Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Все возможные случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве представлены в следующей таблице.
| Фигура | Рисунок | Определение |
| Две пересекающиеся прямые | Две прямые называют пересекающимися прямыми, если они имеют единственную общую точку. | |
| Две параллельные прямые | Две прямые называют параллельными прямыми, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек | |
| Две скрещивающиеся прямые | Две прямые называют скрещивающимися прямыми, если не существует плоскости, содержащей обе прямые. |
| Две пересекающиеся прямые |
|
Две прямые называют пересекающимися прямыми, если они имеют единственную общую точку. |
| Две параллельные прямые |
|
Две прямые называют параллельными прямыми, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек |
| Две скрещивающиеся прямые |
|
Две прямые называют скрещивающимися прямыми, если не существует плоскости, содержащей обе прямые. |
С перечисленными в предыдущей таблице случаями взаимного расположения двух прямых в пространстве близко связаны утверждения, представленные в следующей таблице.
| Фигура | Рисунок | Тип утверждения и формулировка |
| Две различные точки | Аксиома о прямой линии, заданной двумя точкамиЧерез две различные точки проходит одна и только одна прямая линия. | |
| Прямая линия и точка, не лежащая на этой прямой | Аксиома о параллельных прямыхЧерез точку, не лежащую на прямой,проходит одна и только одна прямая, параллельная этой прямой. | |
| Две пересекающиеся прямые | Теорема о плоскости, определяемой двумя пересекающимися прямымиЧерез две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые. | |
| Две параллельные прямые | Теорема о плоскости, определяемой двумя параллельными прямымиЧерез две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые. |
| Две различные точки |
|
Аксиома о прямой линии, заданной двумя точкамиЧерез две различные точки проходит одна и только одна прямая линия. |
| Прямая линия и точка, не лежащая на этой прямой |
|
Аксиома о параллельных прямыхЧерез точку, не лежащую на прямой,проходит одна и только одна прямая, параллельная этой прямой. |
| Две пересекающиеся прямые |
|
Теорема о плоскости, определяемой двумя пересекающимися прямымиЧерез две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые. |
| Две параллельные прямые |
|
Теорема о плоскости, определяемой двумя параллельными прямымиЧерез две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые. |
Аксиома планиметрии
Другими словами, в стереометрии можно пользоваться всеми свойствами плоских фигур, которые мы изучали в планиметрии. Более того: переход к планиметрии — это основной приём для решения множества стереометрических задач.
Для того, чтобы использовать теоремы из планиметрии, достаточно определить плоскость, в которой мы работаем. И убедиться, что интересующие нас объекты (прямые, треугольники, окружности и т.д.) лежат в этой плоскости.
Для обозначения принадлежности мы часто будем использовать знак $\in $ из теории множеств. Допустим, прямая $l$ и точка $M$ лежат на плоскости $\alpha $:
Мы будем обозначать это так: $M\in \alpha $ и $l\in \alpha $.
Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно
Как известно, существует несколько видов уравнения одной и той же прямой на плоскости. Выбор типа уравнения зависит от условий задачи; можно выбрать тот, который более практичен для решения. Здесь очень пригодится умение преобразовывать уравнение одного вида в уравнение другого вида.
Для начала рассмотрим переход от общего уравнения вида Ax+By+C=0 к каноническому уравнению x-x1ax=y-y1ay.
Если A≠0, мы переносим член City в правую часть общего уравнения. В левой части выносим А за скобки. В итоге получаем: Ax+CA=-By.
Это равенство можно записать в виде пропорции: x+CA-B=yA .
Если B≠0, оставляем только член Ax в левой части общего уравнения, перенося остальные в правую часть, получаем: Ax=-By-C. Поместим -B вне круглых скобок, так что: Ax=-By+CB.
Перепишем равенство в виде пропорции: xB=y+CBA .
Разумеется, нет необходимости запоминать полученные формулы. Достаточно знать алгоритм действий при переходе от общего уравнения к каноническому.
Пример 5
Дано общее уравнение для прямой 3y-4=0. Его необходимо преобразовать в каноническое уравнение.
Решение
Запишем исходное уравнение как 3y-4=0. Далее действуем по алгоритму: слева остается терм 0x; а с правой стороны ставим -3 за скобки; получаем: 0x=-3y-43.
Запишем полученное равенство в виде пропорции: x-3=y-430. Таким образом, мы получили уравнение канонического вида.
Ответ: х-3=у-430.
Для преобразования общего уравнения прямой в параметрические сначала осуществляется переход к каноническому виду, а затем осуществляется переход от канонического уравнения прямой к параметрическим уравнениям.
Пример 6
Перед нами стоит задача. Прямая задается уравнением 2x-5y-1=0. Запишите параметрические уравнения этой прямой.
Решение
Сделаем переход от общего уравнения к каноническому:
2x-5y-1=0⇔2x=5y+1⇔2x=5y+15⇔x5=y+152
Теперь возьмем обе части полученного канонического уравнения равными λ, поэтому:
x5=λy+152=λ⇔x=5 λy=-15+2 λ, λ∈R
Ответ: x=5 λy=-15+2 λ, λ∈R
Общее уравнение можно преобразовать в уравнение прямой с наклоном y=k·x+b, но только при В≠0. Для перехода на левую сторону оставляем термин City, остальное переносим на правую. Получаем: By=-Ax-C. Разделим обе части полученного равенства на B, отличное от нуля: y=-ABx-CB.
Пример 7
Дано общее уравнение для прямой: 2x+7y=0. Вам нужно преобразовать это уравнение в уравнение наклона.
Решение
Выполним необходимые действия по алгоритму:
2x+7y=0⇔7y-2x⇔y=-27x
Ответ: у=-27х .
Из общего уравнения прямой достаточно просто получить уравнение на отрезках вида xa+yb=1. Для осуществления такого перехода перенесем число C в правую часть равенства, разделим обе части полученного равенства на –С и, наконец, перенесем коэффициенты при переменных x и y в знаменатели:
Ax+By+C=0⇔Ax+By=-C⇔⇔A-Cx+B-Cy=1⇔x-CA+y-CB=1
Пример 8
Необходимо преобразовать общее уравнение прямой x-7y+12=0 в уравнение прямой в отрезках.
Решение
Перенесем 12 вправо: x-7y+12=0⇔x-7y=-12.
Разделите на -1/2 обе части уравнения: x-7y=-12⇔1-12x-7-12y=1.
Далее приведем его к нужному виду: 1-12x-7-12y=1⇔x-12+y114=1.
Ответ: х-12+у114=1.
В общем, обратный переход тоже прост: от других типов уравнений к общему.
Уравнение прямой на отрезках и уравнение наклона легко преобразовать в общее, просто собрав все члены в левой части уравнения:
xa+yb⇔1ax+1by-1=0⇔Ax+By+C=0y=kx+b⇔y-kx-b=0⇔Ax+By+C=0
Каноническое уравнение преобразуется в общее по следующей схеме:
x-x1ax=y-y1ay⇔ay (x-x1)=ax(y-y1)⇔⇔ayx-axy-ayx1+axy1=0⇔Ax+By+C=0
Для перехода от параметрического сначала выполняется переход к каноническому, а затем к общему:
x=x1+ось λy=y1+ay λ⇔x-x1ax=y-y1ay⇔Ax+By+C=0
Пример 9
Даны параметрические уравнения прямой x=-1+2·λy=4. Необходимо записать общее уравнение этой линии.
Решение
Сделаем переход от параметрических уравнений к каноническим:
х=-1+2 λy=4⇔x=-1+2 λy=4+0 λ⇔λ=x+12λ=y-40⇔x+12=y-40
Перейдем от канонического к общему:
х+12=у-40⇔0 (х+1)=2(у-4)⇔у-4=0
Ответ:у-4=0
Пример 10
Дано уравнение прямой на отрезках x3+y12=1. Необходимо осуществить переход к общему виду уравнения.
Решение:
Просто перепишем уравнение в нужном виде:
х3+у12=1⇔13х+2у-1=0
Ответ: 13x+2y-1=0.
3.2 Параллельные прямые
Ещё с седьмого класса вы помните, что ¾параллельные прямые это те, которые не пересекаются¿. В пространстве, однако, для параллельности прямых нужно одно дополнительное условие.
Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Таким образом, помимо ¾непересечения¿ требуется, чтобы прямые лежали в одной плоскости. На рис. 20
показаны параллельные прямые a и b; через них проходит (единственная) плоскость.
Рис. 20. Параллельные прямые
Параллельность обладает важным свойством транзитивности. Именно, для трёх различных прямых a, b и c выполнено:
a k b и b k c) a k c
(две различные прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой).
Прямая на плоскости — понятие.
Прежде чем дать понятие прямой на плоскости, следует четко представлять себе что же представляет собой плоскость. Представление о плоскости
позволяет получить, к примеру, ровная поверхность стола или стены дома. Следует, однако, иметь в виду, что размеры стола ограничены, а плоскость простирается и за пределы этих границ в бесконечность (как будто у нас сколь угодно большой стол).
Если взять хорошо заточенный карандаш и дотронуться его стержнем до поверхности «стола», то мы получим изображение точки. Так мы получаем представление о точке на плоскости
.
Теперь можно переходить и к понятию прямой линии на плоскости
.
Положим на поверхность стола (на плоскость) лист чистой бумаги. Для того чтобы изобразить прямую линию, нам необходимо взять линейку и провести карандашом линию на сколько это позволяют сделать размеры используемой линейки и листа бумаги. Следует отметить, что таким способом мы получим лишь часть прямой. Прямую линию целиком, простирающуюся в бесконечность, мы можем только вообразить.
Решение задач
Аксиомы стереометрии часто применяются в доказательствах. И ещё в задачах с открытыми вопросами. Вот пример такой задачи:
Задача 1. Окружность и плоскость
Решение. Легко заметить, что ответ зависит от взаимного расположения точек $M$, $N$ и $O$.
Допустим, что все они лежат на одной прямой. Тогда $MN$ — диаметр, и вся окружность может как лежать в плоскости $\alpha $, так и не лежать в ней. Вот пример когда окружность не лежит в плоскости:
Пусть теперь точки $M$, $N$ и $O$ не лежат на одно прямой. По Аксиоме плоскости (Аксиома 4 в нашем списке) эти точки однозначно задают плоскость. Эта плоскость совпадает с плоскостью $\alpha $.
А поскольку окружность — плоская фигура, то остальные её точки также принадлежат плоскости $\alpha $:
Задача 2. Неравильный рисунок
Решение. Соединим точки $M$ и $K$ прямой $l$:
Мы видим, что точка $B\notin l$. Поэтому точки $M$, $B$, $K$ не лежат на одной прямой. И согласно Аксиоме плоскости (Аксиома 4 в нашем списке), эти точки однозначно задают плоскость.
С одной стороны, мы видим по рисунку, что это плоскость $\alpha $. С другой стороны, параллелограмм — плоская фигура, поэтому точки $M$, $B$, $K$ лежат ещё и в плоскости параллелограмма. А это значит, что плоскости $\alpha $ и $ABCD$ должны совпадать, чего на рисунке не происходит.
Есть и другой способ показать, что рисунок некорректен. По условию задачи, точки $M$, $B$, $K$ являются общими для плоскости $\alpha $ и плоскости $ABCD$. Согласно Аксиоме пересечения плоскостей (Аксиома 5 в нашем списке), все эти точки должны лежать на одной прямой.
Однако простое построение показывает, что точки $M$, $B$, $K$ не лежат на одной прямой, что противоречит аксиоме. Такое противоречие как раз и доказывает некорректность чертежа.
Далее мы будем лишь называть аксиомы — без нумерации.
Задача 3. Прямые на плоскости
Решение. Нарисуем прямые $a$, $b$, $c$ и обозначим их точки пересечения $M$, $N$, $K$:
Точки $M$, $N$, $K$ не лежат на одной прямой. По основной Аксиоме плоскости, эти три точки однозначно определяют некоторую плоскость $\alpha $.
Далее заметим, например, что точки $M\in \alpha $ и $N\in \alpha $ по построению. По основной Аксиоме прямой и плоскости вся прямая $MN=b$ лежит в этой плоскости, т.е. $b\subset \alpha $.
Аналогично доказывается, что прямые $a\subset \alpha $ и $b\subset \alpha $.
Задача 4. Пересечение плоскостей
Решение. Обозначим прямую, по которой пересекаются плоскости $\alpha $ и $\beta $, буквой $l$:
\
Дополнительное построение: прямая $AB$, которая пересекает прямую $l$ в точке $M$:
Точки $A\in \alpha $, $B\in \alpha $. По основной Аксиоме прямой и плоскости прямая $AB\subset \alpha $ — искомая линия сечения плоскости $\alpha $ и $ABC$.
Далее заметим, что точка $M\in l\subset \beta $. Дополнительное построение: прямая $CM$:
Точки $C\subset \beta $, $M\subset \beta $. И вновь по основной Аксиоме прямой и плоскости прямая $CM$ — искомая линия сечения плоскости $\beta $ и $ABC$.
Хочу отметить, что задачи на построение — это отдельный класс задач. Как в планиметрии, так и в стереометрии. Там много интересных моментов, им посвящены отдельные уроки. А то, что мы сделали сейчас — это совсем уж простые рассуждения, которые тем не менее опираются на всю мощь аксиом.
Задача 5. Стандартное доказательство
Решение. Это классическая задача на доказательство, которую в разных формулировках предлагают во всех учебниках по стереометрии.
Обозначим параллелограмм $ABCD$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей.
Поскольку точка $O\notin AB$, точки $A$, $B$, $O$ не лежат на одной прямой. По основной Аксиоме плоскости эти три точки однозначно определяют плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha $.
Точки $A\in \alpha $, $O\in \alpha $. По основной Аксиоме прямой и плоскости, прямая $AO\subset \alpha $. Но точка $C\in AO\subset \alpha $. Следовательно, вершина параллелограмма $C\in \alpha $. Аналогично через точки $B$ и $O$ доказывается, что вершина $D\in \alpha $.
Замечание по поводу задач
Как видите, мы рассмотрели лишь самые простые задачи
Но даже на их примере видно, насколько важно чётко знать систему аксиом
Бесчисленное множество контрольных и экзаменов были завалены просто потому, что ученик не смог обосновать простые и наглядные рассуждения. Потому что, например, не знал: можно ли утверждать, что если две точки прямой лежат на плоскости, то и вся прямая лежит на этой плоскости.
В общем, учите аксиомы и практикуйтесь на простых примерах. А для более интересных задач нам потребуются некоторые следствия из этих аксиом. Чему и посвящён следующий урок.:)
- Следствия из аксиом стереометрии
- Теорема о трёх перпендикулярах
- Комментарий к пробному ЕГЭ от 7 декабря
- Метод Гаусса
- Задачи про температуру и энергию звезд
- Задача B4 про шерсть и свитер
Взаимное расположение прямых на плоскости.
Сейчас ответим на вопрос: «Как могут располагаться две прямые на плоскости относительно друг друга»?
Во-первых, две прямые на плоскости могут совпадать
.
Это возможно в том случае, когда прямые имеют по крайней мере две общие точки. Действительно, в силу аксиомы, озвученной в предыдущем пункте, через две точки проходит единственная прямая. Иными словами, если через две заданные точки проходят две прямые, то они совпадают.
Во-вторых, две прямые на плоскости могут пересекаться
.
В этом случае прямые имеют одну общую точку, которую называют точкой пересечения прямых. Пересечение прямых обозначают символом «», к примеру, запись означает, что прямые а
и b
пересекаются в точке М
. Пересекающиеся прямые приводят нас к понятию угла между пересекающимися прямыми . Отдельно стоит рассмотреть расположение прямых на плоскости, когда угол между ними равен девяноста градусам. В этом случае прямые называются перпендикулярными
(рекомендуем статью перпендикулярные прямые, перпендикулярность прямых). Если прямая a
перпендикулярна прямой b
, то можно использовать краткую запись .
В-третьих, две прямые на плоскости могут быть параллельными.
Прямую линию на плоскости с практической точки зрения удобно рассматривать вместе с векторами. Особое значение имеют ненулевые векторы, лежащие на данной прямой или на любой из параллельных прямых, их называют направляющими векторами прямой
. В статье направляющий вектор прямой на плоскости даны примеры направляющих векторов и показаны варианты их использования при решении задач.
Также следует обратить внимание на ненулевые векторы, лежащие на любой из прямых, перпендикулярных данной. Такие векторы называют нормальными векторами прямой
О применении нормальных векторов прямой рассказано в статье нормальный вектор прямой на плоскости .
Когда на плоскости даны три и более прямых линии, то возникает множество различных вариантов их взаимного расположения. Все прямые могут быть параллельными, в противном случае некоторые или все из них пересекаются. При этом все прямые могут пересекаться в единственной точке (смотрите статью пучок прямых), а могут иметь различные точки пересечения.
Не будем подробно останавливаться на этом, а приведем без доказательства несколько примечательных и очень часто используемых фактов:
- если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой;
- если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой;
- если на плоскости некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую прямую.
Зачем нужны аксиомы
Математику изучают в школе не просто так. Большинство забудет все эти уравнения, графики и аксиомы сразу после ЕГЭ в 11 классе.
Задача школьного курса математики состоит в том, чтобы вы освоили научное мышление. Чтобы поняли, как работает наука, как проверяются гипотезы и как доказываются утверждения. И чем отличается частный жизненный опыт от универсальных знаний.
Подробнее о том, чем научное знание отличается от обывательского (и почему это так важно), смотрите в цикле уроков «Как работает наука». Однако в любой науке есть «стартовый» набор утверждений, которые принимаются без доказательств
Эти утверждения и есть аксиомы. Обычно они наглядны и «очевидны» даже для начинающих
Однако в любой науке есть «стартовый» набор утверждений, которые принимаются без доказательств. Эти утверждения и есть аксиомы. Обычно они наглядны и «очевидны» даже для начинающих.
Простой пример «очевидного» утверждения. Биссектриса треугольника пересекает его противоположную сторону:
Спасибо, Капитан Очевидность. Однако напрямую этот факт ниоткуда не следует. Его можно доказать, например, через тригонометрию или координаты. Но потребовать такое доказательство — отличная задача-гроб на устном экзамене в университет.
Создание системы аксиом — долгий и кропотливый процесс. Классическая евклидова геометрия, которую изучают в школе, основана на аксиомах, которые формировались более двух тысяч лет. Основоположник этих аксиом — Евклид — жил в III веке до н.д. Собственно, потому геометрия и называется евклидовой.
Зато когда система аксиом построена, все последующие теоремы выводятся из неё через логические рассуждения. Без привлечения наглядных иллюстраций и «очевидных соображений». Вот здесь и начинается настоящая наука.:)
Переход между различными видами уравнений прямой
От общих уравнений прямой можно перейти к каноническим. Для этого надо знать произвольную точку прямой и ее направляющий вектор. Выберем значение некоторой одной координаты произвольно. После этого координаты нужной точки можно найти из уравнений плоскостей, рассматривая их как систему относительно тех двух координат, которые остались. Для нахождения направляющего вектора отметим, что он должен быть перпендикулярным к нормальным векторам каждой из плоскостей. Поэтому для этого целиком подходит вектор их векторного произведения.
От канонических уравнений прямой можно перейти к общим. Для этого представим канонические уравнения как пару уравнений $\frac{x-x_{0} }{m} =\frac{z-z_{0} }{p} $ и $\frac{y-y_{0} }{n} =\frac{z-z_{0} }{p} $ и выполним преобразования.
Получаем: $p\cdot x-m\cdot z-p\cdot x_{0} +m\cdot z_{0} =0$ — уравнение плоскости, параллельной оси $Oy$, а $p\cdot y-n\cdot z-p\cdot y_{0} +n\cdot z_{0} =0$ — уравнение плоскости, параллельной оси $Ox$. Зная основные виды уравнений, описывающих прямые, можно более подробно рассмотреть способы расположения прямых в пространстве.