Биссектриса угла

Способы построения

Зная, что такое биссектриса, легко определить расположение отрезка в треугольной фигуре. Для построения применяется несколько способов:

1. Известен угол, из которого исходит прямая, делящая его на равные сегменты. Значение делится пополам. На рисунке с помощью транспортира строится нужный отрезок.
2. Если параметры угла неизвестны, его измеряют транспортиром, делят пополам, затем проводят искомую линию.
3. Оригинальный способ построить нужный отрезок с помощью карандаша, линейки и циркуля. Из любой вершины проводится окружность произвольного радиуса. Главное, что величина должна быть меньше, чем прилегающая сторона. Место пересечения с каждой стороной считается центром для еще двух окружностей с таким же шагом циркуля. Нарисовать еще два круга, которые пересекаются между собой два раза. Через полученные точки и вершину под линейку проводится прямая, которая и есть настоящая биссектриса внутреннего угла.
4. Построить треугольник по известной длине трех отрезков (АВ, ВС, АС) можно с помощью линейки и циркуля. На произвольной прямой линии обозначить сегмент, равный АВ. Из точки А провести окружность с шагом циркуля равным АС, а затем аналогично из точки В провести окружность с шагом ВС. Точка пересечения – вершина искомой треугольной фигуры (С), в которой легко определяются биссектрисы, учитывая их характеристики.

В общих чертах

Итак, что же нужно запомнить? Биссектриса треугольника — это луч, который делит его вершину пополам. На пересечении трёх лучей находится центр окружности, вписанной в данный треугольник (единственный минус этого свойства в том, что оно не имеет практической ценности и служит только для грамотного выполнения чертежа). Она же делит противолежащую сторону на отрезки, отношение которых равно отношению сторон, между которыми прошёл этот луч. В четырёхугольнике свойства чуть усложняются, но, признаться, они практически не встречаются в задачах школьного уровня, поэтому обычно не затрагиваются в программе.

Биссектриса равнобедренного треугольника — предел мечтаний любого школьника. Она одновременно является и медианой (то есть делит противолежащую сторону пополам), и высотой (перпендикулярна этой стороне). Решение задач с такой биссектрисой сводится к теореме Пифагора.

Знание базовых функций биссектрисы, а также основных её свойств необходимо для решения геометрических задач как среднего, так и высокого уровня сложности. На самом деле встречается этот луч только в планиметрии, так что нельзя говорить о том, что зазубривание информации о нём позволит справляться со всеми типами заданий.

Что такое биссектриса угла треугольника? На этот вопрос у некоторых людей с языка срывается небезызвестная крыса, бегающая по углам и делящая угол пополам». Если ответ должен быть «с юмором», то, возможно, он правилен. Но с научной точки зрения ответ на этот вопрос должен был бы звучать примерно так: начинающийся в вершине угла и делящий последний на две равные части». В геометрии эта фигура также воспринимается как отрезок биссектрисы до ее пересечения с противолежащей сторонй треугольника. Это не является ошибочным мнением. А что еще известно о биссектрисе угла, кроме ее определения?

Как и у любого геометрического места точек, у нее имеются свои признаки. Первый из них — скорее, даже не признак, а теорема, которую можно кратко выразить так: «Если биссектрисой разделить противоположную ей сторону на две части, то их отношение будет соответствовать отношению сторон большого треугольника».

Второе свойство, которое она имеет: точка пересечения биссектрис все углов называется инцентром.

Третий признак: биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в центре одной из трёх в нее вписанных окружностей.

Четвертое свойство биссектрисы угла треугольника в том, что если каждый из них равен, то последний является равнобедренным.

Пятый признак тоже касается равнобедренного треугольника и является главным ориентиром по его распознаванию на чертеже по биссектрисам, а именно: в равнобедренном треугольнике она одновременно выполняет роль медианы и высоты.

Биссектриса угла может быть построена с помощью циркуля и линейки:

Шестое правило гласит, что невозможно построить треугольник с помощью последних только при имеющихся биссектрисах, как и невозможно построить таким способом удвоение куба, квадратуру круга и трисекцию угла. Собственно говоря, это и есть все свойства биссектрисы угла треугольника.

Если вы внимательно читали предыдущий абзац, то, возможно, вас заинтересовало одно словосочетание. «Что такое трисекция угла?» — наверняка спросите вы. Триссектриса немного схожа с биссектрисой, но если начертить последнюю, то угол поделится на две равные части, а при построении трисекции — на три. Естественно, что биссектриса угла запоминается легче, ведь трисекцию в школе не учат. Но для полноты картины расскажу и о ней.

Триссектрису, как я уже сказала, нельзя построить только циркулем и линейкой, но ее возможно создать с помощью правил Фудзиты и некоторых кривых: улитки Паскаля, квадратрисы, конхоиды Никомеда, конических сечений,

Задачи по трисекции угла достаточно просто решаются при помощи невсиса.

В геометрии существует теорема о триссектрисах угла. Называется она теоремой Морли (Морлея). Она утверждает, что точки пересечения находящихся посередине триссектрис каждого угла будут вершинами

Маленький черный треугольник внутри большого всегда будет равносторонним. Эта теорема была открыта британским ученым Фрэнком Морли в 1904 году.

Вот сколько всего можно узнать о разделении угла: триссектриса и биссектриса угла всегда требуют детальных объяснений. А ведь здесь было приведено множество еще не раскрытых мной определений: улитка Паскаля, конхоида Никомеда и т.д. Не сомневайтесь, о них можно написать еще больше.

В равнобедренном треугольнике

Биссектриса равнобедренного треугольника – гораздо более полезный луч. Она одновременно является не только делителем угла напополам, но и медианой, и высотой.

Медиана – это отрезок, который выходит из какого-то угла и падает на середину противолежащей стороны, разделяя её тем самым на равные части. Высота – это перпендикуляр, опущенный из вершины на противолежащую сторону, именно с её помощью любую задачу можно свести к простой и примитивной теореме Пифагора. В данной ситуации биссектриса треугольника равна корню из разности квадрата гипотенузы и другого катета. Кстати, именно это свойство встречается в геометрических задачах чаще всего.

Для закрепления: в данном треугольнике биссектриса FB является медианой (AB=BC) и высотой (углы FBC и FBA составляют 90 градусов).

Длина биссектрис в треугольнике

Биссектриса Треугольника ABC

Для выведения нижеприведённых формул можно воспользоваться теоремой Стюарта.

\displaystyle{ l_c = {\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\over{a+b}}=\frac{2 \sqrt{abp(p-c)}}{a+b} }, где \displaystyle{ p } — полупериметр.

\displaystyle{ l_c = \sqrt{ab-a_lb_l} }

\displaystyle{ l_c = \frac {2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b} }

\displaystyle{ l_c = \frac {2a_lb_l\cos\frac{\gamma}{2}}\sqrt{a_l^2+b_l^2-2a_lb_l\cos{(\gamma})} }

\displaystyle{ l_c = \frac {h_c}{\cos \frac {\alpha-\beta}{2}} }

Для трёх биссектрис углов \displaystyle{ A }, \displaystyle{ B } и \displaystyle{ C } с длинами соответственно \displaystyle{ l_a, l_b, } и \displaystyle{ l_c }, справедлива формула

\displaystyle{ \frac{(b+c)^2}{bc}l_a^2+ \frac{(c+a)^2}{ca}l_b^2+\frac{(a+b)^2}{ab}l_c^2 = (a+b+c)^2. },

\displaystyle{ w_c^2=a_w \cdot b_w-ab=CE^2=BE \cdot AE-ab },

Инцентр (точка пересечения трёх внутренних биссектрис треугольника) делит внутреннюю биссектрису угла \displaystyle{ A } в отношении \displaystyle{ \frac{b+c}{a} },

где:

• \displaystyle{ a, b, c } — стороны треугольника против вершин \displaystyle{ A, B, C } соответственно,
• \displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma } — внутренние углы треугольника при вершинах \displaystyle{ A, B, C } соответственно,
• \displaystyle{ h_c } — высота треугольника, опущенная на сторону \displaystyle{ c }.
• \displaystyle{ l_c } — длина внутренней биссектрисы, проведённой к стороне \displaystyle{ c },
• \displaystyle{ a_l, b_l } — длины отрезков, на которые внутренняя биссектриса \displaystyle{ l_c } делит сторону \displaystyle{ c },
• \displaystyle{ w_c } — длина внешней биссектрисы, проведённой из вершины \displaystyle{ C } к продолжению стороны \displaystyle{ AB }.
• \displaystyle{ a_w, b_w } — длины отрезков, на которые внешняя биссектриса \displaystyle{ w_c } делит сторону \displaystyle{ c=AB } и её продолжение до основания самой биссектрисы.
• Если медиана \displaystyle{ m }, высота \displaystyle{ h } и внутренняя биссектриса \displaystyle{ t } выходят из одной и той же вершины треугольника, около которого описана окружность радиуса \displaystyle{ R }, тогда

\displaystyle{ 4R^2h^2(t^2-h^2)=t^4(m^2-h^2). }

Длина

Одним из видов задач, которые вызывают затруднение у школьников, является нахождение длины биссектрисы угла треугольника. Первый вариант, в котором находится ее длина, содержит такие данные:

• величина пространства между лучами, из вершины которого выходит данный отрезок;
• длины сторон, которые образуют этот угол.

Для решения поставленной задачи используется формула
, смысл которой заключается в нахождении отношения увеличенного в 2 раза произведения значений сторон, составляющих угол, на косинус его половины к сумме сторон.

Рассмотрим на определенном примере. Допустим, дана фигура АВС, в которой отрезок проведен из угла А и пересекает сторону ВС в точке К. Значение А обозначим Y. Исходя из этого, АК = (2*АВ*АС*cos(Y/2))/(АВ+АС).

Второй вариант задачи, в котором определяется длина биссектрисы треугольника, содержит такие данные:

известны значения всех сторон фигуры.

При решении задачи такого типа первоначально определяем полупериметр
. Для этого необходимо сложить значения всех сторон и разделить пополам: р=(АВ+ВС+АС)/2. Далее применяем вычислительную формулу, с помощью которой определялась длина данного отрезка в предыдущей задаче. Необходимо только внести некоторые изменения в суть формулы в соответствии с новыми параметрами. Итак, необходимо найти отношение увеличенного в два раза корня второй степени из произведения длин сторон, которые прилегают к вершине, на полупериметр и на разность полупериметра и длины противолежащей ему стороны к сумме сторон, составляющих угол. То есть АК=(2٦АВ*АС*р*(р-ВС))/(АВ+АС).

Внимание!
Чтобы легче освоить материал, можно обратиться к имеющимся в Интернете шуточным сказкам, повествующим о «приключениях» этой прямой

Свойства биссектрисы треугольника

1. Каждая точка этой линии равноудалена от сторон угла. Часто эту характеристику выбирают в качестве определения, поскольку верно и обратное утверждение для любого произвольного треугольника. Это позволяет находить и радиус вписанной окружности.

2. Все внутренние отрезки, делящие углы пополам, пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в фигуру, т. е. точка пересечения находится на равных расстояниях от сторон. 

Данное свойство позволяет решать целый класс разнообразных задач, выводить формулы для радиусов вписанных окружностей правильных многоугольников.

Благодаря этому утверждению, легко доказывается следующее правило:

Площадь описанного многоугольника равна:

S = p∗r

где p – полупериметр, а r – радиус вписанной окружности.

Это позволяет находить решение не только планиметрических, но и стереометрических задач.

Важную роль играют внешние биссектрисы треугольника. Вместе с внутренними они образуют прямые углы;

3. Сумма величин двух прилежащих сторон, делённая на длину противолежащей стороны, задаёт отношение частей биссектрисы (считая от вершины), полученных точкой пересечения всех трёх соответствующих линий.

Некоторые виды геометрических фигур, в силу своих особенностей, порождают особые примечательные характеристики;

4. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, одновременно является медианой и высотой. Две другие – равны между собой.

В этом случае основание параллельно внешней биссектрисе.

Обратное положение также имеет место. Если прямая проведена параллельно основанию равнобедренного треугольника через некоторую вершину, то внешняя биссектриса при этой вершине является частью этой линии;

5

Для равностороннего многоугольника важной характеристикой считается равенство всех биссектрис;. 6

У правильного треугольника все внешние биссектрисы параллельны сторонам;

6. У правильного треугольника все внешние биссектрисы параллельны сторонам;

7. Выделяют несколько особенностей, среди которых есть следующая теорема:

«Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам».

Обратное утверждение («Прямая делит сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам») выражает признаки того, что рассматриваемая линия является внутренней биссектрисой;

8. Разносторонний треугольник позволяет определить взаимное расположение его высоты, медианы и биссектрисы, проведённых из одной точки. В частности, медиана и высота располагаются по разные стороны от третьей линии.