Квадрат. формулы

Как найти длину и радиус такой окружности

Представим, что имеется некая окружность, описанная около треугольника. Изобразим ее на рисунке для наглядности:

Здесь a, b, c обозначают стороны треугольника. Обозначим полупериметр p, тогда:

Точка О является центром окружности.

Рассмотрим равносторонний треугольник и описанную окружность:

Введем следующие обозначения:

• a определяет сторону треугольника;
• h является обозначением высоты;
• R представляет собой радиус описанной окружности.

Представим, что имеется некий равнобедренный треугольник, около которого описана окружность:

Обозначим стороны треугольника, как a и b.

Представим, что имеется какой-то прямоугольный треугольник, и около него описана окружность:

Обозначим за a и b катеты прямоугольного треугольника. Пусть гипотенуза равна с.

Изобразим трапецию и описанную около нее окружность:

В этом случае:

• a обозначает боковые стороны трапеции;
• c является нижним основанием;
• b является верхним основанием;
• d определяется, как диагональ;
• p равно полупериметру треугольника .

Предположим, что имеется некая окружность, описанная около квадрата:

Пусть сторона квадрата равна а. Диагональ обозначим за d.

Опишем около некого прямоугольника окружность, как на рисунке:

Обозначим стороны данного прямоугольника, как a и b. Пусть d является диагональю.

Изобразим правильный многоугольник и опишем около него окружность, как на рисунке:

Введем следующие обозначения:

• a является стороной многоугольника;
• N определяет число сторон многоугольника.

Представим, что имеется некий многоугольник с шестью углами, около которого описана окружность:

Здесь a является стороной шестиугольника, а диагональ обозначена d.

Существует связь между радиусом и диаметром окружности. В качестве объяснения данного соотношения изобразим некую окружность:

Введем следующие обозначения:

• r является радиусом окружности;
• D определяет диаметр окружности.

Также вспомним, что:

Длину окружности можно определить, зная площадь круга, который она ограничивает. Изобразим круг с центром O и какой-то площадью S:

Использование калькулятора

Калькулятор – незаменимый инструмент при решении задач, связанных с геометрией. С его помощью можно быстро производить все необходимые расчеты. Например, если необходимо найти длину стороны квадрата, вписанного в окружность, калькулятор поможет нам получить нужный ответ.

Для этого необходимо ввести в калькулятор радиус окружности и провести несложные математические расчеты. Если известен диаметр окружности, то ее радиус можно вычислить, разделив диаметр на два. Затем, если нам известно, что квадрат, который нужно вписать в окружность, касается ее во всех четырех точках, мы можем получить значение необходимой длины стороны квадрата.

При вводе чисел в калькулятор рекомендуется вводить их с учетом дробной части, что позволит получить более точные значения. Также можно использовать универсальную функцию «pi», которая позволяет вводить значение числа пи в калькулятор.

Окружность вписанная в квадрат

Чтобы формула нахождения радиуса вписанной окружности в квадрат r была правильно рассчитана, необходимо изначально вспомнить какими свойствами обладает данная фигура. У квадрата:

• все углы прямые, то есть, равны 90°;
• все стороны, как и углы, равны;
• диагонали равны, точкой пересечения бьются строго пополам и пересекаются под углом 90°.

При этом вписанная в выпуклый многоугольник окружность обязательно касается всех его сторон. Обозначим квадрат ABCD, точку пресечения его диагоналей O. Как видно на рисунке 1, пересечение линий АС и ВD дают равнобедренный треугольник АОВ, в котором стороны АО=ОВ, углы ОАВ=АВО=45°, а угол АОВ=90°. Тогда радиусом вписанной окружности в квадрат будет не что иное, как высота ОЕ полученного равнобедренного треугольника АОВ.

Если предположить, что сторона квадрата равна у, то формула нахождения радиуса вписанной окружности в квадрат будет выглядеть следующим образом:

Объяснение: в равнобедренном треугольнике АОВ высота ОЕ или радиус r делят основание АВ пополам (свойства), образовывая при этом прямоугольный треугольник с прямым угол ОЕВ. В маленьком треугольнике ЕВО основание ОВ образует со сторонами ОЕ и ЕВ углы по 45°. Значит треугольник ЕВО еще и равнобедренный. Стороны ОЕ и ЕВ равны.

Для наглядности приведем численный пример нахождения величины радиуса вписанной окружности в квадрат со стороной равной 13 см. В данном случае значение вписанного радиуса будет равно:
Легко решить и обратную задачу. Предположим, что известен радиус вписанной окружности – 9 см, тогда анализируя пример нахождения величины радиуса вписанной окружности в квадрат, можно найти сторону квадрата:
Находим из этого уравнения неизвестное значение: .

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом.

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

Так как AD и BC перпендикулярны, то

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

Из (13) следует, что

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

(5)

Из формулы (5) найдем R:

(6)

или, умножая числитель и знаменатель на , получим:

.

(7)

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Ответ:

Как решить задачу?

Для решения задачи нам нужно знать, какой квадрат можно вписать в окружность. Как известно, диагональ квадрата равна удвоенному радиусу окружности, в которую он вписан.

Таким образом, чтобы найти диагональ квадрата, который можно вписать в окружность, нам нужно разделить диаметр окружности на корень из двух. Формула для вычисления радиуса окружности: r = d/2, где d — диаметр. Очевидно, что длина диагонали квадрата, который можно вписать в окружность, равна d/√2.

Теперь мы можем использовать калькулятор для вычисления длины диагонали квадрата. Для этого нужно ввести значение диаметра окружности и разделить его на √2.

Пример:

• Допустим, радиус окружности равен 10 см.
• Диаметр окружности равен 20 см.
• Длина диагонали квадрата равна 20/√2 = 14,14 см.

Таким образом, мы научились решать задачу о том, какой квадрат можно вписать в окружность, с помощью калькулятора и формулы для вычисления длины диагонали квадрата.

Радиус описанной окружности

А если в задаче стоит вопрос «найдите радиус описанной окружности»? Или наоборот, радиус дан, а требуется найти что – то другое? Есть ли формула, связывающая радиус описанной окружность с другими элементами треугольника?

Есть, конечно! И эта формула называется «Теорема синусов» (доказательство смотри именно в этой теме).

То есть:

\( \large\displaystyle \frac{\text{a}}{\sin \angle \text{A}}=2\text{R}\) и\( \large\displaystyle \frac{\text{b}}{\sin \angle \text{B}}=2\text{R}\) и\( \large\displaystyle \frac{\text{c}}{\sin \angle \text{C}}=2\text{R}\).

Обрати внимание: теорема синусов сообщает, что для того чтобы найти радиус описанной окружности, тебе нужна одна сторона (любая!) и противолежащий ей угол. И всё!

И всё!

Окружность вписанная в квадрат

Чтобы формула нахождения радиуса вписанной окружности в квадрат r вычислялась правильно, необходимо сначала вспомнить, какими свойствами обладает эта фигура.
На площади:

• все углы прямые, то есть равны 90°;
• все стороны, как углы, равны;
• диагонали равны, точка пересечения строго делится пополам и пересекается под углом 90°.

При этом окружность, вписанная в выпуклый многоугольник, обязательно касается всех сторон. Обозначим квадрат ABCD, пересечение диагоналей O. Как видно из рисунка 1, пересечение прямых AC и BD дает равнобедренный треугольник AOB, где стороны AO=OB, углы OAB=ABO=45 °, а угол АОВ=90°. Тогда радиус вписанной окружности в квадрат будет не чем иным, как высотой ОЕ получившегося равнобедренного треугольника АОВ.

Если принять, что сторона квадрата равна у, то формула нахождения радиуса вписанной окружности в квадрат будет выглядеть так:

Пояснение: в равнобедренном треугольнике AOB высота OE или радиус r делит основание AB пополам (свойства), образуя прямоугольный треугольник с прямым углом OEB. В малом треугольнике EBO основание OB образует углы 45° со сторонами OE и EB. Значит треугольник EBO тоже равнобедренный. Стороны ОЕ и ЕВ равны.

Для наглядности приведем численный пример нахождения значения радиуса вписанной окружности в квадрат со стороной, равной 13 см. В этом случае значение вписанного радиуса будет:
Решение обратной задачи также несложно. Предположим, что известен радиус вписанной окружности — 9 см, тогда, разобрав пример нахождения значения радиуса вписанной окружности в квадрат, можно найти сторону квадрата:
Находим неизвестное значение из этого уравнения:
.

Последние заданные вопросы в категории Геометрия

Геометрия 07.09.2023 06:48 26 Малявин Андрей.

Начертить треугольник ABC. Постройте его образ: а) при симметрии относительно его высоты, выходяще

Ответов: 1

Геометрия 07.09.2023 06:03 29 Маяковский Максим.

Найдите основание CF, изображенной на рисунке трапеции CDEF, если известно, что DO=9, DE= 15, OF=12

Ответов: 1

Геометрия 07.09.2023 05:45 19 Миронова Даша.

Угол A равнобедренного треугольника ABC с основанием BC равен 36 градусов ; BF − биссектриса треуг

Ответов: 1

Геометрия 07.09.2023 05:38 8 Писарева Софья.

Точка М середина отрезка АВ,МВ=4.3дм.Найдите длину отрезка АВ в милиметрах.

Ответов: 1

Геометрия 07.09.2023 05:38 21 Евдокимов Данила.

Площадь одной клетки равна 1.Найдите площадь закрашенной фигуры

Ответов: 1

Геометрия 07.09.2023 05:37 14 Жармагамбетов Тамерлан.

В равнобедренном треугольнике одна из сторон равна 9,а другая 20.Найти основание треугольника.

Ответов: 1

Геометрия 07.09.2023 05:35 29 Штонда Александр.

Решить пожалуйста срочно буду благодарен,

Ответов: 1

Геометрия 07.09.2023 05:34 5 Пикулев Сергей.

1.Даны три точки с координатами: F(8; 1; 0), E(0; 0; 4), K(0; 5; 1). а) Постройте их в декартовой

Ответов: 1

Геометрия 07.09.2023 05:34 11 Анна Бушмельова.

как найти третью сторону треугольника если известно что две стороны равны и известны и известен угол

Ответов: 2

Геометрия 07.09.2023 05:34 26 Кусакина Светлана.

Задача по геометрии 10 класс

Ответов: 1

Площадь кольца и других сложных фигур

Если какая-либо фигура образована с помощью нескольких окружностей, то найти ее площадь можно, представив ее в виде суммы площадей нескольких более простых фигур. В качестве простейшего примера можно привести кольцо. По сути оно представляет собой круг, в котором есть круговое отверстие:

Если обозначить наружный радиус кольца буквой R, а радиус отверстия буквой r, то площадь кольца можно найти, вычтя из площади большего круга площадь отверстия:

Задание. Внешний радиус кольца составляет 20 см, а радиус отверстия в нем равен 15 см. Определите площадь кольца.

Решение. Подставляем числа в формулу:

Ответ: 175π.

Задание. Есть диск радиусом 1 метр. Необходимо вырезать в нем отверстие так, чтобы масса диска уменьшилась в два раза. Какой радиус должен быть у отверстия?

Решение. Можно считать, что масса диска пропорциональна его площади, поэтому нам надо, чтобы площадь диска уменьшилась вдвое. Начальная площадь диска определяется так:

Площадь кольца должна быть вдвое меньше, то есть она будет составлять π/2. Если радиус отверстия мы обозначим как r, то можно составить уравнение:

Ответ: ≈ 70,7 см.

В прямоугольной плите с габаритами 180 и 60 см сделано 27 отверстий диаметром 10 см. Вычислите площадь этой плиты. Считайте, что π ≈ 3,1416, и округлите ответ до целых.

Решение. Надо найти площадь плиты без учета отверстий, а потом вычесть из нее площадь всех отверстий. Площадь плиты равна произведению ее сторон

Ответ: ≈ 8679 см2.

Задание. Из вершин квадрата со стороной а проведены дуги радиусом а/2. В результате получили следующую фигуру:

Найдите заштрихованную площадь.

Решение. Площадь заштрихованной области может быть получена, если из площади квадрата мы вычтем площади 4 секторов. Площадь квадрата рассчитывается так:

Задание. В квадрате, сторона которого обозначается буквой а, из вершин провели дуги, чей радиус совпадает со стороной квадрата. В результате в центре квадрата получили следующую фигуру:

Определите, какую долю квадрата занимает эта центральная фигура. Ответ дайте в процентах и округлите его до десятых.

Решение. Задача решается в несколько действий, причем нам потребуется составить формулы для вычисления площадей вспомогательных фигур. Сначала найдем площадь маленького треугольника с «кривыми» сторонами, для чего используем такое построение:

Площадь, которую мы пытаемся найти, обозначена здесь как S₁. Ее можно получить, просто вычтя из площади квадрата (она составляет а2) площади двух секторов и площадь треугольника. Треугольник на рисунке – равносторонний, ведь и сторона квадрата, и радиусы окружностей равны величине а. Тогда каждый его угол составляет 60°, и его площадь можно найти так:

Также мы можем найти центральные углы обоих секторов. Так как углы в квадраты составляют 90°, а в равностороннем треугольнике 60°, то эти углы окажутся равными 90° – 60° = 30°. Тогда площадь сектора вычисляется по формуле:

На следующем шаге вычислим площадь другой фигуры:

Попытаемся выразить величину S₂. Для этого из площади квадрата надо вычесть площадь сектора, у которого центральный угол составляет 90°. Найдем площадь этого сектора:

Здесь мы ищем площадь S3

Обратите внимание, что ее можно выразить через уже найденные нами величины S1 и S2:

Мы составили выражения для всех необходимых нам вспомогательных фигур. Теперь вернемся к исходному рисунке и отметим на нем эти вспомогательные фигуры:

Итак, мы составили выражение для вычисления площади центральной фигуры. По условию надо указать, сколько процентов она составляет от площади всего квадрата. Для ответа на этот вопрос поделим площадь фигуры на площадь квадрата и умножив это отношение на 100%:

Ответ: 31,5%.

В рамках этого урока мы узнали, как вычислять длину окружности и дуги, площади круга, сектора, сегмента, кольца и других фигур, одна или несколько сторон которых представляют собой дуги окружности. Эти навыки могут пригодиться и в реальной жизни, так как именно от площади многих предметов часто зависит потребность в краске, лаке, клее и т. п.

Чем круг отличается от окружности: объяснение

Основное отличие между кругом и окружностью — это то, что круг — геометрическая фигура, а окружность — замкнутая кривая

Также обратите внимание на отличия между окружностью и кругом:

• Окружность это замкнутая линия, а круг — площадь внутри этой окружности;
• Окружность это кривая линия на плоскости, а круг — пространство, сомкнутое в кольцо окружностью;
• Сходство между окружностью и кругом: радиус и диаметр;
• У круга и окружности единый центр;
• В случае если заштриховывается пространство внутри окружности, оно превращается в круг;
• У окружности есть длина, но ее нет у круга, и наоборот, у круга есть площадь, которой нет у окружности.

Длина окружности (периметр круга)

Будем выводить длину произвольной окружности \(C \)
с помощью её радиуса, равного \(τ \)
.

Будем рассматривать две произвольные окружности. Обозначим их длины через \(C \)
и \(C» \)
, у которых радиусы равняются \(τ \)
и \(τ» \)
. Будем вписывать в эти окружности правильные \(n \)
-угольники, периметры которых равняются \(ρ \)
и \(ρ» \)
, длины сторон которых равняются \(α \)
и \(α» \)
, соответственно. Как мы знаем, сторона вписанного в окружность правильного \(n \)
– угольника равняется

\(α=2τsin\frac{180^0}{n} \)

Тогда, будем получать, что

\(ρ=nα=2nτ\frac{sin180^0}{n} \)

\(ρ»=nα»=2nτ»\frac{sin180^0}{n} \)

\(\frac{ρ}{ρ»}=\frac{2nτsin\frac{180^0}{n}}{2nτ»\frac{sin180^0}{n}}=\frac{2τ}{2τ»} \)

Получаем, что отношение \(\frac{ρ}{ρ»}=\frac{2τ}{2τ»} \)
будет верным независимо от значения числа сторон вписанных правильных многоугольников. То есть

\(\lim_{n\to\infty}(\frac{ρ}{ρ»})=\frac{2τ}{2τ»} \)

С другой стороны, если бесконечно увеличивать число сторон вписанных правильных многоугольников (то есть \(n→∞ \)
), будем получать равенство:

\(lim_{n\to\infty}(\frac{ρ}{ρ»})=\frac{C}{C»} \)

Из последних двух равенств получим, что

\(\frac{C}{C»}=\frac{2τ}{2τ»} \)

\(\frac{C}{2τ}=\frac{C»}{2τ»} \)

Видим, что отношение длины окружности к его удвоенному радиусу всегда одно и тоже число, независимо от выбора окружности и ее параметров, то есть

\(\frac{C}{2τ}=const \)

Эту постоянную принять называть числом «пи» и обозначать \(π \)
. Приближенно, это число будет равняться \(3,14 \)
(точного значения этого числа нет, так как оно является иррациональным числом). Таким образом

\(\frac{C}{2τ}=π \)

Окончательно, получим, что длина окружности (периметр круга) определяется формулой

\(C=2πτ \)

В вашем браузере отключен Javascript. Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Калькулятор круга — это сервис, специально разработанный для расчета геометрических размеров фигур онлайн. Благодаря данному сервису Вы без проблем сможете определить любой параметр фигуры, в основе которой лежит круг. Например: Вы знаете объем шара, а необходимо получить его площадь. Нет ничего проще! Выберите соответствующий параметр, введите числовое значение и нажмите кнопку рассчитать. Сервис не только выдает результаты вычислений, но и предоставляет формулы, по которым они были сделаны. При помощи нашего сервиса вы без труда рассчитаете радиус, диаметр, длину окружности (периметр круга), площадь круга и шара, объем шара.

Узнать длину окружности

Вы даже не представляете, как много вокруг нас круглых объектов и какую важную роль они играют в нашей жизни. Умение рассчитать длину окружности необходимо всем, от рядового водителя, до ведущего инженера-проектировщика. Формула для вычисления длинны окружности очень проста: D=2Pr. Расчет можно легко провести как на листке бумаги, так и при помощи данного интернет помощника. Преимущество последнего в том, что он проиллюстрирует все вычисления рисунками. И ко всему прочему, второй способ намного быстрее.

Рассчитать площадь шара

Формула для расчета площади шара ничуть не сложнее формул, описанных в предыдущих пунктах. S=4Pr 2 . Этот нехитрый набор букв и цифр уже многие годы дает людям возможность достаточно точно вычислять площадь шара. Где это может быть применено? Да везде! Например, вы знаете, что площадь земного шара равна 510 100 000 километров квадратных. Перечислять, где может быть применено знание этой формулы перечислять бесполезно. Слишком широка область применения формулы для вычисления площади шара.

Вычислить объем шара

Очень часто при решении школьных заданий по или физике возникает вопрос — как найти длину окружности, зная диаметр? На самом деле никаких сложностей в решении этой проблемы нет, нужно только чётко представлять себе, какие формулы
, понятия и определения требуются для этого.

Какой квадрат вписать в окружность?

Задача вписать квадрат в окружность имеет определенное решение, которое можно вывести путем простого математического анализа. Если взять ребро квадрата и провести его диагональ, то получится радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Таким образом, диагональ квадрата равна двум радиусам окружности. Если задан радиус окружности, то можно найти длину диагонали квадрата и определить сторону квадрата по формуле a = d / √2, где d — длина диагонали.

Для примера, если радиус окружности равен 5 см, то длина диагонали квадрата будет 10 см. Подставив значение в формулу, получаем, что сторона квадрата будет равна примерно 7,07 см.

Также можно определить площадь квадрата по формуле S = a^2, где S — площадь, a — сторона. Для данного примера, площадь квадрата будет примерно 50 кв.см.

С помощью калькулятора можно быстро рассчитать сторону и площадь вписанного квадрата для любого радиуса окружности. Это возможно благодаря использованию математических функций калькулятора, таких как вычисление корня из числа.

Таким образом, вписать квадрат в окружность возможно, если знать радиус окружности. Калькулятор позволяет быстро определить сторону и площадь квадрата по заданному радиусу окружности.

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом.

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

(10)

Так как AD и BC перпендикулярны, то

(11)

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

(12)

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

(13)

Из (13) следует, что

(14)

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).