Алгоритмы нахождения квадратного корня
Нахождение или вычисление квадратного корня заданного числа называется извлечением (квадратного) корня.
Арифметическое извлечение квадратного корня
Для квадратов чисел верны следующие равенства:
и так далее.
То есть, узнать целую часть квадратного корня числа можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и посчитав количество выполненных действий. Например, так:
Выполнено 3 действия, квадратный корень числа 9 равен 3.
Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня.
Если требуется найти квадратный корень с точностью до нескольких знаков после запятой, то этот метод по-прежнему можно использовать, хотя он и становится очень затратным. Исходное число следует дополнить соответствующим количеством пар нулей, а результат потом соответствующее количество раз поделить на 10. Например, для вычисления корня из 2 с точностью до одного знака нужно исходное число дополнить одной парой нулей, получив 200. В процессе извлечения квадратного корня из 200 описанным методом будет произведено 14 действий вычитания, что после однократного деления на 10 даёт результат 1,4. Для получения корня из 2 с точностью до двух знаков (результат 1,41) потребуется фактически извлекать корень из 20000, что потребует уже 141 действия вычитания.
Грубая оценка
Многие алгоритмы вычисления квадратных корней из положительного действительного числа S требуют некоторого начального значения. Если начальное значение слишком далеко от настоящего значения корня, вычисления замедляются. Поэтому полезно иметь грубую оценку, которая может быть очень неточна, но легко вычисляется. Если S ≥ 1, пусть D будет числом цифр S слева от десятичной запятой. Если S < 1, пусть D будет числом нулей, идущих подряд, справа от десятичной запятой, взятое со знаком минус. Тогда грубая оценка выглядит так:
- Если D нечётно, D = 2n + 1, тогда используем
- Если D чётно, D = 2n + 2, тогда используем
Два и шесть используются потому, что и 
В частности, если , а , то
Основная статья: Итерационная формула Герона
тогда
Столбиком
Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. Такой способ может быть освоен даже школьником. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр.
- Записать число N (в примере — 69696) на листке.
- Найти , квадрат которого меньше или равен группе старших разрядов числа N (старшая группа — самая левая не равная нулю), а квадрат больше группы старших разрядов числа. Записать найденное справа от N (это очередная цифра искомого корня). (На первом шаге примера , а ).
- Записать квадрат под старшей группой разрядов. Провести вычитание из старшей группы разрядов N выписанного квадрата числа и записать результат вычитания под ними.
- Слева от этого результата вычитания провести вертикальную черту и слева от черты записать число равное уже найденным цифрам результата (мы их выписываем справа от N) умноженное на 20. Назовём это число . (На первом шаге примера это число просто есть , на втором ).
- Произвести снос следующей группы цифр, то есть дописать следующие две цифры числа N справа от результата вычитания. Назовем число, полученное соединением результата вычитания и очередной группы из двух цифр. (На первом шаге примера это число , на втором ). Если сносится первая группа после десятичной точки числа N, то нужно поставить точку справа от уже найденных цифр искомого корня.
- Теперь нужно найти такое , что меньше или равно , но больше, чем . Записать найденное справа от N, как очередную цифру искомого корня. Вполне возможно, что окажется равным нулю. Это ничего не меняет — записываем справа от уже найденных цифр корня. (На первом шаге примера это число 6, так как , но ) Если число найденных цифр уже удовлетворяет искомой точности прекращаем процесс вычисления.
- Записать число под . Провести вычитание столбиком числа из и записать результат вычитания под ними. Перейти к шагу 4.
Наглядное описание алгоритма:
Кубический корень. Извлечение кубического корня
Кубический корень из a , обозначающийся как 3 √a или как a 1/3 — решение уравнения x 3 = a (обычно подразумеваются вещественные решения).
Кубический корень — нечётная функция. В отличие от квадратного корня, кубический корень может быть извлечён и из отрицательных чисел.
Онлайн калькулятор для расчета кубического корня для положительных и отрицательных чисел.
Алгоритм извлечения кубического корня
Перед началом необходимо разделить число на тройки (целую часть — справа налево, дробную — слева направо). Когда Вы достигли десятичной запятой, в конце результата необходимо поставить десятичную запятую.
- Найдите число, куб которого меньше первой группы цифр, но при её увеличении на 1 она становиться больше. Выпишите найденное число справа от данного числа. Под ним запишите число 3.
- Запишите куб найденного числа под первой группой цифр и произведите вычитание. Результат после вычитания запишите под вычитаемым. Далее снесите следующую группу цифр.
- Далее найденный промежуточный ответ заменим буквой a. Вычислите по формуле 300× a 2 × x+30× a × x 2 +x 3 такое число x , что его результат меньше нижнего числа, но при увеличении на 1 становится больше. Запишите найденное x справа от ответа. Если достигнута необходимая точность, прекратите вычисления.
- Запишите под нижним числом результат вычисления по формуле 300 × a 2 × x+30 × a × x 2 +x 3 и произведите вычитание. Перейдите к пункту 3.
Квадратные корни из чисел
Рациональные числа
При рациональных \displaystyle{ a } уравнение \displaystyle{ x^2=a } не всегда разрешимо в рациональных числах. Более того, такое уравнение, даже при положительном \displaystyle{ a }, разрешимо в рациональных числах тогда и только тогда, когда и числитель и знаменатель числа \displaystyle{ a }, представленного в виде несократимой дроби, являются квадратными числами.
Непрерывная дробь для корня из рационального числа всегда является периодической (возможно, с предпериодом), что позволяет, с одной стороны, легко вычислять хорошие рациональные приближения к рациональным числам с помощью линейных рекурсий, а с другой стороны ограничивает точность приближения: \displaystyle{ |\sqrt{r}-p/q|\gt \frac{1}{Cq^2} }, где \displaystyle{ C } зависит от \displaystyle{ r }. Верно и то, что любая периодическая непрерывная дробь является квадратичной иррациональностью.
Примеры разложения корней из натуральных чисел от 2 до 10 в непрерывные дроби:
-
\displaystyle{ \sqrt{2} } = \displaystyle{ \sqrt{3} } = \displaystyle{ \sqrt{4} } = \displaystyle{ \sqrt{5} } = \displaystyle{ \sqrt{6} } = \displaystyle{ \sqrt{7} } = \displaystyle{ \sqrt{8} } = \displaystyle{ \sqrt{9} } = \displaystyle{ \sqrt{10} } =
Действительные (вещественные) числа
Для любого положительного числа \displaystyle{ a } существуют ровно два вещественных корня, которые равны по модулю и противоположны по знаку.
Неотрицательный квадратный корень из неотрицательного числа \displaystyle{ a } называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала: \displaystyle{ \sqrt a }.
Основные свойства вещественного квадратного корня (все значения под знаком корня считаются положительными):
- \displaystyle{ \sqrt{a^2} = |a|: }
- \displaystyle{ \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} } (корень из произведения равен произведению корней из сомножителей);
- \displaystyle{ \sqrt{\frac {a} {b}} = \frac{\sqrt{a}} {\sqrt{b}}\quad (b\ne 0); }
К комплексным числам, учитывая двузначность корня, все эти свойства неприменимы (см. ниже пример ошибки).
Комплексные числа
Квадратных корней из любого ненулевого комплексного числа всегда ровно два, они противоположны по знаку. Для корней в комплексной области понятие арифметического корня не вводится, знак радикала обычно либо не используется, либо обозначает не функцию корня, а множество всех корней. В последнем случае, во избежание ошибок, знак радикала не должен использоваться в арифметических операциях. Распространённая ошибка:
- \displaystyle{ -1=(\sqrt{-1})^2 = \sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1 } (что, конечно, неверно)
Ошибка возникла из-за того, что комплексный квадратный корень является двузначной функцией, и его нельзя использовать в арифметических действиях.
Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если
- \displaystyle{ a=|a|e^{i\phi} },
то (см. Формула Муавра)
- \displaystyle{ \sqrt{a}=\sqrt{|a|} \cdot e^{i(\phi+2\pi k)/2} },
где корень из модуля понимается в смысле арифметического значения, а k может принимать значения k = 0 и k = 1, таким образом, в итоге получаются два различных результата.
Существует и чисто алгебраическое представление для корня из \displaystyle{ a+bi }; оба значения корня имеют вид \displaystyle{ \pm(c+di) } где:
- \displaystyle{ c = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}} }
- \displaystyle{ d = \sgn (b) \sqrt{\frac{-a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}} }
Здесь sgn — функция «знак». Формула легко проверяется возведением \displaystyle{ c+di } в квадрат.
Пример: для квадратного корня из \displaystyle{ 3+4i } формулы дают два значения: \displaystyle{ 2+i;\; -2-i. }
Квадратный корень как элементарная функция
График функции \displaystyle{ y=\sqrt x }
Квадратный корень является элементарной функцией и частным случаем степенной функции \displaystyle{ x^\alpha } с \displaystyle{ \alpha=1/2 }. Арифметический квадратный корень является гладким при \displaystyle{ x\gt 0, } в нуле же он непрерывен справа, но не дифференцируем.
Производная функции квадратного корня вычисляется по формуле:
- \displaystyle{ \frac{d(\sqrt{x})}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} }
Как функция комплексного переменного корень — двузначная функция, два листа которой соединяются в нуле (см. подробнее Комплексный анализ).
Извлечение квадратного корня из большого числа
Вы уже наверняка познакомились и подружились с таблицей квадратов. Она — ваша правая рука. С ее помощью вы реактивно решаете примеры и, возможно, даже подумываете запомнить ее наизусть.
Но, как вы можете заметить, таблица заканчивается на числе 9801. А это, согласитесь, не самое крупное число из тех, что могут вам попасться в примере.
Чтобы извлечь корень из большого числа, которое отсутствует в таблице квадратов, нужно:
- Определить «сотни», между которыми оно стоит.
- Определить «десятки», между которыми оно стоит.
- Определить последнюю цифру в этом числе.
Извлечь корень из большого числа можно разными способами — вот один из них.
Извлечем корень из √2116.
Наша задача в том, чтобы определить между какими десятками стоит число 2116.
Мы видим что, 2116 больше 1600, но меньше 2500.
Это значит, что число 2116 находится между 40 2 и 50 2 .
41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49.
Запомните лайфхак по вычислению всего на свете, что нужно возвести в квадрат.
Не секрет, что на последнем месте в любом числе может стоять только одна цифра от 1 до 0.
Как пользоваться таблицей
4 2 = 16 ⇒ 6
5 2 = 25 ⇒ 5
6 2 = 36 ⇒ 6
7 2 = 49 ⇒ 9
8 2 = 64 ⇒ 4
9 2 = 81 ⇒ 1
Мы знаем, что число 41, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 1.
Число, 42, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 4.
Число 43, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — 9.
Такая закономерность позволяет нам без записи «перебрать» все возможные варианты, исключая те, которые не дают нужную нам цифру 6 на конце.
Таким образом, у нас остаются два варианта: 44 2 и 46 2 .
Далее вычисляем: 44 * 44 = 1936.
Если такой способ показался не до конца понятным — можно потратить чуть больше времени и разложить число на множители. Если решить все правильно, получим такой же результат.
Еще пример. Извлечем корень из числа √11664
Разложим число 11664 на множители:
Запишем выражение в следующем виде:
Извлечь квадратный корень из большого числа гораздо проще с помощью калькулятора. Но знать парочку таких способов «на экстренный случай» точно не повредит. Например, для контрольной или ЕГЭ.
Чтобы закрепить все теоретические знания, давайте ещё немного поупражняемся в решении примеров на арифметические квадратные корни.
- 1. Вычислите значение квадратного корня: √36
- 2. Вычислите значение квадратного корня: √64*36
- 3. Вычислите значение квадратного корня:
- 4. Вычислите значение квадратного корня:
- 5. Вычислите значение квадратного корня:
- 6. Вычислите значение выражения: 4√16 — 12
- 7. Вычислите значение выражения: 5√9 — 8
- 8. Вычислите значение выражения: 7√25 — 10
- 9. Вычислите значение квадратного корня:
- 10. Вычислите значение квадратного уравнения:
- 11. Вычислите значение квадратного уравнения:
-
12. Извлеките квадратный корень из числа √7056 удобным вам способомКак решаем:
- 13. Вычислите значение квадратного корня √0,81Ответ: √0,81 = 0,9
- 14. Вычислите значение квадратного корня: Как решаем: = 0,09
- 15. Вычислите значение выражения: 8√81 — 20Как решаем: 8√81 — 20 = 8 * 9 — 20 = 72 — 20 = 52 Ответ: 8√81 — 20 = 52.
- 16. Вычислите значение выражения: 13√100 — 15Как решаем: 13√100 — 15 = 13 * 10 — 15 = 130 — 15 = 115 Ответ: 13√100 — 15 = 115.
- 17. Вычислите значение выражения: √16 + 5√4Как решаем: √16 + 5√4 = 4 + 5 * 4 = 4 + 20 = 24 Ответ: √16 + 5√4 = 24.
- 18. Вычислите значение выражения: √36 + 2√9Как решаем: √36 + 2√9 = 6 + 2 * 3 = 6 + 6 = 12 Ответ: √36 + 2√9 = 12.
- 19. Вычислите значение выражения: 2√16 — 3√25Как решаем: 2√16 — 3√25 = 2 * 4 — 3 * 5 = 8 — 15 = -7 Ответ: 2√16 — 3√25 = -7.
- 20. Вычислите значение выражения: 3√81 — 5√9Как решаем: 3√81 — 5√9 = 3*9 — 5 * 3 = 27 — 15 = 12 Ответ: 3√81 — 5√9 = 12.
- 21. Вынесите множитель из-под знака корень: √60Как решаем: √60 = √15 * √4 = 2√15 Ответ: √60 = 2√15.
- 22. Вынесите множитель из-под знака корень: √160Как решаем: √160 = √16 * √10 = 4√10 Ответ: √160 = 4√10.
- 23. Внесите множитель под знак корня: 6√7Как решаем: √6 2 * 7 = √36 * √7 = √252 Ответ: 6√7 = √252.
- 24. Внесите множитель под знак корня: 8√2Как решаем: 8√2 = √8 2 * 2 = √64 * √2 = √128 Ответ: 8√2 = √128.
-
25. Внесите множитель под знак корня: 9√5
Как решаем: 9√5 = √9 2 * 5 = √81 * √5 = √405 Ответ: 9√5 = √405.
- 26. Упростите выражение: (5 — √2) 2Как решаем: (5 — √2) 2 = 5 2 — 2 * 5 * √2 + (√2) 2 = 25 — 10√2 + 2 = 27 — 10√2. Ответ: (5 — √2) 2 = 27 — 10√2.
- 27. Вычислите значение выражения: 3√49 — 3√25Как решаем: 3√49 — 3√25 = 3 * 7 — 3 * 5 = 21 — 15 = 6 Ответ: 3√49 — 3√25 = 6.
- 28. Вычислите значение квадратного корня: √484 * √576Как решаем: √484 * √576 = 22 * 24 = 528 Ответ: √484 * √576 = 528.
- 29. Вычислите значение квадратного корня: √625 * √81Как решаем: √625 * √81 = 25 * 9 = 225 Ответ: √625 * √81 = 225.
- 30. Найдите значение выражения: 3√100 — √144Как решаем: 3100 — 144 = 3 * 10 — 12 = 18 Ответ: 3√100 — √144 = 18.
- 0 0 0 0 0 0
Вебинар : Гаджеты: как вернуть ребёнка в реальность среда, 23 февраля в 19:00 МСК
Извлечение квадратного корня из большого числа
Вы уже наверняка познакомились и подружились с таблицей квадратов. Она — ваша правая рука. С ее помощью вы реактивно решаете примеры и, возможно, даже подумываете запомнить ее наизусть.
Но, как вы можете заметить, таблица заканчивается на числе 9801. А это, согласитесь, не самое крупное число из тех, что могут вам попасться в примере.
Чтобы извлечь корень из большого числа, которое отсутствует в таблице квадратов, нужно:
- Определить «сотни», между которыми оно стоит.
- Определить «десятки», между которыми оно стоит.
- Определить последнюю цифру в этом числе.
Извлечь корень из большого числа можно разными способами — вот один из них.
Извлечем корень из √2116.
Наша задача в том, чтобы определить между какими десятками стоит число 2116.
102 = 100
202 = 400
302 = 900
402 = 1600
502 = 2500
Мы видим что, 2116 больше 1600, но меньше 2500.
Это значит, что число 2116 находится между 402и 502.
41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49.
Запомните лайфхак по вычислению всего на свете, что нужно возвести в квадрат.
Не секрет, что на последнем месте в любом числе может стоять только одна цифра от 1 до 0.
Как пользоваться таблицей
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16 ⇒ 6
52 = 25 ⇒ 5
62 = 36 ⇒ 6
72 = 49 ⇒ 9
82 = 64 ⇒ 4
92 = 81 ⇒ 1
Мы знаем, что число 41, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 1.
Число, 42, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 4.
Число 43, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — 9.
Такая закономерность позволяет нам без записи «перебрать» все возможные варианты, исключая те, которые не дают нужную нам цифру 6 на конце.
Таким образом, у нас остаются два варианта: 442 и 462.
Далее вычисляем: 44 * 44 = 1936.
46 * 46 = 2116.
Ответ: √2116 = 46
Если такой способ показался не до конца понятным — можно потратить чуть больше времени и разложить число на множители. Если решить все правильно, получим такой же результат.
Еще пример. Извлечем корень из числа √11664
Разложим число 11664 на множители:
11666 : 4 = 2916
2916 : 4 = 729
729 : 3 = 243
243 : 3 = 81
| 11664 | 4 |
| 2916 | 4 |
| 729 | 3 |
| 243 | 3 |
| 81 | 81 |
Запишем выражение в следующем виде:
Извлечь квадратный корень из большого числа гораздо проще с помощью калькулятора. Но знать парочку таких способов «на экстренный случай» точно не повредит. Например, для контрольной или ЕГЭ.
Чтобы закрепить все теоретические знания, давайте ещё немного поупражняемся в решении примеров на арифметические квадратные корни.
- Вычислите значение квадратного корня: √36
- Вычислите значение квадратного корня: √64*36
- Вычислите значение квадратного корня:
- Вычислите значение квадратного корня:
- Вычислите значение квадратного корня:
- Вычислите значение выражения: 4√16 — 12
- Вычислите значение выражения: 5√9 — 8
- Вычислите значение выражения: 7√25 — 10
- Вычислите значение квадратного корня:
- Вычислите значение квадратного уравнения:
- Вычислите значение квадратного уравнения:
- Извлеките квадратный корень из числа √7056 удобным вам способом
Как решаем:7056 4 1764 4 441 3 147 3 49 7 7 7 1 - Вычислите значение квадратного корня √0,81
Ответ: √0,81 = 0,9 - Вычислите значение квадратного корня:
Как решаем:
= 0,09 - Вычислите значение выражения: 8√81 — 20
Как решаем: 8√81 — 20 = 8 * 9 — 20 = 72 — 20 = 52
Ответ: 8√81 — 20 = 52. - Вычислите значение выражения: 13√100 — 15
Как решаем: 13√100 — 15 = 13 * 10 — 15 = 130 — 15 = 115
Ответ: 13√100 — 15 = 115. - Вычислите значение выражения: √16 + 5√4
Как решаем: √16 + 5√4 = 4 + 5 * 4 = 4 + 20 = 24 Ответ: √16 + 5√4 = 24. - Вычислите значение выражения: √36 + 2√9
Как решаем: √36 + 2√9 = 6 + 2 * 3 = 6 + 6 = 12
Ответ: √36 + 2√9 = 12. - Вычислите значение выражения: 2√16 — 3√25
Как решаем: 2√16 — 3√25 = 2 * 4 — 3 * 5 = 8 — 15 = -7
Ответ: 2√16 — 3√25 = -7. - Вычислите значение выражения: 3√81 — 5√9
Как решаем: 3√81 — 5√9 = 3*9 — 5 * 3 = 27 — 15 = 12
Ответ: 3√81 — 5√9 = 12. - Вынесите множитель из-под знака корень: √60
Как решаем: √60 = √15 * √4 = 2√15
Ответ: √60 = 2√15. - Вынесите множитель из-под знака корень: √160
Как решаем: √160 = √16 * √10 = 4√10
Ответ: √160 = 4√10. - Внесите множитель под знак корня: 6√7
Как решаем: √62 * 7 = √36 * √7 = √252
Ответ: 6√7 = √252. - Внесите множитель под знак корня: 8√2
Как решаем: 8√2 = √82 * 2 = √64 * √2 = √128 Ответ: 8√2 = √128. - Внесите множитель под знак корня: 9√5
Как решаем: 9√5 = √92 * 5 = √81 * √5 = √405
Ответ: 9√5 = √405. - Упростите выражение: (5 — √2)2
Как решаем: (5 — √2)2 = 52 — 2 * 5 * √2 + (√2)2 = 25 — 10√2 + 2 = 27 — 10√2.
Ответ: (5 — √2)2 = 27 — 10√2. - Вычислите значение выражения: 3√49 — 3√25
Как решаем: 3√49 — 3√25 = 3 * 7 — 3 * 5 = 21 — 15 = 6
Ответ: 3√49 — 3√25 = 6. - Вычислите значение квадратного корня: √484 * √576
Как решаем: √484 * √576 = 22 * 24 = 528
Ответ: √484 * √576 = 528. - Вычислите значение квадратного корня: √625 * √81
Как решаем: √625 * √81 = 25 * 9 = 225
Ответ: √625 * √81 = 225. - Найдите значение выражения: 3√100 — √144
Как решаем: 3100 — 144 = 3 * 10 — 12 = 18
Ответ: 3√100 — √144 = 18.
Умножение корней
Существует несколько вариантов умножения корней, это умножение с множителем, без множителя и с разными показателями.
Умножение без множителей
Первым делом рассмотри, как умножаются корни без множителя.
Убедившись, что корни, с которыми необходимо произвести действие имеют одинаковые степени. Например квадратный корень из числа а, можно умножать на квадратный корень из d.
Рассмотрим правило на двух примерах произведения двух квадратных и двух кубических корней.
Примеры:
\ первый пример умножение квадратных корней.
\{3} * \sqrt{18}=\] второй пример умножение кубических корне.
Решение:
Для того чтобы решить данные примеры необходимо произвести умножение под корнем.
\
\{18} * \sqrt{3}=\sqrt{18 * 3}=\sqrt{54}\]
Следующим шагом полученное выражение стоит упростить. Для этого полученное число под корнем необходимо представить в виде множителей, где в зависимости от корня одно из чисел чисел это полный квадрат или куб.
\, в данном примере число 12 можно разложить на произведение чисел 4 и 3, где 4 равно двум в квадрате. Поэтому 2 выносим за приделы корня и упрощаем выражение.
\{54}=\sqrt{27 * 2}=\sqrt{(3 * 3 * 3) * 2}=3 \sqrt{2}\] в данном случае получившееся подкоренное число 54 можно разложить на произведение двух чисел 27 и 2 , где 27 = 33, тройку выносим за корень кубический, тем самым мы упростили выражение.
Точно также производится умножение корней других степеней, при этом не важно количество умножаемых корней, правило не изменится
Умножение корней с множителями
В данном случае мы так же рассматриваем примеры умножения корней с одинаковыми степенями. Множителем является число, стоящее перед корнем. Если при написании множитель отсутствует, то он равен единице. Умножить корень на число значит умножить число на множитель перед корнем. Для того чтобы произвести умножение с такими корнями, необходимо перемножить множители.
Пример умножения корней:
\ в данном примере мы сначала произвели умножение множителей 1 и 2 , затем воспользовавшись первым правилом умножения корней, произвели умножение под знаком корня чисел 6 и 6.
Следующим шагом упрощаем выражение, корень из 36, равен целому числу 6. последним действием умножаем его на полученный множитель 2. и получаем ответ 12.
Пример 2.
\
В приведённом примере, мы также в начале производим умножение множителей 2 и 3, затем производим умножение подкоренных чисел 6 и 3, в результате получаем 6 корней из 18.
После производим упрощение выражения под знаком корня, для этого разложили его на множители, таким образом чтобы одно из чисел можно было вынести за пределы знака корень такими числами стали 9 и 2, в результате получилось, что вынесенное число равно трём, так как 9 = \ .
Теперь умножим получившийся ранее множитель 6 на вынесенное из под корня число 3, и получим ответ 18 корней из двух.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Нужна помощь
Умножение корней с разными показателями
Теперь разберём, как умножить корни если их показатели степени разные. Для этого необходимо найти наименьшее общее кратное число для этих показателей. Таким числом является наименьшее число, которое можно разделить на оба эти показателя. Для того чтобы разобраться лучше в данном методе, приведём пример.
Пример:
\{2} * \sqrt{5}=\]
Сначала необходимо найти наименьшее общее кратное, наименьшим в данном случае является произведение 2*3 = 6. Значит для того чтобы произвести умножение корней необходимо привести их к показателю шестой степени.
Записываем новое полученное выражение \{2} * \sqrt{5}=\]
Теперь находим числа на которые нужно умножить показатели, чтобы найти наименьшее общее кратное
Для первого корня это деление 6\2 = 3, для второго 6\3 =2
Следующим шагом нужно возвести подкоренное число в степень, которая ровна числам найденным ранее, при нахождении НОК, то есть \{2^{3}} * \sqrt{5^{2}}=\]
Далее имея одинаковые показатели производим действия по умножению корней, так как делали это в предыдущих правилах. Производим действия под корнем.
\{2^{3}} * \sqrt{5^{2}}=\sqrt{2^{3} * 5^{2}}=\sqrt{8 * 25}=\sqrt{200}\]
Если полученное выражение можно упростить, то упрощаем его. В данном случае это невозможно.
Как мы видим произвести умножение корней не так и сложно, главное запомнить основные правила и формулы умножения корней и пользоваться ними.
Понятие корня
Прежде чем приступить к рассмотрению темы о умножении корней, необходимо вспомнить, что же такое корень и его основные свойства.
Понятие корня неразделимо с понятием степени.
Определение
Корень из числа а, это такое значение числа, при котором возведение его в степень корня, получится а.
Возведение в степень х, означает умножить число само на себя х раз.
Например. Квадратный корень из а, равен а в квадрате.
Имеет запись вида : \
Степень корня указывается над знаком корня слева. \{a}\], в данном примере х — степень. Если запись не имеет такого обозначения, значит перед нами корень квадратный.
Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?
- Потому что это расширяет кругозор . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
- Потому что это развивает интеллект . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.
Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.