Преобразование выражений, основные тождественные преобразования

Раскрытие скобок

Скобки могут содержать записи числовых выражений и выражений с переменными. Эти выражения могут быть преобразованы в тождественно равные выражения, в которых скобок не будет вообще или их будет меньше, чем в исходных выражениях. Этот способ преобразования выражений называют раскрытием скобок.

Пример 10

Проведем действия со скобками в выражении вида 3 + x − 1 x
для того, чтобы получить тождественно верное выражение 3 + x − 1 x
.

Выражение 3 · x — 1 + — 1 + x 1 — x можно преобразовать в тождественно равное выражение без скобок 3 · x — 3 — 1 + x 1 — x .

Правила преобразования выражений со скобками мы подробно разобрали в теме «Раскрытие скобок», которая размещена на нашем ресурсе.

Замена разностей суммами, частных произведениями и обратно

Замена разностей суммами стала возможна благодаря нашему знакомству с противоположными числами. Теперь вычитание из числа a
числа b
можно рассматривать как прибавление к числу a
числа − b
. Равенство a − b = a + (− b)
можно считать справедливым и на его основе проводить замену разностей суммами.

Пример 13

Возьмем выражение 4 + 3 − 2
, в котором разность чисел 3 − 2
мы можем записать как сумму 3 + (− 2)
. Получим 4 + 3 + (− 2)
.

Пример 14

Все разности в выражении 5 + 2 · x − x 2 − 3 · x 3 − 0 , 2
можно заменить суммами как 5 + 2 · x + (− x 2) + (− 3 · x 3) + (− 0 , 2)
.

Мы можем переходить к суммам от любых разностей. Аналогично мы можем произвести обратную замену.

Замена деления на умножение на число, обратное делителю, становится возможным благодаря понятию взаимно обратных чисел. Это преобразование можно записать равенством a: b = a · (b − 1)
.

Это правило было положено в основу правила деления обыкновенных дробей.

Пример 15

Частное 1 2: 3 5
можно заменить произведением вида 1 2 · 5 3
.

Точно также по аналогии деление может быть заменено умножением.

Пример 16

В случае с выражением 1 + 5: x: (x + 3)
заменить деление на x
можно на умножение на 1 x
. Деление на x + 3
мы можем заменить умножением на 1 x + 3
. Преобразование позволяет нам получить выражение, тождественное исходному: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3 .

Замена умножения делением поводится по схеме a · b = a: (b − 1)
.

Пример 17

В выражении 5 · x x 2 + 1 — 3 умножение можно заменить делением как 5: x 2 + 1 x — 3 .

Приемы, использующиеся для доказательств тождеств

Привести левую часть тождества к правой или наоборот с использованием тождественных преобразований

Привести обе части к одному и тому же выражению с помощью тождественных преобразований

Перенести выражения, стоящие в одной части выражения в другую и доказать, что полученная разность равна $0$

Какое из приведенных приемов использовать для доказательства данного тождества зависит от исходного тождества.

Пример 2

Доказать тождество ${(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Решение:
Для доказательства данного тождества мы используем первый из приведенных выше приемов, а именно будем преобразовывать левую часть тождества до ее равенства с правой.

Рассмотрим левую часть тождества:$\ {(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)$- она представляет собой разность двух многочленов. При этом первый многочлен является квадратом суммы трех слагаемых.Для возведения в квадрат суммы нескольких слагаемых используем формулу:

Для этого нам необходимо выполнить умножение числа на многочлен.Вспомним, что для этого надо умножить общий множитель,стоящий за скобками на каждое слагаемое многочлена,стоящего в скобках.Тогда получим:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Теперь вернемся к исходному многочлену,он примет вид:

${(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Обратим внимание, что перед скобкой стоит знак «-» значит при раскрытии скобок все знаки, которые были в скобках меняются на противоположные. ${(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

${(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Приведем подобные слагаемые,тогда получим, что одночлены $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ и $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ взаимно уничтожатся, т.е. их сумма равна $0$.

${(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Значит путем тождественных преобразований мы получили тождественное выражение в левой части исходного тождества

${(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Заметим, что полученное выражение показывает, что исходное тождество —верно.

Обратим внимание, что в исходном тождестве допустимы все значения переменной, значит мы доказали тождество используя тождественные преобразования, и оно верно при всех допустимых значениях переменной. Тождественные преобразования представляют собой работу, которую мы проводим с числовыми и буквенными выражениями, а также с выражениями, которые содержат переменные

Все эти преобразования мы проводим для того, чтобы привести исходное выражение к такому виду, который будет удобен для решения задачи. Основные виды тождественных преобразований мы рассмотрим в этой теме

Тождественные преобразования представляют собой работу, которую мы проводим с числовыми и буквенными выражениями, а также с выражениями, которые содержат переменные. Все эти преобразования мы проводим для того, чтобы привести исходное выражение к такому виду, который будет удобен для решения задачи. Основные виды тождественных преобразований мы рассмотрим в этой теме.

Тождественные преобразования уравнений.

В любых уравнениях
для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходный пример. Причем так, чтобы при смене внешнего вида суть уравнения не менялась.
Такие преобразования называются тождественными
или равносильными.

Отмечу, что эти преобразования относятся именно к уравнениям.
В математике ещё имеются тождественные преобразования выражений.
Это другая тема.

Сейчас мы с вами повторим все-все-все базовые тождественные преобразования уравнений.

Базовые потому, что их можно применять к любым
уравнениям – линейным, квадратным, дробным, тригонометрическим, показательным, логарифмическим и т.д. и т.п.

Первое тождественное преобразование:

к обеим частям любого уравнения можно прибавить (отнять) любое
(но одно и то же!) число или выражение (в том числе и выражение с неизвестным!). Суть уравнения от этого не меняется.

Вы, между прочим, постоянно пользовались этим преобразованием, только думали, что переносите какие-то слагаемые из одной части уравнения в другую со сменой знака. Типа:

Дело знакомое, переносим двойку вправо, и получаем:

На самом деле вы отняли
от обеих частей уравнения двойку. Результат получается тот же самый:

х+2 — 2
= 3 — 2

Перенос слагаемых влево-вправо со сменой знака есть просто сокращённый вариант первого тождественного преобразования. И зачем нам такие глубокие познания? – спросите вы. В уравнениях низачем. Переносите, ради бога. Только знак не забывайте менять. А вот в неравенствах привычка к переносу может и в тупик поставить….

Второе тождественное преобразование
:
обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля
число или выражение. Здесь уже появляется понятное ограничение: на ноль умножать глупо, а делить и вовсе нельзя. Это преобразование вы используете, когда решаете что-нибудь крутое, типа

Понятное дело, х
= 2. А вот как вы его нашли? Подбором? Или просто озарило? Чтобы не подбирать и не ждать озарения, нужно понять, что вы просто поделили обе части уравнения
на 5. При делении левой части (5х) пятёрка сократилась, остался чистый икс. Чего нам и требовалось. А при делении правой части (10) на пять, получилась, знамо дело, двойка.

Вот и всё.

Забавно, но эти два (всего два!) тождественных преобразования лежат в основе решения всех уравнений математики.
Во как! Имеет смысл посмотреть на примерах, что и как, правда?)

Перестановка местами слагаемых, множителей

Начнем с перестановки слагаемых местами. С этим тождественным преобразованием мы имеем дело чаще всего. И основным правилом здесь можно считать следующее утверждение: в любой сумме перестановка слагаемых местами не отражается на результате.

Основано это правило на переместительном и сочетательном свойствах сложения. Эти свойства позволяют нам переставлять слагаемые местами и получать при этом выражения, которые тождественно равны исходным. Именно поэтому перестановка слагаемых местами в сумме является тождественным преобразованием.

Пример 6

У нас есть сумма трех слагаемых 3 + 5 + 7 . Если мы поменяем местами слагаемые 3 и 5 , то выражение примет вид 5 + 3 + 7 . Вариантов перестановки местами слагаемых в данном случае несколько. Все они приводят к получению выражений, тождественно равных исходному.

В качестве слагаемых в сумме могут выступать не только числа, но и выражения. Их точно так же, как и числа, можно переставлять местами, не влияя на конечный результат вычислений.

Пример 7

В сумме трех слагаемых 1 a + b , a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 и — 12 · a вида 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 + (- 12) · a слагаемые можно переставить, например, так (- 12) · a + 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 . В свою очередь можно переставить местами слагаемые в знаменателе дроби 1 a + b , при этом дробь примет вид 1 b + a . А выражение под знаком корня a 2 + 2 · a + 5
тоже является суммой, в которой можно поменять местами слагаемые.

Точно так же, как и слагаемые, в исходных выражениях можно менять местами множители и получать тождественно верные уравнения. Проведение этого действия регулируется следующим правилом:

Определение 2

В произведении перестановка множителей местами не влияет на результат вычислений.

Основано это правило на переместительном и сочетательном свойствах умножения, которые подтверждают верность тождественного преобразования.

Пример 8

Произведение 3 · 5 · 7
перестановкой множителей можно представить в одном из следующих видов: 5 · 3 · 7 , 5 · 7 · 3 , 7 · 3 · 5 , 7 · 5 · 3 или 3 · 7 · 5
.

Пример 9

Перестановка множителей в произведении x + 1 · x 2 — x + 1 x даст x 2 — x + 1 x · x + 1

Перестановка местами слагаемых, множителей

В сумме трех слагаемых 1 a + b , a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 и — 12 · a вида 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 + ( — 12 ) · a слагаемые можно переставить, например, так ( — 12 ) · a + 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 . В свою очередь можно переставить местами слагаемые в знаменателе дроби 1 a + b , при этом дробь примет вид 1 b + a . А выражение под знаком корня a 2 + 2 · a + 5 тоже является суммой, в которой можно поменять местами слагаемые.

В произведении перестановка множителей местами не влияет на результат вычислений.

Произведение 3 · 5 · 7 перестановкой множителей можно представить в одном из следующих видов: 5 · 3 · 7 , 5 · 7 · 3 , 7 · 3 · 5 , 7 · 5 · 3 или 3 · 7 · 5 .

Перестановка множителей в произведении x + 1 · x 2 — x + 1 x даст x 2 — x + 1 x · x + 1

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Числа и выражения, из которых составлено исходное выражение, можно заменять тождественно равными им выражениями. Такое преобразование исходного выражения приводит к тождественно равному ему выражению.

Например, в выражении 3+x
число 3
можно заменить суммой 1+2
, при этом получится выражение (1+2)+x
, которое тождественно равно исходному выражению. Другой пример: в выражении 1+a 5
степень a 5
можно заменить тождественно равным ей произведением, например, вида a·a 4
. Это нам даст выражение 1+a·a 4
.

Данное преобразование, несомненно, искусственно, и обычно является подготовкой к каким-либо дальнейшим преобразованиям. Например, в сумме 4·x 3 +2·x 2
, учитывая свойства степени, слагаемое 4·x 3
можно представить в виде произведения 2·x 2 ·2·x
. После такого преобразования исходное выражение примет вид 2·x 2 ·2·x+2·x 2
. Очевидно, слагаемые в полученной сумме имеют общий множитель 2·x 2
, таким образом, мы можем выполнить следующее преобразование — вынесение за скобки. После него мы придем к выражению: 2·x 2 ·(2·x+1)
.

Прибавление и вычитание одного и того же числа

Другим искусственным преобразованием выражения является прибавление и одновременное вычитание одного и того же числа или выражения. Такое преобразование является тождественным, так как оно, по сути, эквивалентно прибавлению нуля, а прибавление нуля не меняет значения.

Рассмотрим пример. Возьмем выражение x 2 +2·x
. Если к нему прибавить единицу и отнять единицу, то это позволит в дальнейшем выполнить еще одно тождественное преобразование — выделить квадрат двучлена
: x 2 +2·x=x 2 +2·x+1−1=(x+1) 2 −1
.

Список литературы.

Алгебра:
учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / ; под ред. С. А. Теляковского. — 17-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 240 с. : ил. — ISBN 978-5-09-019315-3.
Алгебра:
учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / ; под ред. С. А. Теляковского. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 271 с. : ил. — ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордкович А. Г.
Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 17-е изд., доп. — М.: Мнемозина, 2013. — 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.

Равенства. Тождества. Уравнения

Равенство – это два выражения, между которыми стоит знак «=» (равно). Например, – это равенство, где – это левая часть равенства, – это правая часть равенства.

Свойства равенств:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

Равенства бывают: Числовые или С переменными.

Числовое равенство может быть Верным или Неверным.

Например, 1) ; – это верные числовые равенства; ; – это неверные числовые равенства.

2) – это равенство с переменными. Переменные и в этом равенстве могут принимать различные числовые значения. Если а , то – это верное числовое равенство. Если а , то – это неверное числовое равенство.

Тождество – это равенство с переменными, которое будет верным числовым равенством при любых значениях переменных.

Например, ; ; , если ; , если – это тождества.

Уравнение – это равенство с переменными, которое будет верным числовым равенством при определенных значениях переменных.

Так, – это уравнение с одной переменной , Где и – это алгебраические выражения; – это переменная или неизвестная.

Например, – это уравнение с одной перемен-ной ; – это уравнение с двумя переменными и .

Корень (решение) уравнения – это такое значение переменной, при котором уравнение будет верным числовым равенством.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Пример 1.

Решение. Выполним тождественные преобразования: . Это уравнение имеет один единственный корень . Только если уравнение будет верным числовым равенством: , или .

Ответ. .

Пример 2. Найдите корни уравнения .

Решение. .

– это множество корней уравнения.

Ответ. .

Пример 3. Найдите корни уравнения .

Решение. , следовательно, это уравнение не имеет действительных корней (не имеет решений в области действительных чисел).

Ответ. Æ.

Пример 4. Найдите решение уравнения .

Решение. Уравнение имеет бесчисленное множество корней (решений). Любое неотрицательное число – это решение данного уравнения.

Ответ. .

Область определения Уравнения (или область допустимых значений уравнения (ОДЗ или )) – это множество значений переменной , при которых имеют смысл (определены) левая и правая части уравнения.

Чтобы найти ОДЗ уравнения , нужно найти пересечение множеств, на которых определены заданные алгебраические выражения и .

Пример 5. Найдите область допустимых значений уравнения .

Решение. Найдем ОДЗ левой и правой части уравнения.

ОДЗ левой части уравнения – это все действительные числа, кроме :

ОДЗ правой части уравнения – это все положительные числа :

ОДЗ уравнения – это пересечение множеств и :

Ответ. .

Два уравнения и называются Равносильными (эквивалентными), если множества их корней (решений) совпадают: ( – это знак эквивалентности (равносильности)).

Например, 1) уравнения и – эквивалент-ны, т. к. эти уравнения имеют корень: ;

2) уравнения и не равносильны, т. к. уравнение имеет только один корень: , а уравнение имеет два корня: ; .

Рассмотрим некоторые эквивалентные преобразования, которые удобно использовать при решении уравнений.

Таблица 4.

№	Действия	Примеры
1.	Замена левой части уравнения на правую часть или правой части на левую
2.	Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком
3.	Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю
4.	Вычитание или прибавление одного и того же числа к обеим частям уравнения
5.	Вычитание или прибавление одного и того же алгебраического выражения к обеим частям уравнения. При этом области определения полученного и данного уравнения должны совпадать

В процессе решения уравнений при помощи эквивалентных преобразований, необходимо:

1) найти область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения;

2) проверить, принадлежат ли полученные значения ОДЗ исходного уравнения.

Пример 6. Решите уравнение .

Решение. Найдем ОДЗ уравнения: . Преобразуем уравнение, для этого перенесем все члены уравнения в левую часть. Получим уравнение . Корни этого уравнения: ; . Но корень не принадлежит области допустимых значений (ОДЗ). Поэтому – это посторонний корень, который не нужно рассматривать. Решением уравнения будет .

Ответ. .

Уравнения бывают различных видов. Приведем примеры некоторых уравнений:

ü линейные: ;

ü квадратные: ;

ü рациональные (высших степеней):

ü иррациональные: ;

ü с модулем: ;

ü логарифмические: ;

ü показательные: ;

ü тригонометрические: и другие.

< Предыдущая		Следующая >

Тождественные выражения

Сравним значения выражений $ 2x+3x^{2}$ и $ 5x^{3}$ при некоторых значениях переменной $ x.$ При $ x=2$ значение первого выражения $ 16,$ а второго $ 40.$ Числа $ 16$ и $ 40$ — соответственные значения выражений: $ 2x+3x^{2}$ и $ 5x^{3}.$ Некоторые пары соответственных значений этих выражений показаны в таблице:

$$\textcolor{#ed5fa6}{x}$$	$$-0,4$$	$$-0,1$$	$$ \ \ 0 \ \ $$	$$0,1$$	$$ \ \ 1 \ \ $$
$$2x+3x^{2}$$	$$-0,32$$	$$-0,17$$	$$0$$	$$0,23$$	$$5$$
$$5x^{3}$$	$$-0,32$$	$$-0,005$$	$$0$$	$$0,005$$	$$5$$

Легко заметить, что не при всех значениях переменной $ x$ значения выражений $ 2x+3x^{2}$ и $ 5x^{3}$ равны, а значит нельзя сказать, что выражения тождественно равны.

Применение преобразований

Алгебраические выражения, показывающие, что одна величина больше другой или равна ей, называют уравнениями и равенствами. При этом их используют для составления формул, то есть для записи, выражающей зависимость между двумя или несколькими переменными. Это удобно, так как преобразования позволяют привести формулу к простому для запоминания виду.

При решении примеров важно знать все существующие методы. Какой из них применять, конкретно указать нельзя, всё зависит от личных предпочтений и опыта решения подобных заданий

Например, пусть нужно упростить сложное выражение (a3 (b — c) + b3 (c — a) + c3 (a — b)) / (a2 (b — c) + b2 (c — a) + c2 (a — b)).

Сначала можно попробовать разложить на множители делитель и делимое. Один из вариантов преобразования числителя следующий:

a3 (b — c) + b3 (c — a) + c3 (a — b) = a3b — b3c — a3c + b3c + c3(a — b) = ab (a2 — b2) = ab (a2 — b2) — c (a3 — b3) + c3(a — b) = (a — b) (ab (a + b) — c (a2 + ab + b2) + c3 = (a — b) (a2b — a2c + ab2 — abc + c3 — cb2) = (a — b) (a2 (b — c) + ab (b — c) — c (b2 — c2) = (a — b) (b — c) (a2 — c2 + ab — cb) = (a — b) (b — c) (a — c) (a + b + c).

По аналогии раскладывая знаменатель, можно прийти к результату: (a — b) (b — c) (a — c). В итоге получится равенство (a3 (b — c) + b3 (c — a) + c3 (a — b)) / (a2 (b — c) + b2 (c — a) + c2 (a — b)) = ((a — b) (b — c) (a — c) (a + b + c)) / ((a — b)(b — c)(a — c)) = a + b + c.

В числителе возможно выделить множитель (a — b) на том основании, что делимое равно нулю, когда a совпадает с b. Обычно в двух взаимно обратных операциях выполнение одной сложнее, чем другой. Это касается, в частности, выполнения умножения алгебраических выражений и разложения на множители или возведения в степень с извлечением корня. Например, легко увидеть, что (5 + 3 √2)2 = 43 + 30 √2, но значительно труднее прочитать это равенство справа налево.

Следует помнить, что когда при решении задачи встречается выражение подкоренного вида √с + n * √k или √a + b√k, то необходимо попытаться добыть соответствующий корень. Если же это невозможно, то нужно воспользоваться подбором.

Примеры тождеств

Изучить тождества на практике можно с помощью решения задач на различные тождественные преобразования алгебраических выражений. Ключевой целью таких действий является замена начального выражения на выражение, которое ему тождественно равно.

От перестановки местами слагаемых сумма не меняется:

От перестановки местами сомножителей произведение не меняется:

Согласно данным правилам, можно записать примеры тождественных выражений:

128 × 32 = 32 × 128

При наличии в сумме более двух слагаемых допускается группировать их путем заключения в скобки. Также можно предварительно переставлять эти слагаемые местами:

a + b + c + d = ( a + c ) + ( b + d )

Аналогичным способом группируют сомножители в произведении:

a × b × c × d = ( a × d ) × ( b × c )

Приведем примеры таких тождественных преобразований:

15 + 6 + 5 + 4 = ( 15 + 5 ) + ( 6 + 4 )

6 × 8 × 11 × 4 = ( 6 × 4 × 8 ) × 11

При увеличении или уменьшении обеих частей тождества на одинаковое число, данное тождество остается верным:

( a + b ) ± e = ( c + d ) ± e

Равенство сохраняется также при умножении или делении обеих частей этого равенства на одно и то же число:

( a + b ) × e = ( c + d ) × e

( a + b ) ÷ e = ( c + d ) ÷ e

Запишем несколько примеров:

35 + 10 = 9 + 16 + 20 ⇒ ( 35 + 10 ) + 4 = ( 9 + 16 + 20 ) + 4

42 + 14 = 7 × 8 ⇒ ( 42 + 14 ) × 12 = ( 7 × 8 ) × 12

Какую-либо разность допускается записывать, как сумму слагаемых:

Аналогичным способом можно выполнить замену частного на произведение:

Рассмотрим примеры тождественных преобразований:

76 – 15 – 29 = 76 + ( — 15 ) + ( — 29 )

42 ÷ 3 = 42 × 3 — 1

Заменить математическое выражение на более простое можно с помощью арифметических действий:

Преобразования следует выполнять с соблюдением алгоритма:

В первую очередь выполняют возведение в степень, извлекают корни, вычисляют логарифмы, тригонометрические и прочие функции.
Далее можно приступать к действиям с выражениями, заключенными в скобки.
На последнем этапе, начиная с левой стороны, двигаясь вправо, выполняют действия, которые остались. При этом умножение и деление являются приоритетными, выполняются в первую очередь. Затем можно приступить к сложению и вычитанию. Данное правило распространяется и на выражения, записанные в скобках.

Пример 7

14 + 6 × ( 35 – 16 × 2 ) + 11 × 3 = 14 + 18 + 33 = 65

20 ÷ 4 + 2 × ( 25 × 3 – 15 ) – 9 + 2 × 8 = 5 + 120 – 9 + 16 = 132

В арифметических выражениях можно избавляться от скобок при необходимости. Исходя из знаков в выражении, определяются правила, согласно которым раскрывают скобки.

Рассмотрим несколько примеров преобразований с помощью раскрытия скобок:

117 + ( 90 – 74 – 38 ) = 117 + 90 – 74 – 38

1040 – ( — 218 – 409 + 192 ) = 1040 + 218 + 409 – 192

22 × ( 8 + 14 ) = 22 × 8 + 22 × 14

18 ÷ ( 4 – 6 ) = 18 ÷ 4 – 18 ÷ 6

Другим распространенным действием при упрощении выражений, содержащих скобки, является вынесение за них общего множителя. В результате в скобках остаются слагаемые, поделенные на вынесенный множитель. Данный способ преобразования можно применять в выражениях, которые содержат буквенные переменные.

3 × 5 + 5 × 6 = 5 × ( 3 + 6 )

28 + 56 – 77 = 7 × ( 4 + 8 – 11 )

31 x + 50 x = x × ( 31 + 50 )

В процессе тождественных преобразований часто применяют формулы для сокращенного выражения.

Примеры тождественных преобразований:

( 31 + 4 ) 2 = 31 2 + 2 ⋅ 31 ⋅ 4 + 4 2 = 1225

Доказательство тождеств

В процессе доказательства тождества необходимо выполнить ряд действий:

тождественно преобразовать обе или только одну часть равенства;
получить в обеих частях идентичные алгебраические выражения.

В качестве самостоятельного примера для тренировки докажем следующее тождество:

x 3 – x x 2 – x = x 2 + x x

В первую очередь избавимся от х , записав его за скобками:

x ( x 2 – 1 ) x ( x – 1 ) = x ( x + 1 ) x

Заметим, что можно сократить х :

x 2 – 1 x – 1 = x + 1

( x – 1 ) ( x + 1 ) x – 1 = x + 1

Выполним сокращение на х — 1 :

Заключим, что рассмотренное равенство является тождеством, если х ≠ 0 и х ≠ 1

Когда требуется доказать, что равенство не относится к тождеству, следует определить одно допустимое значение переменной, при котором полученные числовые выражения обращаются в неравные друг другу. К примеру:

x 2 – x x = x 2 + x x → x ≠ 0

Упростим вычисления с помощью сокращения х :

Выполним подстановку какого-то числа вместо х , например, числа 5:

Данное равенство не является тождеством.

Вынесение за скобки общего множителя

В тех случаях, когда слагаемые в выражении имеют одинаковый множитель, то мы можем вынести этот общий множитель за скобки. Для этого нам сначала необходимо представить исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, которое состоит из исходных слагаемых без общего множителя.

В числовом выражении 2 · 7 + 2 · 3 мы можем вынести общий множитель 2 за скобки и получить тождественно верное выражение вида 2 · ( 7 + 3 ) .

Освежить в памяти правил вынесения общего множителя за скобки вы можете в соответствующем разделе нашего ресурса. В материале подробно рассмотрены правила вынесения общего множителя за скобки и приведены многочисленные примеры.

Вынесение за скобки общего множителя

Поднятие степени из знаменателя в числитель и наоборот

Если знаменатель дробного выражения содержит степень, то данную степень можно поднять в числитель, изменив знак показателя этой степени на противоположный. Значение выражения при этом не меняется. Данное преобразование иногда используется при упрощении выражений.

Рассмотрим следующее равенство:

Данное равенство является верным, поскольку выражение равно 2, а любое число в нулевой степени есть единица.

Попробуем поднять степень 22 из знаменателя в числитель, изменив знак показателя этой степени на противоположный. При этом, поднятую степень и ту степень, которая располагалась в числителе, соединим знаком умножения:

Получили выражение 22 × 2−2. Чтобы его вычислить, воспользуемся основным свойством степени:

22 × 2−2 = 22 + (−2) = 2 = 1

Получился тот же результат, что и раньше. Значит значение выражения не изменилось. Как это работает?

Если в равенстве поменять местами левую и правую часть, то получим равенство . Это позволяет заменять в выражениях дробь вида на тождественно равное ей выражение a−n.

Теперь представим выражение в виде произведения . То есть . Напомним, что при замене деления умножением, делимое умножают на число, обратное делителю. А обратное делителю число в данном случае это дробь

Теперь воспользуемся правилом . В произведении заменим дробь на тождественно равное ей выражение 2−2

Далее, как и раньше применяем основное свойство степени:

Получился тот же результат 1.

Таким же образом можно опустить степень из числителя в знаменатель, изменив знак показателя этой степени на противоположный.

Рассмотрим выражение . Чтобы найти его значение, воспользуемся правилом деления степеней с одинаковыми основаниями. В результате получим

Теперь попробуем решить этот пример, опустив степень 2−2 из числителя в знаменатель, изменив знак показателя этой степени на противоположный. При этом, опущенную степень 2−2 и ту степень, которая располагалась в знаменателе, соединим знаком умножения. А в числителе останется единица:

Дальнейшее вычисление не составит особого труда:

Как и в прошлом примере выражение представимо в виде произведения

Этим и объясняется появление единицы в числителе, после того как степень 2−2 была опущена в знаменатель.

Переносимых в знаменатель либо в числитель степеней может быть несколько. Например, знаменатель дроби содержит степени 32, a3, b4. Перенесём эти степени в числитель, изменив знаки их показателей на противоположные. В результате получим выражение 3−2a−3b−4.

Пример 2. Поднять степени из знаменателя дроби в числитель

Пример 3. Поднять степени из знаменателя дроби в числитель

Пример 4. Поднять степень из знаменателя дроби в числитель

Пример 5. Опустить степень из числителя дроби в знаменатель

Пример 6. Степень из числителя дроби опустить в знаменатель, а степень из знаменателя поднять в числитель

Представлять дробь в виде произведения вовсе не обязательно. Если пропустить эту запись, то данный пример можно решить короче:

Пример 7. В дроби перенести из знаменателя в числитель только те степени, которые имеют отрицательные показатели:

Пример 8. Представить произведение 3x−5 в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Перепишем произведение 3x−5 с помощью знака умножения:

3 × x−5

Сомножитель 3 оставим без изменений, а сомножитель x−5 заменим на тождественно равную ему дробь

Теперь согласно правилу , умножим множитель 3 на числитель дроби . В результате образуется дробь

Пример 9. Представить произведение 3(x + y)−4 в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Выражение состоит из сомножителей 3 и (x + y)−4. Сомножитель 3 оставим без изменений, а сомножитель (x + y)−4 заменим на тождественно равную ему дробь

Теперь умножим множитель 3 на числитель дроби . В результате образуется дробь

Пример 10. Представить дробь в виде произведения.

Чтобы решить этот пример, достаточно поднять степень x2 в числитель, изменив знак показателя этой степени на противоположный:

Как и в прошлых примерах дробь можно было представить в виде произведения . Затем воспользовавшись правилом , заменить сомножитель на тождественно равный ему сомножитель x−2.

Пример 11. Представить дробь в виде произведения.

Пример 12. Найти значение выражения

Поднимем степень 2−3 из знаменателя в числитель, а степень 10−2 из числителя опустим в знаменатель:

Вычислим значения степеней, содержащихся в числителе и в знаменателе:

Сократим полученную дробь на 25. Тогда останется дробь , значение которой равно 2.

А если бы мы не подняли степень 2−3 в числитель, и степень 10−2 не опустили в знаменатель, а стали вычислять каждую степень по отдельности, то получили бы не очень компактное решение:

Раскрытие скобок

Замена разностей суммами, частных произведениями и обратно

Приемы, использующиеся для доказательств тождеств

Тождественные преобразования уравнений.

Перестановка местами слагаемых, множителей

Перестановка местами слагаемых, множителей

Если Вам нравится этот сайт…

Прибавление и вычитание одного и того же числа

Равенства. Тождества. Уравнения

Тождественные выражения

Применение преобразований

Примеры тождеств

Доказательство тождеств

Вынесение за скобки общего множителя

Вынесение за скобки общего множителя

Поднятие степени из знаменателя в числитель и наоборот

Похожие записи:

Похожие записи: