Матрицы

О чем говорит линейная зависимость?

В статистике линейная зависимость на графике показывает возможность корреляции между независимой и зависимой переменной. Это означает, что когда независимая переменная претерпевает изменения, зависимая переменная также изменяется, что приводит к наклону графика. Хотя корреляция в линейных отношениях не всегда предполагает наличие причинно-следственной связи, она может быть существенной для многих приложений, использующих статистику. Рассмотрим несколько профессиональных областей, которые полагаются на информацию, которую могут предоставить линейные отношения:

Финансы

Линейные отношения распространены в финансовых процессах, таких как инвестиционный анализ, управление бюджетом и финансовое планирование. Например, инвесторы, оценивающие акции, могут определить положительные и отрицательные корреляции как линейные зависимости между активностью рынка, ценами на акции и темпами их изменения. Специалисты по финансовому планированию и аналитики часто используют линейные отношения в форме линейной регрессии, которая использует корреляции для прогнозирования будущих результатов. Этот процесс необходим для прогнозирования различных показателей, таких как продажи, прибыль и возврат инвестиций.

Бизнес

Управление бизнесом – еще одна профессиональная область, в которой используется информация, которую могут показать линейные отношения. Например, линейные отношения, возникающие между различными процессами, могут подсказать бизнес-менеджерам и руководителям, как те или иные решения влияют на операции. Изменения между независимыми переменными, такие как корректировка маркетинговых стратегий, также могут демонстрировать линейную корреляцию с такими результатами, как увеличение продаж или более высокие коэффициенты конверсии.

Технология

Технические области часто используют науку о данных и анализ, которые основаны на вычислении и оценке математических свойств. Например, линейные отношения в машинном обучении и компьютерном программировании часто представляют собой функции, которые показывают программистам, как выходные данные соотносятся с назначенными входными данными. Технические приложения, такие как автоматизированные системы, также могут отображать линейные отношения между запрограммированными входными данными и результирующими зависимыми выходными данными.

Здравоохранение

Специалисты в области медицины и здравоохранения также наблюдают линейные зависимости, которые часто связаны с результатами лечения пациентов. Например, линейная зависимость между лечением и улучшением здоровья пациента может показать врачам, что существует положительная корреляция между независимой переменной и зависимой переменной. В этом случае независимой переменной является лечение, а зависимой переменной — улучшение состояния здоровья пациента. На графике соответствующая линия будет увеличиваться, показывая положительную корреляцию.

Академики

Специалисты в области образования также используют математику и статистический анализ для оценки различных академических показателей. Например, мониторинг успеваемости учащихся может помочь преподавателям выявить линейные отношения между определенными методами обучения и результатами обучения учащихся. Независимая переменная здесь будет методом обучения, а достижения учащихся представляют собой зависимую переменную. Линейные отношения в этих областях часто являются ценными индикаторами положительных и отрицательных корреляций, которые могут показать профессионалам, какие входные данные нужно улучшить, чтобы повлиять на положительные результаты обучения.

Последние заданные вопросы в категории Математика

Математика 07.09.2023 06:25 10 Иванова Алиса.

Вырежи квадрат со стороной 8 см. Раздели его перегибанием на 4 равных треугольника и найди площадь к

Ответов: 2

Математика 07.09.2023 06:25 16 Пустова Юля.

Найдите частное:1)0,42:0,06

Ответов: 2

Математика 07.09.2023 06:22 20 Чеховских Алиса.

Площадь сферы равна 5pi см^2. длина линии пересечения сферы и секущей плоскости равнв pi см. Найдите

Ответов: 1

Математика 07.09.2023 06:19 3 Тихий Коля.

в пяти одинаковых ящиках можно поместить 40 кг яблок сколько потребуется таких ящиков чтобы уложить

Ответов: 1

Математика 07.09.2023 06:10 27 Мотолыгина Виталина.

Из городов А и В, находящихся на расстоянии 275 км друг от друга , вышли одновременно в противополож

Ответов: 2

Математика 07.09.2023 06:06 6 Ивасенко Саша.

Сравните дроби и запишите результат сравнения с помощью знаков >,<,= а) 7/8 и 3/4 б) 6/25 и 1/

Ответов: 1

Математика 07.09.2023 06:00 10 Кепель Карина.

Запишите смешанную дробь 3 3/5 в виде неправильной дроби

Ответов: 2

Математика 07.09.2023 05:59 2 Бубнов Саша.

Одну рукопись машинистка печатала 4дня, а другую 3дня. Всего она напечатала за это время 210страниц.

Ответов: 1

Математика 07.09.2023 05:58 30 Даниленко Вика.

В одной корзине было 4 7/25 кг.яблок. Когда из неё взяли 1 9/25 кг.яблок,то в корзине стало на 8/25

Ответов: 2

Математика 07.09.2023 05:52 10 Феоктистова Виктория.

Из города одновременно в противоположных направлениях отправились два автобуса.Скорость одного автоб

Ответов: 1

Определение.

Определение.

Мы будем называть матрицей размеров \(m \times n\) совокупность \(mn\) чисел, расположенных в виде таблицы из \(m\) строк и \(n\) столбцов:
$$
\begin{Vmatrix}
a_{1}^{1}& a_{2}^{1}& \ldots & a_{n}^{1}\\
a_{1}^{2}& a_{2}^{2}& \ldots & a_{n}^{2}\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
a_{1}^{m}& a_{2}^{m}& \ldots& a_{n}^{m}
\end{Vmatrix}\nonumber
$$
Числа, составляющие матрицу, мы будем называть элементами матрицы. Если число строк в матрице равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк — её порядком. Остальные матрицы носят название прямоугольных.

Можно дать и такое определение матрицы. Рассмотрим два множества целых чисел \(I={1, 2, \ldots, m}\) и \(J={1, 2, \ldots, n}\). Через \(I \times J\) обозначим множество всех пар вида \((i, j)\), где \(i \in I\), a \(j \in J\). Матрицей называется числовая функция на \(I \times J\), то есть закон, сопоставляющий каждой паре \((i, j)\) некоторое число \(a_{j}^{i}\).

Для читателя, знакомого с программированием, заметим, что матрица — это в точности то же, что и двумерный массив.

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры, и равны их элементы, стоящие на одинаковых местах.

Рассматривая произвольные матрицы, мы будем обозначать их элементы буквами с двумя индексами. Если оба индекса расположены внизу, то первый из них обозначает номер строки, а второй — номер столбца; если один из индексов расположен сверху, как в написанной выше матрице, то этот индекс обозначает номер строки. Не следует путать верхние индексы с показателями степени.

Матрицу размеров \(1 \times n\), состоящую из одной строки, мы будем называть строкой длины \(n\) или просто строкой. Матрицу размеров \(m \times 1\) называют столбцом высоты \(m\) или просто столбцом. Столбцы и строки мы будем обозначать полужирными буквами.

Часто бывает удобно записывать матрицу как столбец из строк или как строку из столбцов. Пусть
$$
\boldsymbol{a}_{1}=\begin{Vmatrix}
a_{1}^{1}\\
a_{1}^{2}\\
\vdots\\
a_{1}^{m}
\end{Vmatrix},\ \boldsymbol{a}_{2}=\begin{Vmatrix}
a_{2}^{1}\\
a_{2}^{2}\\
\vdots\\
a_{2}^{m}
\end{Vmatrix},\ \ldots,\ \boldsymbol{a}_{n}=\begin{Vmatrix}
a_{n}^{1}\\
a_{n}^{2}\\
\vdots\\
a_{n}^{m}
\end{Vmatrix}.\nonumber
$$
Тогда написанную в начале матрицу можно записать в виде
$$
\begin{Vmatrix}
\boldsymbol{a}_{1}& \boldsymbol{a}_{2}& \ldots& \boldsymbol{a}_{n}
\end{Vmatrix}.\nonumber
$$
Аналогично, если \(\boldsymbol{a}^{1}=\begin{Vmatrix} a_{1}^{1}& \ldots& a_{n}^{1} \end{Vmatrix}, \ldots, \boldsymbol{a}^{m}=\begin{Vmatrix} a_{1}^{m}& \ldots& a_{n}^{m} \end{Vmatrix}\) а же матрица записывается в виде
$$
\begin{Vmatrix}
\boldsymbol{a}^{1}\\
\vdots\\
\boldsymbol{a}^{m}
\end{Vmatrix}.\nonumber
$$

Рассмотрим матрицу \(A\) размеров \(m \times n\) и выберем какие-нибудь \(r\) номеров строк \(i_{1}, \ldots, i_{r}\) и \(s\) номеров столбцов \(j_{1}, \ldots, j_{s}\), причем будем предполагать, что номера выбраны в порядке возрастания: \(i_{1} < i_{2} < \ldots < i_{r}\) и \(j_{1} < j_{2} < \ldots < j_{s}\). Матрицу \(A’\) размеров \(r \times s\), составленную из элементов \(A\), стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов, мы назовем подматрицей матрицы \(A\). Итак,
$$
A’=\begin{Vmatrix}
a_{j_{1}}^{i_{1}}& \ldots & a_{j_{s}}^{i_{1}}\\
\ldots&\ldots&\ldots\\
a_{j_{1}}^{i_{r}}& \ldots & a_{j_{s}}^{i_{r}}
\end{Vmatrix}.\nonumber
$$
Если матрица квадратная, то множество тех ее элементов \(a_{i}^{i}\), у которых номер строки равен номеру столбца, называется главной диагональю или просто диагональю матрицы.

Некоторые виды матриц.

Введем определения некоторых часто употребляемых видов матриц. Все матрицы предполагаются квадратными.

Определение.

Матрица \(A\) называется симметричной или симметрической, если \(A^{T}=A\). Для такой матрицы \(a_{ij}=a_{ji}\) при всех \(i\) и \(j\) — элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны.

Определение.

Матрица \(A\) называется кососимметричной или антисимметричной, если \(A^{T}=-A\). Для такой матрицы \(a_{ij}=-a_{ji}\) при всех \(i\) и \(j\) — элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, отличаются знаком. Диагональные элементы равны нулю.

Определение.

Матрица \(A\) называется верхней треугольной, если ее элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю: \(a_{ij}=0\) при \(i > j\). Аналогично определяется нижняя треугольная матрица: \(a_{ij}=0\) при \(i < j\).

Определение.

Матрица \(A\) называется диагональной, если у нее равны нулю все недиагональные элементы: \(a_{ij}=0\) при \(i \neq j\).

Другие частные виды матриц будем определять по мере необходимости.

Решение примеров

На практических занятиях в школе учащимся для закрепления курса учитель предлагает решить несколько типовых заданий. Школьники, решая их, выходят на достаточный уровень понимания темы и видят практическое применение знаниям. Вот некоторые из таких заданий:

• В пространстве размещены четыре вектора: a = {7; 9; 0}, b = {-8; 9; 4}, c = {2; 1; 6}, d = {-1; 8; 5}. Нужно проверить их линейную зависимость. Зная определение, можно утверждать, что отрезки будут линейно зависимыми, так как размерность линий не превышает их число.
• Установить линейную зависимость или доказать, что её нет для ограниченных прямых с координатами a = {1; 1; 1}, b = {1; 2; 0}, c = {0; -1; 1}. Чтобы решить это задание, нужно показать соответствие системы на критерии линейности или установить несоответствие. Для этого необходимо вначале найти значения свободных членов, при которых комбинация отрезков будет равняться нулевому вектору. Уравнение следует представить в виде матрицы. Решить ее проще поможет метод Гаусса. После решения матрицы можно будет установить, что система имеет множество корней. Отсюда следует, что имеется ненулевая комбинация коэффициентов, равная нулевому отрезку, например, a — b + c = 0. А это и подтверждает линейную зависимость.
• Проверить отрезки a = {1; -1; 3}, b = 2; -1; 4}, c = {2; 0; 2} на линейную зависимость. Для решения примера из заданных координат необходимо построить матрицу. Её ранг можно вычислить методом Гаусса. В ответе получится, что её размерность равняется двум. Так как 2 < 3, то заданная система соответствует линейности.

Простые школьные задания довольно просто решать самостоятельно. Но на практике часто исследование векторной системы занимает много времени и требует внимательности при анализе. Всё дело в том, что координатами могут быть дробные числа, работать с которыми не всегда удобно. В таких случаях есть резон использовать так называемые онлайн-калькуляторы.

С их помощью можно быстро и безошибочно проверить набор базисов на линейную зависимость. При этом от пользователя никаких особых знаний не требуется. Необходимо лишь иметь устройство с доступом в интернет, на котором установлен веб-обозреватель. Все действия сводятся к заполнению предложенной формы данными из задачи и нажатием кнопки «Проверить».

Свойства линейно зависимых и линейно независимых столбцов матриц

Понятия линейной зависимости и линейной независимости определяются для строк и столбцов одинаково. Поэтому свойства, связанные с этими понятиями, сформулированные для столбцов, разумеется, справедливы и для строк.

1. Если в систему столбцов входит нулевой столбец, то она линейно зависима.

2. Если в системе столбцов имеется два равных столбца, то она линейно зависима.

3. Если в системе столбцов имеется два пропорциональных столбца , то она линейно зависима.

4. Система из столбцов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из столбцов есть линейная комбинация остальных.

5. Любые столбцы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.

6. Система столбцов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

7. Если система столбцов — линейно независима, а после присоединения к ней столбца — оказывается линейно зависимой, то столбец можно разложить по столбцам , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.

Докажем, например, последнее свойство. Так как система столбцов линейно зависима, то существуют числа не все равные 0, что

В этом равенстве . В самом деле, если , то

Значит, нетривиальная линейная комбинация столбцов равна нулевому столбцу, что противоречит линейной независимости системы . Следовательно, и тогда , т.е. столбец есть линейная комбинация столбцов . Осталось показать единственность такого представления. Предположим противное. Пусть имеется два разложения и , причем не все коэффициенты разложений соответственно равны между собой (например, ). Тогда из равенства

получаем (alpha_1-beta_1)A_1+ldots+(alpha_k-beta_k)A_k=o

последовательно, линейная комбинация столбцов равна нулевому столбцу. Так как не все ее коэффициенты равны нулю (по крайней мере ), то эта комбинация нетривиальная, что противоречит условию линейной независимости столбцов . Полученное противоречие подтверждает единственность разложения.

Пример 3.2. Доказать, что два ненулевых столбца и линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. .

Решение. В самом деле, если столбцы и линейно зависимы, то существуют такие числа , не равные нулю одновременно, что . Причем в этом равенстве . Действительно, предположив, что , получим противоречие , поскольку и столбец — ненулевой. Значит, . Поэтому найдется число такое, что . Необходимость доказана.

Наоборот, если , то . Получили нетривиальную линейную комбинацию столбцов, равную нулевому столбцу. Значит, столбцы линейно зависимы.

Пример 3.3. Рассмотреть всевозможные системы, образованные из столбцов

Исследовать каждую систему на линейную зависимость.

Решение. Рассмотрим пять систем, содержащих по одному столбцу. Согласно пункту 1 замечаний 3.1: системы , линейно независимы, а система, состоящая из одного нулевого столбца , линейно зависима.

Рассмотрим системы, содержащие по два столбца:

– каждая из четырех систем и линейно зависима, так как содержит нулевой столбец (свойство 1);

– система линейно зависима, так как столбцы пропорциональны (свойство 3): ;

– каждая из пяти систем и линейно независима, так как столбцы непропорциональные (см. утверждение примера 3.2).

Рассмотрим системы, содержащие три столбца:

– каждая из шести систем и линейно зависима, так как содержит нулевой столбец (свойство 1);

– системы линейно зависимы, так как содержат линейно зависимую подсистему (свойство 6);

– системы и линейно зависимы, так как последний столбец линейно выражается через остальные (свойство 4): и соответственно.

Наконец, системы из четырех или из пяти столбцов линейно зависимы (по свойству 6).

См. также Ранг системы столбцов (строк) матрицы

Практическое применение линейной зависимости

Линейная зависимость строк матрицы имеет практическое применение в различных областях, таких как:

• Алгебра и геометрия. В алгебре и геометрии линейная зависимость используется для анализа различных объектов, таких как векторы, матрицы и линейные преобразования.
• Физика. Линейную зависимость часто применяют при решении задач в физике. Например, при описании сил, действующих на систему тел.
• Статистика. Линейная зависимость может использоваться при анализе данных и построении моделей, которые могут помочь в принятии решений на основе полученной информации.
• Программирование. Линейная зависимость может использоваться при написании программ для обработки данных и расчета различных параметров.
• Экономика и финансы. Линейная зависимость может применяться при анализе финансовых данных и построении моделей, которые используются для прогнозирования экономических показателей.

Применение линейной зависимости в этих областях позволяет проводить анализ и делать выводы на основе полученной информации. Также это помогает упростить сложные процессы и уменьшить общее количество вычислений, что способствует повышению эффективности работы в различных сферах деятельности.

Примеры линейных отношений

В следующих примерах показано, как оценить линейные отношения с помощью математических формул:

Пример линейного уравнения

Финансовый аналитик использует линейное уравнение для прогнозирования прибыли по процентам при оценке различных вариантов инвестирования для своего клиента. Каждый инвестиционный инструмент предлагает свою процентную ставку, которая колеблется в зависимости от цены акции. Аналитик может использовать линейное уравнение для расчета потенциальной доходности при умножении скорости изменения на процентную ставку и добавлении константы первоначальной основной суммы инвестиций клиента. Клиент инвестирует 2500 долларов США по процентной ставке 12%. Если скорость изменения равна 2,5, это дает аналитику:

Y = мх + б =

Потенциальная процентная стоимость = (2,5) (12%) + (2500 долларов США) = 2530 долларов США.

Аналитик оценивает результат, чтобы определить общее значение, которое клиент может ожидать по мере роста интереса к основному долгу. Хотя эта формула предполагает только вероятные линейные отношения между доходностью и колебаниями процентных ставок, финансовый аналитик может использовать эту информацию для дальнейшего изучения важнейших инвестиционных показателей и инструментов.

Пример линейной функции

Специалист по данным анализирует входные и выходные данные для системы машинного обучения. В системе каждый ввод представляет собой независимую команду, которая вызывает определенный вывод. Каждый раз, когда ученый программирует новую команду, система машинного обучения обрабатывает ее и генерирует результат. Чтобы определить, является ли каждая функция линейной, специалист по данным может использовать линейную формулу, чтобы быстро оценить вероятность того, что независимые и зависимые переменные демонстрируют корреляции.

Они перечисляют x входных данных (1.2, 2.2, 3.2) и вычисляют формулу для каждого значения, когда скорость изменения равна единице, а константа равна двум:

Y = f(x) = mx + b =

Y = f (1,2) = (1) (1,2) + (2) = 3,2

Y = f(2.2) = (1)(2.2) + (2) = 4.2

Y = f(3.2) = (1)(3.2) + (2) = 5.2

Отображение каждого входа и выхода на графике приводит к прямой линии. Это показывает исследователю данных, что существует линейная связь между каждой независимой и зависимой переменной. Используя эту информацию, ученый может внести коррективы в систему машинного обучения, чтобы производить более точные вычисления.

Сложение и умножение на число.

Пусть \(A\) и \(B\) — матрицы размеров \(m \times n\). Мы можем сопоставить им третью матрицу \(C\) размеров \(m \times n\), элементы которой \(c_{ij}\) связаны с элементами и матриц \(A\) и \(B\) равенствами
$$
c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\ (i=1, \ldots, m,\ j=1, \ldots, n).\label{ref1}
$$

Определение.

Матрица \(C\), определяемая по \(A\) и \(B\) формулой \eqref{ref1}, называется их суммой и обозначается \(A+B\).

Определение.

Матрица \(C\), элементы которой \(c_{ij}\) равны произведениям элементов \(a_{ij}\) матрицы \(A\) на число \(\alpha\), называется произведением \(A\) на \(\alpha\) и обозначается \(\alpha A\). Мы имеем
$$
c_{ij}=\alpha a_{ij}\ (i=1, \ldots, m,\ j=1, \ldots, n).\label{ref2}
$$

Из свойств сложения и умножения чисел легко вытекает наше первое утверждение.

Утверждение 1.

Для любых матриц \(A, B, C\) и любых чисел \(\alpha\) и \(\beta\) выполнены равенства:

• \(A+B=B+A\),
• \((A+B)+C=A+(B+C)\),
• \(\alpha(A+B)=\alpha A+\alpha B\),
• \((\alpha+\beta)A=\alpha A+\beta A\),
• \((\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)\).

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. Если \(O\) — нулевая матрица размеров \(m \times n\), то для любой матрицы тех же размеров
$$
A+O=A.\nonumber
$$

Матрицу \((-1)A\) называют противоположной матрице \(A\) и обозначают \(-A\). Она обладает тем свойством, что
$$
A+(-A)=O.\nonumber
$$

Сумма матриц \(B\) и \(-A\) называется разностью матриц \(B\) и \(A\) и обозначается \(B-A\). Мы видим, что сформулированные выше свойства линейных операций с матрицами совпадают со свойствами . Используя линейные операции, мы можем составлять из матриц одинаковых размеров \(A_{1}, \ldots, A_{k}\) и чисел \(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{k}\), выражения вида
$$
\alpha_{1}A_{1}+\ldots+\alpha_{k}A_{k}.\nonumber
$$

Такие выражения называются линейными комбинациями матриц. Если какая-то матрица представлена как линейная комбинация других матриц, то говорят, что она по ним разложена.

Пример 1.

Пусть \(\boldsymbol{p}_{1}, \ldots, \boldsymbol{p}_{k}\), — столбцы одинаковой высоты \(n\). Тогда столбец \(\boldsymbol{q}\) той же высоты по ним разложен, если при некоторых коэффициентах \(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{k}\)
$$
\boldsymbol{q}=\alpha_{1}\boldsymbol{p}_{1}+\ldots+\alpha_{k}\boldsymbol{p}_{k},\nonumber
$$
или, в более подробной записи,
$$
\begin{Vmatrix} q^{1}\\
\vdots\\
q^{n}
\end{Vmatrix}=\alpha_{1}
\begin{Vmatrix} p_{1}^{1}\\
\vdots\\
p_{1}^{n} \end{Vmatrix}+\ldots+\alpha_{k} \begin{Vmatrix} p_{k}^{1}\\
\vdots\\
p_{k}^{n} \end{Vmatrix}.\nonumber
$$
В силу определения линейных операций это матричное равенство равносильно \(n\) числовым равенствам
$$
\begin{matrix}
q^{1}=\alpha_{1}p_{1}^{1}+\ldots+\alpha_{k}p_{k}^{1},\\
\ldots\\
q^{n}=\alpha_{1}p_{1}^{n}+\ldots+\alpha_{k}p_{k}^{n}.
\end{matrix}\nonumber
$$

Операции над отрезками

При нахождении результата в векторной математике часто приходится выполнять различные действия, основанные на свойствах линейных операций над векторами. Самые элементарные из них — это сложение отрезков и умножение их на число.

Пусть имеются две ограниченные линии A и С. Перенеся первую из них к точке O, получится А = AO, а приложив к отрезку A вторую, — С = AC. Соединив две свободные точки, можно построить отрезок OC. Это и будет векторная сумма. Произведение же на число представляет операцию, соответствующую правилу: полученный отрезок, коллинеарный начальному, сонаправлен при n > 0 или противоположно направлен при n < 0, где n — число, на которое выполняется умножение.

Существуют следующие свойства линейных операций:

• Коммутативное сложение. При нём выполняется условие a + b = b + a. То есть перестановка значений отрезков на результат не влияет.
• Ассоциативное сложение. В этом случае будет верным следующее равенство: (a + b) + с = a + (b + c).
• К любому вектору можно прибавить нулевой без изменения ответа: a + 0 = a. Это очевидно, если изобразить на рисунке нулевой отрезок ОА и добавить к нему линию произвольной длины.
• Для любой ограниченной прямой AB имеется такой вектор -AB = BA, при котором сложение приведёт к нулю: AB + (-AB) = 0. То есть AB + BA = AA = 0.
• Произведение отрезка и числа ассоциативно: (mn) * a = m * (an).
• Перемножение вектора и числа является дистрибутивной операцией относительно сложения чисел: (m + n) * a = am * an.
• Умножение на единичный отрезок не изменяет исходного результата: 1 * a = a.

В линейной математике исследуются общие свойства таких множеств. При этом их абстрактные векторы необязательно являются геометрическими отрезками. Если же говорить об аналитической геометрии, то векторы используются для обозначения системы координат. Их обычно достаточно, чтобы можно было описать фигуры, используя аналитические формулы.

Зависимость векторов и свойства

В линейной алгебре вводится такое понятие, как векторная система. Под ней понимают заданный набор вида a1, a2, …, an. Если в это множество вести свободные коэффициенты, а векторные элементы системы сложить между собой, то получится выражение, являющееся линейной комбинацией рассматриваемого пространства: Ya1 + Ya2 + … + Yan.

Когда все свободные члены системы одновременно равняются нулю, то комбинация называется тривиальной. Но если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то множество уже будет нетривиальным. Например, система 0 * a1 + 0 * a2 — тривиальная, a 12 * a1 + 0 * a2 — нетривиальная. Разобравшись в этих терминах, можно дать определение зависимости системы. Так, она может быть двух типов:

• линейно независимая — когда тривиальная комбинация совпадает с нулевым отрезком;
• линейно зависимая — когда одна из нетривиальных комбинаций равняется нулевому отрезку.

Определение зависимости важно в векторной алгебре. Опираясь на него, исследуют размерность и базис пространства

Пусть имеется упорядоченная совокупность действительных или комплексных чисел a1, a2, … ap. Линейная комбинация будет выглядеть следующим образом: u * a1 + u * a2 + … + u * ap. Используя правила сложения и произведения векторов, а также понятие n-мерного массива, справедливо утверждать, что рассматриваемая линейная совокупность будет равняться некому отрезку: u * a1 + u * a2 + … + u * ap = b.

При исследовании системы на зависимость необходимо выполнить её проверку на достаточность признаков. Для этого вначале следует убедиться в том, что число векторов не превышает величины координат (в ином случае делается вывод о линейности), затем проверить систему на содержание нулевых отрезков. Если их нет, то необходимо составить матрицу, строками которой будут уравнения системы. При ранге составленной матрицы меньше p — система линейно зависима.

Свойства зависимых и независимых линейных отрезков:

• Система, содержащая нулевую линию, является линейно зависимой.
• Два одинаковых вектора в системе приводят её к линейной зависимости.
• Если в пространстве существуют два пропорциональных отрезка, то она считается линейно зависимой.
• Система из ограниченных прямых будет только тогда линейно зависимой, когда хотя бы один из отрезков является линейной комбинацией остальных.
• Когда к линейно независимой системе присоединяется отрезок и она превращается в линейно зависимую, то добавляемый вектор можно разложить по существующим прямым системы и только единственным образом.

Примеры линейной комбинации строк в матрице

Линейная комбинация строк в матрице представляет собой выражение, в котором строки матрицы умножаются на некоторые коэффициенты и складываются. Рассмотрим несколько примеров таких комбинаций.

Пример 1:

Дана матрица A:

2	1
3	-1

Выразим первую строку через вторую, умножив вторую строку на 2 и сложив с первой:

• 2 * (3 — 1) + 2 = 6
• 2 * (-1) + 1 = -1

Получим новую матрицу B:

6	-1
3	-1

Пример 2:

Дана матрица C:

1	2
3	4

Выразим вторую строку через первую, умножив первую строку на 2 и вычитая из второй:

• 3 — 2 * 1 = 1
• 4 — 2 * 2 = 0

Получим новую матрицу D:

1	2
1

Пример 3:

Дана матрица E:

1	2
-3	-6

Выразим вторую строку через первую, умножив первую строку на -3 и сложив с второй:

• -3 * 1 + (-3) = -6
• -3 * 2 + (-6) = 0

Получим новую матрицу F:

1	2
-6

Таким образом, линейная комбинация строк в матрице позволяет выражать одну строку через другую с помощью умножения на коэффициенты и сложения.

Транспонирование матриц.

Рассмотрим матрицу
$$
A=\begin{Vmatrix}
a_{11}& a_{12}& \ldots & a_{1n}\\
a_{21}& a_{22}& \ldots & a_{2n}\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
a_{m1}& a_{m2}& \ldots & a_{mn}\\
\end{Vmatrix}.\nonumber
$$
из \(m\) строк и \(n\) столбцов. Ей можно сопоставить матрицу \(B\) из \(n\) строк и \(m\) столбцов по следующему правилу. Элементы каждой строки матрицы \(A\) записываются в том же порядке в столбцы матрицы \(B\), причем номер столбца равен номеру строки. Эту матрицу
$$
B=\begin{Vmatrix}
a_{11}& a_{21}& \ldots & a_{m1}\\
a_{12}& a_{22}& \ldots & a_{m2}\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
a_{1n}& a_{2n}& \ldots & a_{mn}\\
\end{Vmatrix}.\nonumber
$$
называют транспонированной по отношению к \(A\) и обозначают \(A^{T}\). Переход от \(A\) к \(A^{T}\) называют транспонированием. Видно, что \(i\)-я строка \(B\) состоит из тех же элементов в том же порядке, что и \(i\)-й столбец \(A\). Ясно также, что \((A^{T})^{T}=A\). Определение транспонированной матрицы можно записать в виде \(mn\) равенств, связывающих элементы матриц \(A\) и \(B\):
$$
b_{ij}=a_{ji}\ (i=1, \ldots, m,\ j=1, \ldots, n).\nonumber
$$

Исследование системы векторов на линейную зависимость.

Поставим задачу: нам требуется установить линейную зависимость или линейную независимость системы векторов .

Логичный вопрос: «как ее решать?»

Кое-что полезное с практической точки зрения можно вынести из рассмотренных выше определений и свойств линейной зависимости и независимости системы векторов. Эти определения и свойства позволяют нам установить линейную зависимость системы векторов в следующих случаях:

1. когда хотя бы один из векторов системы является нулевым;
2. когда система векторов содержит два или более равных вектора;
3. когда система векторов содержит пропорциональные векторы ( и );
4. когда достаточно очевидно, что один из векторов системы линейно выражается через несколько других.

Как же быть в остальных случаях, которых большинство?

Разберемся с этим.

Напомним формулировку теоремы о ранге матрицы, которую мы приводили в статье ранг матрицы: определение, методы нахождения.

Теорема.

Пусть r – ранг матрицы А порядка p на n, . Пусть М – базисный минор матрицы А. Все строки (все столбцы) матрицы А, которые не участвуют в образовании базисного минора М, линейно выражаются через строки (столбцы) матрицы, порождающие базисный минор М.

А теперь поясним связь теоремы о ранге матрицы с исследованием системы векторов на линейную зависимость.

Составим матрицу A, строками которой будут векторы исследуемой системы :

Что будет означать линейная независимость системы векторов ?

Из четвертого свойства линейной независимости системы векторов мы знаем, что ни один из векторов системы не выражается через остальные. Иными словами, ни одна строка матрицы A не будет линейно выражаться через другие строки, следовательно, линейная независимость системы векторов будет равносильна условию Rank(A)=p.

Что же будет означать линейная зависимость системы векторов ?

Все очень просто: хотя бы одна строка матрицы A будет линейно выражаться через остальные, следовательно, линейная зависимость системы векторов будет равносильна условию Rank(A)<p.

Итак, задача исследования системы векторов на линейную зависимость сводится к задаче нахождения ранга матрицы, составленной из векторов этой системы.

Следует заметить, что при p>n система векторов будет линейно зависимой.

Замечание: при составлении матрицы А векторы системы можно брать не в качестве строк, а в качестве столбцов.