ax > b, \quad ax
в которых а и b — заданные числа, а x — неизвестное, называют линейными неравенствами с одним неизвестным
.

Определение.
Решением неравенства с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором это неравенство
обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство — это значит найти все его решения или установить, что их нет.

Решение уравнений вы осуществляли путём приведения их к простейшим уравнениям. Аналогично при решении неравенств их стремятся
с помощью свойств привести к виду простейших неравенств.

Квадратное неравенство

При решении таких неравенств нам пригодятся умения определять, где квадратичная функция больше, меньше, либо равна нулю. То есть:

если перед нами неравенство вида, то фактически задача сводится к тому, чтобы определить числовой промежуток значений, при котором парабола лежит выше оси.
если перед нами неравенство вида, то фактически задача сводится к тому, чтобы определить числовой промежуток значений x, при котором парабола лежит ниже оси.

Если неравенства нестрогие (и), то корни (координаты пересечений параболы с осью) включаются в искомый числовой промежуток, при строгих неравенствах — исключаются.

Это все достаточно формализовано, однако не надо отчаиваться и пугаться! Сейчас разберем примеры, и все станет на свои места.

При решении квадратных неравенств будем придерживаться приведенного алгоритма, и нас ждет неизбежный успех!

Алгоритм	Пример:
1) Запишем соответствующее неравенству квадратное уравнение (просто меняем знак неравенства на знак равенства «=»).
2) Найдем корни этого уравнения.
3) Отметим корни на оси и схематично покажем ориентацию ветвей параболы («вверх» или «вниз»)
4) Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там где парабола выше оси, ставим « », а там где ниже — « ».
5) Выписываем интервал(ы), соответствующий « » или « », в зависимости от знака неравенства. Если неравенство нестрогое , корни входят в интервал, если строгое — не входят.

Разобрался? Тогда вперед закреплять!

Пример:

Ну что, получилось? Если возникли затруднения, то разбирайся в решениях.

Решение:

Выпишем интервалы, соответствующие знаку « », так как знак неравенства « ». Неравенство нестрогое, поэтому корни включаются в интервалы:

Запишем соответствующее квадратное уравнение:

Найдем корни данного квадратного уравнения:

Схематично отметим полученные корни на оси и расставим знаки:

Выпишем интервалы, соответствующие знаку « », так как знак неравенства « ». Неравенство строгое, поэтому корни не включаются в интервалы:

Запишем соответствующее квадратное уравнение:

Найдем корни данного квадратного уравнения:

данное уравнение имеет один корень

Схематично отметим полученные корни на оси и расставим знаки:

Выпишем интервалы, соответствующие знаку « », так как знак неравенства « ». При любом функция принимает неотрицательные значения. Так как неравенство нестрогое, то ответом будет.

Запишем соответсвующее квадратное уравнение:

Найдем корни данного квадратного уравнения:

Схематично нарисуем график параболы и расставим знаки:

Выпишем интервалы, соответствующие знаку « », так как знак неравенства « ». При любом функция принимает положительные значения, следовательно, решением неравенства будет интервал:

Методы решения неравенств

На самом деле, существует несколько способов решения неравенств. Их полезно рассмотреть, чтобы понять, почему метод интервалов незаменим при решении рациональных неравенств.

Решение неравенств при помощи систем

Пусть нам нужно решить неравенство:
$$(x-5)(x+3) \gt 0;$$
Посмотрите внимательно на левую часть: она состоит из двух множителей, произведения двух скобок $(x-5)$ и $(x+3)$. Несложно догадаться, что произведение двух множителей будет больше нуля только в двух случаях:

Когда оба множителя одновременно положительны;
Когда оба множителя одновременно отрицательны;

Другими словами, чтобы решить данное неравенство, нужно решить две системы неравенств:
$$
\begin{cases}
x-5 \gt 0, \\
x+3 \gt 0.
\end{cases}
$$
$$
\Downarrow
$$
$$
\begin{cases}
x \gt 5, \\
x \gt -3.
\end{cases}
$$
$$
\Downarrow
$$
$$
x \gt 5.
$$
Или
$$
\begin{cases}
x-5 \lt 0, \\
x+3 \lt 0.
\end{cases}
$$
$$
\Downarrow
$$
$$
\begin{cases}
x \lt 5, \\
x \lt -3.
\end{cases}
$$
$$
\Downarrow
$$
$$
x \lt -3.
$$
Объединяя решения обеих систем получаем ответ:
$$x \in (-\infty; -3) \cup (5; +\infty);$$

Вроде ничего сложного, но и само неравенство, которое мы решали, было очень простым. Тем не менее, нам все равно пришлось решать две системы неравенств, находить пересечения и объединения. А что, если неравенство будет сложнее и множителей будет не два, а, например, три?

Так как нам необходимо следить за знаками каждого множителя, то количество систем и неравенств в этих системах, которые придется решать, вырастет многократно: когда первый множитель положительный, а другие два отрицательны; когда второй множитель положительный, а первый и третий отрицательны, и т.д. Решать такое количество неравенств, даже если они простые, очень тяжело. Поэтому неравенства редко решают системами.

Решение квадратных неравенств при помощи графика

Следующий способ годится только для решения квадратных неравенств. Собственно в этом и есть его главный недостаток.

Решим неравенство:
$$x^2-2x-15 \gt 0;$$
Обозначим левую часть за $f(x)=x^2-2x-15.$
Внимательный читатель заметил, что если построить график левой части неравенства, то есть функции $f(x)=x^2-2x-15$, то это будет парабола. Подробнее про графики функций и, в частности, про параболы можно почитать в этой статье.

Сейчас коротко обсудим основные свойства параболы. В общем виде уравнение параболы выглядит так:
$$y=ax^2+bx+c;$$
где $a \neq 0, \;b, \; c$ — любые числа;

Архив записей

Архив записейВыберите месяц Ноябрь 2022 (1) Сентябрь 2022 (1) Январь 2022 (2) Сентябрь 2021 (1) Июль 2021 (1) Июнь 2021 (2) Май 2021 (1) Апрель 2021 (1) Март 2021 (1) Сентябрь 2020 (1) Август 2020 (2) Июль 2020 (2) Июнь 2020 (2) Декабрь 2019 (3) Ноябрь 2019 (4) Октябрь 2019 (3) Сентябрь 2019 (2) Май 2019 (1) Октябрь 2018 (1) Июнь 2018 (1) Апрель 2018 (1) Январь 2018 (1) Ноябрь 2017 (1) Октябрь 2017 (1) Сентябрь 2017 (2) Август 2017 (4) Июль 2017 (5) Июнь 2017 (4) Май 2017 (5) Апрель 2017 (2) Март 2017 (1) Февраль 2017 (1) Январь 2017 (3) Декабрь 2016 (1) Ноябрь 2016 (2) Октябрь 2016 (3) Сентябрь 2016 (4) Август 2016 (6) Июль 2016 (9) Июнь 2016 (4) Май 2016 (5) Апрель 2016 (6) Март 2016 (5) Февраль 2016 (8) Январь 2016 (8) Декабрь 2015 (9) Ноябрь 2015 (4) Июль 2015 (1) Март 2015 (1) Февраль 2015 (1) Январь 2015 (1) Июль 2014 (1) Июль 2013 (1) Март 2013 (2) Декабрь 2012 (1) Ноябрь 2012 (1) Сентябрь 2012 (3) Август 2012 (4) Июль 2012 (4) Июнь 2012 (4) Май 2012 (4) Апрель 2012 (5) Март 2012 (7) Февраль 2012 (8) Январь 2012 (7) Декабрь 2011 (5) Ноябрь 2011 (1)

Почему эти методы неэффективны?

Итак, мы рассмотрели два решения одного и того же неравенства. Оба они оказались весьма громоздкими. В первом решении возникает — вы только вдумайтесь! — совокупность систем неравенств. Второе решение тоже не особо легкое: нужно помнить график параболы и еще кучу мелких фактов.

Это было очень простое неравенство. В нем всего 2 множителя. А теперь представьте, что множителей будет не 2, а хотя бы 4. Например:

Как решать такое неравенство? Перебирать все возможные комбинации плюсов и минусов? Да мы уснем быстрее, чем найдем решение. Рисовать график — тоже не вариант, поскольку непонятно, как ведет себя такая функция на координатной плоскости.

Для таких неравенств нужен специальный алгоритм решения, который мы сегодня и рассмотрим.

3.2.2. Рациональные неравенства

Рассмотрим выражение вида:

(1)

(Вместо знака , ≤, ≥.)

Основным методом решения неравенств вида (1) является метод интервалов. Начнём рассматривать его, прежде всего, для многочленов. Этот метод основан на том, что двучлен (x – a) положителен при x > a и отрицателен при x 4 все множители положительны.

При переходе через точку x = 4 многочлен не меняет знак, так как двучлен (x – 4) входит в чётной степени. При переходе через точку x = 1 знак многочлена изменится, так как (x – 1) входит в нечётной степени. На промежутке (–5; –3) многочлен отрицателен, так как при переходе через точку x = –3 он не изменит знак (множитель (x + 3) в чётной степени).

При переходе через точку x = –5 знак опять меняется, так как (x + 5) входит в первой степени.

Чередование знаков отразим на рисунке с помощью так называемой кривой знаков. Наиболее быстро это можно сделать следующим образом.

Выясним, какой знак имеет многочлен на самом правом промежутке, для этого нужно лишь понять, какие знаки будут иметь все сомножители, если в этот многочлен подставить достаточно большое число (большее самого большого корня многочлена).

После этого определяем знак всего многочлена на этом промежутке и начинаем рисовать кривую знаков справа налево, переходя через точки (меняя знак) или «отражаясь» от числовой оси (если степень двучлена, соответствующего данной точке, чётна). Теперь, двигаясь в обратном направлении, с рисунка считываем:

Ответ.

Если правая и левая части данного неравенства являются дробно-рациональными функциями, то это неравенство называется рациональным.

Рассмотрим стандартный приём решения рациональных неравенств, основанный на сведении данного неравенства к неравенству для многочлена, метод решения которого (метод интервалов) нам уже известен. Итак, рассмотрим рациональное неравенство

где f (x) и g (x) − рациональные функции, то есть функции, представимые в виде отношения многочленов. Перенося обе части рационального неравенства в левую часть, представим её в виде отношения двух многочленов: (Такой вид неравенства называется стандартным.) Заметим, что:

то есть отношение двух многочленов положительно тогда и только тогда, когда положительно их произведение.
то есть отношение двух многочленов отрицательно тогда и только тогда, когда отрицательно их произведение.

Итак,

Левая часть полученных неравенств есть произведение многочленов, то есть сама является многочленом. А поскольку его знак совпадает со знаком дроби то дробь меняет или не меняет знак при переходе через точку x = a в зависимости от того, входит в него двучлен (x – a) в чётной или нечётной степени.

Если же двучлен (x – a) входит в многочлен P (x) в степени k, а в многочлен Q (x) − в степени l, то в многочлен P (x) · Q (x) этот двучлен войдёт в степени k + l, а в дробь − в степени k – l.

Легко проверить, что для любых чисел k и l чётность чисел k + l и k – l одинакова.

Таким образом, показан принципиальный метод решения рациональных неравенств. Имея в виду последнее замечание, метод интервалов для рациональных функций можно сформулировать в следующем виде.

Привести неравенство к стандартному виду

Разложить на множители многочлены P (x) и Q (x) (как мы знаем, для этого придётся решить уравнения P (x) = 0 и Q (x) = 0).

Нули числителя, не совпадающие с нулями знаменателя, отметить на числовой оси точками, а нули знаменателя − кружочками (эти точки, очевидно, не входят в ОДЗ рациональной функции и потому они как будто «выколоты» из числовой оси).

Подставить мысленно в неравенство очень большое число (большее самого большого из корней числителя и знаменателя) для того, чтобы определить, какой знак имеет рациональная функция на самом правом интервале

Провести кривую знаков, проходя через все точки, отмеченные на числовой прямой, меняя или не меняя знак в зависимости от суммарной степени двучлена, отвечающего данной точке.

Записать ответ, обращая особое внимание на граничные точки, часть из которых может быть «выколота».. Таким образом, для нестрогих рациональных неравенств имеем по определению

Таким образом, для нестрогих рациональных неравенств имеем по определению

Пример 2

Решить неравенство

Имеем Наносим на числовую ось нули числителя и знаменателя и, строя кривую знаков, по указанному алгоритму сразу получаем:

Ответ.

Заметим, что на двучлен (x – 2) можно спокойно сокращать; встретившись и в числителе и в знаменателе, он не будет влиять на знак неравенства. Надо лишь не забыть, что x ≠ 2, так как при x = 2 не определён знаменатель данной дроби.

Ссылка на гидра онион

ссылка на гидра онион

hydra2me.org