Конус

Конусы. Усеченные конусы. Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса

Рассмотрим произвольную плоскость α , точку S, не лежащую на плоскости α , и перпендикуляр SO, опущенный из точки S на плоскость α (точка O – основание перпендикуляра). Рассмотрим также произвольный круг с центром в точке O, лежащий на плоскости α .

Определение 1. Конусом называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точку S с точками указанного круга с центром в точке O, лежащего на плоскости α (рис. 1).

Точку S называют вершиной конуса.

Отрезок SO называют осью конуса.

Круг с центром в точке O, лежащий на плоскости α, называют основанием конуса, радиус этого круга называют радиусом основания конуса, а саму плоскость α называют плоскостью основания конуса.

Отрезки, соединяющие точку S с точками окружности называют образующими конуса.

Совокупность всех образующих конуса составляет боковую поверхность конуса (коническую поверхность).

Полная поверхность конуса состоит из основания конуса и его боковой поверхности.

Замечание 1. Отрезок SO часто называют высотой конуса.

Замечание 2. Все образующие конуса имеют одинаковую длину. У конуса с высотой h и радиусом основания r длина образующих равна

Усеченные конусы

Таким образом, плоскость β делит конус на две части: конус с осью SO₁ и радиусом основания r₁ , а также вторую часть, называемую усеченным конусом (рис. 3).

Усеченный конус ограничен двумя основаниями : кругом с центром в точке O радиуса r на плоскости α и кругом с центром в точке O₁ радиуса r₁ на плоскости β, а также боковой поверхностью усеченного конуса , которая представляет собой часть боковой поверхности исходного конуса, заключенную между плоскостями α и β. Полная поверхность усеченного конуса состоит из двух оснований усеченного конуса и его боковой поверхности. Часть каждой образующей исходного конуса, которая заключена между плоскостями α и β, называют образующей усеченного конуса . Например, на рисунке 3 одной из образующих усеченного конуса является отрезок AA₁ .

Высотой усеченного конуса называют расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями оснований усеченного конуса. У усеченного конуса, изображенного на рисунке 2, высота равна h – h₁ .

Объём конуса. Калькулятор объёма конуса онлайн

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту

— тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность.

Круглый конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, поэтому круглый конус называют также конусом вращения.

Связанные определения для конуса

Образующая конуса. Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.

Образующая поверхность конуса. Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса.

Коническая поверхность. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.

Высота конуса (H). Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.

Угол раствора конуса. Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).

Прямой конус. Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.

Косой (наклонный) конус. Косой (наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.

Круговой конус. Круговой конус — конус, основание которого является кругом.

Прямой круговой конус. Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).

Эллиптическим конус. Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).

Усечённый конус. Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом, или коническим слоем.

Объем прямого углового конуса

Конус — это геометрическое тело, которое образовано вращением прямоугольного треугольника около одного из его катетов.

Первый способ вычисления объема конуса

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту

\

где:V — объем конусаS — площадь основания конусаH — высота конуса

Второй способ вычисления объема конуса

Объем конуса равен одной трети произведения числа пи (3.1415) на квадрат радиуса основания на высоту.

\

где:V — объем конусаH — высота конусаπ — число пи (3.1415)r — радиус конуса

Входные данные

Радиус r:

Высота h:

Количество знаков после запятой в результате вычислений

1234567

Результат

Объем усеченного конуса

Усеченный конус получится, если в конусе провести сечение, параллельное основанию. Тело ограниченное этим сечением, основанием и боковой поверхностью конуса называется усеченным конусом.

Первый способ вычисления объема усеченного конуса

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

\

где:V — объем конусаh — расстояния от плоскости верхнего основания до вершиныH — расстояния от плоскости нижнего основания до вершиныS₁ — площадь верхнего (ближнего к вершине) основанияS₂ — площадь нижнего основания

Второй способ вычисления объема усеченного конуса

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

\

где:V — объем конусаh — высота конусаR — радиус нижнего основанияr — радиус верхнего основания

Калькулятор объема усечённого конуса

Входные данные

Радиус нижнего основания усечённого конуса R:

Радиус верхнего основания усечённого конуса r:

Высота усечённого конуса h:

Количество знаков после запятой в результате вычислений

1234567

Результат

В вашем браузере отключен Javascript. Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

от 100 р.стоимость заказа

2 часамин. срок

Узнать стоимость

Задача 5

Рис. 8. Вра­ща­е­мый тре­уголь­ник

Рис. 9. Тело, по­лу­чен­ное при вра­ще­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка

Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, бо­ко­вая сто­ро­на ко­то­ро­го равна , а угол при ос­но­ва­нии равен , вра­ща­ет­ся во­круг сво­е­го ос­но­ва­ния (см. рис. 8). Найти пло­щадь по­верх­но­сти по­лу­чен­но­го при вра­ще­нии тела (см. рис. 9).

Ре­ше­ние

Рис. 10. Два рав­ных ко­ну­са

Если про­ве­сти в тре­уголь­ни­ке вы­со­ту из вер­ши­ны, то по­лу­ча­ет­ся два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка, вра­щая ко­то­рые мы по­лу­ча­ем два рав­ных ко­ну­са, при­ле­га­ю­щих друг к другу ос­но­ва­ни­я­ми (см. рис. 10).

Зна­чит, пло­щадь по­верх­но­сти ис­ко­мо­го тела равна удво­ен­ной пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти лю­бо­го из ко­ну­сов. Таким об­ра­зом, нам надо найти ра­ди­ус ос­но­ва­ния и об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са (см. рис. 11).

Рис. 11. Ил­лю­стра­ция к по­след­не­му шагу

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен вы­со­те ис­ход­но­го тре­уголь­ни­ка, а об­ра­зу­ю­щая – бо­ко­вой сто­роне. Оче­вид­но, вы­со­та равна , а зна­чит, , таким об­ра­зом, окон­ча­тель­ный ответ: .

Ответ: .

Презентация на тему: » Конус Понятие конуса Понятие конуса Площадь поверхности конуса Площадь поверхности конуса Усечённый конус Усечённый конус.» — Транскрипт:

1

Конус Понятие конуса Понятие конуса Площадь поверхности конуса Площадь поверхности конуса Усечённый конус Усечённый конус

2

Понятие конуса Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР, перпендикулярную к плоскости этой поверхности. Через точку Р и каждую точку окружности проведём прямую. Поверхность, образованная этими прямыми, называется конической поверхностью, а сами прямые – образующими конической поверхности. L О Р

3

Точка Р называется вершиной, а прямая ОР – осью конической поверхности. Понятие конуса L О Р вершина ось конической поверхности

4

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом. Конус О L

5

Круг называется основанием конуса, вершина конической поверхности – вершиной конуса, отрезки образующих, заключённые между вершиной и основанием, — образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности – боковой поверхностью конуса. Конус О L

6

Конус О L Р ось конуса вершина конуса образующие конуса боковая поверхность конуса основание конуса

7

Ось конической поверхности называется осью конуса, а её отрезок, заключённый между вершиной и основанием, — высотой конуса.Конус О L Р ось конуса высота конуса

8

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Получение конуса

9

Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого – диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса. Это сечение называется осевым. Сечение конуса О Р

10

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси ОР конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром О 1, расположенным на оси конуса. Радиус r 1 этого круга равен, где r – радиус основания конуса. Сечение конуса Р О М r О1О1 М1М1 r1r1

11

Проводя различные сечения одного и того же кругового конуса, причём любого, можно получить эллипс, параболу и гиперболу. При надлежащем наклоне секущей плоскости удаётся получить все типы конических сечений. Если считать, что конус не заканчивается в вершине, а простирается за неё, тогда у некоторых сечений образуются две ветви. Сечение конуса

12

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развёртки. Площадь боковой поверхности конуса Развёртка боковой поверхности конуса: А В Р А L А В Р L r

13

Выразим через L и r. Так как длина дуги АВА равна, то, откуда Площадь боковой поверхности конуса А В Р А L Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

14

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Площадь полной поверхности конуса А В Р L r S кон = r 2 + rL S кон = r(r + L)

15

Возьмём произвольный конус и проведём секущую плоскость, перпендикулярную к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей (верхняя) представляет собой конус, а другая называется усечённым конусом. Усечённый конус Р О О1О1 конус усечённый конус

16

Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усечённого конуса, а отрезок, соединяющий их центры, — высотой усечённого конуса. Усечённый конус О1О1 r1r1 r О основание высота

17

Часть конической поверхности, ограничивающая усечённый конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключённые между основаниями, называются образующими усечённого конуса. Усечённый конус О1О1 r1r1 r О боковая поверхность образующие

18

Усечённый конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг её боковой стороны, перпендикулярной к основаниям. Получение усечённого конуса A B C D Усечённый конус получен вращением прямоугольной трапеции ABCD вокруг стороны CD.

19

Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую: где r и r 1 – радиусы оснований, L – образующая усечённого конуса. Площадь боковой поверхности усечённого конуса О1О1 r1r1 r О L

Уравнение конуса

Часто требуется при решении математических задач. Записывается в следующем виде:

где x0, y0,z0- координаты по соответствующим осям.

Таким образом, в данной статье были представлены основные сведения, которые могут понадобиться при решении задач на тему «Конус».

Составляющие конуса

Различают следующие виды конусов: косой (или наклонный) и прямой. Косым называется тот, ось которого пересекается с центром его основания не под прямым углом. По этой причине высота в таком конусе не совпадает с осью, так как она является отрезком, который опущен из вершины тела на плоскость его основания под углом 90°.

Тот конус, ось которого расположена перпендикулярно к его основанию, называется прямым. Ось и высота в таком геометрическом теле совпадают по причине того, что вершина в нем расположена над центром диаметра основания.

Конус состоит из следующих элементов:

1. Круга, являющегося его основанием.
2. Боковой поверхности.
3. Точки, не лежащей в плоскости основания, называющейся вершиной конуса.
4. Отрезков, которые соединяют точки круга основания геометрического тела и его вершину.

Все эти отрезки являются образующими конуса. Они наклонные к основанию геометрического тела, и в случае прямого конуса их проекции равны, так как вершина равноотдалена от точек круга основания. Таким образом, можно сделать вывод, что в правильном (прямом) конусе образующие равны, то есть имеют одинаковую длину и образуют одинаковые углы с осью (или высотой) и основанием.

Так как в косом (или наклонном) теле вращения вершина смещена по отношению к центру плоскости основания, образующие в таком теле имеют разную длину и проекцию, поскольку каждая из них находится на разном расстоянии от двух любых точек круга основания. Кроме того, углы между ними и высотой конуса также будут отличаться.

Длина образующих в прямом конусе

Как написано ранее, высота в прямом геометрическом теле вращения перпендикулярна плоскости основания. Таким образом, образующая, высота и радиус основания создают в конусе прямоугольный треугольник.

То есть, зная радиус основания и высоту, при помощи формулы из теоремы Пифагора, можно вычислить длину образующей, которая будет равна сумме квадратов радиуса основания и высоты:

l2 = r2+ h2 или l = √r2 + h2

где

• l – образующая;
• r – радиус;
• h – высота.

Образующая в наклонном конусе

Исходя из того, что в косом, или наклонном конусе образующие имеют не одинаковую длину, рассчитать их без дополнительных построений и вычислений не получится.

Прежде всего необходимо знать высоту, длину оси и радиус основания.

Имея эти данные, можно рассчитать часть радиуса, лежащую между осью и высотой, по формуле из теоремы Пифагора:

r1= √k2 — h2

где

• r1 – это часть радиуса между осью и высотой;
• k – длина оси;
• h – высота.

В результате сложения радиуса (r) и его части, лежащей между осью и высотой (r1), можно узнать полную сторону прямоугольного треугольника, сформированного образующей конуса, его высотой и частью диаметра:

R = r + r1

где

• R – катет треугольника, образованного высотой, образующей и частью диаметра основания;
• r – радиус основания;
• r1 – часть радиуса между осью и высотой.

Пользуясь все той же формулой из теоремы Пифагора, можно найти длину образующей конуса:

l = √h2+ R2

или, не производя отдельно расчет R, объединить две формулы в одну:

l = √h2 + (r + r1)2.

Несмотря на то, прямой или косой конус и какие вводные данные, все способы нахождения длины образующей всегда сводятся к одному итогу — использованию теоремы Пифагора.

Где можно применить калькулятор объема и площади усеченного конуса?

Калькулятор объема и площади усеченного конуса может применяться в различных сферах, включая:

1. Инженерия и строительство: усеченный конус может использоваться в качестве формы для создания конструкций и деталей, таких как колонны, башни, фонари, вазы и т.д. такие расчеты помогают определить необходимое количество материала для изготовления детали.
2. Производство: усеченный конус может использоваться в качестве формы для изготовления различных изделий из металла, стекла, керамики, пластика и т.д. Расчёт его параметров помогает определить необходимое количество сырья для производства изделия.
3. Математика: усеченный конус может быть использован для примеров и задач в математическом образовании. Расчёт объёма и площади позволяет ученикам узнать, как применять формулы для нахождения объёма и площади фигур.
4. Машиностроение: усеченный конус может использоваться в качестве детали для различных механизмов и машин. Расчёт объёма и площади помогает определить размеры и форму детали.
5. Архитектура и дизайн: усеченный конус может использоваться в качестве элемента декора и оформления интерьера и экстерьера зданий. Расчёт объёма и площади помогает определить оптимальный размер и форму элемента декора.

Геометрическая задача

Необходимо провести расчет развертки усеченного конуса, который имеет высоту 13 см и радиусы оснований 2 см и 7 см.

Решение данной задачи с помощью непосредственного применения формулы для S невозможно, поскольку не известна длина генератрисы g. Тем не менее, ее можно вычислить, используя такую формулу:

g = √(h2 + (R-r)2).

Это выражение можно самостоятельно получить, рассмотрев прямоугольный треугольник со сторонами g, h и (R-r), здесь h — высота усеченного конуса. Генератриса g будет равна 13,93 см (значение приведено с точностью до 0,01 см).

Осталось подставить значения генератрисы и радиусов в формулу для S, чтобы получить требуемый ответ:

S = 3,14*(72 + 22 + 13,93*(7 + 2)) ≈ 560,1 см2.

Следует не забывать, что записанная для S формула справедлива только для круглого прямого усеченного конуса.

Просмотры: 268

Усеченный конус и его поверхность

Если взять обычный конус и параллельной плоскостью отсечь у него верхушку, то оставшаяся фигура будет представлять усеченный конус. Его боковая поверхность ограничена двумя круглыми основаниями. Обозначим их радиусы как R и r. Высоту фигуры обозначим h, а генератрису — g. Ниже показана развертка из бумаги для этой фигуры.

Видно, что боковая поверхность уже не является круговым сектором, она меньше по площади, поскольку от нее отрезали центральную часть. Развертка ограничена четырьмя линиями, две из них — это прямые отрезки-генератрисы, две другие — это дуги с длинами соответствующих окружностей оснований конуса усеченного.

Боковая поверхность S_b рассчитывается так:

S_b = pi*g*(r + R)

Генератриса, радиусы и высота связаны между собой следующим равенством:

g2 = h2 + (R — r)2

Площадь поверхности конуса

способствовал

Содержимое

• Вывод формулы
• Примеры

На конусе внизу hhh — высота, LLL — наклонная высота, ccc — окружность основания, rrr — радиус основания.

Если развернуть, форма будет следующей:
Это сектор окружности с радиусом LLL и длиной дуги ccc. Таким образом, площадь криволинейной поверхности конуса равна площади верхнего сектора. Площадь сектора с заданной длиной дуги ccc и радиусом LLL определяется как A=12cLA=\dfrac{1}{2}cLA=21​cL. Теперь применив это к конусу, мы имеем A=12cL,A=\frac{1}{2}cL,A=21​cL, где LLL – высота наклона, а ccc – длина окружности основания. После некоторых манипуляций A=πLr,A=\pi Lr,A=πLr, как указано в определении. 92\big)=540 \pi.\ _\squareA=360θ​(площадь круга)=360150​(π)(362)=540π. □​

Площадь сечения усеченного конуса

Усеченный конус — это тело вращения, которое получается при вращении прямоугольной трапеции вокруг меньшей боковой стороны.

Сечение усеченного конуса — это изображение фигуры, образованной рассечением усеченного конуса плоскостью в поперечном или продольном направлении.

Формула для расчета площади диагонального сечения усеченного конуса:

S = (a + b) * h / 2, где

a — нижнее основание усеченного конуса; b — верхнее основание усеченного конуса; h — высота усеченного конуса.

Быстро выполнить эту математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.

На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор расчета площади диагонального сечения усеченного конуса, если известны основания усеченного конуса и высота правильной четырехугольной усеченного конуса. С помощью этого калькулятора вы в один клик сможете рассчитать площадь сечения усеченного конуса (площадь диагонального сечения усеченного конуса и площадь бокового сечения усеченного конуса).

Как вычислить площадь поверхности вращения, если линия задана в полярной системе координат?

Если кривая задана в полярных координатах уравнением , и функция   имеет непрерывную производную  на данном промежутке, то площадь поверхности, полученной вращением данной кривой вокруг полярной оси, рассчитывается по формуле , где  – угловые значения, соответствующие концам кривой.

В соответствии с геометрическим смыслом задачи подынтегральная функция , а это достигается только при условии  ( и  заведомо неотрицательны). Следовательно, необходимо рассматривать значения угла из диапазона , иными словами кривая должна располагаться выше полярной оси и её продолжения. Как видите, та же история, что и в двух предыдущих параграфах.

Пример 5

Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды  вокруг полярной оси.

Решение: график данной кривой можно посмотреть в Примере 6 урока о полярной системе координат. Кардиоида симметрична относительно полярной оси, поэтому рассматриваем её верхнюю половинку на промежутке  (что, собственно, обусловлено и вышесказанным замечанием).

Поверхность вращения будет напоминать яблочко.

Техника решения стандартна. Найдём производную по «фи»:

Составим и упростим корень:
Надеюсь, с заштатными тригонометрическими формулами ни у кого не возникло затруднений.

Используем формулу:

На промежутке , следовательно:  (о том, как правильно избавляться от корня, я подробно рассказал в статье Длина дуги кривой).

Ответ:

Интересное и короткое задание для самостоятельного решения:

Пример 6

Вычислить площадь шарового пояса ,

Что такое шаровой пояс? Положите на стол круглый неочищенный апельсин и возьмите в руки нож. Сделайте два параллельных разреза, разделив тем самым фрукт на 3 части произвольных размеров. Теперь возьмите серединку, у которой сочная мякоть обнажилась с обеих сторон. Данное тело называется шаровым слоем, а ограничивающая её поверхность (оранжевая кожура) – шаровым поясом.

Читатели, хорошо знакомые с полярными координатами, легко представили чертёж задачи: уравнение  задаёт окружность с центром в полюсе радиуса , от которой лучи  отсекают меньшую дугу. Данная дуга вращается вокруг полярной оси и таким образом получается шаровой пояс.

Теперь можно с чистой совестью и лёгким сердцем съесть апельсинку, на этой вкусной ноте и завершим занятие, не портить же вам аппетит другими примерами =)

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: вычислим площадь поверхности, образованной вращением верхней ветви  вокруг оси абсцисс. Используем формулу .В данном случае: ;Таким образом:Ответ

Пример 4: Решение: используем формулу . Первая арка циклоиды определена на отрезке .Найдём производные:Составим и упростим корень:Таким образом, площадь поверхности вращения:На промежутке , поэтому Первый интеграл интегрируем по частям:Во втором интеграле используем тригонометрическую формулу .Ответ

Пример 6: Решение: используем формулу:Ответ

(Переход на главную страницу)

Формулы вычисления площади усеченного конуса

Примечание: иногда усеченный конус, также, называют коническим слоем.

1. Боковая поверхность

Чтобы найти площадь (S) боковой поверхности прямого усеченного кругового конуса, необходимо знать длину его образующей, а также радиусы двух оснований.

S_бок. = πRl + πrl = πl(R + r)

Примечание: в этой и других формулах ниже число π чаще всего округляется до 3,14.

2. Основания

Основаниями кругового усеченного конуса являются два круга, площади которых считаются таким образом:

S_осн.1 = πR 2

S_осн.2 = πr 2

Примечание: если вместо радиусов (R или r) даны соответсвующие им диаметры (d), их следует разделить на 2, чтобы получить нужные радиусы.

3. Полная площадь

Чтобы вычислить площадь полной поверхности усеченного конуса, требуется сложить площади его боковой поверхности и двух оснований.

S_полн. = πl(R + r) + πR 2 + πr 2 = π(lR + lr + R 2 + r 2)

Формулы вычисления площади усеченного конуса

Примечание: иногда усеченный конус, также, называют коническим слоем.

1. Боковая поверхность

Чтобы найти площадь (S) боковой поверхности прямого усеченного кругового конуса, необходимо знать длину его образующей, а также радиусы двух оснований.

S_бок. = πRl + πrl = πl(R + r)

Примечание: в этой и других формулах ниже число π чаще всего округляется до 3,14.

2. Основания

Основаниями кругового усеченного конуса являются два круга, площади которых считаются таким образом:

S_осн.1 = πR 2

S_осн.2 = πr 2

Примечание: если вместо радиусов (R или r) даны соответсвующие им диаметры (d), их следует разделить на 2, чтобы получить нужные радиусы.

3. Полная площадь

Чтобы вычислить площадь полной поверхности усеченного конуса, требуется сложить площади его боковой поверхности и двух оснований.

S_полн. = πl(R + r) + πR 2 + πr 2 = π(lR + lr + R 2 + r 2)

Коническая поверхность

Совокупность всех генератрис образует коническую или боковую поверхность конуса. По внешнему виду ее трудно сказать, какой плоской фигуре она соответствует

Последнее важно знать при определении площади конической поверхности. Для решения этой проблемы используют метод развертки

Он заключается в следующем: вдоль произвольной генератрисы мысленно разрезают поверхность, а затем разворачивают ее на плоскости. При таком способе получения развертки образуется приведенная ниже плоская фигура.

Как можно догадаться, круг соответствует основанию, а вот круговой сектор — это коническая поверхность, площадь которой нас интересует. Сектор ограничен двумя генератрисами и дугой. Длина последней точно равна периметру (длине) окружности основания. Эти характеристики однозначно определяют все свойства кругового сектора. Мы не будем приводить промежуточные математические выкладки, а запишем сразу конечную формулу, пользуясь которой можно вычислить площадь боковой поверхности конуса. Формула имеет вид:

S_b = pi*g*r

Площадь конической поверхности S_b равна произведению двух параметров и числа Пи.

Какую фигуру будем изучать?

Круглый прямой усеченный конус представляет собой два круга, имеющих разный диаметр, которые расположены в параллельных плоскостях. Окружности этих кругов соединены прямыми отрезками равной длины, именуемых образующими фигуры. Расстояние между круглыми основаниями называется высотой. Описанная фигура показана ниже на фото.

Получить ее можно двумя принципиально отличающимися геометрическими способами. Во-первых, можно взять обычный круглый конус и параллельной его основанию плоскостью отсечь верхнюю часть. Такое действие приведет к образованию верхнего (малого) основания усеченного конуса. Во-вторых, можно взять трапецию с двумя прямыми углами и вращать ее вокруг стороны, ограниченной этими углами. Сторона трапеции, вокруг которой будет происходить вращение, называется осью фигуры. Две параллельные стороны трапеции опишут круглые основания во время вращения, а четвертая наклонная сторона образует боковую поверхность фигуры.

Схема выше демонстрирует получение усеченного конуса с помощью сечения плоскостью.

В чем преимущество усеченного конуса как геометрической фигуры?

Усеченный конус — это геометрическая фигура, у которой основаниями являются две круглые плоскости, соединенные боковой поверхностью, которая имеет форму конуса, но сечение вдоль его высоты меньше его оснований.

Преимущества этой геометрической фигуры могут включать:

1. Усеченный конус имеет большую устойчивость, чем обычный конус, так как он имеет большую поверхность опоры на основаниях, что делает его лучшим выбором для некоторых приложений, например, при проектировании оболочек реакторов.
2. Усеченный конус может быть более экономичным в использовании материала, чем обычный конус, так как он имеет меньшую высоту, но сохраняет ту же площадь оснований. Это может быть полезно в проектировании строительных элементов, таких как колонны или башни.
3. Усеченный конус может иметь большую универсальность в применении, так как его форма может быть изменена путем изменения размеров его оснований и высоты. Это позволяет использовать усеченные конусы в различных областях, например, в качестве башенной опоры или формы для литья металла.
4. Усеченный конус может иметь более эргономичную форму, что делает его удобным в использовании в некоторых приложениях, например, при проектировании мебели или автомобильных деталей.
5. Усеченный конус может иметь более интересный внешний вид, что делает его привлекательным для использования в художественном дизайне или архитектуре.

В целом, усеченный конус является полезной геометрической фигурой, которая имеет множество преимуществ в различных областях применения.

Как построить развертку конуса и нанести на ней линию их пересечения?

Построить развертку конуса можно 2 путями:

• Разделить основание конуса на 12 частей (вписываем правильный многогранник – пирамиду). Можете разделить основание конуса и на большее или меньше количество частей, т.к. чем меньше хорда, тем точнее построение развертки конуса. Затем на дугу кругового сектора перенести хорды.
• Построение развертки конуса, по формуле определяющей угол кругового сектора.

Так как нам необходимо нанести на развертку конуса линии пересечения конуса и цилиндра, то нам все равно придется делить основание конуса на 12 частей и вписывать пирамиду, поэтому мы пойдем сразу по 1 пути построения развертки конуса.

Все формулы для площадей полной и боковой поверхности тел

a — сторона куба

Формула площади поверхности куба,(S):

a, b, c — стороны параллелепипеда

Формула площади поверхности параллелепипеда, (S):

R — радиус сферы

π ≈ 3.14

Формула площади поверхности шара (S):

4. Найти площадь боковой и полной поверхности цилиндра

r — радиус основания

h — высота цилиндра

π ≈ 3.14

Формула площади боковой поверхности цилиндра, (S_бок):

Формула площади всей поверхности цилиндра, (S):

5. Площадь поверхности прямого, кругового конуса

R — радиус основания конуса

H — высота

L — образующая конуса

π ≈ 3.14

Формула площади боковой поверхности конуса, через радиус (R) и образующую (L), (S_бок):

Формула площади боковой поверхности конуса, через радиус (R) и высоту (H), (S_бок):

Формула площади полной поверхности конуса, через радиус (R) и образующую (L), (S):

Формула площади полной поверхности конуса, через радиус (R) и высоту (H), (S):

6. Формулы площади поверхности усеченного конуса

R — радиус нижнего основания

r — радиус верхнего основания

L — образующая усеченного конуса

π ≈ 3.14

Формула площади боковой поверхности усеченного конуса, (S_бок):

Формула площади полной поверхности усеченного конуса, (S):

7. Площадь поверхности правильной пирамиды через апофему

L — апофема (опущенный перпендикуляр OC из вершины С, на ребро основания АВ)

P — периметр основания

S_осн — площадь основания

Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды (S_бок):

Формула площади полной поверхности правильной пирамиды (S):

8. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

m — апофема пирамиды, отрезок OK

P — периметр нижнего основания, ABCDE

p — периметр верхнего основания, abcde

Формула площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды, (S):

R — радиус самого шара

h — высота сегмента

π ≈ 3.14

Формула площади поверхности шарового сегмента, (S):

10. Площадь поверхности шарового слоя

h — высота шарового слоя, отрезок KN

R — радиус самого шара

O — центр шара

π ≈ 3.14

Формула площади боковой поверхности шарового слоя, (S):