Как найти объем круглого конуса

❓Вопросы и ответы

Часто задаваемые вопросы и ответы по калькулятору объема конуса онлайн.

Что такое калькулятор объема конуса онлайн?

Калькулятор объема конуса онлайн — это инструмент, который позволяет рассчитать объем конуса на основе его радиуса и высоты.

Как использовать калькулятор объема конуса онлайн?

Для использования калькулятора нужно ввести значение радиуса и высоты конуса в соответствующие поля и нажать кнопку «Рассчитать». Результат, т.е. объем конуса, будет показан ниже.

Можно ли использовать калькулятор объема конуса для расчета объема других трехмерных фигур?

Нет, калькулятор объема конуса онлайн предназначен только для расчета объема конуса. Для расчета объема других трехмерных фигур существуют другие калькуляторы.

Для каких целей может быть полезен калькулятор объема конуса онлайн?

Калькулятор объема конуса онлайн может быть полезен для профессионалов, работающих в области строительства, дизайна и инженерии, а также для учеников и студентов, изучающих геометрию и математику.

Калькулятор для расчета объема конуса

C помощью нашего Онлайн-калькулятора для расчета объема конуса Вы можете быстро и точно рассчитать объем конуса. Для того, чтобы вычислить объем конуса, сначала выберите формулу, по которой Вы собираетесь произвести расчет. Объем конуса (в зависимости от исходных данных) можно вычислить двумя способами: 1. через высоту и радиус основания; 2. через высоту и площадь основания. Затем введите значения исходных данных для расчета (значение высоты конуса, значение радиуса основания конуса (или значение площади основания конуса) и нажмите кнопку «Рассчитать». Также Вы можете указать точность полученного результата, т.е. количество знаков после запятой, до которого будет округлен рассчитанный объем конуса.

Конус – это геометрическое тело, которое образуется при вращение прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Такой конус также еще называется – прямой круговой конус.

Объем конуса можно вычислить по двум формулам:

через высоту конуса и радиус основания;
через высоту конуса и площадь основания.

Примеры задач на нахождение объема конуса

Задача 1

Найдем объем конуса, высота которого 30см, а радиус основания 20см.

Решение

Подставим эти значения в формулу и произведем расчет:

V=dfrac {1}{3} pi r^2 h = dfrac {1}{3} cdot pi cdot 20^2 cdot 30 = dfrac {1}{3} cdot pi cdot 12000 = 400 pi : см^3 approx 12 566,37 : см^3

Ответ: {400 pi : см^3 approx 12 566,37 : см^3}

Проверить результат можно с помощью калькулятора .

Задача 2

Найдем объем конуса с высотой 3 см и диаметром основания 8 см².

Решение

Подставим эти значения в формулу и произведем расчет:

V=dfrac {1}{3} S h = dfrac {1}{3} cdot 8 cdot 3 = dfrac {1}{3} cdot 24 = 8 : см^3

Ответ: 8 см³

Воспользуемся калькулятором для проверки результата.

Задача 3

Найдите объем усеченного конуса радиусы оснований которого равны 1 см и 2 см, а высота равна 3 см.

Решение

Подставим высоту и радиусы оснований в формулу и произведем расчет:

V=dfrac {1}{3} pi h(r^2 + r R + R^2) = dfrac {1}{3} pi cdot 3 cdot (1^2 + 1 cdot 2 + 2^2) = dfrac {1}{3} pi cdot 3 cdot (1 + 2 + 4) = dfrac {1}{3} pi cdot 3 cdot 7 = dfrac {1}{3} pi cdot 21 = 7 pi : см^3 approx 21,99115 : см^3

Ответ: {7 pi : см^3 approx 21,99115 : см^3}

Проверим полученный ответ.

В чем может быть полезен такой калькулятор?

Калькулятор объема конуса онлайн может быть полезен в различных областях, например:

В учебной деятельности — калькулятор позволяет быстро и удобно вычислять объем конуса при решении задач в школе, вузе или других образовательных учреждениях.
В профессиональной деятельности — инженеры, архитекторы, дизайнеры и другие специалисты могут использовать калькулятор для расчета объемов конических форм в проектах, таких как проектирование зданий, оборудования и т.д.
В повседневной жизни — калькулятор может пригодиться при решении бытовых задач, например, при расчете объема цветочного горшка в форме конуса, объема мороженого в стаканчике или других предметов, имеющих форму конуса.
В производстве — калькулятор может использоваться для расчета объема конических контейнеров, таких как силосы, резервуары, баки и т.д. Это может помочь определить необходимый объем материала, который нужно использовать при изготовлении таких контейнеров, и при планировании их транспортировки и хранения.

Также калькулятор объема конуса онлайн может быть полезен для тех, кто интересуется математикой и хочет изучить формулы и свойства конуса более подробно.

Формулы объема, площади поверхности, объем конуса, объем цилиндра, объем шара

Если в задаче на ЕГЭ по математике вам надо посчитать объем конуса или площадь сферы — считайте, что повезло.

Применяйте формулы объема и площади поверхности цилиндра, конуса и шара. Все они есть в нашей таблице. Учите наизусть. Отсюда начинается знание стереометрии.

Например, такой важный факт:

Если все линейные размеры объемного тела увеличить в 2 раза, то площадь его поверхности увеличится в 4 раза, а объем — в 8 раз.

(ведь , ).

Вот такая задача. Как и остальные на нашем сайте, она взята из банка заданий ФИПИ.

1. Объем конуса равен . Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Для решения некоторых задач полезны начальные знания стереометрии. Например — что такое правильная пирамида или прямая призма. Полезно помнить, что у цилиндра, конуса и шара есть еще общее название — тела вращения. Что сферой называется поверхность шара. А, например, фраза «образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов предполагает, что вы знаете, что такое угол между прямой и плоскостью. Вам также может пригодиться теорема Пифагора и простые формулы площадей фигур.

Иногда неплохо нарисовать вид сверху. Или, как в этой задаче, — снизу.

2. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Говорят, что хороший чертеж — это уже половина решения. Читайте о том, как строить чертежи в задачах по стереометрии.

Еще один важный момент. Помним, что в задачах части В вариантов ЕГЭ по математике ответ записывается в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Поэтому никаких или у вас в ответе в части В быть не должно. Подставлять приближенное значение числа тоже не нужно! Оно обязательно должно сократиться!. Именно для этого в некоторых задачах задание формулируется, например, так: «Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на ».

А где же еще применяются формулы объема и площади поверхности тел вращения? Конечно же, в задаче С2 (16). Мы тоже расскажем о ней.

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Онлайн-калькулятор

Общее определение конусаКонус – это тело, образованное совокупностью всех лучей, исходящих из точки пространства и пересекающих плоскость.

Точка, из которой лучи исходят, получила название вершины конуса. В случае, когда основанием конуса является многоугольник, он превращается в пирамиду.

Рассмотрим некоторые важные понятия.

Образующей конуса называется отрезок, который соединяет любую точку границы основания конуса, с его вершиной. Высотой конуса является перпендикуляр, который опущен из вершины к основанию тела.

Конус бывает нескольких типов:

Прямой, если его основание – одна из таких фигур, как эллипс или круг. Обязательным условием является проецирование вершины конуса в центр основания.

Косой – у него центр фигуры, которая находится в основании, не совпадает с проекцией вершины на это самое основание.

Круговой – отталкиваясь от названия, понятно, что в его основании лежит круг.

Усеченный – область конуса, лежащая между основанием и сечением плоскости, которая параллельна основанию и пересекает данный конус.

Объем прямого кругового конуса

Теорема 1.
Объем прямого кругового конуса с высотой Н и радиусом основания R вычисляется по формуле

V = 1 / 3 π R 2 H

Данный конус можно рассматривать как тело, полученное вращением треугольника с вершинами в точках О(0; 0),В(Н; 0), А(Н; R) вокруг оси Ох
(рис.).

Треугольник ОАВ является криволинейной трапецией, соответствующей функции

у
= R / H х
, х
∈ . Поэтому, используя известную формулу, получаем

$$ V=\pi\int_{0}^{H}(\frac{R}{H}x)^2dx=\\=\frac{\pi R^2}{H^2}\cdot\frac{x^3}{3}\left|\begin{array}{c}H\\\\ 0\end{array}\right.=\\=\frac{1}{3}\pi R^2H $$

Следствие.
Объем прямого кругового конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту,

т. е.

где Q — площадь основания
, а H — высота конуса.

Теорема 2.
Объем усеченного конуса с радиусами оснований r и R и высотой H вычисляется по формуле

V = 1 / 3 πH(r
2 + R 2 + r
R).

Усеченный конус можно получить вращением вокруг оси Ох
трапеции О ABC (рис.).

Прямая АВ проходит через точки (0; r
) и (H; R), поэтому она имеет уравнение

$$ y=\frac{R-r}{H}x + r $$

получаем

$$ V=\pi\int_{0}^{H}(\frac{R-r}{H}x + r)^2dx $$

Для вычисления интеграла сделаем замену

$$ u=\frac{R-r}{H}x + r, du=\frac{R-r}{H}dx $$

Очевидно, когда х
изменяется в пределах от 0 до H, переменная и
изменяется от r
до R, и поэтому

$$ V=\pi\int_{r}^{R}u^2\frac{H}{R-r}du=\\=\frac{\pi H}{R-r}\cdot\frac{u^3}{3}\left|\begin{array}{c}R\\\\ r\end{array}\right.=\\=\frac{\pi H}{3(R-r)}(R^3-r^3)=\\=\frac{1}{3}\pi H(R^2 + r^2 + Rr) $$

Шар, объем которого равен 8π, вписан в куб. Найдите объем куба.

Решение

Пусть a — это сторона куба. Тогда объем куба равен V = a 3 .

Так как шар вписан в куб, то радиус шара равен половине ребра куба, т.е R = a/2 (см. рис.).

Объем шара равен V ш = (4/3)πR 3 и равен 8π, поэтому

(4/3)πR 3 = 8π,

А объем куба равен V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48.

Задание B9 (Типовые варианты 2015)

Объем конуса равен 32. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Решение

Рассмотрим задачи:

72353. Объем конуса равен 10. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Сразу отметим, что исходный и отсечённый конус подобны и если рассматривать отсечённый конус относительно исходного, то можно сказать так: меньший конус подобен большему с коэффициентом равным одной второй или 0,5. Можем записать:

Можно было записать:

Можно было рассудить так!

Рассмотрим исходный конус относительно отсечённого. Можно сказать – больший конус подобен отсечённому с коэффициентом равным двум, запишем:

Теперь посмотрите решение без использования свойств подобия.

Объём конуса равен одной трети произведения площади его основания и высоты:

Рассмотрим боковую проекцию (вид сбоку) с указанным сечением:

Пусть радиус большего конуса равен R, высота равна Н. Сечение (основание меньшего конуса) проходит через середину высоты, значит его высота будет равна Н/2. А радиус основания равен R/2, это следует из подобия треугольников.

Запишем объём исходного конуса:

Объём отсечённого конуса будет равен:

Столь подробные решения представлены для того, чтобы вы видели как можно выстроить рассуждения. Действуйте любым способом – главное, чтобы вы понимали суть решения. Пусть путь, который вы выбрали будет не рационален, важен результат (верный результат).

Ответ: 1,25

318145. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает половину высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Данная задача схожа с предыдущей. Хоть речь здесь и идёт о жидкости, принцип решения один и тот же.

Имеем два конуса – это сам сосуд и «малый» конус (наполненный жидкостью), они являются подобными. Известно, что объёмы подобных тел соотносятся следующим образом:

Исходный конус (сосуд) подобен конусу наполненному жидкостью с коэффициентом равным 2, так как сказано, что уровень жидкости достигает половину высоты. Можно записать подробнее:

Вычисляем:

Таким образом, долить нужно:

Другие задачи с жидкостями.

74257. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 44 и наклонена к плоскости основания под углом 30 0 . В ответе укажите V/Пи.

Объем конуса:

Высоту конуса найдем по свойству прямоугольного треугольника.

Катет лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы. Гипотенуза, в данном случае, является образующей конуса. Следовательно высота конуса равна 22.

Квадрат радиуса основания найдем по теореме Пифагора:

*Нам нужен квадрат радиуса, а не сам радиус.

Solved Example on Volume of a Cone

Example 1. Find the volume of a cone for a radius of 7 cm and height of 14 cm.

Solution:

Example 2. Find the volume of a cone for a radius of 5 cm and height of 9 cm.

Solution:

Example 3. Find the volume of a cone for a radius of 7 cm and height of 12 cm.

Solution:

Example 4. Find the volume of a cone for a radius of 8 cm and height of 15 cm.

Solution:

Example 5. Find the volume of a cone for a diameter of 24 cm and a slant height of 13 cm.

Solution:

Example 6. Find the volume of a cone for a diameter of 16 cm and a slant height of 10 cm.

Solution:

Example 7. Find the volume of a cone for the height of 8 cm and the slant height of 17 cm.

Solution:

Уравнение конуса

Часто требуется при решении математических задач. Записывается в следующем виде:

где x0, y0,z0- координаты по соответствующим осям.

Таким образом, в данной статье были представлены основные сведения, которые могут понадобиться при решении задач на тему «Конус».

Составляющие конуса

Различают следующие виды конусов: косой (или наклонный) и прямой. Косым называется тот, ось которого пересекается с центром его основания не под прямым углом. По этой причине высота в таком конусе не совпадает с осью, так как она является отрезком, который опущен из вершины тела на плоскость его основания под углом 90°.

Тот конус, ось которого расположена перпендикулярно к его основанию, называется прямым. Ось и высота в таком геометрическом теле совпадают по причине того, что вершина в нем расположена над центром диаметра основания.

Конус состоит из следующих элементов:

Круга, являющегося его основанием.
Боковой поверхности.
Точки, не лежащей в плоскости основания, называющейся вершиной конуса.
Отрезков, которые соединяют точки круга основания геометрического тела и его вершину.

Все эти отрезки являются образующими конуса. Они наклонные к основанию геометрического тела, и в случае прямого конуса их проекции равны, так как вершина равноотдалена от точек круга основания. Таким образом, можно сделать вывод, что в правильном (прямом) конусе образующие равны, то есть имеют одинаковую длину и образуют одинаковые углы с осью (или высотой) и основанием.

Так как в косом (или наклонном) теле вращения вершина смещена по отношению к центру плоскости основания, образующие в таком теле имеют разную длину и проекцию, поскольку каждая из них находится на разном расстоянии от двух любых точек круга основания. Кроме того, углы между ними и высотой конуса также будут отличаться.

Длина образующих в прямом конусе

Как написано ранее, высота в прямом геометрическом теле вращения перпендикулярна плоскости основания. Таким образом, образующая, высота и радиус основания создают в конусе прямоугольный треугольник.

То есть, зная радиус основания и высоту, при помощи формулы из теоремы Пифагора, можно вычислить длину образующей, которая будет равна сумме квадратов радиуса основания и высоты:

l2 = r2+ h2 или l = √r2 + h2

где

l – образующая;
r – радиус;
h – высота.

Образующая в наклонном конусе

Исходя из того, что в косом, или наклонном конусе образующие имеют не одинаковую длину, рассчитать их без дополнительных построений и вычислений не получится.

Прежде всего необходимо знать высоту, длину оси и радиус основания.

Имея эти данные, можно рассчитать часть радиуса, лежащую между осью и высотой, по формуле из теоремы Пифагора:

r1= √k2 — h2

где

r1 – это часть радиуса между осью и высотой;
k – длина оси;
h – высота.

В результате сложения радиуса (r) и его части, лежащей между осью и высотой (r1), можно узнать полную сторону прямоугольного треугольника, сформированного образующей конуса, его высотой и частью диаметра:

R = r + r1

где

R – катет треугольника, образованного высотой, образующей и частью диаметра основания;
r – радиус основания;
r1 – часть радиуса между осью и высотой.

Пользуясь все той же формулой из теоремы Пифагора, можно найти длину образующей конуса:

l = √h2+ R2

или, не производя отдельно расчет R, объединить две формулы в одну:

l = √h2 + (r + r1)2.

Несмотря на то, прямой или косой конус и какие вводные данные, все способы нахождения длины образующей всегда сводятся к одному итогу — использованию теоремы Пифагора.

Онлайн-калькулятор объема конуса

g decoding=»async» src=»data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=’http://www.w3.org/2000/svg’%20viewBox=’0%200%200%200’%3E%3C/svg%3E» alt=»obemkonusa.svg» data-lazy-src=»https://s3-studwork-pd01.s3pd01.sbercloud.ru/studwork/reference_page/obem-konusa-050d50c7fbaf89bb02272fca8c9c6c8e.svg»>

Рассмотрим некоторые важные понятия.

Образующей конуса называется отрезок, который соединяет любую точку границы основания конуса, с его вершиной.Высотой конуса является перпендикуляр, который опущен из вершины к основанию тела.

Конус бывает нескольких типов:

Круговой – отталкиваясь от названия, понятно, что в его основании лежит круг.

Объем наклонной призмы

Теперь, используя методы интегрирования, мы можем составить формулы для вычисления объема некоторых фигур. Начнем с треугольной наклонной призмы.

Пусть есть треугольная призма АВСА₂В₂С₂. Проведем ось Ох так, чтобы точка О располагалась в плоскости АВС. Пусть Ох пересечет плоскость А₂В₂С₂ в некоторой точке О₂. Тогда отрезок ОО₂ будет высотой призмы, ведь он окажется перпендикулярным к обоим основаниям.

Обозначим длину высоты ОО₂ буквой h. Далее докажем, что всякое сечение А₁В₁С₁ призмы, перпендикулярное оси Ох, будет равно ∆АВС. Действительно, если АВС⊥ОО₂ и А₁В₁С₁⊥ОО₂, то АВС||А₁В₁С₁. Прямые АВ и А₁В₁ принадлежат одной грани АВВ₂А₁, но не пересекаются, ведь они находятся в параллельных плоскостях. Аналогично АС||А₁С₁ и ВС||В₁С₁. Теперь посмотрим на четырехугольник АВВ₁А₁. АВ||A₁В₁ и АА₁||ВВ₁. Тогда АВВ₁А₁ по определению является параллелограммом. Это означает, что отрезки АВ и А₁В₁ одинаковы. Аналогично доказывается, что одинаковы отрезки АС и А₁С₁, а также ВС и В₁С₁. Но тогда одинаковы и ∆АВС и ∆А₁В₁С₁.

Итак, площади всех сечений одинаковы и равны площади основания призмы. Обозначим ее как S. Так как S не зависит от координаты, то интегрирование будет выглядеть так:

Итак, объем треугольной наклонной призмы – это произведение площади ее основания на высоту. Теперь рассмотрим произвольную призму, в чьем основании находится n-угольник. Такой n-угольник можно разбить на треугольные призмы с общей высотой h и площадями оснований S₁, S₂, S₃, …

Тогда площадь S основания всей призмы будет суммой этих чисел:

Задание. Основание призмы – это треугольник со сторонами 10, 10 и 12. Боковое ребро имеет длину 8 и образует с основанием угол в 60°. Вычислите объем призмы.

Решение. Пусть в основании призмы АВСА₁В₁С₁ лежит ∆АВС со сторонами АВ = 12 и АС = ВС = 10. Его площадь можно найти разными способами, но быстрее всего применить формулу Герона. Сначала найдем полупериметр ∆АВС:

Далее надо найти высоту призмы. Опустим из точки В₁ перпендикуляр В₁О на плоскость АВС. Тогда в прямоугольном ∆ОВВ₁ ∠В = 60° (по условию задачи и по определению угла между плоскостью и прямой). Зная длину бокового ребра ВВ₁, найдем высоту ОВ₁:

Все о Конусе

Муниципальное обще образовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №54 с углубленным изучение предметов социально-гуманитарного цикла центрального района города Новосибирска

Экзаменационная работа по геометрии на тему:

I Конус

Конус – тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет.

S- вершина конуса, круг с центром О – основание конуса

Отрезок SA=L образующая.

Отрезок OA=R – радиус основания.

Отрезок BC=2R – диаметр основания.

Треугольник SBC-осевое сечение

Угол BSC – угол при вершине осевого сечения

Угол SBO – угол наклона образующей к плоскости основания

II Сечение конуса

— круг с центром О1 (рис. 2)

треугольник (рис. 3)

В конус всегда можно вписать шар. Его центр на оси конуса

являющийся осевым сечением конуса.

Rш= Rк * tg a/2 = H*Rк/Rк+L

Около конуса всегда можно описать шар. Его центр лежит на

треугольника, являющегося осевым сечением конуса.

Rш = Rк / sinb ; R²ш= (H-Rш) ² + Rк²

Rш =L/2H ; (2Rш — Hк)Hк = Rк²

III Площадь поверхности конуса

Sбок = πrL

2. Площадь полной поверхности конуса есть сумма площадей боковой поверхности и основания

Sпол=πrL(L+r)

IV Объем конуса

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

или x/h=R1/R =>R1=XR/h. Так как S(x)= πR², то S(x)= πR²/h²* ²

V Усеченный конус.

Усеченный конус – часть конуса, заключенная между основанием и паралельным основанию сечением конуса.

Круги с центрами О1 и О2 – верхнее и нижнее основания усеченного конуса, R r – радиусы оснований, АВ= L образующая ,α угол наклона образующе и плоскости нижнего основания.

Отрезок О1О2-высота. Трапеция АВСD – осевое сечение.

H²+(R-r) ²=L²

Около усеченного конуса всегда можно описать шар. Его центр лежит на прямой О1О2

CF=FD OF┴Cd=>

В усеченный конус можно вписать шар тогда и только тогда, когда образующая равна сумме радиусов оснований L=R+r => существует вписанный шар.

VI Площадь поверхности усеченного конуса

1. Пусть Р – вершина конуса, из которого получен усеченный конус, АА1-одна из образующих

Усеченного конуса О и О1 – центры оснований. Используя формулу Sбок для конуса получаем

S бок = πr*PA-πr1*PA1=πr(PA1+AA1)- πr1PA1, отсюда, учитывая, что AA1=L, находим

Sбок =πrL +π (r — r1)PA1

Выразим РА1 через L1, r и r1. Прямоугольные треугольники РО1А1 и РОА подобны, так как имеют общий острый угол Р и поэтому PA1/PA=r/r1 или PA1/PA1+L=r/R1. Получаем PA1=Lr1/R-r1. S=πrL + (π(r-r1)Lr1)/r-r1=πrL+πr1L=πL(r+r1)

Sбок =πL(r+r1)

2. Площадь полной поверхности усеченного конуса равна сумме площадей боковой поверхности усеченного конуса и оснований

VII Обьем усеченного конуса

Обьем усеченного конуса V, высота которого равна h, а площади оснований S и S1 вычисляется по формуле

V=1/3h(S+S1+√S*S1)

комментарии

скачать за 50 руб

после оплаты нажмите на кнопку «Вернуться на сайт» — документ будет скачан автоматически
Скачанный документ будет содержать только материал уже воспроизведенный на сайте.

Онлайн-калькулятор объема конуса

Рассмотрим некоторые важные понятия.

Образующей конуса называется отрезок, который соединяет любую точку границы основания конуса, с его вершиной.Высотой конуса является перпендикуляр, который опущен из вершины к основанию тела.

Конус бывает нескольких типов:

Круговой – отталкиваясь от названия, понятно, что в его основании лежит круг.

Конус и его сечение плоскостью

Перу древнегреческого математика Аполлония Пергского принадлежит теоретический труд «Конические сечения». Благодаря его работам в геометрии появились определения кривых: параболы, эллипса, гиперболы. Рассмотрим, причем здесь конус.

Возьмем прямой круговой конус. Если плоскость пересекает его перпендикулярно оси, то в разрезе образуется круг. Когда секущая пересекает конус под углом к оси, то в разрезе получается эллипс.

Секущая плоскость, перпендикулярная основанию и параллельная оси конуса, образует на поверхности гиперболу. Плоскость, разрезающая конус под углом к основанию и параллельная касательной к конусу, создает на поверхности кривую, которую назвали параболой.

Объем произвольного конуса

Теорема.
Объем произвольного конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту,

т.е.

V = 1 / 3 QH, (1)

где Q — площадь основания, а Н — высота конуса.

Рассмотрим конус с вершиной S и основанием Ф (рис.).

Пусть площадь основания Ф равна Q, а высота конуса равна Н. Тогда существуют последовательности многоугольников Ф n
и Ф’ n
с площадями Q n
и Q’ n
таких, что

Ф n
⊂ Ф n
⊂ Ф’ n
и $\lim_{n \rightarrow \infty}$ Q’ n
= $\lim_{n \rightarrow \infty}$ Q n
= Q.

Очевидно, что пирамида с вершиной S и основанием Ф’ n
будет вписанной в данный конус, а пирамида с вершиной S и основанием Ф n
— описанной около конуса.

Объемы этих пирамид соответственно равны

V n
= 1 / 3 Q n
H , V’ n
= 1 / 3 Q’ n
H

$\lim_{n \rightarrow \infty}$ V n
= $\lim_{n \rightarrow \infty}$ V’ n
= 1 / 3 QH

то формула (1) доказана.

Следствие.
Объем конуса, основанием которого является эллипс с полуосями а и b, вычисляется по формуле

V = 1 / 3 π ab
H (2)

В частности, объем конуса, основанием которого является круг радиуса
R, вычисляется по формуле

V = 1 / 3 π R 2 H (3)

где Н — высота конуса.

Как известно, площадь эллипса с полуосями а
и b
равна π ab
, и поэтому формула (2) получается из (1) при Q = π ab
. Если а = b
= R, то получается формула (3).

❓Вопросы и ответы

Что такое калькулятор объема конуса онлайн?

Как использовать калькулятор объема конуса онлайн?

Можно ли использовать калькулятор объема конуса для расчета объема других трехмерных фигур?

Для каких целей может быть полезен калькулятор объема конуса онлайн?

Калькулятор для расчета объема конуса

Примеры задач на нахождение объема конуса

В чем может быть полезен такой калькулятор?

Формулы объема, площади поверхности, объем конуса, объем цилиндра, объем шара

Онлайн-калькулятор

Объем прямого кругового конуса

Solved Example on Volume of a Cone

Уравнение конуса

Составляющие конуса

Длина образующих в прямом конусе

Образующая в наклонном конусе

Онлайн-калькулятор объема конуса

Объем наклонной призмы

Все о Конусе

Онлайн-калькулятор объема конуса

Конус и его сечение плоскостью

Объем произвольного конуса

Похожие записи:

Похожие записи: